IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK

IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK Meí patí mez základí zpsoby získáváí kvattatvích formací o stav sledovaé vely. 4. Chyby meí Nedokoalost metod meí, ašch smysl, omezeá pesost mcích pístroj, promé podmíky meí a další vlvy zpsobjí, že meím emžeme zjstt skteo hodot fyzkálí vely x 0. Rozdíl skteé a ameé hodoty azýváme absoltí chybo meí. Tato chyba má dv složky systematcko a áhodo. 4.. Klasfkace chyb meí Podle pí vzk dlíme chyby do tí skp. Systematcké chyby jso zpsobey požtím evhodé ebo mé vhodé mcí metody, epesým mdlem mcím pístrojem, pípad osobo pozorovatele. Tyto chyby zkresljí mercký výsledek meí zcela pravdelým zpsobem; b jej za stejých podmíek vždy zvtšjí ebo vždy zmešjí a to bez ohled a poet opakovaých meí.asto se aveek eprojevjí a lze je odhalt až p porováí s výsledky z jého pístroje. Exstjí systematcké chyby s asovým tredem, zpsobeé stártím ebo opotebováím mcího pístroje. Píklady: P vážeí ve vzdch je v dsledk Archmédova zákoa zjštá hmotost tlesa vždy meší ež skteá hmotost pro tlesa, jejchž hstota je meší ež hstota závaží. Systematcká chyba vzkla zaedbáím vztlak vzdch a vhodo korekcí (korekce a vakm) j lze odstrat. P meí aptí voltmetrem je zmeé aptí vždy meší ež skteé, protože voltmetr emá ekoe velký vtí odpor. Systematcká chyba má pvod v kostrkc pístroje a lze j odstrat požtím pístroje s vtším vtím odporem. Protože víme z jakých pí systematcké chyby vzkají, mžeme odhadot jejch velkost zaméko a vyhodoceím jejch vlv a výsledek meí je dovedeme odstrat (zavedeím vhodé korekce). Náhodé chyby, které kolísají áhod co do velkost zaméka p opakováí m- eí, vzkají spolpsobeím velkého pot áhodých vlv, které emžeme pedvídat. Náhodé chyby jso popsáy rtým pravdpodobostím rozdleím. Systematcké chyby ovlvjí správost, áhodé pak pesost výsledk. Hrbé chyby (ozaovaé jako vybojící ebo odlehlé hodoty) jso zpsobey výjmeo pío, esprávým zapsáím výsledk, áhlým selháím mcí aparatry, esprávým astaveím podmíek poks apod. Nameá hodota se p opakovaém meí za lší od ostatích hodot. Takové meí je teba ze zpracováí vylot, aby ezkreslovalo výsledek meí. 4.. Náhodé chyby Na rozdíl od hrbých a systematckých chyb, které mžeme správo metodo meí, pesým pístroj a pelvostí práce odstrat, se áhodé chyby vyskytjí zcela zákot p každém meí a emžeme je ovlvt. Na okolostech meí závsí, jak se ke skteé hodot vely pblížíme. 6

Nekotrolovatelé vlvy, které se p opakováí meí mí áhod a ezávsle a vlvech kotrolovaých, jso pío vzk áhodé chyby. Výsledkem meí je hodota vely x, která se od skteé hodoty x 0 lší. Jejch rozdíl je chyba meí ε ε x - x 0. () Chyb ε emžeme kdy staovt, mžeme j poze odhadot. Chyba reá jako rozdíl ameé hodoty a skteé hodoty vely se azývá absoltí chyba. Vyjadjeme j v jedotkách vely. Relatví chyba, defováa vztahem ε ε r,, () x 0 je velo bezrozmro.asto se dává v %. Náhodé chyby, které p opakováí meí kolísají áhod co do velkost zaméka, vzkají spolpsobeím velkého pot áhodých vlv, které emžeme pedvídat. Náhodé chyby se chovají jako áhodé vely a ídí se matematckým zákoy pot pravdpodobost. P velkém pot opakovaých meí tak statstcké zákotost mžeme požít k odhad vlv áhodých chyb a pesost meí. 4..3 Normálí rozdleí Pedpokládejme, že byl korgová vlv systematckých chyb. Vezmeme-l v úvah etost, s ktero je daá hodota amea, a vyeseme-l do graf závslost této etost a hodot vely, zjstíme, že v pípad velkého pot meí (základí sobor) bde kvka hladká a rozdleí ameých hodot dokoale symetrcké. Skteá hodota x 0 odpovídá maxm kvky (obr.). Toto ormálí (tzv. Gassovo) rozdleí vychází z pedpoklad, že výsledá chyba každého meí je výsledkem velkého pot velm malých, avzájem ezávslých chyb kladé záporé odchylky od skteé hodoty jso stej pravdpodobé. Fkce ormálího rozdleí se vádí ejastj ve tvar ϕ ( x) exp σ π kde σ - rozptyl, ( x x ) σ 0, (3) σ - smrodatá odchylka (prmrá odchylka ameé hodoty x od skteé hodoty x 0 ), x - hodota kterého z ekoeéady provedeých meí, ϕ (x) - hstota pravdpodobost hodot vely x. S pomocí fkce ϕ (x) je možé rt pravdpodobost tak, aby ameá vela byla v rtém terval (obr. ). Pokd σ π ( x x ) x 0 + σ 0 exp dx 0, 683 σ, (4) x0 σ pak pravdpodobost, že se ameá hodota achází v terval x 0 σ, x0 + σ, je 68,3 %. V terval x 0 ± σ je to 95 %, mmo terval x 0 ± 3σ bde poze 3 promle hodot. 7

ϕ ( x) σ ϕ ( x) P 68,3% σ < σ P 95,0% σ x 0 Obr. Gassovo rozdleí x x 0-3 σ x 0 - σ x 0 - σ x 0 x 0 + σ x 0 + σ x 0 +3 σ x Obr. Itervaly pravdpodobost U sobor s koeým potem meí (výbrový sobor) mžeme ale mlvt je o ejpravdpodobjší hodot meé vely, která se skteé hodot bde blížt. Jako ejlepší odhad skteé hodoty x 0 požjeme artmetcký prmr x z ameých hodot x, x,.. x. kde x x, (5) poet meí, x hodoty ameých vel (,,.). Jestlže zvtšjeme poet meí, hodota artmetckého prmr se pblžje skteé hodot (obr. 3). Pesto elze opakovaým meím dosáhot lbovol velké pesost výsledk. Míro rozptyl v základím sobor je smrodatá odchylka σ. Rozptyl hodot výbrového sobor charakterzje výbrová smrodatá odchylka s jedoho meí s ( x x). (6) f( x) 50 S rostocím potem meí se pesost meí zvyšje. Proto pro opakovaá meí zavádíme výbrovo smrodato odchylk artmetckého (výb- x 0 x x x rového) prmr s, která závsí a tom, Obr. 3 Vlv pot meí a hodot x jak se od sebe lší x 0 a x (vz obr. 3). Plá kvka zázorje rozložeí hodot x kolem skteé hodoty x 0, zatímcoárkovaé kvky zázorjí rozložeí ameých hodot kolem artmetckého prmr. Z obr. 3 vyplývá, že s rostocím se hodota artmetckého prmr pblžje ke skteé hodot x 0. Výbrovo smrodato odchylk artmetckého prmr vypoteme ze vztah 5 8

s ( x x) ( ). (7) Pozámka: Provádíme-l výpoty a kalklace, je možo vztah pro výpoet smrodaté odchylky s pravt a tvar, který je pro výpoet mé pracý: s x x ( ). Nkteré kalklaky mají zabdovaý program pro výpoet smrodaté odchylky ve tvarech: s x x ebo x x. σ kde zaeí s a σ eodpovídají zaeí v pedchozím text. Nkteré kalklaky mají pípad místo s a σ zaeí σ - a σ. Pak platí: 4..4 Systematcké chyby s s σ. Systematcké chyby zkresljí p opakovaém meí za stejých podmíek hodot meé vely stále stejým zpsobem. Pokd bychom je chtl vylot, msel bychom požít pesjší pístroje ebo zavést korekce. V laboratorím cveí kdy elze teto požadavek splt. Proto provedeme odhad systematckých chyb tak, aby maxmálí chyba, ktero ríme, byla vždy vtší ebo ejvýše rova chyb, které se p meí dopoštíme. Chyby, které se podílejí a systematcké chyb, jso zpsobey omezeo pesostí mcích pístroj a zaízeí, chybo metody a chybo pozorovatele. Odhad chyby každého meí samozejm závsí a kokrétích podmíkách poks a expermetálí zkšeost pozorovatele. Míme-l ap. délk, jejíž velkost se astavje splím kterých podmíek poks, vyskyte se p meí krom chyby teí a stpc ješt chyba v astaveí, která bývá zpravdla mohem vtší ež chyba teí. Obdob bdo chybyteí a stpcích elektrckých mcích pístroj zaedbatelé v chyb, zadaé výrobcem prostedctvím tídy pesost. Z tohoto hledska pozorovatel rovž msí posodt, zda jso chybyteí a stpc meší ež možé chyby áhodé. Poze v tomto pípad lze totž meí opakováím a statstckým zpracováím zpest. Naopak, dostáváme-l p opakovaých meích stále stejé hodoty, ezameá to, že míme pes skteo hodot, ale že chybateí a stpc je mohem vtší ež chyba áhodá a chyb meí msíme odhadot. 4..4. Výrobí údaje Výrobím údajem o chyb je tída pesost elektrckých mcích pístroj a odporových dekád a výrobí tolerace závaží, odpor, kapact kodezátor apod. U aalogových (rkových) mcích pístroj tída pesost rje ejvtší pípsto chyb, se ktero pístroj mí. Je zadaá v procetech rozsah celé stpce a pedstavje absoltí chyb hodoty zmeé p daém rozsah. Tída pesost,5 a stpc voltmetr s rozsahem 60 V zameá, že každá hodota zmeá a tomto rozsah je amea s absoltí chybo ± 0,9 V (,5 % ze 60 V). 9

U dgtálích (íslcových) mcích pístroj je maxmálí chyba dávaá výrobcem staovea ze dvo složek. Jeda je závslá a velkost meé hodoty a je vyjádea v % meé hodoty. Drhá je závslá b a požtém rozsah a ebo vyjádeá potem jedotek (dgt) ejžšího místaíslcového dspleje a zvoleém rozsah. Výrobce dává mcího pístroje METEX M-3850 pro meí stídavého aptí v rozsah 400 mv až 400 V ejvtší pípsto odchylk 0,8 % z meé hodoty a 3 jedotky (dgty) ejžšího místa íslcového dspleje. Zmíme aptí U 49,7 V. Chyba z procetckého údaje je (0,8/00) 49,7 0,3976 V. Údaj t jedotky ejžšího místa íslcového dspleje zameá chyb 0,3 V. Celková chyba (0,3976 + 0,3) 0,6976 V 0,7 V. Relatví chyba ameé hodoty 0,7/49,7 0,040, tj.,4 %. Výrobí tolerace je rovž údaj o chyb. Nap. výrobí tolerace sady aalytckých závaží 0-4 zameá, že každé závaží této sady má svoj hodot zatíže relatví chybo 0,0 %. Údaj a odpor M ± 5 % zameá, že odpor má hodot 00 kω v mezích tolerace ± 5 kω. Nemáme-l k dspozc údaje o pesost mdla, msíme sam odhadot maxmálí chyb ameé hodoty. 4..4. Odhad chybteí a stpc V pesost teí a stpc pístroje (mdla) exstjí jstá omezeí. teí a stpc provádíme tak, abychom získal co ejpesjší výsledek. Nejastj se kazatel velkost m- eé vely a stpc ekryje pímo s žádým dílkem stpce, ale leží ap. mez k-to a (k + ) - í dlcíárko.teá hodota je vtší ež k dílk stpce a meší ež (k + ) dílek. Pro pesjší výsledek velkostteé hodoty v desetách dílk odhadjeme. ídíme se ptom ásledjícím emprckým zásadam: je-l dleí stpce hsté a má-l dlcí árky (rysky) tlsté (šroké), odhadjeme alespo polovy dílk, jso-l dlcí árky dostate teké prot jejch vzdáleostem, je pravdlem odhadovat desety ejmeších dílk stpce, je-l stpce opatea desetým oem - pomoco stpcí, teme pes desety dílk hlaví stpce a odhadjeme polovy deset, má-l pomocá stpce -tové dleí ( > 0), teme pes -ty dílk hlaví stpce a odhadjeme polovy -t. teím a stpc získáme íselý údaj o hodot meé vely s daým potem platých cfer. Posledí platá cfra je ertá, získaá odhadem deset dílk, a je tedy jž zatížea chybo meí. P odhad velkost chybyteí vycházíme z vedeých emprckých pravdel proteí a stpc: odhadjeme-l p teí polov dílk základí stpce, je pmeý odhad chyby 0,5 dílk, odhadjeme-l pteí desety dílk, pmeý odhad chybyí 0, až 0, dílk, má-l stpce pomoco stpc (os), je pravdlem odhadovat chyb a polov zlomk (-ty) dílk, který peteme pes. Píklady odhad chyb pro která mdla jso vedey v tablce.. 30

Mdlo Velkost jedoho dílk Tablka. Chyby ejbžjších mdel Poet dílk pomocé stpce Pesostteí Píklad Odhad chyb skládací metr mm mm 843 mm ± mm ocelové mítko mm 0, mm 74,6 mm ± 0, mm posvé mítko mm 0 0,05 mm 83,85 mm ± 0,05 mm mkrometr 0,5 mm 50 0,005 mm,5 mm ± 0,005 mm stopky 0, s - 0, s 36,9 s ± 0, s teplomr 0, C - 0, C,7 C ± 0, C stpce aal. vah d - 0,5 d 9,5 d ± 0,5 d obchodí váhy 5 g -,5 g 35 g ± 3 g 4. Nejstoty meí Na základ ového pístp k hodoceí pesost meí se základem pro hodoceí výsledk meí staly ejstoty meí. Nejstota meí je parametr pazeý k výsledk meí, dávající terval hodot m- eé vely kolem výsledk meí, který obsahje skteo hodot x 0 meé vely. Nejstota meí zahrje obec moho složek. Nkteré z ch lze vyhodott a základ statstckého rozložeí výsledk sére meí a charakterzovat výbrovo smrodato odchylko. Nejstota se však evztahje poze k výsledkm meí, ale také a mdla, požté kostaty, korekce atd. Nejstoty jso rováy a základ statstckého pístp. Pedpokládá se rté rozdleí pravdpodobost, které popsje, jak se mže ameá hodota meé vely lšt od skteé hodoty. Z tohoto rozdleí pravdpodobost mžeme rt pravdpodobost, s jako se v terval daém ejstoto skteá hodota mže acházet. Míro ejstoty je smrodatá odchylka dávaé hodoty (odhad skteé hodoty). Takto vyjádeá ejstota se ozaje jako stadardí ejstota a dává rozsah hodot -, + okolo ameé (staoveé) hodoty, ve kterém se s dao pravdpodobostí achází skteá hodota (ap. pro ormálí rozdleí je tato pravdpodobost rova 68,3 %). Stadardí ejstoty se podle zdroj, z kterých vzkají, dlí a stadardí ejstoty typ A a stadardí ejstoty typ B. Stadardí ejstoty typ A ( A ) jso zpsobováy áhodým vlvy, jejchž píy ejso zámy. Staovjí se z opakovaých meí rté hodoty daé vely za stále stejých podmíek a základ statstckého pístp. Charakterstcké pro ejstot typ A je, že se její hodota zmešje se zvtšjícím se potem opakovaých meí. Stadardí ejstoty typ B ( B ) vzkají ze zámých a odhadtelých pí. Moho pocházet z rzých zdroj. Jejch reí vychází z odhad systematckých chyb ameých hodot. Stadardí ejstota typ B je dáa odmoco ze sot kvadrát ejstot od!"#$% & '(%&') * *'++,!-".- / * 0 #+#,%&'34%%56 40 7 ' % 5 3

jedotlvých zdroj. Hodoty stadardí ejstoty typ B ezávsí a pot opakovaých m- eí. Shodý pístp k staoveí ejstot typ A B možje slot všechy stadardí ejstoty (tj. typ A a B) do jedé hodoty. Smací kvadrát stadardích ejstot typ A a B se dostae kvadrát kombovaé stadardí ejstoty, která je dáa vztahem A + B. (8) V laborato fyzky bdete výsledek meí ejastj dávat s toto stadardí ejstoto.v prax se doporje dávat ejstoty tervalem, kterého je je malá pravdpodobost, že bde pekroe. Proto se zavádí rozšíeá stadardí ejstota U, která je dáa vztahem U k, (9) kde k je koefcet rozšíeí (koefcet pokrytí). Koveí hodota k se obvykle volí. P k je U, což p ormálím rozdleí pravdpodobost zameá, že skteá hodota leží s pravdpodobostí 95 % v terval, vymezeém rozšíeo ejstoto. 4.. Model meí Z teoretckého hledska lze staoveí hodoty meé vely vyjádt modelem meí. Model meí vyjadje závslost výstpí vely Y (výsledek meí) a vstpích vel- ách (X, X,.. X ). Obec lze pro výsledo vel Y psát Y f (X, X,.. X ). (0) Vztah popsjící meí a pedstavjící model meí má být co ejobecjší a má možovat zahrot všechy vlvy projevjící se a výsledk meí, tedy pracoví prostedí, v kterém meí probíhá a zalost a zkšeost expermetátora. 4.. Stadardí ejstota typ A Stadardí ejstota typ A je rova výbrové smrodaté odchylce s artmetckého prmr ( x x) A s. () ( ) Pokd je poet opakovaých meí meší ež 0 a eí možé t kvalfkovaý odhad a základ zkšeostí, lze stadardí ejstot typ A pblž staovt ze vztah A k s, () s kde k s je koefcet, jehož velkost závsí a pot meí (vz tab.. ). Tablka. Velkost koefcet k s v závslost a pot meí 9 8 7 6 5 4 3 k s,,,3,3,4,7,3 7,0 Z tablky vyplývá, že zmešováí pot meí vede k eúmrém zvyšováí ejstoty. P pot meí meším ež 5 tak mají ameé hodoty poze formatví charakter. 8 *(9:*) 3

4..3 Stadardí ejstota typ B Zdroj stadardích ejstot typ B ( B ) p meí jso zámé a odhadtelé píy. Jso jm edokoalost zpsobeé požtým mcím pístroj a mcí techko, požtým mcím metodam, požtým kostatam, podmíkam, za kterých meí probíhá, edostateým teoretckým zalostm ebo edostateým praktckým zkšeostm. Korelace mez jedotlvým zdroj ejstot typ B p ašch výpotech ebdeme brát v úvah. P odhad stadardí ejstoty typ B Bz ze zdroje Z ejprve odhademe maxmálí rozsah odchylek (zm) ± z max od hodoty vely píslšející zdroj tak, aby pekroeí z max bylo málo pravdpodobé (ap. z výrobích údaj z chyby teí a stpc). V tablce 3 vybereme rozdleí pravdpodobost, které ejlépe vysthje výskyt hodot z v terval ± z max. Pozámka: Volba rozdleí pravdpodobost odchylek z vychází z teoretckých zalostí, zkšeostí ebo jak získaých pozatk o rozdleí velkostí z. Pokd pravdpodobost odchylek s jejch rostocí hodoto klesá a ejvtší pravdpodobost mají odchylky malé, je vhodo aproxmací Gassovo ebo trojúhelíkové (Smpsoovo) rozdleí. V opaém pípad požjeme které rozdleí bmodálí. Rovomré rozdleí požjeme v pípad, kdy pravdpodobost malých velkých odchylek v terval - zmax, + zmax je pblž stejá. Pokd elze odpovd rozhodot o rozložeí pravdpodobost odchylek a lze-l vyjít z pedpoklad, že všechy hodoty z v terval - zmax, + zmax se moho vyskytovat se stejo pravdpodobostí, pak se volí rovomré rozdleí. Teto pípad je ejjedodšší, a proto když páší ejvtší ejstoty, se požívá ejastj. Nejstoty typ B jedotlvých zdroj Z j se rí ze vztah Bz j z j max, (3) Θ kde parametr Θ se odete z tablky 3 pro zvoleé rozdleí pravdpodobost. Odhadté ejstoty jedotlvých zdroj Z j se promítají pes fkí závslost X f (Z, Z j, Z m ) do ejstoty hodoty meé vely X a tvoí její složky x,zj, které se vypoto ze vztah x,zj A x,zj z,j, (4) kde je zj stadardí ejstota odhad vlv zdroje Z j a X Ax, zj koefcet ctlvost. Z j Protože p pímém meí jedé vely lze pedpokládat, že korelace mez jedotlvým zdroj ejstot typ B jso zpravdla zaedbatelé a ostatích meí jsme ekl, že je ebdeme važovat, lze výsledo ejstot typ B staovt podle Gassova zákoa rozdleí ejstot z výraz m m Bx x, z j x, z j z j j j A. (5) 33

4.3 Postpy rováí stadardích ejstot Postp p staoveí stadardích a rozšíeých ejstot se lší podle toho, zda se jedá o pímé epímé meí vely. 4.3. Pímé meí jedé vely P opakovaém meí vely X získáme sér hodot x, x. Výsledkem meí je artmetcký prmr x daý vztahem (5). Stadardí ejstota typ A je rova výbrové smrodaté odchylce artmetckého prmr ( x x) A sx. ( ) Míme-l mé ež 0 hodot, dosadíme do vztah () pro výpoet A koefcet k s z tablky.. Stadardí ejstoty typ B ríme a základ vztah (3) až (5), kombovao ejstot podle vztah (8) a rozšíeo ejstot dle vztah (9). 4.3. Nepímé meí vel asto elze hledao fyzkálí vel mt pímo a msíme j získat z více pímo m- eých vel a základ odpovídajících závslostí. Pedpokládejme yí, že hledaá vela W je fkcí kolka pímo meých vel a kostat: W f (X, Y, Z, V, V, V 3 ), (6) kde X, Y a Z jso pímo meé vely a V, V, V 3 jso kostaty. Pozámka Fkce W obec zahrje kostaty. V laborato fyzky však bdete všechy požté kostaty považovat za pesé, takže se do fkí závslost epromíto. V pípad, že meé vely X, Y, Z bdo staovey z vtšího pot ameých hodot, stedí hodot hledaé vely W získáte, když hodoty meých vel, získaé ze vztah (5), dosadíte do fkce ( X Y Z ) W f,,. (7) Pokd jso meé vely X,Y a Z vzájem ezávslé, mže být výbrová smrodatá odchylka s W vypotea ze vztah W W W W X + Y + Z X X, Y, Z Y X, Y, Z Z X, Y, Z s s s s, (8) kde výrazy v závorkách jso parcálí dervace fkce W, odpovídající koefcetm ctlvost ve vztazích (4) a (5). Aalogcky k rovc (8) platí pro výpoet ejstoty meí W W W W W X + Y + Z X X, Y, Z Y X, Y, Z Z X, Y, Z. (9) V pípad, že která z vel X, Y, Z byla zmea poze jedo, místo stedí hodoty daé vely dosazjte ve vztazích (7) až (9) tto hodot. 34

4.3.3 Staoveí stadardích ejstot pro specálí pípady epímých meí Je-l sovslost mez hledao velo W a pímo meým velam dáa jedodcho fkcí (soet, rozdíl, so, podíl, moca), vedo parcálí dervace podle Gassova zákoa rozdleí chyb zase a jedodcho fkc, takže obdržíme jedodché výrazy pro ejstoty W. W a X W X ± Y a a W X X W W W X + Y X + Y X Y W X k k ( ) k X kde úpravo a rozšíeím zlomkem X X dostaeme W X k X W X W X k. Jestlže po úprav k azveme zlomky relatví X k X X ejstoto daé vely, mžeme zjedodše psát r, W k r, X. W X a Y b X Y W W a + b X Y ebo a + b r, W r, X r, X Obdob dojdeme k výraz pro ejstoty so a podíl. W XY X Y W X + Y + Y X XY X Y W X/Y W W X X Y W X + Y + X Y Y X Y Pokd požjeme relatví ejstot, dostáváme pro so podíl de- tcký výraz +. r, W r, X r, Y Stadardí ejstot mžeme vyjádt v jedotkách meé vely, pak pro bdeme požívat ázev absoltí stadardí ejstota, ebo pomrem absoltí stadardí ejstoty a hodoty píslšé vely, a pak j bdeme azývat relatví stadardí ejstoto. 4.4 Výsledek meí Výsledo hodot vely W zapíšeme ve tvar ( w ) W ± jedotka. W Nejstot meí bdeme zaokrohlovat vždy a jedo platé místo. Výjmko bdo íselé hodoty, mající a zaátk jedk ebo dvojk, ty bdeme zaokrohlovat a dv místa (relatví chyba zaokrohleí). Poet cfer artmetckého prmr omezíme tak, aby ád jeho posledí platé cfry byl stejý jakoád posledííslce ejstoty. 4.5 Zpracováí ameých hodot - praktcké pokyy P meí pelv zapsjte ameé hodoty, abyste se zbyte edopstl hrbých chyb. Sledjte ptom, zda-l se jedotlvé hodoty meí od sebe elší více, ež oekáváte. Zjstíte-l epmeé odchylky, zkotroljte podmíky poks. 35

Zapsjte údaje a tolk míst, kolk mžete odeíst ze stpce (e víc, e mé). Nam- eé hodoty jso eúpláísla! Míte-l jedo, odhadte ejstot meí. Míte-l vícekrát ttéž vel za stejých podmíek, vypoítejte z ameých hodot artmetcký prmr a stadardí ejstot typ A ( A ) podle vztah (5) a (), pípad (). V pípad, že staovjete ejstot typ B ( B ), bde meá vela zapsáa s údajem kombovaé ejstoty (8). Je-l požadováa vyšší pesost, vete rozšíeo ejstot U (9). Nejstot meí zaokrohlete a jed plato cfr vždy smrem ahor (ap. 0,037 a 0,04). Výjmka platí poze pro pípad, kdy ejstota zaíá íslcí ebo (vz bod 4.4). Výsledek meí vádjte a tolk míst, aby ejstota opravovala posledí plato cfr výsledk. Výsledek zapšte ve tvar ( w ) W ± jedotka. W 4.6 Píklady a pravdla. Správý záps eúpléhoísla s ejstoto je d (7,873 ± 0,003) mm.. Nesprávé jso ásledjící zápsy: f (,43 ± 0,78) cm; R (5,7 ± 6) Ω; J (0,040 ± 0,00045) kg m ; C (, ± 0,05) µf. V prvím údaj je poteba obísla zaokrohlt a desety (ejstot smrem ahor). Správý záps: f (,4 ± 0,8) cm. V drhém údaj je výsledek zbyte pesý, ejstota opravje jedotky. Správý záps: R (53 ± 6) Ω. Ve tetím údaj je espráv vedea ejstota. Správý záps: J (0,040 ± 0,000) kg m vádíme údaj a dv desetá místa). (údaj ejstoty zaíáíslcí, proto Ve tvrtém údaj je aopak poteba dopoítat výsledek v setách, protože ejstota opravje až drhé místo za desetoárko. Správý záps: C (,0 ± 0,05) µf. 3. Nla je plato cfro, je-l prosted ísla a mže být plato cfro a koc eúplého ísla. P dáváí velkých ísel emsí být ly a koc ísla platým cfram, ap. v záps U 4000 V jso platé poze prví t cfry. Údaj msíme zapsat tak, že b zvtšíme jedotk (jde-l to: U 4,0 kv) ebo íslo zapíšeme ve tvar mocy deset (U,40 0 4 V), pemž poet platých cfer msíme zachovat. 4. Jso-l platé cfry vzdáley od deseté árky, zapsjeme ísla v semlogartmckém tvar (íslo z terval ( - 0) krát moca deset). Zápsy c (,9979 ± 0,0000) 0 8 m s -, e (,60± 0,00) 0-9 C, jso správé a pehledé. Tetí údaj píklad. bdeme proto psát ve tvar J (,40 ± 0,0) 0 - kg m ; 36

obdob tvrtý údaj mžeme správ zapsat jako C (,0 ± 0,05) 0-6 F. 5. P poítáí s eúplým ísly zaokrohlete výsledek a takový poet platých cfer, aby byl v solad s pesostí výchozíchísel: a) P sítáí a odítáí se výsledek zaokrohlje a posledí platé místo toho ád, který je všech sítac platý. P.: 7, + 0,4-0,78 + 0,09 7,45 7,3. b) P ásobeí a dleí se výsledek zaokrohlje a tolk platých cfer, kolk jch máíslo s ejmeším potem platých cfer. P.: 4,5 x 3,46 83,5659 83,6;,9 : 0,984,344...,3; (4,85) 3 4,0845 4. c) Kostaty (π, e, ) vádíme p výpot s eúplýmísly tak, že vedeme o jed plato cfr více ež máíslo s ejmeším potem platých cfer. P. : π 0,90 7,49 3,46 0,90 7,49 49,908, : 0,080,44 : 0,080 78,567. 4.7 Píklad zpracováí opakovaých meí Píklad Úkol: Zmt výšk válek posvým mítkem a prmr válek mkrometrem. Posvým mítkem míme pes desety mm a odhadjeme polovy deset (0,05 mm). Zmeý údaj msí být zapsá s posledí plato cfro v setách mm. Pesost teí a pomocé stpc mkrometr je 0,5 dílk 0,005 mm a peteý údaj msí být zapsá s posledí plato cfro dávající tsícy mm. A. Píklad výpot stadardí ejstoty pímo meé vely íslo meí h cm Tablka ameých hodot d mm ( d) 3 0 mm ( d) 0 mm 6 5,00 0,005 +,5,5 5,00 0,00 + 6,5 4,5 3 5,00 0,00 + 6,5 7,5 4 5,00 9,995-8,5 7,5 5 5,00 9,990-3,5 8,5 6 5,00 0,000-3,5,5 7 5,00 0,00 + 6,5 4,5 8 5,00 9,980-3,5 55,5 9 5,00 0,005 +,5,5 0 5,00 0,00 + 6,5 7,5 h 5,00 cm d 0,0035 mm ( d ) 45,5 0-6 mm 37

Meí prmr válek d 0 d 0,0035 mm. Protože smrodatá odchylka výbrového prmr je rova stadardí ejstot typ A, platí Ad s d ( d d ) d ( ) Nejstota typ B je dáa vztahem kde B z max Θ, ( ) 0 9 45,5 0 90 6 0,0040 mm. z max - maxmálí odchylka, jejíž pekroeí je málo pravdpodobé, Θ - parametr, jehož hodot pro zvoleé rovomré rozdleí bereme z tablky 3. Pedpokládáme-l chybteí a stpc mkrometr z max 0,005 mm a bereme-l v úvah rovomré rozdleí (Θ 3 ), pak Bd 0,005/ 3 0,0088675 mm. Kombovaá stadardí ejstota d bde + 0, 0040 + 0, 0088675 4,949 0 mm. 3 d A B Velkost prmr válek d zapíšeme po zaokrohleí d (0,004 ± 0,005) mm. P opakovaém meí výšky válek posvým mítkem jsme obdržel pokaždé stejo hodot: h 5,00 cm. Neí to zpsobeo tím, že bychom tak pes ml, ale tím, že áhodé odchylky jso meší ež odchylky vzklé teím a stpc posvého mítka. Nemžeme proto poítat stadardí ejstot typ A. Z odchylky pesostteí posvým mítkem ( z max 0,05 mm) ríme ejstot typ B. Opt pedpokládáme rovomré rozdleí (Θ 3 ): Bh 0,05/ 3 0,08867 mm. Výšk válek zapíšeme ve tvar h (50,0 ± 0,03) mm ebo h (5,00 ± 0,003) cm. B. Píklad výpot stadardí ejstoty pro epímé meí Úkol: Urt objem válek z pedchozího píklad. Objem válek spoítáme ze vztah: V π d h, 4 ( ) V π d h π (,00035 ) 5,00 3,94546 cm 3. 4 4 Nejstot meí objem válek spoítáme podle vztah 38

d h V V a + b d h, kde za d dosadíme kombovao ejstot prmr válek, za h dosadíme ejstot Bh výšky válek, kostaty jso rovy a, b. Potom: V 0, 004949 0, 08867 3 V 3945, 46,444 0 4,55 0, 0035 + 50, mm 3. Výsledek meí V (3945,46 ± 4,55) mm 3 zapíšeme po úprav a zaokrohleí ve tvar: V (3,946 ± 0,005) cm 3. Píklad Úkol: Na základ meí aptí a prod rt velkost odpor. V tablce jso vedey ameé hodoty U, I a vypoteé hodoty odpor. íslo meí Tablka ameých hodot U I R I ( I) 0-4 V ma Ω ma ma,,46 95,98-0,06,56,,45 96,07-0,06 6,76 3,,48 95,8 0,004 0,6 4,,50 95,65 0,04 5,76 5,,49 95,74 0,04,96 U, V I,476 ma R 95, 85 Ω ( I ) 7, 0-4 ma Nejprve spoítáme ejstoty každé pímo meé vely. Z ameých hodot v tablce vyplývá, že stadardí ejstot typ A mžeme rt poze pro hodoty prod. Protože se jedá o pímo meo vel, bde ejstota typ A dáa vztahem A, I 5 ( I ) 4 7, 0 4 5 4 0 0,86 0 0,97 0 ma 0,97 0-5 A. Protože poet meí je meší ež 0, požjeme vztah () a dostaeme pro k s,4: A,I,4 0,97 0-5,978 0-5 A, 0 A, I,6843 0 A. U aalogového ampérmetr tídy pesost jsme požl rozsah ma. Zameá to tedy, že hodoty prod jsme aml s chybo ± 0, ma (0, 0-3 A). Parametr Θ volíme z tablky 3 pro rovomré rozdleí. Nejstot typ B spoteme ze vztah 3 0, 0 3 B, I 0,0698 0 A, 3 0 B I 47,997 A., 0 39

Pro výsledo kombovao ejstot prod platí + I 5 ( ) A, I B, I 0,684 + 47,997 7,0485 0 A. V vedeém vztah je možé zaedbat ejstot A,I, protože je mohem meší ež ejstota B,I. Hodot prod po zaokrohleí zapíšeme ve tvar I (,48 ± 0,07) 0-3 A. Voltmetr má tíd pesost, zvoleý rozsah je, V. Zameá to tedy, že ap ové hodoty jsme aml s chybo ± 0,0 V. Parametr Θ volíme jako ampérmetr pro rovomré rozdleí. Nejstot typ B spoteme ze vztah B, U z Θ 0,0 max 3 6,98 0 3 V. Výsledo hodot aptí zapíšeme ve tvar U (,00 ± 0,007) V. Nezámý odpor spoítáme z Ohmova zákoa ze vztah R U/I. Jedá se tedy o epímé meí a proto msíme p výpot celkové ejstoty vzít v úvah koefcet ctlvost A x,zj (vz (4)), který je defová dervací X A x, zj, takže v ašem pípad dostáváme pro Z j aptí a prod koefcety ctlvost A U a A I U U I A I U U AI. U I I I Výsledá ejstota je dáa poze píspvky ejstot typ B a rí se ze vztah: m U B, R xj Bxj B, U B, I j I I A + 3,00 5 3 ( 6,98 0 ) ( 6,98 0 ),476 0,476 0 + 3 ( ) 0,36445 + 0,33484 0,6999 Ω B,R 0,836 Ω. Hodot odpor R (95,85 ± 0,836) Ω R (95,9 ± 0,9) Ω. zaokrohlíme a zapíšeme ve tvar Nejstot odpor R mžeme spoítat jedodšším zpsobem. Požjeme vztah (vz láek 4.3.3) pro vel dao podílem pímo meých vel. R 5 3,00 U 7,0485 0 6,98 0 3 3 U I + + I I U, 476 0, 476 0,00 Ω 95,85 0,8798 0 0,844 Nameo hodot odpor zapíšeme ve tvar 40

R (95,9 ± 0,9) Ω. Pokd chceme výsledek vést s rozšíeo ejstoto U R, pak a základ vztah (9) platí U R R 0,844,6848 Ω, a výsledek zapíšeme ve tvar R (95,9 ±,7) Ω. Lteratra. Melo M., Mltký J.: Statstcké zpracováí expermetálích dat, East Pblshg Praha, 998. Vítovec J.: Staoveí ejstot meí,mú Praha 3.SN IEC 484 4. Techcký pedps metrologcký TPM 005-93, Staovee estôt p meraach,. a. del,smú, Bratslava 993 4