11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty metody výpo tu, Cramerovo pravidlo) Soustavy rovnic Ekvivalentní úpravy 1 Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy 2 Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjád íme n kterou neznámou, do jiné rovnice 3 P i tení nenulového násobku rovnice k jiné rovnici nebo jejímu nenulovému násobku 4 Zám na po adí rovnic 5 Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy Metody e²ení 1 Dosazovací (substitu ní) 2 S ítací (aditivní) 3 Srovnávací 4 Gracky Soustava m rovnic o n neznámých m > n: Ze zadné soustavy vybereme n rovnic a tuto soustavu vy e²íme Ov íme, zda toto e²ení vyhovuje i v²em vynechaným rovnicím m < n: Ozna íme si (m n) neznámých jako parametry a soustavu vy e²íme v závislosti na nich Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + + a mn x n = b m a ij R; b i R Absolutní leny; x j R Neznámé i = {1; 2; ; m}; j = {1; 2; ; n} 1
b 1 = b 2 = = b m = 0 homogenní soustava, má triviální e²ení: x 1 = = x n = 0 alespo jeden ze len b i 0 nehomogenní soustava Soustavu e²íme Gaussovou elimina ní metodou nebo Cramerovým pravidlem (pokud m = n) Viz dále Kaºdá n-tice [x 1 ; x 2 ; ; x n ] reálných ísel, která vyhovuje dané soustav, se nazývá partikulární e²ení V²echna partikulární e²ení tvo í tzv obecné e²ení Soustava nerovnic o jedné neznámé Nejd íve vy e²íme kaºdou nerovnici zvlá² Mnoºina v²ech e²ení soustavy je pak pr nik mnoºin v²ech e²ení jednotlivých nerovnic Matice Matice je schéma, ve kterém je uspo ádáno m n reálných ísel do m ádk a n sloupc Tato ísla nazýváme prvky matice: a ij (i ádkový index; j sloupcový index) Matice ozna ujeme velkými tiskacími písmeny a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A (m;n) = a m1 a m2 a m3 a mn Hlavní diagonála je tvo ena prvky a 11, a 22, a 33,, a mn, musí platit m = n Vedlej²í diagonála je opa ná diagonála k hlavní diagonále Bodová matice m = n = 1 ádková matice m = 1 Sloupcová matice n = 1 ƒtvercová matice m = n Determinant tvercové matice A ozna me A Pokud je A = 0 pak je tato matice singulární Pokud A 0, ozna ujeme tuto matici jako regulární Nulová matice je taková matice, v²echny prvky jsou nulové Jednotková matice je tvercová matice, která má na hlavní diagonále jedni ky a ostatní prvky jsou nuly 2
Trojúhelníková matice Transponovaná matice má nad nebo pod hlavní diagonálou samé nuly vznikne z p vodní matice zám nou ádk a sloupc Inverzní matice je taková tvercová matice A 1, pro kterou platí A A 1 = A 1 A = jednotková matice Inverzní matici ur íme tímto zp sobem: P vodní matici A upravíme na jednotkovou matici Tyto úpravy provádíme na jednotkové matici stejného ádu Matice, která vznikne t mito úpravami je inverzní maticí A 1 k matici A Hodnost matice A ozna ujeme h(a) Matice A má hodnost h, práv tehdy kdyº z ní lze vybrat determinant ádu h, který je r zný od nuly a v²echny determinanty vy²²ích ád jsou nulové Hodnost matice m ºeme ur it tak, ºe matici upravíme na trojúhelníkový tvar a po et nenulových ádk ur ují hodnost matice K úprav matice na trojúhelníkový tvar m ºeme pouºít tyto úpravy: zám na ádk za sloupce nebo ádk nebo sloupc mezi sebou násobení ádeku nebo sloupce nenulovým íslem p i tení k libovolnému ádku nebo sloupci lineární kombinací ostatních ádk nebo sloupc vynechání ádku nebo sloupce, který je lineární kombinací ostatních ádk nebo sloupc Operace s maticemi Rovnost matic: Dv matice stejného typu se sob rovnají, mají-li ma stejných místech stejné prvky A = B a ij = b ij S ítání matic: Sou et matic stejného typu je sou et odpovídajících prvk Platí komutativní a asociativní zákon A + B = C c ij = a ij + b ij Násobení matice reálným íslem: Násobení matice reálným íslem je vynásobení v²ech prvk matice tímto íslem k A = B b ij = k a ij Násobení matice maticí: Je-li první matice A typu (m, n) a druhá matice B typu (n, p), pak sou inem t chto matic v tomto po adí A B je matice C typu (m, p), pro niº platí: A B = C c ik = n a ij b jk j=1 i = {1; 2; ; m}; k = {1; 2; ; p} 3
Gaussova elimina ní metoda Pouºívá se k e²ení soustavy lineárních rovnic o n neznámých P i e²ení postupujeme takto: 1 Koecienty rovnic zapí²eme do matice s roz²í ením pravé strany tak, aby prvek a 11 nebyl nulový 2 Roz²í enou matici dané soustavy transponujeme úpravami, které zachovávají její hodnost, na trojúhelníkovitý tvar 3 Vypo ítáme hodnost p vodní a roz²í ené matice a podle Frobenovy v ty ur íme e²itelnost soustavy: h = h = n soustava má jedno e²ení h = h < n soustava má nekone n mnoho e²ení, (n h) neznámých p evedeme na pravou stranu jako parametry h h soustava nemá e²ení 4 P epí²eme ádky matice op t do rovnic a ur íme ko eny Determinanty Uspo ádáme-li n 2 reálných ísel do tvercového schématu o n ádcích a n sloupcích, dostaneme determinant n-tého ádu Kaºdému takovému determinantu lze p i adit reálné íslo, které nazýváme hodnotou tohoto determinantu Hodnota determinantu Determinant 1 ádu: a 11 = a11 Determinant 2 ádu: pomocí Sarrusova pravidla a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 Determinant 3 ádu: pomocí Sarrusova pravidla a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 21 a 12 a 33 a 23 a 32 a 11 Determinanty jiného ádu: úpravou na trojúhelníkový tvar Na úpravu m ºeme pouºít tyto metody: 4
Hodnota determinantu se nezm ní zam níme-li i-tý ádek za i-tý sloupec nebo naopak Zam níme-li v determinantu dv rovnob ºné ady ( ádek nebo sloupec), hodnota determinantu se zm ní v opa nou Vynásobíme-li prvky n které ady reálným íslem k, zm ní se jeho hodnota k-krát Hodnota determinantu se nezm ní, p ipo teme-li k n které jeho ad lineární kombinaci ad s ní rovnob ºných Je-li v determinantu n která jeho ada lineární kombinací ad s ní rovnob ºných, je hodnota determinantu rovna nule Jsou-li prvky n které ady rovny nule, je hodnota determinantu rovna nule Pokud má determinant trojúhelníkový tvar, pak je jeho hodnota rovna sou inu prvk na hlavní diagonále Cramerovo pravidlo 1 Ur íme hodnotu derminantu D sestaveného z koecient na levých stranách rovnic 2 Ur íme hodnoty derminant D i sestavených z koecient na levých stranách rovnic Vºdy i-tý sloupec nahradíme hodnotami na pravých stranách rovnic 3 Spo ítáme hodnoty prom nných následujícím zp sobem: D = 0 D i = 0: Nekone n mnoho e²ení D = 0 alespo jeden z D i 0: šádné e²ení {[ D1 D 0: K = D ; D 2 D ; ; D ]} n D 5