Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Transkript

1 Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, kde a 11,..., a mn, b 1,..., b m jsou daná čísla a x 1,..., x n jsou neznámé. Matice soustavy: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn 1.

2 2 Rozšířená matice soustavy: A = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Řešitelnost soustavy Věta ( Frobeniova věta ).. Soustava má řešení, právě když hodnost matice soustavy (h) je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (h ). Navíc platí: Je-li soustava řešitelná a hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých (n), má soustava právě jedno řešení. Je-li soustava řešitelná a je-li hodnost matice soustavy menší než počet neznámých, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž číslo n h udává počet volitelných neznámých (parametrů). P o z n á m k a : Hodnost h může být nanejvýš o 1 větší než h (rozšířená matice má o 1 sloupec víc než matice soustavy). 2

3 3 Platí: Provedeme-li na řádcích rozšířené matice soustavy úpravy neměnící její hodnost, získáme rozšířenou matici soustavy, která má stejnou množinu řešení jako soustava původní (soustavy jsou ekvivalentní). P o z n á m k a : Je možno měnit pořadí sloupců matice soustavy, to však odpovídá změně pořadí neznámých a je potřeba tuto změnu registrovat. 3

4 4 Postup řešení soustav - Gaussova a Jordanova metoda Upravíme rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar. Gaussova metoda spočívá v tom, že z poslední rovnice (v odstupňovaném tvaru) vypočítáme poslední neznámou, dosadíme do předposlední rovnice atd. Jordanova metoda pokračuje v úpravě matice soustavy až na jednotkovou matici (resp. v případě soustavy s nekonečným počtem řešení na matici, jejíž částí je jednotková matice). Řešením je pak vektor, jehož složky jsou čísla v posledním sloupci rozšířené matice soustavy (nebo se v případě soustavy s nekonečným počtem řešení snadno dopočítá). Obecné řešení, partikulární řešení Obecné řešení popisuje množinu všech řešení soustavy - za volitelné neznámé volíme parametry. 4

5 5 Jednotlivé řešení se nazývá partikulární řešení. Obdržíme ho např. dosazením libovolných čísel za parametry v obecném řešení. 5

6 6 Homogenní soustava Soustava rovnic, kde na pravých stranách jsou samé nuly, se nazývá homogenní soustava. Jedním z řešení každé homogenní soustavy je tzv. triviální řešení, tj. řešení, kde všechny neznámé jsou rovny nule (nulový vektor). Je-li aspoň jedna neznámá různá od nuly, řešení se nazývá netriviální. Každá homogenní soustava má řešení vždy h = h, nebo rozšířená matice soustavy se od matice soustavy liší sloupcem nul. Při úpravách matice soustavy není nutné tento sloupec nul psát (nemění se). Platí: (1) Homogenní soustava je vždy řešitelná; je-li h = n, soustava má právě jedno, a to triviální řešení, je-li h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení (tedy i netriviální), (n h = počet volitelných neznámých). 6

7 Determinanty Determinant Determinant čtvercové matice A (ozn. det A) je číslo, přiřazené této matici určitým způsobem (pro matice, které nejsou čtvercové, se determinant nedefinuje). Determinant je možno definovat rekurentně: Determinant matice A typu 1 1, tj. A = (a 11 ) je det A = a 11. Determinant matice A = (a ij ) typu n n (n 2) je číslo: det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n = n j=1 ( 1)1+j a 1j det A 1j, kde det A 1j je determinant matice, která vznikne vynecháním prvního řádku a j-tého sloupce matice A. 7

8 8 Determinanty matic řádu 2 a 3 a 11 a 12 a a 22 + = a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a a 32 a 33 a a a 13 + a a 22 a = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21. 8

9 9 Rozvoj determinantu Rozvoj determinantu podle i-tého řádku matice A: Místo prvního řádku v definici det. lze vzít libovolný jiný řádek: det A = ( 1) i+1 a i1 det A i1 + ( 1) i+2 a i2 det A i ( 1) i+n a in det A in = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij, kde det A ij je determinant, který vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce v det A. Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce matice A: Místo řádku matice vzít libovolný sloupec matice: det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j +( 1) 2+j a 2j det A 2j ( 1) n+j a nj det A nj = n i=1 ( 1)i+j a ij det A ij. P o z n á m k a : Znaménka ( 1) i+j u prvků a ij není třeba vypočítávat - střídají se pravidelně jako šachovnice: A =

10 10 Determinant trojúhelníkové matice Platí: Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na její diagonále. Výpočet determinantu převodem matice na trojúhelníkovou Platí: (1) Záměnou pořadí dvou řádků matice se změní znaménko determinantu. (2) Vynásobením nějakého řádku matice číslem k se determinant k-krát vynásobí. (3) Přičtením násobku řádku k jinému řádku se determinant nezmění. Totéž platí pro sloupce matice (platí, že det A = det A T ). Determinant regulární a singulární matice Čtvercová matice se nazývá regulární, má-li lineárně nezávislé řádky. je tedy regulární, je-li h = n. Matice typu n n Čtvercová matice, která má lineárně závislé řádky, se nazývá 10

11 singulární. Matice typu n n je tedy singulární, je-li h < n. Platí: A je regulární det A 0 ( tedy A je singulární det A = 0). Cramerovo pravidlo (řešení soustav) Je-li matice soustavy A x = b regulární, má soustava právě jedno řešení. Označme A i matici, která vznikne z matice A (matice soustavy) nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran b. Pak x i = det A i det A