Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA
|
|
- Daniel Sedláček
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který za daých podmíek musí astat. - jev, který př realzac téhož kompleu podmíek eí možý. NÁHODNÝ JEV JITÝ JEV NEMOŽNÝ JEV. Vztahy mez áhodým jevy Náhodé jevy začíme : A, B, C, A, B, C.. A B tz.: astae A astae B (A je částí B) A B.. B A tz.: ( A B B A) ; ( A B B A) (A a B s jsou rov AB.. A B tz.: astae A a zároveň astae B (průk jevů) A B..4 A B tz.: astae alespoň jede z jevů A ebo B (sjedoceí jevů) A B..5 A - B tz.: astae jev A a zároveň eastae jev B (rozdíl jevů) A B..6 Jev Jstý ozačujeme..7 Jev Nemožý ozačujeme..8 Doplěk jevu A - je opačý jevu A A..9 Dsjuktví jevy (eslučtelé jev tz.: A B Zobecěí :, j : A A j A B Jevy A, A jejchž sjedoceí je jevem jstým tz.: A A A... toto azýváme ULNOU KUINOU JEVU a v případě jejch Vypracoval Hlmak
2 Fakulta elektrotechky a formatky euskutečtelost toto azýváme ULNOU KUINOU NELUCITELNYCH JEVU. latí že: Elemetárí jevy a) Tvoří úplou skupu (úplý systém) eslučtelých jevů. Začíme E Tz.: E E E... j : E E b) V daé stuac ejsou rozkládáy a jevy podrobější. Všechy elemetárí jevy tvoří tzv. základí soubor. A B B A A B A A A A ( A B) A B B A A B B A A A A A A A O A A A A A A A A B A B A B A B j. ravděpodobost áhodého jevu - pravděpodobost áhodého jevu A je číslo (A), které můžeme terpretovat jako míru možost astoupeí áhodého jevu... Aomatcká defce - pravděpodobost je fukce, která každému áhodému jevu přřazuje reálé číslo přčemž splňuje aomy..aom ( A) tz.: ezáporé číslo.aom ravděpodobost sjedoceí početé možy eslučtelých jevů A, A, A áleží je rova součtu pravděpodobost těchto jevů. ( A A A) ( A) ( A) ( A).Aom ravděpodobost jstého jevu () je rova. () Z toho vyplývá:.. Klascká defce A B A B ( A) ( A) ( O) < ( A) ( A) ( B) ( A) ( B) Vypracoval Hlmak
3 ( A) Fakulta elektrotechky a formatky M A M N A počet jevů přízvých jevu A N počet všech možých jevů... tatstcká defce -založea a pozorováí a četost výskytu jevu A, a opakovaých ezávyslích pokusech. Hodotu pravděpodobost jevu A v dostatečě velké sér pokusů. M ( A) M počet výskytů jevu A, N počet ez. okusů N.4 Geometrcká defce -uzavřeá oblast -reálý jev A, A.5 odmíěá pravděpodobost µ µ µ ( ) ( A) A µ ( ) ( A)... míra. jevu. A ( )... míra. oblast. ( A B) pravděpodobost jevu A vzhledem k jevu B (tz.: jev B jž astal) ( A B) A B pro( B) > ( B) ( A B) ( ) ( A B) * ( B) B A z. toho. plye B A ( B) ( A) A B A * B A B * A B Def.: ( ) Odborě: ( ) Bayesův vzorec: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obecě: I A ( A) * ( A A) * ( A A) říklad: Dvě mce Jev A pade a obou RUB Jev B pade a prví RUB Všechy možé jevy: RR, RL, LR, LL ( A) ( B) 4 ( A B) 4 ( A B) ( B) Nezávslost jevů Dva jevy jsou ezávslé, jestlže pravděpodobost jedoho z ch ezávsí a tom zda druhý astal ebo eastal. Matematcká defce: Jev A je ezávslý a jevu B ( A B) ( A) Nezávslost dvou jevů je vždy oboustraá. A B A * B ro ezávslé jevy platí: ( ) ( ) ( ).6 Věta o sčítáí pravděpodobostí ( A B) ( A) ( B) ( A B) Vypracoval Hlmak
4 Fakulta elektrotechky a formatky ro eslučtelé: ( A B) ( A) ( B).7 Věta o úplé pravděpodobost Jev A může astat je tehdy, astae-l právě jede z jevů H, pak platí: H, H, H H tvoří úplý systém eslučtelých jevů U H ( H ) ( A) ( H ) ( A H ) * Jevy H za chž může astat jev A se ěkdy azývají hypotézy jevu A..8 Bayerova věta Nechť je dá jev A, který se muže uskutečt právě za jedu z podmíek o chž učíme hypotézy H, H, H H. Byl provede pokus jehož výsledek bylo ( H ) * ( A H ) ( H ) * ( A H ) astoupeí jevu A pak: ( H A) ( A) H * A H j ( ) ( ) rotože H, H, H H vyčerpávají všechy předpoklady musí platt : ( H A) j j Vypracoval Hlmak 4
5 Fakulta elektrotechky a formatky ravděpodobost zpožděí rychlíku způsobeého techckou závadou je,. Určete pravděpodobost toho, že budou zpožděy alespoň tř vlaky z osmáct sledovaých. a a * * ( ) a Řešeí: - ezávslé Beralho schéma ( ) ( ) a počet testovaých počet zkoumaých Nezpoždí se žády: ( ) *, *(,) Zpozdí se jede: ( ) *, *(,) Zpozdí se dva: ( ) *, *(,) Alespoň tř (doplěk součtu všech do ): () () (), Třkrát vystřelíme a cíl. ravděpodobost zásahu př každém výstřelu je,7. Určete: a) Rozděleí pravděpodobostí počtu zásahů př třech ezávslých výstřelech b) Dstrbučí fukc a sestavte její graf Řešeí: a a a) ezávslé Beralho schéma a( ) * ( ) * ( ) Netrefím žády () *,7 * (,7), 7 Trefím jede () *,7 * (,7), 89 Trefím dva () *,7 * (,7), 44 Trefím všechy tř () *,7 * (,7), 4 očet zásahů (úspěšost),7,89,44,4 b) Zde musíme vědět, že dstrbučí (komulatví) pravděpodobost se sčítá, takže začeme od, další čley abývají velkost plus předchozí čle. Rozděleí a ose je od, postupě podle střel takže do, pak od do,, až od do. F ( ),7,6,657 ( ; (; (; (; (; ) graf: Vypracoval Hlmak 5
6 Fakulta elektrotechky a formatky Vypracoval Hlmak 6 Náhodá velča má v tervalu ( ) ; hustotu pravděpodobost defovaou vztahem: ( ) ( ) b f ;) ;) taovte kostatu b a dstrbučí fukc áhodé velčy. Řešeí: Nejprve musíme staovt hodotu b, kterou zjstíme ze vzorečku ( ) b, ale esmíme zapomeout, že ) ;, takže to musíme vypočítat pomocí tegrálu od do. 7 ) ( ) ( b b b b Druhá část je zjstt dstrbučí fukc áhodé velčy. Záme vzoreček: du u u F ) ( ) (, který zde využjeme. Nesmíme ale zapomeout rozložt tegrál a tegrály, to zameá že můžeme rozdělt hrace. A ještě víme, že O. u u u du u u du u u b du u u F * 7 7 ) ( 7 ) ( ) ( ) ( osledí krok je zapsat dstrbučí fukc: ) *( 7 ) ( F (; (; ; (
7 Fakulta elektrotechky a formatky Rozděleí pravděpodobost áhodé velčy je dáo tabulkou. Najděte středí hodotu a dsperz áhodé velčy Y 5. - p( ),,,,5,5 Řešeí: rví část úkolu je alezeí středí hodoty E. Na tu máme vzoreček E ( * p( )) ( * p( )) ( * p( )) ( 4 * p( 4 )) ( 5 * p( 5 )) ( *,) ( *,) (*,) ( *,5) (*,5),5 E ( ). Když už záme E, tak můžeme vypočítat E Y ze vzorečku Y 5. Vypadá to takhle: Y 5 E( 5 ) E(5) E() 5 E( ) 5 *(,5), 9 E Y E() se pro ás zde rová s E, proto upravíme do fáze, kdy můžeme dosadt. Nesmíme zapomeout, že když máme E(5) (středí hodotu 5tk je 5. Naším druhým úkolem je vypočítat dsperz áhodé velčyy 5. K tomu ám pomaže D ( )... E( ) * ( ebol ROZTYL. vzoreček ( ) D ( ( 5 E (,5) E ) ) * ( * ( ) ( 5 *,5,547 ) (,5) E ) * ( ) ( *, (,5) E ) * ( *, (,5) ) ( 4 E *, (,5) ) * ( osledí věc, kterou uděláme je, že z vlastího rozptylu D ( k) k * D( ). Víme že D() (ebol D) je,547 a máme vztah Y 5, z kterého můžeme odstrat 5 a zbude ám Y. Teď už stačí pouze dosadt: Y 5 a dosadíme do D ( k) k * D( ). - je pro ás k, D() je : D ( k) k * D ( ) ( ).*,547 6, 9 4 ) *,5 Vypracoval Hlmak 7
8 Fakulta elektrotechky a formatky Náhodá velča má kostatí hodotu pravděpodobostí v tervalu (, a), to zameá, že její hustota pravděpodobost má tvar a f ( ) a a použtím vlastostí středí hodoty a rozptylu určete: E, E, D, D. ( ) ( ) ( ) ( ) Řešeí: Zde použjeme druhý důležtý vzoreček, který potřebujeme a to: Nejprve s vypočítáme středí hodotu: a E f ( ) d. a a E f ( ) d d a a ro výpočet využjeme rozptyl D, který ám říká, že když (E) odečteme od E (ebol D E( ( ) a E( ) E ), tak ho získáme. E víme, že je. Takže ám stačí vypočítat E( ). a a a ) f ( ) d Dosadíme do vzorečku: d a a a a a a a D E( ) ( E) a Vypracoval Hlmak 8
9 Fakulta elektrotechky a formatky Dvourozměrá áhodá velča -tedy áhodý vektor(,y) -záko rozděleí pravděpodobost je dá ve formě sdružeé dstrbučí fukce F(, F(,(<, Y< tyto dvě erovost platí zároveň -sdružeá dstrbučí fukce je opět fukcí eklesající, spojtou zleva, a to vzhledem ke každé z áhodých velč. F ( ; F( ; ) F( ; ) a F ( ; ) vyplývá z emožost jevů, Y a z jstoty jevu, Y.-platí: ; y Y y ) ( < ; Y < y ) ( <, Y < y ) ( < ; Yy ) ******** ( ***** -Uvažujeme-l pouze pravděpodobost, že áhodá velča abude hodoty meší ež bez jakékolv podmíky, pro velču Y(hodota této velčy může být jakákolv) potom teto vztah ( <, Y < ) F(, ) F ( ) - Jde jedorozměrou dstrbučí fukc F() azveme margálí (okrajovou) dstrbučí fukcí áhodé velčy. Obdobě pro áhodou velču Y potom platí ( <, Y < F(, FY ( margálí dstrbučí fukce áhodé velčy Y -ro dskrétí áhodé velčy, Y: -družeé pravděpodobost (,Y(, -plňují vztahy:. ezáporé. (, y. (<<,y<y<suma(dole,ahoře ) suma(dole yy ahoře (, margálí (okrajové) pravděpodobost - ( ) (, součet margálích pravděpodobostí y - Y ( (, - oučet sdružeých pravděpodobostí hodoty Y -sdružeé (, a margálí pravděpodobost () a Y ( zapsujeme do tabulky sdružeých a margálích pravděpodobostí /y y y y y y (,y ) (,y ) (,y ) (,y ) ( ) (,y ) (,y ) (,y ) (,y ) ( ) (,y ) (, (,y) (,y ) ( ) R ( R,y ) ( R,y ) ( R,y ) ( R,y ) ( ) Y (y ) Y (y ) Y (y ) Y(y ) Vypracoval Hlmak 9
10 Fakulta elektrotechky a formatky družeá dstrbučí fukce F (, ( t, u) pro dskrétí,y t< u< y F (, f ( t, u) dt du pro spojté Je dvojrozměrá sdružeá hustota pravděpodobost áhodých velč(,y), která splňuje:. f (, všecha,y aleží R jsou ezáporá. f (, ddy, (, y Y < y ) [ f (, d] dy -platí pro otevřeé uzavřeé tervaly. Margálí (okrajové) hustoty jsou y y f ( ) f (, dy f Y ( f (, d -ze zámé dstrbučí (sdružeé) fukce F(, staovíme hustotu pravděpodobost F(, f (, y ř: Na výrobcích měříme délku s přesostí -,5 mm a šířku, mm. Ozačme áhodou velču chybu př měřeí délky a áhodou velču Y chybu př měřeí šířky. družeá hustota pravděpodobostí f(, uvtř mezích chyb je rovoměrě rozložea tedy f(, áleží (-,5;,5); y áleží (-,;,), f(, jde a) určete k b) margálí hustoty pravděpodobost c) určete sdružeou parcálí dervac a margálí dstrbučí fukc d) pravděpodobost, že délku změříme s mamálí chybou -, mm (délka) a zároveň šířku s mamálí chybou -, mm., a) b), f f c) F Y,5,5 ( ) ( F(, kd dy,4k k,5 f (, dy f (, d,, 5 ( ) F( ;,) F ( F(,5; Y y,,,5,5,5dy [,5 y],5d,5,,,5dt dy,5y,5,5y,5 (,5) *(,5y,5),5,, y,,5,5 f ( t, dy dt,5 f (, u) d du,5 y,5 Vypracoval Hlmak
11 Fakulta elektrotechky a formatky d) (,< <,;,< Y <,) F(,;,) F(,;,) F(,;,) F(,;,),45,5,,, Nezávslost áhodých velč - u jevů ( A B) (A) ezávslé ( A B) - defce podmíěé pravděpodobost ( A B) ( B) ( B) - obdobě dvě áhodé velčy a Y jsou ezávslé, jestlže záko rozděleí jedé velčy ezávsí a tom jaké hodoty abyla druhé velča ebol jestlže podmíěý záko rozděleí této velčy se elší od zákoa epodmíěého (margálího) - podmíěá dstrbučí fukce F( ( t, t< a) dskrétí případ F( Y ( ( b) ve spojtém případě F( f Y ( fy ( - y je předem dáo tedy je to dstrbučí fukce jedorozměrá f (, - f ( f Y ( fy ( - Záměou velč vzkají podmíěé zákoy rozděleí velčy Y pro daé y f ( t, dt - Nezávslost velč: jestlže áhodé velčy, Y mají sdružeou dstrbučí fukc F(,, pak áhodé velčy, Y jsou ezávslé právě tehdy a je tehdy jestlže F(, F ( ) * F ( Y - opíšeme-l sdružeé rozděleí pravděpodobostí (, pak jsou ezávslé právě tehdy (, ( ) * Y - opsujeme-l sdružeé rozděleí pravděpodobostí sdružeou hustotou f(, ezávslé f (, f ( ) * f ( Y - Jsou-l áhodé velčy, Y ezávslé pak jejch podmíěá rozděleí jsou rova margálím rozděleí - Například (pro všecha y : F( F ( f ( f ( ) ( ) ( ) Vypracoval Hlmak
12 Fakulta elektrotechky a formatky Charakterstky áhodých velč a) polohy (E, medá, kvatt) E předchozí látky -. počátečí momet kvatl F( p ) f ( ) d p ( < p ) p *p% kvatl Medá středí hodota 5% kvatl F( p ),5 Modus kde mamum f() b) Varablty - D(vlastost předchozí látka) -. cetrálí momet c) Škmost můžeme mít zeškmeí doprava č doleva. cetrálí momet - A ( ) E ([ E] ) ( D) d) Špčatost 4. cetrálí momet - A 4 E 4 ([ E] ) ( D) 4 - směrodatá odchylka δ 4 D - (eces, kurtoss) Charakterstky dvourozměré áhodé velčy - jako v jedorozměrých (polohy, varablty, škmost a to pro každé margálí rozděleí) - dále máme charakterstky podmíěé (Regresí fukce, kedastcká fukce) - charakterstka vzájemého vztahu kovarace (míra těsost) - kovarace patří mez součová momety a defujeme j jako středí hodotu souču odchylek obou velč od jejch středích hodot - cov(, Y ) E[ ( E) *( Y EY) ] ebol cov(, Y ) ( E ) *( y EY ) f (, ddy - cov(, Y ) E( Y ) E * EY ebol cov(, Y ) Na kovarac je založe Koefcet Korelace * y * Ff (, ddy E * EY Koefcet Korelace cov(, Y ) cov(, Y ) cov(, Y ) - ρ (, Y ) ρ(, Y ) D * DY var( ) * var( Y ) ρ( ) ρ( Y ) -koefcet korelace je bez rozměrou charakterstkou měřící těsost vztahu mez dvěma velčam a abývá hodot v tervalu ; ρ (, Y ) - velčy se azývají ekorelovaé - ale pozor! Z toho, že áhodé velčy jsou ekorelovaé, obecě eplye, že jsou ezávslé., Y ρ (, Y ) ; ρ je mírou leárí ezávslostí Vypracoval Hlmak
13 Fakulta elektrotechky a formatky Vlastost cov. cov( a, Y ) cov(, a ) cov( a, a ). cov( a b, a by ) bb cov(, Y ). cov(, ) D 4. cov(, Y ) cov( Y, ) 5. cov(, Y ) E( Y ) E * EY m m 6. cov, j cov(, Yj) j j říklad: f (, y < <, < y < jak cov? ρ? 7 E EY D DY 44 E f ( ) d; EY yf y ( dy D * yf (, ddy * y( E ( Y ) ddy E( ) E DY E( Y ) EY cov(, Y ) E( Y ) E * EY 44 cov(, Y ) ρ (, Y ) - velm slabá epřímá leárí závslost (obě velčy jsou D * DY velm slabě korelovaé) Vypracoval Hlmak
14 Fakulta elektrotechky a formatky Rozděleí pravděpodobostí áhodých velč a) Dskrétích áhodých velč - dskrétí rozděleí ám vzkají - Alteratví rozděleí A (π ) - Alteratví rozděleí astae s pravděp. π a eastae pravdě. -π. A astae A astae Π( ) -π π ( ( ) π ) π - pra pro zkoumáí jevu, které se realzují pouze dvěm varatam dobrého uspech (výskyt výrobku př techcké hodotě, tel. gálu a. pokus. vadého euspech říklad: Úspěch spojeí a. pokus π, (pravděpodobost) úspěch, eúspěch A(,), E,, D,*,77,77 Bomcké rozděleí B(;p) - opakovaé Beoullho pokusy (ezávslost) - sledujeme rozděleí, že jev A astae právě -krát,,,... bomcké rozděleí - p( ) p ( p) p pravděpodobost úspěchu jevu A E p D p( p) - Bomcké rozděleí vzká vlastě složeím u ezávslých velč s alteratvím rozděleím (tj. počet špatých výrobků zjštěých ve výběru výrobku; účost přípravku a subjektech; přpojeí k serveru ezávslých pokusech) - říklad: ažíme se zalogovat a počítač deset ezávslých pokusech. ravděpodobost úspěšého zalogováí a prví pokus,. Určete pravděpodobost, že se ám podaří zalogovat ejvýše dvakrát a akresl pravděpodobostí fukc rozděleí. b(;,) - pravděpodobost, že se alogujují ( ) *,*,77,586 úspěšě je 58,6%. - čísla velm blízko ule (od 7 do ) Vypracoval Hlmak 4
15 Fakulta elektrotechky a formatky ossoovo rozděleí O(λ) - jestlže u bomckého rozděleí je dostatečě velké a p je dostatečě malé λ λ p ( p,; ) pak p ( p)!,,... E λ D λ λ tezta počtu (průměrý očekávaý počet výskytu sledovaého jevu v za jedotku času apř. příjezdy aut k bezíové stac, příchody k obsluze, příchody zákazíků k pokladě) - př: bylo zjštěo př výrobě poly. vláka dojde a zpřádacích strojích za hodu průměrě k ucpáí čtyř trysek, které je uto vymět a vyčstt. Teto počet je áhodá velča s possoovým rozděleím pravděpodobostí s parametrem λ4[hod - ]. Určete pravděpodobost, že bude třeba vymět za : a. rávě dvě trysky b. Nejvýše dvě trysky c. Nakreslete graf rozděleí pravděpodobostí λ λ 4 4 ( ) e e!! 4 4 a. p () e, 465! p F() e e!! 4! 4 4 b. ( ) e, 8 c. Vypracoval Hlmak 5
16 Fakulta elektrotechky a formatky pojtá rozděleí Normálí rozděleí Hustota ( µ ) δ ( ) * e f δ π E µ D δ < < < µ <, δ N ( µ, δ ) ozor!: Kubaová/Lda N ( µ ; δ ) ( vµ ) δ F( ) f ( v) dv * e * dv δ π µ Z N(,) δ Koupt: Krtcké hodoty bla bla bla, Kubaová Epoecálí rozděle Ep ( ) -z ossoova rozděleí jestlže sledujeme jev mez dvěma časovým událostm f ( ) * e F( ) e E D - často je průměrý počet výskytu sledovaého jevu za časovou jedotku - obecě je to doba žvotost ebo doba čekáí a ějakou událost Rovoměré rozděleí - R ( a; b) f ( ) ( a, b) ( b a) ( ) a b b a E D - pravděpodobost je rovoměrě rozdělea a celém tervalu - apříklad odečítáí měřeí a leárí stupc Tebyševova erovost - pro jakoukolv áhodou velču se středí hodota E a varabltou D a ε je D ( E ε) ( µ ε) ε ε - pro jakékolv k ejméě * % k ( µ k * δ; µ k * δ) 5% je v ±,44δ Nejméě 75% je v ± δ Nejméě 88,88% je v ± δ δ leží v tervalu Vypracoval Hlmak 6
17 Fakulta elektrotechky a formatky Záko velkých čísel -jestlže,..., je posloupost podvojě ezávslých áhodých velč mající středí ( ), E( )... E( hodoty E ) a shora ohračeé rozptyly D( ) c, D( ) c... D( ) c kde c je ějaké koečé číslo, potom pro lbovolé lm ( ) E ε (tedy průměr výsledku dostatečě velkého počtu pokusů se bude lbovolě málo lšt od průměru středích hodot) - praktckým důsledkem je možost odhadu teoretckého průměru a základě průměru z dostatečě velkého počtu pokusů (dostatečého počtu pozorováí) Cetrálí lmtí věty - hovoří o asymptotckém rozděleí - zabývá se ormálím zákoem rozděleím jako zákoem lmtím a) Věta Ldeberg-Lévyho tvrdí, že součet (a tedy průměr) vzájemě ezávslých áhodých velč s koečým středím hodotam a rozptyly má pro dost velká přblžě ormálí rozděleí - (,,... ) mají totéž rozděleí se středím hodotam µ a rozptylem tyto lmtí vztahy pro... u 5, platí µ u u ϕ( u) du...( tj. φ( u ) φ( u )) δ u u ϕ -hustota N(,) φ -dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí b) Věta Movre-Laplacedua vyjadřuje kofergec bomckého rozděleí ormálímu rozděleí. p - áhodá velča má B(, p) lm φ( ) - dstrbučí p( p) fukce N(,) - ϕ (u)du - hustota N(,) Vypracoval Hlmak 7
18 Fakulta elektrotechky a formatky Deskrptví (popsá statstka) říklady: tr. 9 ř.:,,5 potřeba Fabe v ltrech/km ( uzlů) 6,8 8, 6,4 8, 5,9 6,8 7,7 5,6 8, 7,8 7, 6,5 5,5 6,6 7,4 6,6 7, 8,6 7, 7, 6,9 7,5 6,4 7, 6,7 5,6 7, 8, 6,7 6,5 M 5,5 Ma 8,6 Ma-M, výběrové varačí rozpětí tr. k, log & 5,9 k & t( ) & Zvolíme 7 tříd: Zj kolkrát je zastoupea Mj Mj fj. <5,5;6,) 5,75 //// 4,. <6,;6,5) 6,5 //,667. <6,5;7,) 6,75 ///////// 9, 4. <7,;7,5) 7,5 /////// 7, 5. <7,5;8,) 7,75 ///, 6. <8,;8,5) 8,5 //// 4, 7. <8,5;9,) 8,75 /, 5,6 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 - polygo četostí (relatvích četostí když a ose Y f) bodový graf - hstogram četost (relátcích četostí) jsou ty obdelíkový graf. Artmetcký průměr: ( 6,8 8,...) & 7,) - (výběrový průměr) Vypracoval Hlmak 8
19 Fakulta elektrotechky a formatky Výběrové charakterstky a) olohy - výběrový průměr / (artmetcký průměr) - výběrový modus (kde ejvětší třídí četost výběru) - výběrový medá prostřed v eklesající posloupost hodot výběru (když sudý počet pak průměr z prostředích hodot) b) Varablty - výběrový rozptyl ( ) - výběrový rozptyl ( ) - výběrová směrodatá odchylka (ěkde ) - výběrová směrodatá odchylka evychýleá - výběrové varačí rozpětí RVAR MA MIN - Náhodý výběr rozměrou áhodou velču (vektor),,... ). (, jsou vzájemě ezávslé a všechy mají stejé rozděleí (tj. totéž v dstrbučí,... F budeme azývat áhodým výběrem v rozsahu z tohoto rozděleí (to je F ). - a základě áhodého výběru se sažíme odhadout rozděleí celého souboru, z kterého výběru vychází fukc ( ) z rozděleí mající dstrbučí fukc ( ) - odhadu E artmetckým průměrem výběru - odhadu D výběrovým rozptylem s výběru - Bodový odhad když odhaduj statstky a parametry jedím číslem. - Odhad metodou mometu -pokud odhaduj pomocí mometů hovoříme - Odhad mamálí věrohodost pokud odhaduj pomocí fukce věrohodost - př bodovém odhadu evíme c o chybě toho odhadu, pokud vím (ebo s z výběru zjstím) o jaké jde rozděleí. Mohu tuto formac využít ke staoveí chyby odhadu (vzká) tervalový odhad (tzv. tervaly spolehlvost) Vypracoval Hlmak 9
20 Fakulta elektrotechky a formatky Vypracoval Hlmak Itervaly spolehlvost pro středí hodotu ormálího rozděleí a) zám δ celého ormálího rozděle (NR) využtí věty.5. str. 44, tj. že áhodá velča! Z / δ µ má N(,) (když je z ), ( δ µ N ebo když ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ µ δ µ δ δ µ δ δ µ δ δ µ < < < < < < < < < / * ; / * / * / * / * / * / * / * / ) ; ( z z z z z z z z z z z Z z z z Z -kde typcký z je (- )*% kvatl N(,)oboustraý terval spolehlvost (- )pro středí hodotu m je takzvaá koefcet spolehlvost (kofdece) - se volí -,95 b) ezámá sgma věta.5.4 str.44, tj. že * T µ má tudetovo rozděleí s - stup volost (když z ), ( δ µ N ebo ) - obdoba jako v a) ( ) µ / ; / t t Iterval spolehlvost pro rozptyl ormálího rozděleí - využjeme věty.5., tj. že * δ χ má χ rozděleý s - stup volost, když výběr z NR (celého ormálího rozděleí) terval spolehlvost pro rozptyl * ; * χ χ I, kde χ je í ) *% / ( je kvatl χ s - stupě volost
21 Fakulta elektrotechky a formatky Jedostraé tervaly spolehlvost Ad a) pro µ, když zám δ I z δ / ; - levostraý (- ) terval spolehlvost I z δ / - pravostraý (- )%í terval spolehlvost pro středí hodotu říklady: ř.. Cea vía ředp. NR pravdě. 99% terval spolehlvost pro středí hodotu NR cey ví, 5, 467 ; s7,968; ( T t ), t, 58,,, s s I,99 t ; t 4,587;57,.. Vypracoval Hlmak
22 Fakulta elektrotechky a formatky evost testů (a -t laech) [t],,,4,,,,6,,4,,8 ) µ,, δ,,5, Z µ má N(,) δ H : µ,t H : µ,t - hlada výzamost,8, Realzace: z *, 6, Testováí hypotéz - statstcká hypotéza je tvrzeí o vlastostech základího souboru, případě více základích souborů, o jehož pravdvost se chceme přesvědčt, přčemž předem evíme jestl je pravdvé ebo e. Vztahuje se buď k tvaru ebo parametrům rozděleí pravděpodobostí základího souboru a můžeme j ověřt testováím. - Nulová hypotéza (H) o Její platost ověřujeme - Alteratví hypotéza(h) o je to co bude platt, když eplatí H - říkáme, že testujeme H prot H - platost H rozhodujeme a základě zvoleé fukce áhodého výběru(,.. ), tato fukce se azývá testovací krtéru Krtcká oblast (KO) - je to podmoža možy hodot testovacího krtéra jejchž pravděpodobost alfa je za předpokladu platost hypotézy, tak malá, že áhodý jev hodota testovacího krtéra pade do krtcké oblast pokládáme za jev emožý Oblast přípustých hodot (OH) - je moža hodot testovaého krtéra, které epatří do KO Krtcká hrace (KH) - odděluje krtckou oblast od oblast přípustých hodot Hlada výzamost testu - - pravděpodobost krtcké oblast ostup pro všechy testy ) vezmu jedu realzac áhodého výběru (,,.. ) ) staovím test ) zvolím (z pravdla,5) 4) a základě (,,.. ) vypočítám realzac áhodé vhodé velčy (krtéra) 5) a základě, kam pade realzace testovací velčy rozhodu zda zamítu A č e (když pade do KO zamítu H; když epade do KO ezamítu H) OZOR! Nezamítutí H, že platí může platl ale taky emusí Vypracoval Hlmak
23 Fakulta elektrotechky a formatky Chyba prvího druhu zamítu H, když H platí ( ) Chyba druhého druhu příjmu H, když H eplatí ( β ) ( β) - síla testu p hodota udává ejžší možou hodotu pro zamítutí H pro daou realzac áhodého výběru Děleí -parametrcké testy (testy výzamost) se týkají parametrů základího souboru -eparametrcké testy (ostatí testy test shod dvoustraé, jedostraé testy jedostraé H : µ, H: µ <,. Testy výzamost.. Jedovýběrový test výzamost pro středí hodotu ormálího rozděleí - též lze použít pro velké výběry,,... H : E k H: E k ( H : µ k H: µ k) a) záme parametr δ Testovací krterum k Z * - má N(,) δ / z O b) ezáme δ k T * - studetovo rozděleí s - stup volost Vypočítám s z výběru s,6,,5 realzace T k,8, t * *,5 s,6,6,5, 6 t OH tedy realzace epadla do KO ezamítám H, a eí tedy důvod (a základě ašeho výběru) zamítout hypotézu, že E, (tedy může být,) I,59;,4 ( ),95 Vypracoval Hlmak
24 má pravdu (může mít pravdu), že δ,? Fakulta elektrotechky a formatky.. Jedovýběrový test výzamost pro rozptyl ormál. rozděleí (,... ) µ, δ, je z NR( ) H : D k H: D k Testovací krtérum: dle věty.5. str. 44 χ má χ - kvadrát rozděleí s - stup volost k χ 6,4 χ χ χ,5 χ χ,5;9,5;9 9,8 χ,79 χ * s *,6 χ,, může mít pravdu. 6,4,759 6,4 9, 8 ezamítáme H a tedy dodavatel Vypracoval Hlmak 4
25 Fakulta elektrotechky a formatky Dvouvýběrový test pro rozptyl.,.. ) z N µ, δ ) ( (, Y,.. Y ) ( Y z N µ, δ ) ( H : D DY H : D DY Testovací krterum F - F-rozděleí s V pra: ma{ F m{,, u stup volost, hrace F,, } } říklad:,5 99,7,, 99,6 Y 99,8 99,9,,7 8 H : D DY H : D DY 8,68,85 ma{, },68 f,495 m{, },85 ro f tabulka a straě 8, Hrace : F 8,885,5;8;8,495 8, 85 epadlo do KO H ezamítáme Vypracoval Hlmak 5
26 Fakulta elektrotechky a formatky Dvouvýběrový test pro rovost středích hodot H : E EY H : E EY a) záme δ a δ Y Testovací krterum: Z - má N(,) δ δ Hledáme obdobě jako Z u jedovýběrových b) ezáme δ a δ, ale předpokládáme, že δ δ H : E EY H : E EY Testovací krterum: T stupě volost Y * ( ) * - tudetovo rozděleí s t ; c) ezáme δ a δ předpokládáme, že δ δ (zjstím F testem a rozptyl H : E EY H : E EY Testovací krterum: T t ; t KH Y ; Vypracoval Hlmak 6
27 Fakulta elektrotechky a formatky říklad: tředa átek ,5 Zde odlšé středí hodoty? (předpoklad NR- ormalta) H : E EY H : E EY 8 67, 85 5, , 5 99, 458, 6 447, 6 )? δ δ H : D DY H : D DY ma f m F,5;;8 { ; } { s ; s } F,5;9,7 447,6 7, ,5 4,8 7,64 4, 8 realzace padla do KO H zamítáme a dále předpokládáme, že rozptyly jsou růzé y 6,775 99, t 4,447 5,69 459,6 7 9,5;,5; t,646-7 t,6-9 t ; t KH ; 5,69 459,6 *,646 *,6 7 9,766 5,69 459, ,447,776 realzace padla do KO H zamítáme středí hodota průjezdu ve středu a v pátek jsou stejé Vypracoval Hlmak 7
28 Fakulta elektrotechky a formatky árový T-test (test pro párové hodoty závslých výběrů) ( ; Y )( ; Y )... ( ; Y ) N ( µ ; µ ; δ; δ ) Hypotéza E EY k převádíme a hypotézu EDk, kde ED je středí hodota příslušých rozdílů H : ED k H : ED k Testovací krtérum: D k T *, D D d KH: studetovo, - st. volost, -, ( Do D) d Č řed,9,94,8,,,9,95,87 o,5,95,97,,4,4,7,77 D -,6 -, -,7 -, -,,5 -,, d,475 d,8745.? Zda se úpravou změí tvrdost k H : ED H : ED D k,475 T * * 8,6,8745 d t,;7,495,6, 4995 H ezamítáme a tedy elze tvrdt, že proces má vlv a tvrdost χ -testy ( ). Test shody O pozorovaé četost. Test ezávslost (z O E χ E očekávaé (teoretcké) E kotgečí tabulk četost říklad: NR µ 7 ; δ,8 (,)? ( ) N µ Z δ. < 5,5;6,). < 6,;6,5) 4 <,875;,5) <,5;,65). < 6,5;7,) 9 <,65;) 4. < 7,;7,5) 7 < ;,65) 5. < 7,5;8.) <,65;,5) 6. < 8,;8,5) 4 <,5;,875) 7. < 8,5;9, é) <,875;,5) 5,5 7,875,8 Ep,56,6,4,4,6,749,7,56 O / (,5) O/ (,875) -Ep,68 4 6, 97 6, 97 4, 86, 86, 47, 9 χ (68,8) 8,8 ( 96,975) 6,97 ( 76,97) 6,97 ( O E),5,59,, -teto příklad eí dokoče!!! Vypracoval Hlmak 8
29 Fakulta elektrotechky a formatky χ ( O E) E z voláí - Č Z B M 4% % % % O E 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) χ,5 5 7,5 4 4,5 tupě volost: r-k- (víme, že r 4, k) χ 7, ajdeme v tabulkách,5; 7,5< 7, 847 H ezamítám, vedoucí může mít pravdu Test ezávslost (z kotgečí tabulk χ ( O E) E říklad.4.7 Dokočeé Změa žvotí úrově vzděláí Zlepší Nezlepší Zhorší Základí tředí Vysoké ,6 8 6,6 9, ,54 8,8 4,8 χ ( 4 56,6) ( 8 8) ( 7 6,6) ( 4 4,45) 56,6 8 6,6 4,45... & 8,556 z s očet stupňů volost: ( )*( ) ( ) *( ) 4 χ,5;4 9,4877 8,556< 9,4877 H ezamítám Vypracoval Hlmak 9
30 Neparametrcké testy,..., spojté, mají F dostav. Fukc Fakulta elektrotechky a formatky ~ -medá (mají stejý) H ~ ~ : c H : c Od všech hodot odečteme c -> posuu medá do >?medá říklad.4. Oktaové číslo testováo vzorků?medá je 98 a, 5 98, 96, , 99,8 96,9 95, 95,6 96, 97,7 98, 98,7 ~ ~ H : 98 H : 98-98, -, -,7,8 -, -,8 -,4 -,9 -,,,7 Když tak vypustím o sdružíme počet o Y4 N- KO<K ebo >K Tabulky: hra u k:;k K<4<K>H ezamítá, medá může být jeda Vypracoval Hlmak
31 Fakulta elektrotechky a formatky Wlcooový testy Jedovýběrový Wlcooový test H F F (e. Dstr. Fukce je symetrcká) : ( ) ( ) H: eí symetrcká (aplkace tež pásový -> jedovýběrový) taré,7,,8,9,5,9,,,,8 Nové,8,9,4,6,6,,,,,6 D -,,,4, -, -,,, -,,,5 8,5 8,5,5,5,5,5, ,5 ořadí z absolutích hodot 6,,,4,5,6,5 y 8,5 8,5,5,5 7 4 y {, } 4,5,5,5,5 4 4>8 >epadla do K>H ezamítáme > emělo vlv 6*, průměr z pořadí Dvouvýběrový Wlcooův test (,,. ) µ ( Y, Y,.. ) H: Dstrbučí fukce jsou stejé H: Dstrbučí fukce jsou rozdílé říklad: cey bezíu testováy u stac v raze a Brě raha,5 (,5),5 (7,5), (4 >,5), (6), (,5) Bro,,7,,5,6 () () ( >,5) (7,5) (9),5 (,5), (5), (,5),6 (,6)?jsou cey v raze a Brě stejé (a hladě vyz.,5) čísla v závorka je pořadí, když jsou stejý, dá se půlka a (7,5 je průměr mez 7 a 8) očet údajů raha m8 očet údajů Bro 6 t,5 7,5,5 6,5,5, t u u,5 5 7,5 9 8 m( ) m * 48 7 / 77 7 m( ) m *... evm Vypracoval Hlmak
32 Regresí aalýza Regresí fukce - E ( Y ) Fakulta elektrotechky a formatky - středí hodota podmíěého hodoceí velčy Y závsí a volbě podmíky (v hodotě velčy ) a je tedy její fukcí. Tato fukce se azývá fukcí regresí velčy Y vzhledem k - ( Y ) yf( y ) E dy - je fukce - Základem regresí aalýzy je a základě áhodého výběru odhadout regresí fukc ebo testovat hypotézy o regresí fukc ebo o parametru této fukce - arametry regresí fukce azýváme regresí parametry ebo též regresí koefcety - Odhad parametrů mám pak umoží předpovědět velču Y pro ějakou daou hodotu - Základím modelem regresí aalýzy je model, kde proměé,,.. k jsou pevým (eáhodým) proměým a áhodé velčy Y mají rozptyl a jsou ezávslé - Jedoduchým modelem leárí regrese budeme azývat model Y β ε ε - jsou ezávslé áhodé velčy pro, které platí středí hodota všecha - - E( ε ), dsperse D ( ε ) δ ε - se azívá áhodá položka (zahruje působeí áhodých vlvů) - římka : y β - se azývá regresí přímka β - její směrce - Nezámé parametry, β, δ - Budeme po řadě začt A, B, - Bodové odhady, β získáme metodou ejmeších čtverců -součet čtverců rezduí (rezduálí součet čtverců) E (efor sum of squares) -? ( Y Y) m ˆ ( Y Y ˆ ) ( Y( A B) ) ( Y A B) ( ) ( Y AY BY A AB B ) ( Y) A B E E A E B ( Y) A B Vypracoval Hlmak
33 Fakulta elektrotechky a formatky E A E - soustava ormálích rovc B Vypracoval Hlmak
34 Fakulta elektrotechky a formatky Řešeím ormálích rovc : Y Y B A Y B A Y B ( Y, ) a regresí přímce!! - dá se ukázat, že E je mmum (dle druhých parcálích dervací větších ež ula) - A,B paremet., β - Nevychýleá (tj. E (B) β a E (A) ) říklad: 4... str. Vzorek Kocetrace v % Ide lomu,9,44 5,6 4,69 5 4,76 6 5,88 7 6,97 8 8,44 9,49,44,4,4,8,6,4,, ) y( ) β b a Y b Y Y,97,6 yˆ,6, 97 ) ro kocetrace 76,% y,6,97* 76,,446 ) určete vyrovaou hodotu deu lomu pro kocetrac 6% 6% y,6,97* 6, 9448 Jak charakterzovat varabltu Y? y b ( Y Y) - charakterzuje celkový rozptyl celkový součet čtverců odchylek Nás ejvíce zajímá součet čtverců odchylek od regresí přímky jako charakterstka rozptylu kolem regresí přímky Vypracoval Hlmak 4
35 Fakulta elektrotechky a formatky ε mají avíc (k ezávslost a stejému rozptylu a ( ) Za předpokladu E ε rozděleí je mamálě věrohodým odhadem parametru δ statstka ˆ δ rez ( Y A B) - tzv. rezduálí rozptyl Kde ( ) Y A B y ) ormálí - je rezduálí součet čtverců e - vysvětluje část celkové varablty, která je způsobea áhodým odchylkam e ( Y Y ˆ ) ( Y A B) Zbytek tzv. vysvětltelý regresí součet čtverců odchylek t ( ˆ ) ( ) Y Y A B Y t y t e y ( Y ˆ Y) ( Y Y ˆ) odíl vysvětleé část rozptylu celkovému rozptylu vyjadřuje de determace (pozor I koefcet determace a udává jaká část eí vysvětlea regresím modelem ) Ide determace určuje jakou část varablty lze vysvětlt daým modelem, abývá hodot <,> Např. I, 9 zameá, že 9% varablty lze vysvětlt regresím modelem a zbylých % je vlvem áhodého kolísáí I t y Vypracoval Hlmak 5
36 Fakulta elektrotechky a formatky Test B HO : β β H : β β β β T ( ; ) - studetovo s - stup volost mez : H H : : β H: β y H y Learzace regresích fukcí - je to trasformací -> převedu a leárí fukc l y l a b *l b - apř. y a zlogartmováím y l y... l y a b Korelačí aalýza -aalýza těsost vazby mez velčam cov(, Y ) -,Y ρ, Y D DY Výběrový koefcet korelace - echť je dá dvojrozměrý áhodý výběr (( Y )(,, Y ),.. (, ) - R Y cov(, Y ), (, Y ) ( )( Y Y) - ( ) Y Y Y Y - ( ) Vlastost R, : Y, Y cov - výběrová kovarace. R, Y,. R, Y RY,. R a b, cy d R, Y pro ac> 4. R a b, cy d R, Y pro ac< ρ test - ( )( ) ( ) ze zákl. souboru (,Y) -které mají N ( µ µ ; δδ )! - H : ρ H : ρ Nekotrolovaé eí leárí závslost kotrolovaé je leárí závslost Za předpokladu NR ρ R T R * má studetovo rozděleí s - stupě volost Vypracoval Hlmak 6
37 Fakulta elektrotechky a formatky Když evím zda,y mají NR, ebo chc obecě jou záv. Než leárí (mootoí fukce) aplkujeme pearmaův test (vychází z pořadí hodot, y porováí) R - spearmaův korelačí koefcet 6 R R pořadí jedoho výběru, Q pořadí druhého výběru R Q ( ) ( ) H: eí korelace H: je korelace R.. V tabulkách krtcké hrace pro růzá říklad 5.4. (pořadí v NHL) Y (příjem),75,5,9,,5,,,88 ( R Q) R * 8( 64),5 R, 95 ( ), 4,5,4 <, 695 ezamítáme H eí korelace mez pořadím a příjmem Vypracoval Hlmak 7
38 Fakulta elektrotechky a formatky říklad 5.4.,5?korelace mez,y Za předpokladu, že,y mají NR (ormálí rozděleí) Y,,9,5,5,,6,9,5,9 H : ρ H : ρ R T R * má studetovo rozděleí s - stupě volost Y Y ( )( Y Y) r &,45 r * Y Y ( ) * ( Y Y),<, 6 ezamítáme velčy jsou ekorelovaé (tj. eí leárí závslost mez,y) Druhy způsob: Y,,9,5,5,,6,9, ( R Q) R 6 *&,994 () R,664,994 <, 664 H ezamítáme eí korelace,5 Vypracoval Hlmak 8
39 Metody odhadu: mometů ma. věrohodost jé (apř. Baysova metoda) φ - skutečá hodota parametru φˆ - jeho odhad. odhad je kozstetí - ˆ φ φ < ε lm ε ( ) & hodotě podle pravděpodobost). odhad je evychýleý - E ( ˆ φ ) φ. odhad je defektví - D ( φˆ ) m Metoda ma. věrohodost Fukce věrohodost L (,,.. ; φ) π p π f ( ; φ) ( ; φ) -, Mamalzujeme L - tedy dφ N ( ) L ( ) µ,δ (,.. ; µ ; δ) Fakulta elektrotechky a formatky,.. - realzace, d L (tj. s rostoucím výběru koverguje odhad ke skutečé ( µ ) δ f * e (, ) δ π ( µ ) δ, π * e δ π π - zkratka pro ásobeí ( π *.. ( µ ) l L(,,.. ; µ ; δ) l lδ l e -l e π δ L? L? µ δ -vypočítají se tyhle dvě parcálí dervace Vypracoval Hlmak 9
1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
VíceTesty statistických hypotéz
Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
Více9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:
9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceHYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.
HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceStatistika - vícerozměrné metody
Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceAPLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU
VíceSměrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu
Směrce /0 Stattcké vyhodocováí dat, verze 4 Verze 4 e hodá e Směrcí /0 verze 3, ouze byla rozšířea o robutí aalýzu. Stattcké metody ro zkoušeí zůoblot Cílem tattcké aalýzy výledků zkoušek ř zkouškách zůoblot
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceAktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)
Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceVýsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá
Více1. Základy počtu pravděpodobnosti:
www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
VícePravděpodobnost a statistika - absolutní minumum
Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
Více10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI
Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA
Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu
VíceUniverzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní
Uverzta Pardubce Fakulta ekoomcko-správí ANALÝZA TRESTNÝCH ČINŮ PROTI ŽIVOTU A ZDRAVÍ V ČR Moka Papoušková Bakalářská práce 00 Prohlášeí Prohlašuj, že jsem tuto prác vypracovala samostatě. Veškeré lterárí
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko
VíceUniverzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní
Uverzta Pardubce Fakulta ekoomcko-správí Regresí aalýza vývoje mě Vsegrádské čtyřky vůč euru od roku 993 Pavel Šálek Bakalářská práce 00 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceMěřící technika - MT úvod
Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače
VíceSoustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný
Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceIV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK
IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK Meí patí mez základí zpsoby získáváí kvattatvích formací o stav sledovaé vely. 4. Chyby meí Nedokoalost metod meí, ašch smysl, omezeá pesost mcích pístroj, promé
VíceFLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy
FLUORIMETRIE Ja Fährch Obecé základ Fluormetre je aaltcká metoda vužívající schopost ěkterých látek vsílat (emtovat) po předchozím převedeí do vzbuzeého (exctovaého) stavu fluorescečí zářeí v ultrafalové
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceÚvod do zpracování měření
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme
VíceElementární úvod do vyšší algebry
Část III. Elemetárí úvod do vyšší algebry Mgr. Davd Zoul 202 2 Obsah Spektrum operátoru 7 Defce spektra operátoru 7 Defce spektrálího poloměru operátoru 7 Prví věta spektra 7 Druhá věta spektra Třetí věta
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
VíceÚkol měření. Použité přístroje a pomůcky. Tabulky a výpočty
Úkol měřeí ) Na základě vějšího fotoelektrického pole staovte velikost Plackovy kostaty h. ) Určete mezí kmitočet a výstupí práci materiálu fotokatody použité fotoky. Porovejte tuto hodotu s výstupími
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
Víceij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů
1 7 KORELACE Pro vyádřeí itezity vztahů ezi složkai ξ ξ -rozěrého áhodého vektoru 1 ξ se používá korelačích koeficietů Data tvoří áhodý výběr z -rozěrého rozděleí áhodého vektoru ξ Neuvažue se obyčeě a
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceStatistické zpracování dat
Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
VíceOdhady a testy hypotéz o regresních přímkách
Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu
2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
VíceMatice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1
Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
VíceOBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCHU POTISKOVANÝCH MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝCH PLOCH
OBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCU POTISKOVANÝC MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝC PLOC Zmeškal Oldřich, Marti Julíe Tomáš Bžatek Ústav fyzikálí a spotřebí chemie, Fakulta chemická, Vysoké učeí techické v Brě, Purkyňova 8, 62
VíceTéma 6: Indexy a diference
dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
VíceIV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...
IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Více7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:
7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme
VíceÚvod do lineárního programování
Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Více