POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM) Organizace zkoušky Zkouška je ústní a má čtyři části: 1. Numerická matematika, pravděpodobnost a statistika 2. Počítačová fyzika 3. Fyzika student si volí dva z následujících okruhů a. Teoretická mechanika b. Teorie elektromagnetického pole c. Termodynamika s statistická fyzika d. Kvantová fyzika 4. Volitelná oblast podle vlastní specializace: a. Počítačové modelování ve fyzice plazmatu b. Počítačové modelování ve fyzice tenkých vrstev a povrchů c. Molekulární simulace a fyzika kondenzovaného stavu d. Fyzika kosmického plazmatu a magnetohydrodynamika Student uvede svou volbu ve 3. a 4. části ve své přihlášce ke státní závěrečné zkoušce. Každému studentovi bude zadána v každé z uvedených částí jedna hlavní otázka (se zřetelem k volbě studenta okruhů, resp. specializace ve 3. a 4. části), přičemž student má nárok na minimálně 20 minut času k přípravě na zkoušku. Členové komise mohou k doplnění představy o vědomostech studenta položit v rámci zvolených okruhů doplňující dílčí otázky menšího rozsahu, na které již student odpovídá bez přípravy. 1. Numerická matematika, pravděpodobnost a statistika a) numerická matematika Reprezentace čísel a chyby výpočtu. Aproximace a interpolace.základní pojmy a algoritmy. Řešení soustav lineárních rovnic. Přímé a iterační metody. Matice. Vlastní čísla a vektory. Základní algoritmy. Numerická integrace a derivování. Integrace s rovnoměrným a nerovnoměrným krokem báze. Numerické derivování. Řešení nelineárních rovnic. Hledání kořenů funkce jedné proměnné a vektorové funkce. Hledání maxima a minima funkcí více proměnných. Řešení soustav nelineárních rovnic. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metody Rungeho-Kutty, metody prediktor-korektor. Stiff soustavy a jejich řešení. Řešení parciálních diferenciálních rovnic. Typy rovnic. Diferenční rovnice. Okrajové podmínky. Základní techniky řešení.
b) pravděpodobnost Pravděpodobnostní prostor klasický, konečný, spojitý prostor. Pravděpodobnost náhodných jevů. Podmíněná pravděpodobnost. Úplná soustava náhodných jevů. Náhodná veličina, pravděpodobnostní funkce, hustota, distribuční funkce, základní charakteristiky a jejich vlastnosti. Důležitá rozdělení pravděpodobnosti a jejich základní vlastnosti (diskrétní a spojitá rozdělení). c) statistika Základní soubor, statistická jednotka, statistický znak, náhodný výběr a jeho vlastnosti třídění, variační rozpětí, četnost, relativní četnost, kumulativní četnost a relativní kumulativní četnost, empirická distribuční funkce. Výběrové charakteristiky výběrový průměr, výběrový rozptyl, výběrová směrodatná odchylka, výběrový medián, modus, koeficient šikmosti. Speciální statistická rozdělení. Testování hypotéz. Test shody empirických rozdělení s teoretickými, χ 2 test shody. Lineární regrese a korelace, reziduální součet čtverců, odhad parametrů metodou nejmenších čtverců, systém normálních rovnic a jejich řešení v maticovém tvaru. 2. Počítačová fyzika Náplň pojmu počítačová fyzika. Charakteristika výpočetní techniky. Strukturované programování. Hlavní směry počítačové fyziky. Počítačové modelování. Základní techniky počítačového modelování. Metoda Monte Carlo princip metody, generování a transformace náhodných veličin. Použití metody Monte Carlo v numerické matematice. Použití metody Monte Carlo ve fyzice transportní problém, umělé obraty, použití v dalších oblastech. Metoda molekulární dynamiky princip metody, základní algoritmy, problémy. Metoda P-I-C a další postupy pro zefektivnění deterministického částicového modelování. Spojité modelování. Hybridní modelování. Počítačová grafika. Hardwarové prostředky, základní algoritmy. Zpracování obrazu. Hardwarové a softwarové prostředky. Základní algoritmy analýzy obrazu nižší úrovně. Algoritmy zpracování obrazu vyšší úrovně. Morfologické metody a jejich příznaky. Základy matematické morfologie a teorie perkolace. Integrální transformace. Přehled základních metod integrální transformace. Použití integrálních transformací ve fyzice. Řízení experimentu. Schéma řízení, hardwarové prostředky. Programování mikroprocesorů. Další okruhy počítačové fyziky. Symbolické manipulace. Moderní směry počítačové fyziky. Paralelismus. 3. Fyzika Předpokládá se, že posluchač zná zavedení základních a odvozených fyzikálních veličin (včetně představy o konkrétních možnostech experimentálního uspořádání pro jejich indikaci
a měření), jejich jednotky, jakož i přibližnou (případně alespoň řádovou) číselnou hodnotu základních fyzikálních konstant. Posluchač má prokázat porozumění základním zákonům a teoriím fyzikálních jevů a jejich vzájemným souvislostem a) teoretická mechanika Mechanika soustavy hmotných bodů. Newtonovy pohybové zákony, impulsové věty, zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti. Pohyb v centrálním poli. Harmonické knity a jejich skládání. Mechanika tuhého tělesa (unášivá rychlost, tenzor setrvačnosti, kinetická energie a moment setrvačnosti tuhého tělesa). Pohyb v neinerciálním systému. Analytická mechanika: Princip virtuální práce, d Alambertův princip, Lagrangeovy rovnice I. a II.druhu. Hamiltonův princip nejmenší akce. Kanonické rovnice. Základy mechaniky kontinua: Eulerova a Lagrangeova metoda popisu pohybu kontinua. Tenzor malých deformací, tenzor napětí, Hookeův zákon. Základní zákony hydrostatiky. (Archimedův zákon a Pascalův zákon). Základní rovnice hydrodynamiky. b) teorie elektromagnetického pole Elektrostatické pole ve vakuu a látkovém prostředí (základní rovnice a jejich řešení, multipólový rozvoj, materiálové vztahy, energie pole, hraniční podmínky). Stacionární magnetická pole (základní vztahy, rovnice a jejich řešení Biotův a Savartův zákon, energie, hraniční podmínky). Obecná soustava Maxwellových rovnic a jejich fyzikální interpretace. Materiálové vztahy a okrajové podmínky pro veličiny elektromagnetického pole. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Řešení soustavy Maxwellových rovnic pro nestacionární pole (potenciály elektromagnetického pole, rovinná a kulová elektromagnetická vlna a její šíření, Fresnelovy vzorce, superpozice a retardace řešení). Vyzařování soustav. c) termodynamika a statistická fyzika Termodynamická soustava a její stav, termodynamická rovnováha, rovnovážné a nerovnovážné děje, vnitřní a vnější parametry, teplota, stavové rovnice. 0., I., II. a III. zákon termodynamiky, entropie a její vlastnosti, termodynamické potenciály, Maxwellovy vzorce, popis otevřených soustav, podmínky termodynamické rovnováhy, rovnováha heterogenních soustav, fázové přechody. Popis systému a jeho vývoje ve statistické fyzice, fázový prostor, mikrostav, makrostav, statistický soubor, časové a souborové střední hodnoty, ergodická hypotéza, rozdělovací funkce, Liouvillův teorém, vztah mezi entropií a počtem dostupných mikrostavů. Kanonické rozdělení, partiční funkce a její vztah k termodynamickým veličinám, aplikace: ideální plyn, paramagnetika, Maxwellovo rozdělení. Ekvipartiční teorém a jeho aplikace. Tepelné kapacity idealních plynů a pevných látek (Dulongúv-Petitův zákon, Einsteinova aproximace, Debyeova aproximace). Vlastnosti fermionů a bosonů, Fermi-Diracova a Bose-Einsteinova rozdělovací funkce a jejich aplikace: záření absolutně černého tělesa, elektronový plyn v kovech, stabilita bílých trpaslíků.
d) kvantová fyzika Experimentální základy, myšlenková východiska a postuláty kvantové fyziky. Schrödingerova rovnice, pravděpodobnostní proudová hustota. Komutativnost operátoru a měřitelnost veličin, relace neurčitosti. Operátor časové změny, kvantově-mechanické pohybové rovnice (I. a II. Ehrenfestův teorém). Stacionární stavy, nečasová Schrödingerova rovnice. Řešení jednoduchých stacionárních úloh (potenciálová stěna, val a krabice). Lineární harmonický oscilátor. Moment hybnosti (vlastní hodnoty a funkce, kreační a anihilační operátory stavů). Pohyb v centrálním poli. Schrödingerův model atomu vodíku. Atom ve vnějším magnetickém poli. Popis systému mnoha částic. Princip nerozlišitelnosti mikročástic. Symetrie vlnové funkce. Pauliho princip. Základy poruchového počtu (stacionární porucha s nedegenerovaným spektrem). 4. Volitelný předmět podle vlastní specializace a) Počítačové modelování ve fyzice plazmatu Základy fyziky plazmatu: Charakteristika a typy plazmatu plazma izotermické a neizotermické, kvazineutralita, Debyeova stínící vzdálenost. Teoretický popis plazmatu kinetický popis, Boltzmannova rovnice, zákony zachování, magnetohydrodynamický popis. Elementární procesy v plazmatu vznik a zánik nabitých částic, vybuzené stavy, chemické reakce v plazmatu. Transportní jevy v plazmatu plazma ve vnějších polích, pohyblivost elektronů a iontů, vodivost plazmatu, difúze a ambipolární difúze. Nízkoteplotní a vysokoteplotní plazma. Počítačové modelování ve fyzice plazmatu: Řešení transportního problému metodou Monte Carlo, deterministické částicové modelování, hybridní částicové modelování v plazmatu, modelování chemické kinetiky, generování částic s Maxwellovým rozdělením, modelování interakce plazma-pevná látka, částicové modelování za přítomnosti magnetického pole. b) Počítačové modelování ve fyzice pevných látek, tenkých vrstev a povrchů Fyzika pevných látek: Základy krystalografie. Mechanické vlastnosti látek. Elektrony kondenzovaných látek ve vnějších polích, interakce záření s pevnými látkami. Transportní, a optické a magnetické vlastnosti pevných látek. Praktické aplikace fyziky pevných látek (polovodičové prvky, lasery, fotoelementy, supravodiče, kapalné krystaly). Základy fyziky tenkých vrstev a povrchů metody přípravy tenkých vrstev, měření
základních vlastností tenkých vrstev, povrch pevné látky, základy teorie nukleace. Počítačové modelování ve fyzice tenkých vrstev: Modelování 2D a 3D růstu tenkých vrstev, kovů. Modelování transportu náboje nespojitými kovovými vrstvami. Morfologická analýza nespojitých kovových a kompozitních vrstev. Vybrané techniky počítačové fyziky užívané při řešení problémů ve fyzice pevných látek hard-disk model, soft-disk model, simulované žíhání, vizualizace. Základy teorie perkolace. Základy fourierovské optiky. c) Molekulární simulace a fyzika kondenzovaného stavu Systémy interagujících částic: Základní pojmy, definice a vztahy. Mezimolekulární interakce, realistické a jednoduché modely. Korelační funkce. Souvislosti mezi veličinami statistické mechaniky a reálnými experimenty. Fyzika kondenzovaného stavu: Klasifikace kondenzovaných soustav: kapaliny, koloidní systémy, polymery, tekuté krystaly. Vlastnosti kondenzovaných systémů. Viriální koeficienty a jejich vlastnosti; Poruchové teorie a stavová rovnice. Molekulární simulace - obecné problémy: konečné (malé systémy); systémy s dlouhodosahovými silami; vyhodnocování experimentů a odhady chyb. Metoda Monte Carlo: Základní i pokročilé metody (preferenční vzorkování, simulace v různých statistických souborech; neboltzmannovské vzorkování, výpočet entropických veličin, přímé určení fázových a chemických rovnováh). Systémy ve vnějším poli, fázová rozhraní. Metoda molekulární dynamiky: Verletův a Gearův algoritmus; simulace za konstantního tlaku a teploty; constraint dynamics. d) Fyzika kosmického plazmatu a magnetohydrodynamika Kritéria pro existenci plazmatu, Debyeova délka, adiabatické invarianty,vlny v plazmatu, makroskopické vlastnosti plazmatu, Coulombovské srážky, transportní koeficienty: elektrická tepelná vodivost plazmatu, viskozita, zářivé ztráty. Maxwellovy rovnice v MHD přiblížení, soustava MHD rovnic, indukční rovnice, oblast použitelnosti MHD přístupu, vlastnosti indukční rovnice, magnetohydrostatika, magnetická rekonexe. Nestability v plazmatu, kinetický popis plazmatu, Boltzmannova rovnice, Vlasovova rovnice, Fokker- Planckova rovnice, urychlování částic.