ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ POGAY S KOBINOVANOU OOU STUDIA

2 Slové soustavy Jří Kytýr, Zbyěk Keršer, ostslav Zídek, Zbyěk Vlk, Bro (48) -

3 Obsah OBSAH Úvod...5. Cíle...5. Požadovaé zalost Doba potřebá ke studu Klíčová slova...5 Úvod do stavebí mechaky...7. Základí pojmy a prcpy...7. echaka pevých těles Výpočty osých stavebích kostrukcí Statka dokoale tuhých těles Aomy statky Slové soustavy Síla omet síly Dvojce sl Druhy slových soustav Základí úlohy ové soustavy sl Síly ve společém paprsku ový svazek sl Dvě síly působící v jedom bodu Svazek sl Statcký momet síly k bodu v rově Síla, dvojce sl a momet v rově Dvojce sl Síla a dvojce sl (momet) v rově edukce síly k bodu Obecá rová soustava sl Soustava rovoběžých sl v rově Prostorové soustavy sl Pravoúhlé složky síly v prostoru ozklad síly do pravoúhlých složek Tř síly se společým působštěm Prostorový svazek sl Statcký momet síly k bodu v prostoru Statcký momet síly k ose v prostoru Dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Soustava rovoběžých sl v prostoru (48) -

4 Slové soustavy 5 Studjí pramey Sezam použté lteratury Sezam doplňkové studjí lteratury Odkazy a další studjí zdroje a pramey (48) -

5 Úvod Úvod. Cíle V tomto prvím modulu Základů stavebí mechaky shreme pozatky z fyzky týkající se vektorů, sl a jejch působeí, mometu síly, rovováhy apod. Pro potřeby stavebí mechaky je rozšíříme a úroveň potřebou ke zvládutí avazujících témat v předmětech Statka a Pružost a pevost. Ve fále budou aším cílem výpočty poskytující údaje pro dmezováí osých stavebích kostrukcí podle použtého materálu (kov, beto, dřevo atd.). Ve druhém modulu se zaměříme a výpočet polohy těžště a kvadratckých mometů rových obrazců. Ve třetím a čtvrtém modulu Základů stavebí mechaky se budeme zabývat řešeím statcky určtých kostrukcí, v předmětu Statka pak řešeím statcky eurčtých kostrukcí.. Požadovaé zalost Základy stavebí mechaky avazují a zalost obecé fyzky. Studet by měl být obezáme s pojmy skalár, vektor a operace s m, síla, Newtoovy zákoy a jejch užtí, momet síly, rovováha sl a mometů sl. Z matematckého aparátu využjeme goometrcké fukce, vektorový počet, dferecálí a tegrálí počet včetě ázorého výzamu dervace jako směrce fukce a tegrálu jako plošého obsahu pod grafem fukce..3 Doba potřebá ke studu odul obsahuje látku probíraou ve dvou týdech semestru. Doba potřebá k astudováí jedotlvých kaptol č odstavců se lší od ěkolka mut do ěkolka desítek mut. Záleží to jedak a předchozí průpravě studeta v příslušé oblast, jedak a obtížost daého tématu. Potřebá doba ke studu celého tetu čí 0 až 5 hod..4 Klíčová slova mechaka, statka, pružost, síla, statcký momet síly, dvojce sl, slová soustava, ekvvalece, rovováha - 5 (48) -

6 Slové soustavy - 6 (48) -

7 Úvod do stavebí mechaky Úvod do stavebí mechaky Vědí obor echaka jako součást fyzky se zabývá zkoumáím mechackých jevů. echaka zahruje kematku a dyamku, jejíž součástí je statka. Stavebí mechaka se v obvyklém pojetí čleí a statku a dyamku stavebích kostrukcí, teor pružost a plastcty, hydromechaku apod. Statka stavebích kostrukcí zkoumá podmíky rovováhy kostrukcí a všech působících vějších sl, dyamka stavebích kostrukcí řeší dyamcké účky vějších sl měících se v čase, teore pružost a plastcty se zabývá určováím deformací a apětí v částech kostrukce za pružého č plastckého stavu. Cílem Stavebí mechaky je optmálí ávrh stavebí kostrukce tak, aby bezpečě přeesla statcké dyamcké zatížeí, vykazovala přípusté deformace a splňovala krtéra hospodárost.. Základí pojmy a prcpy echaka studuje mechacký pohyb hmotých těles. Zvláštím případem mechackého pohybu je relatví kld tělesa. Pohyb tělesa se děje v prostoru a času působeím sl. Vychází se z klascké Newtoovy mechaky, jejímž základe jsou tř základí Newtoovy zákoy prcp setrvačost, prcp změy hybost (síly) a prcp akce a reakce. Posledě uvedeý prcp je základím zákoem statky. Z dalších prcpů se v leárí mechace aplkuje prcp superpozce účků (jedotlvé účky lze algebracky č vektorově sčítat) a prcp úměrost (k ásobě větší síla vyvolá k ásobě větší úček). Prostor je geometrcky eomezeé spojté prostředí, v ěmž estují hmoté objekty. Pro oretac v prostoru se volí souřadcová soustava. Zde se předpokládá trojrozměrý eukldovský prostor, v ěmž zavádíme ortogoálí (pravoúhlou) pravotočvou souřadcovou soustavu se třem osam, y, z avzájem kolmým. Užtečou fyzkálí abstrakcí je hmotý bod. Pomocí ěho je formulováa větša základích vět klascké mechaky. Přsuzuje se mu ulový momet hybost k ose procházející jeho středem, tedy ulový momet setrvačost. Hmoté těleso se představuje jako moža velkého počtu vzájemě vázaých hmotých bodů. Neměí-l se vzájemé vzdáleost hmotých bodů, hovoří se o dokoale tuhém tělese, které se účkem vějších sl edeformuje. Je podstaté rozlšt, kdy je možo reálá tělesa pro účely výpočtu považovat za dokoale tuhá a kdy kolv. Ve statce lze těleso považovat za dokoale tuhé, jestlže se jeho deformace projeví zaedbatelým vlvem a velkost reakcí ve vazbách tělesa s okolím. V řadě případů statckých a pružostích řešeí je však ezbyté uplatt poddajost těles. V dyamce je otázka aplkace tuhého tělesa podstatě složtější. Hmotý bod, dokoale tuhé těleso, dokoale tuhá deska v rově a osamělá síla jsou ejdůležtější abstraktí pojmy ve statce pevých dokoale tuhých těles. - 7 (48) -

8 Slové soustavy. echaka pevých těles echaka aplkovaá a stavebí kostrukce se azývá stavebí mechaka. Pojedává o výpočtech osých stavebích kostrukcí. Ty se zpravdla acházejí v kldu a splňují podmíky rovováhy. Řešeím prutových kostrukcí bez vlvu dyamckých účků se zabývá statka stavebích kostrukcí. Naopak dyamcké účky vějších sl vyšetřuje stavebí dyamka. Př vyšetřováí kostrukcí je uté přhlížet k jejch přetvořeí (deformac). Výpočet deformací a apětí za pružého plastckého stavu patří do teore pružost a plastcty. Uvedeé vědí dscplíy se avzájem prolíají a eí možé mez m určt přesé hrace..3 Výpočty osých stavebích kostrukcí Komplkovaost skutečých dějů v reálých mechackých soustavách vede k utost vytvořt přměřeě zjedodušeý fyzkálí model. Čím má být model výstžější, tím je komplkovaější a tím též obtížěj matematcky zpracovatelý. yzkálí model je vždy kompromsem. Struktura fyzkálího modelu rozhoduje o přesost získaých výsledků a o výpočtové postžtelost sledovaých jevů. Z fyzkálího modelu se odvozuje model výpočtový (matematcký). Te představuje příslušou soustavu rovc, jejímž řešeím je řešeí daého problému. V závěrečé aalýze výsledků řešeí se opět uplatí mechacká terpretace pro dmezováí osé stavebí kostrukce..4 Statka dokoale tuhých těles Pod dokoale tuhým tělesem rozumíme takové těleso, které eměí svůj tvar, působí-l a ě zcela lbovolá soustava sl. Je-l jede rozměr (apř. tloušťka d) dokoale tuhého tělesa mohem meší ež zbývající délkové rozměry, hovoříme o dokoale tuhé desce. Desku se souměrě rozložeou hmotostí podle rovy souměrost desky včetě souměrě působícího zatížeí azýváme dokoale tuhou deskou v rově. Přtom pohyb desky probíhá tak, že body rovy souměrost zůstávají stále v této rově. Pojem dokoale tuhá deska je abstraktí a musíme ho odlšovat od pojmu deska ve smyslu teore pružost, kde se jedá o plošý útvar příčě zatěžovaý. Dokoale tuhá deska spíše přpomíá to, co se v teor pružost ozačuje jako stěa. Dokoale tuhou desku, jejíž jede rozměr l začě převládá ad příčým rozměry d a h, vyšetřujeme jako prut. Prut uložeý pomocí vazeb se ejčastěj ozačuje jako osík. - 8 (48) -

9 Úvod do stavebí mechaky.5 Aomy statky Pro soustavu sl působící a dokoale tuhé těleso platí ásledující aomy. Aom o rovoběžíku sl: Vektor výsledce dvou sl a, působících a tuhé těleso v jedom bodu m (obr..), je tvoře úhlopříčkou rovoběžíku o straách rových délkám vektorů sl a. Platí + +. (.) Obr..: ovoběžík sl Aom o rovováze dvou sl: Dvě síly a, působící a tuhé těleso (obr..), jsou v rovováze je tehdy, jsou-l stejě velké, opačého smyslu a působí-l v jedom paprsku, tedy + 0. (.) Obr..: ovováha dvou sl Aom o přdáí rovovážé soustavy: K tělesu lze přdat rovovážou soustavu sl, až by se tím změl pohybový stav tuhého tělesa (obr..3). Obr..3: Změa působště síly Poučka o působšt síly: Vyplývá z druhého a třetího aomu vz obr..3. Působště m síly lze posuout do lbovolého bodu m jejího paprsku, až by se tím změl úček síly a těleso. Dokážeme to tak, že echáme - 9 (48) -

10 Slové soustavy v bodu m paprsku působt rovovážou soustavu sl, 3 tak, aby 3. Pak podle třetího aomu lze odejmout od tělesa rovovážou soustavu sl, 3 a zbude síla v ovém působšt m..6 Slové soustavy Pojem osamělá síla je jede z ejdůležtějších abstraktích pojmů ve statce pevých dokoale tuhých těles..6. Síla Pojem síly vzkl abstrakcí subjektvího poctu tlaku č tahu př vyvozováí slového účku člověkem a těleso. yzkálě se síla chápe jako vektor, k jehož určeí je potřebé zadat velkost, působště, směr a smysl. Přímka, v íž vektor síly leží, je paprskem (ostelkou) síly. Jedotkou pro měřeí velkost síly je ewto ( N kg m s ). Ve vazbách mez tělesy soustavy rozlšujeme síly akčí a reakčí, síly pracoví koají prác př elemetárím pohybu soustavy a síly vazbové ekoají prác a jsou složkam vazbových reakcí. Sílu (obr..4) jako vektor lze rozložt do složek, y, z v souřadcových osách, y, z ortogoálího souřadcového systému promítutím vektoru síly do těchto os. Složky, y, z jsou skaláry. Začí-l, j, k jedotkové vektory ve směru souřadcových os, platí + j y + k z. (.3) Obr..4: Síla v pravoúhlém pravotočvém souřadcovém systému Velkost síly pak (s představou tělesové úhlopříčky kvádru) je + +. (.4) y z Pro směrové úhly α, β, γ, odměřovaé ve třech růzých rovách určeých paprskem síly a rovoběžkam s jedotlvým souřadcovým osam (kladým poloosam), platí y z cos α, cos β, cosγ (.5) - 0 (48) -

11 Úvod do stavebí mechaky a vždy musí být s uvážeím (.4) splěa podmíka cos α + cos β + cos γ. (.6) Složky, y, z lze vyjádřt jako skalárí souč vektoru a příslušých jedotkových vektorů, y j, z k (.7) ebo častěj z výrazů (.5) cosα, y cos β, z cosγ. (.8) Ve smyslu matcového počtu lze sílu o složkách, y, z považovat za sloupcovou matc (vektor) {,, } T y y z, (.9) z zapsovaý často pro úsporu místa formou řádkového vektoru s traspozčím zamékem T. Grafcky se síla vyjadřuje oretovaou úsečkou, jejíž délka je v příslušém měřítku dáa velkostí síly..6. omet síly Začí-l (obr..5) r polohový vektor (průvodč) působště m síly, pak velča s vyjadřuje (statcký) momet síly k bodu s (mometovému středu) a je dáa vektorovým součem s r. (.0) Obr..5: Statcký momet síly k mometovému středu omet síly je vektor vázaý a bod s, kolmý a rovu daou vektory r a. Je oretovaý tak, že př pohledu prot (zdvojeé) špce vektoru s se jeví pootočeí ze směru r do směru v kladém smyslu, tj. prot smyslu pohybu hodových ručček. yzkálě vyjadřuje momet míru točvého účku síly k bodu s. omet síly k bodu s se eměí, posueme-l sílu v jejím paprsku. Velkost mometu je r sϕ r s ϕ r s ϕ p [N m]. (.) s - (48) -

12 Slové soustavy Podle (.) lze tedy velkost mometu určt skalárím součem velkost síly a ramee p (délky kolmce spuštěé z bodu s a paprsek síly ), což představuje plošý obsah rovoběžíku sestrojeého z vektorů r a (a obr..5 je vyšrafová). omet O síly k ose (přímce) O vyjadřuje její točvý úček vzhledem k této ose. K určeí mometu zvolíme a ose vhodý lbovolý bod, k ěmuž určíme momet podle vztahu (.0). Vektor tohoto mometu pak promíteme do směru osy O a získáme tak hledaý momet k ose. Síla rozložeá do složek podle výrazu (.3) má k lbovolému bodu momet r (r ) + (r j) y + (r k) z. (.) Pak Vargoova (mometová) věta, vyjadřující vztah mez mometem síly a momety jejích složek, zí: omet síly k lbovolému bodu je vektorovým součtem mometů složek této síly k témuž bodu..6.3 Dvojce sl Perre Vargo (654 7) působl jako profesor a Collége azar a byl čleem Akademe. Zabýval se matematkou, fyzkou, hydraulkou, astroomí a flosofí. V roce 75 vyšla jeho kha Nová mechaka ebol statka, obsahující statku tuhých těles, založeá a rovoběžíku sl. Za zmíku možá stojí, že mometovou větu, v podstatě záko páky, zformuloval Archmédes (87 př. Kr.), ejvětší matematk a mechak starověku, a to takto: Nestejá závaží jsou a páce v rovováze je tehdy, jsou-l epřímo úměrá rameům, a chž jsou zavěšeá. Dvojce sl (slová dvojce) je specálí soustavou dvou sl stejé velkost a směru, ale opačého smyslu, eležících a stejém paprsku (obr..6). Př vzdáleost p paprsků obou sl je mohutost točvého účku dvojce sl vyjádřea mometem dvojce sl o velkost p. (.3) Obr..6: Dvojce sl - (48) -

13 Úvod do stavebí mechaky Vektor je vztyčeý kolmo a rovu dvojce sl tak, že př pohledu prot špce vektoru otáčí dvojce v kladém smyslu. Ke všem bodům rovy dvojce prostoru je momet dvojce sl stejý a ezávsí a paprscích sl. Lze jej lbovolě přemísťovat v prostoru př zachováí jeho směru a smyslu, proto se azývá volým vektorem..6.4 Druhy slových soustav Slové soustavy rozdělujeme podle růzých hledsek: Podle polohy jedotlvých sl rozezáváme soustavy přímkové, D všechy síly soustavy působí v jedé přímce, rové, D paprsky všech sl soustavy leží v jedé rově, prostorové, 3D paprsky sl soustavy leží obecě v prostoru. Podle působšť sl rozlšujeme obecou soustavu sl paprsky sl mají zcela lbovolé polohy, svazek sl všechy síly soustavy mají společé působště, paprsky všech sl se protíají v jedom bodu, soustavu rovoběžých sl paprsky sl jsou rovoběžé, průsečík paprsků leží v ekoeču..6.5 Základí úlohy U každé slové soustavy můžeme řešt tyto základí úlohy: ekvvalec daou soustavu sl ahradt výsledcí (slou, mometem) ebo jou soustavou sl, tedy: ahrazeí daé soustavy sl výsledcí, ahrazeí daé síly soustavou sl zadaých paprsky (rozklad síly), ahrazeí daé soustavy sl jou soustavou sl se zadaým paprsky. rovováhu uvést soustavu do rovováhy tak, aby výsledý úček byl ulový. Jedá se o úlohy: zrušeí daé soustavy sl rovovážou slou, zrušeí daé síly soustavou sl zadaých paprsky, zrušeí daé soustavy sl jou soustavou sl se zadaým paprsky. ovováhu využjeme př řešeí složek reakcí, obecě zapsaou rovcí m + P 0. (.4) k k Odpovídající podmíky, jmž musí soustava sl vyhovovat, se azývají podmíky ekvvalece resp. podmíky rovováhy. - 3 (48) -

14 Slové soustavy Shrutí Sezáml jsme se s úvodem do úloh stavebí mechaky a se základím pojmy, aomy a prcpy, kterých k řešeí těchto úloh používáme. Osvětleo bylo zacházeí s pojmy osamělá síla a momet síly, resp. dvojce sl, a kterých bude také s užtím Vargoovy věty postaveo vyšetřováí slových soustav v rově v prostoru. - 4 (48) -

15 ové soustavy sl 3 ové soustavy sl ez rové slové soustavy řadíme: soustavu sl ve společém paprsku (přímková soustava), svazek sl (soustava sl se společým působštěm), obecou soustavu sl (síly působící porůzu v rově), soustavu rovoběžých sl. 3. Síly ve společém paprsku Jako specálí případ rové (ale prostorové) soustavy sl lze uvažovat síly, jejchž působště leží a jedé přímce a paprsky těchto sl jsou totožé s přímkou (obr. 3.). Protože působště m každé síly lze posuout do lbovolého bodu m přímky (vz odst..5), získáme soustavu sl působících v jedom bodu. Tuto soustavu výhodě využjeme u svazku sl po rozkladu jedotlvých sl do pravoúhlých složek. Obr. 3.: Síly působící ve společém paprsku Výsledce soustavy sl (,, ) působících ve společém bodu paprsku je dáa jejch vektorovým součtem (3.) Pro velkost výsledce (obr. 3.) platí algebracký součet + +. (3.) ovováha soustavy sl ve společém paprsku astae, platí-l 0, (3.3) ebol algebracký součet velkostí všech sl (obr. 3.) je rove ule (3.4) Soustavu s výsledcí 0 lze uvést do rovováhy slou opačé velkost. Otázky. V jakém případě jsou dvě síly v rovováze? - 5 (48) -

16 Slové soustavy 3. ový svazek sl Nejprve vyřešíme výsledý úček dvou růzoběžých sl působících v jedom bodu a ásledě budeme vyšetřovat obecý případ soustavy více sl se společým působštěm. 3.. Dvě síly působící v jedom bodu Podle prvího aomu v odst..5 platí, že výsledce dvou sl je určea úhlopříčkou v rovoběžíku sl (obr. 3.). Velkost výsledce lze určt pomocí kosové věty (emá žádou souvslost s větou Jaa Sladkého Kozy Kozova věta!) + cos (80 ) + + cosϕ, (3.5) ϕ úhly mez výsledcí a slam získáme ze sové věty sϕ sϕ, sϕ sϕ. (3.6) Obr. 3.: Dvě síly se společým působštěm Nejvýhodější je však řešeí pomocí průmětů sl do souřadcových os, jak bude ukázáo u svazku více sl. Nejčastějším případem jsou dvě síly a avzájem kolmé. Pak platí +, cos ϕ sϕ, ozklad síly do dvou složek daého směru s ϕ cosϕ. (3.7) V rově lze jedozačě rozložt sílu pouze do dvou složek. Z trgoometre obecého trojúhelíku pomocí sové věty platí sϕ sϕ,. sϕ sϕ Zvláští případ představuje rozklad síly do dvou složek a avzájem kolmých (s ϕ s 90 ): cos ϕ s ϕ, s ϕ cos ϕ. (3.8) - 6 (48) -

17 ové soustavy sl Výhodější je však obecý způsob pomocí průmětů sl do souřadcových os pravoúhlé soustavy (úhly α odměřujeme od vodorové osy dle obr. 3.3), přčemž sestavíme dvě podmíky ekvvalece cos α + cos α cos α, s α + s α s α (3.9) a řešeím získáme dvě ezámé velkost sl,. Přtom musí být splěa podmíka řeštelost eulový determat D soustavy rovc: cosα D cos α s α s α cos α 0. (3.0) sα 3.. Svazek sl cosα sα Jedá se o soustavu sl se společým působštěm (obr. 3.3). V bodu m působí soustava růzosměrých sl (,, ). Každá síla je dáa velkostí, směrem a smyslem (úhlem α, který může být oretovaý od +, ebo uvažová jako ostrý). Nejvýhodější je zadávat paprsek síly souřadcem vhodě zvoleého bodu. Postupujeme tak, že každou sílu podle (.8) rozložíme do složek, y avzájem kolmých o velkostech cos α, y s α. (3.) Obr. 3.3: ový svazek sl Tím jsme původí soustavu ahradl dvěma soustavam v paprscích, kterým jsou osa a osa y. Získáme dílčí výsledce, y o velkostech y cosα cosα, y sα sα. (3.) - 7 (48) -

18 Slové soustavy Velkost výsledce soustavy sl aalogcky k (.4) je + y (3.3) a její směrový úhel α (odchylka od +) aalogcky k (.5) je y cos α, resp. s α. (3.4) Podmíky rovováhy pro průměty sl do obou os jsou Otázky 0, y y 0. (3.5). Jaký je výsledý úček soustavy sl působících v rově a společý bod?. Kdy je taková soustava v rovováze? Příklad 3. Zadáí Staovte velkost, směr a smysl výsledce daé rové soustavy čtyř sl se společým působštěm m dle obr Řešeí Obr. 3.4: Zadaý svazek sl Výpočet uspořádáme pro větší přehledost a sadou kotrolu do tabulky 3.. Nejprve vyčíslíme vodorové a svslé složky jedotlvých sl podle vztahů (3.). Sečteím hodot v posledích dvou sloupcích získáme složky výsledce a y, které odpovídají vztahům (3.). - 8 (48) -

19 ové soustavy sl Tab. 3.: Řešeí příkladu 3. [kn] α [ ] cosα [kn] y sα [kn] ,45, ,9 6, ,73 4, ,74 8,9,47 y 0,3 Výsledce má velkost + (,47) + (0,3) 6,3 kn y a svírá s kladou souřadcovou osou + úhel α, který vyjádříme z trgoometrckých fukcí ze vztahů (3.4),47 cos y 0,3 α 0, 773, s α 0, ,3 6,3 Ze zaméek pravoúhlých složek a y výsledce je zřejmé, že paprsek výsledce musí ležet ve druhém kvadratu, což potvrzují hodoty cosα a sα, jmž odpovídá úhel α 40,6 (obr. 3.5). Obr. 3.5: Zadaý svazek sl s výsledcí - 9 (48) -

20 Slové soustavy 3.3 Statcký momet síly k bodu v rově Základí obecé formace o mometu síly jsme s uvedl v odst..6., obr..5. Uveďme přehledě základí poučky o statckém mometu síly k bodu v rově: Statcký momet má stálou velkost ke kterémukol bodu přímky rovoběžé s paprskem síly. Statcký momet síly je totožý se statckým mometem složky kolmé a průvodč síly (druhá složka vyvodí ulový statcký momet). Statcký momet je obecě rove vektorovému součtu, ale protože vektory leží v paprsku procházejícím bodem s, můžeme Vargoovu větu formulovat: Statcký momet (tj. velkost) výsledce rové soustavy sl k lbovolému bodu v rově sl je rove algebrackému součtu statckých mometů jedotlvých sl soustavy k témuž mometovému středu s r p. (3.6) 3.4 Síla, dvojce sl a momet v rově 3.4. Dvojce sl V ávazost a odst..6.3 uveďme základí poučky o dvojc sl (obr..6) v rově: Statcký momet dvojce sl má stálou hodotu k jakémukolv bodu v rově, rovající se mometu dvojce sl p. Dvojc sl lze v rově lbovolě posuout č pootočt (až se změí výsledý úček). Dvojc sl lze v téže rově ahradt lbovolou jou dvojcí sl s mometem stejé velkost a smyslu p p. (3.7) Př áhradě lze volt kterýkol z parametrů, p a druhý dopočítat. Skládáí slových dvojc podmíka ekvvalece r podmíka rovováhy + + +, (3.8) 0. (3.9) - 0 (48) -

21 ové soustavy sl 3.4. Síla a dvojce sl (momet) v rově Obr. 3.6: Síla a dvojce sl Výsledý úček síly s působštěm m a dvojce sl o mometu (obr. 3.6) je jedá síla rovoběžě posuutá s paprskem síly o kolmou vzdáleost p /. Poloha posuuté síly je určea tím, že k původímu působšt m musí síla vyvolávat statcký momet stejé velkost smyslu jako daá dvojce edukce síly k bodu edukce síly k bodu představuje opačou úlohu ež v odst Každou sílu v působšt m lze v rově ahradt slou stejé velkost, směru a smyslu působící v jém bodu s, doplěou dvojcí sl (mometem) podle rovce (.3) s p (vz obr. 3.7). Obr. 3.7: ovoběžé posuutí síly do lbovolého bodu ůžeme ajít vhodější varatu. Nejprve rozložíme sílu do pravoúhlých složek cos α, y s α a přeložíme do počátku o s každou složku zvlášť. V tom případě je uto přdat dvě dvojce sl o celkové velkost s y y ( s α y cos α). (3.0) Jako vhodá aplkace se redukce síly k bodu vyskytuje př rozkladu výsledce vtřích sl do složek (vz odst. 4. třetího modulu). 3.5 Obecá rová soustava sl Ozačuje se také jako soustava sl působících v rově porůzu. Každá síla soustavy je dáa svou velkostí, směrovým úhlem α (oretovaým od +), - (48) -

22 Slové soustavy a souřadcem, y působště m (obr. 3.8). ozložíme j ve smyslu (.8) do pravoúhlých složek, y o velkostech cos α, y s α. (3.) Složky, y přeložíme (podle odst ) do souřadcových os, y a do počátku o, tj. přdáme dvě dvojce sl o velkost výsledého mometu podle (3.0). o y y ( s α y cos α ). (3.) Pro všechy síly soustavy se původí soustava ekvvaletě ahradí třem slovým soustavam, a to soustavou sl v ose (výsledce ), soustavou sl y v ose y (výsledce y ), soustavou slových dvojc o (výsledý momet o ) a platí tř podmíky ekvvalece y cosα cos α, y sα s α, o o ( sα y cosα ). (3.3) Obr. 3.8: Obecá rová soustava sl Pro velkost výsledce obecé rové soustavy sl (působící v počátku) a směrový úhel α platí + y, y cos α, s α. (3.4) - (48) -

23 ové soustavy sl Výsledý úček obecé rové soustavy sl určují tř parametry: síla procházející počátkem (, α) a dvojce sl o mometu o (velkost o ) rovém statckému mometu soustavy sl k počátku o. Vektory, o lze ahradt (obr. 3.8) slou posuutou o vzdáleost r o /. Obecá rová soustava sl je v rovováze, platí-l tř podmíky, u chž tř složky podle (3.3) jsou rovy ule. Uveďme přehledě všechy varaty využtí podmíek rovováhy: dvě slové a jeda mometová podmíka podle (3.3), využtelé pro výpočet složek reakcí kozoly, jsou 0, y y 0, o o 0 ; (3.5) dvě mometové a jeda slová podmíka (předepsaá pro směr ekolmý a spojc mometových středů a b), využtelé pro výpočet složek reakcí prostého osíku, jsou 0, a a 0, b b 0 ; (3.6) tř mometové podmíky (mometové středy a, b, c eleží a jedé přímce), využtelé pro výpočet složek reakcí osíku podepřeého ve třech bodech, mají tvar a a 0, b b 0, c c 0. (3.7) Specálí případy podmíek rovováhy astaou, když: je splěa je podmíka y 0, pak je kolmá k ose y ebo jde o dvojc sl, jsou splěy je podmíky 0, y 0, pak výsledcí je dvojce sl, je splěa je podmíka o 0 pro o, pak paprsek výsledce prochází bodem o, výsledcí emůže být dvojce sl, jsou splěy je podmíky o 0 pro body o, o, pak paprsek výsledce je urče body o, o. ozklad síly do tří složek v zadaých paprscích provedeme aplkací podmíek ekvvalece (3.3). Soustavu sl vhodě umístíme do souřadcového systému, y (obr. 3.9). Lbovolě zvolíme smysly ezámých sl,, 3. Všechy síly (včetě ezámých) rozložíme do pravoúhlých složek podle (3.). Velkost ezámých sl,, 3 pak určíme z podmíek ekvvalece - 3 (48) -

24 Slové soustavy cos α + cos α + 3 cos α 3 cos α, s α + s α + 3 s α 3 s α, ( s α y cos α ) + ( s α y cos α ) + 3 ( 3 s α 3 y 3 cos α 3 ) ( s α y cos α), (3.8) přčemž podmíkou řeštelost je, aby determat soustavy D 0. Výhodější je řešeí pomocí tří mometových podmíek k mometovým středům tvořeým průsečíky paprsků hledaých složek (obr. 3.9), takže z jedé rovce určíme vždy jedu ezámou složku, apř. s p p p. (3.9) p Obr. 3.9: ozklad síly do tří ezámých složek Zrušeí síly třem slam v zadaých paprscích provedeme aplkací podmíek rovováhy (3.5) ve tvaru cos α + cos α + 3 cos α 3 + cos α 0, s α + s α + 3 s α 3 + s α 0, ( s α y cos α ) + ( s α y cos α ) + 3 ( 3 s α 3 y 3 cos α 3 ) + ( s α y cos α) 0, (3.30) které se využjí př výpočtu reakcí vějších vazeb jedoduchých rových osíků. Výhodější je opět řešeí aplkací tří mometových podmíek rovováhy k mometovým středům s, s, s 3 (obr. 3.9), takže apř.: Otázky s p p 0 p. (3.3) p. Jaký je výsledý úček obecé rové soustavy sl a jak se určí?. Kolk je podmíek rovováhy pro obecou rovou soustavu sl a jaké to mohou být (slové, mometové)? 3. Čím se lší úloha o rozkladu síly do tří složek a úloha o zrušeí síly třem slam v zadaých paprscích? - 4 (48) -

25 ové soustavy sl Příklad 3. Zadáí Staovte velkost a polohu výsledce obecé rové soustavy čtyř sl podle obr. 3.0 pro, α, m [, y ],,, 3, 4 zadaé v tabulce 3.. Řešeí Obr. 3.0: Zadaá obecá rová soustava sl Výpočet uspořádáme pro větší přehledost a sadou kotrolu do tabulky 3.. Nejprve vyčíslíme vodorové a svslé složky jedotlvých sl podle vztahů (3.) ve sloupcích 5 a 6. Dále určíme momety od jedotlvých složek sl k počátku o podle vztahu (3.) ve sloupcích 7 a 8. Sečteím hodot ve sloupcích 5, 6 získáme složky výsledce a y, které odpovídají vztahům (3.3). Sečteím hodot v posledích sloupcích 7 a 8 získáme velkost o mometu o příslušejícímu výsledc k počátku o. Tab. 3.: Řešeí příkladu 3. α y y y y [kn] [ ] [m] [m] [kn] [kn] [kn m] [kn m] sl ,49 9,64 86,78 45, ,38,47 45,89 4, ,00 36, ,7 3,64 89,08 0 3,7 9,8 9,4 68,7 o 6,4-5 (48) -

26 Slové soustavy Výsledce má velkost + y + ( 3, 7) (9,8) 5, 65 kn a její paprsek svírá s kladou souřadcovou osou + úhel α, který vyjádříme z trgoometrckých fukcí ze vztahů (3.4) 3,7 cosα 0,94, 5,65 y 9,8 sα 0,38 α 57,53. 5,65 Obr. 3.: Výsledé řešeí obecé rové soustavy sl ameo r výsledce vzhledem k počátku souřadc o určíme ze vztahu o 6,4 r 6, 8m. 5,65 Zaméko míus zameá, že výsledce leží vůč počátku tak, aby vyvodla záporý momet. Protože v ašem případě směřuje výsledce do druhého kvadratu, musí ležet výsledce pod počátkem o (vz obr. 3.). - 6 (48) -

27 ové soustavy sl 3.6 Soustava rovoběžých sl v rově Jedá se o zvláští případ obecé rové soustavy sl ebo též rového svazku sl, u ěhož průsečík paprsků sl leží v ekoeču. Každá síla je dáa velkostí, polohou paprsku (vzdáleost p ) a smyslem působeí. ovoběžě s paprsky sl veďme jedu souřadcovou osu (obr. 3.). Obr. 3.: ová soustava rovoběžých sl Výsledý úček staovíme ze dvou statckých podmíek ekvvalece. Směr výsledce je shodý se směrem paprsků sl, předpokládáme apř. s +y. Velkost výsledce je dáa algebrackým součtem všech sl a její polohu určíme podle Vargoovy věty (3.3) p o z íž plye rameo výsledce r, (3.33) p o r. (3.34) Podmíky rovováhy získáme zjedodušeím (3.5) ve tvaru 0, o p 0, (3.35) ebo výhoděj z (3.7) jako dvě mometové podmíky, přčemž spojce o o esmí být rovoběžá s paprsky sl, tedy - 7 (48) -

28 Slové soustavy 0, o o o o 0. (3.36) Statcký střed soustavy rovoběžých sl Uvažujme soustavu rovoběžých sl (,, ), přčemž každá síla je zadáa velkostí a působštěm m (, y ). Otáčejme současě všem slam kolem jejch působšť, aby byly stále rovoběžé. Pak se otáčí výsledce okolo pevého bodu s, který se azývá statckým středem soustavy bodů m se slam. Nejlépe se vyšetřuje pro dvě soustavy a sebe kolmé. Podle Vargoovy věty (obr. 3.3) platí s, ys y, takže souřadce statckého středu se určí jako podíl statckého mometu soustavy a výsledce s, y s y. (3.37) Určeí polohy statckého středu má praktcké využtí: Představují-l velkost sl plochy obrazců (délky čar) a působště jejch těžště, pak představuje statcký střed těžště plochy složeého obrazce (složeé čáry). Obr. 3.3: Statcký střed soustavy rovoběžých sl - 8 (48) -

29 ové soustavy sl Shrutí Vyšetřoval jsme úlohy ekvvalece a rovováhy rových soustav sl. Nejprve se jedalo o síly působící a společém paprsku a síly s působštěm v jedom bodu (rový svazek sl). Po zavedeí pojmů statckého mometu síly a dvojce sl bylo možo přkročt k řešeí obecé soustavy sl sl s působšt v růzých bodech rovy. Zabýval jsme se možostm formulace tří podmíek ekvvalece, resp. rovováhy uvažovaých slových soustav v rově. Specálí pozorost byla věováy soustavě rovoběžých sl v rově a jejímu statckému středu. - 9 (48) -

30 Slové soustavy - 30 (48) -

31 Prostorové soustavy sl 4 Prostorové soustavy sl V této kaptole rozšíříme aše zalost ze slových soustav a 3D (prostorové) úlohy. Setkáme se s jž zámým pojmy (statcký momet síly k bodu, dvojce sl), ale s ovým pojmy (statcký momet síly k ose, bvektor apod.). 4. Pravoúhlé složky síly v prostoru Podobě jako v rově, v prostoru s výhodou pracujeme s pravoúhlým složkam obecých sl. Následující dvě varaty jsou základím případy, které budeme velm často využívat v dalších úvahách, když s jým formálím ozačeím. Budeme se a ě odvolávat pro detalí vyjádřeí. 4.. ozklad síly do pravoúhlých složek Uvažujme v pravoúhlé souřadcové soustavě s osam, y, z sílu (obr. 4.). Ve třech růzých rovách určeých paprskem síly a jedotlvým souřadcovým osam (evet. rovoběžkam s m) odměříme směrové úhly α, β, γ, pro ěž platí výrazy (.5) s kotrolím vztahem (.6). Jedotlvé složky síly budeme vyjadřovat pomocí rovc (.8). Obr. 4.: Tř síly v jedom bodu 4.. Tř síly se společým působštěm Působí-l ve zvláštím případě (obr. 4.) tř avzájem a sebe kolmé síly ve společém působšt, představuje výsledce tělesovou úhlopříčku kvádru, jehož délky hra se rovají velkostem sl. Výsledc lze získat postupým vektorovým součtem + y y, y + z + y + z, (4.) ebo ve skalárím tvaru +, y y y + z + y + z, (4.) takže platí rovce (.4) a směrové úhly jsou vyjádřey vztahy (.5). - 3 (48) -

32 Slové soustavy 4. Prostorový svazek sl Každá síla (,, ) soustavy sl se společým působštěm o je dáa svou velkostí, směrem a smyslem (pomocí směrových úhlů α, β, γ ), vz obr. 4.. Každou sílu soustavy sl rozložíme a tř složky avzájem kolmé působící ve směru souřadcových os, y, z podle (.8) cosα, y cos β, z cosγ. (4.3) Obr. 4.: Prostorový svazek sl Tím získáme místo původí soustavy sl až tř soustavy sl ve společých paprscích (vz odst. 3.) ztotožěých se souřadcovým osam. Vektorovým součtem složek sl v osách získáme podle (3.) dílčí výsledce, y, z, pro jejchž velkost platí algebracké součty y cosα cosα, cos β cos β, y z cosγ cosγ. (4.4) z ovce (4.4) představují tř statcké (slové) podmíky ekvvalece pro prostorový svazek sl.výsledc prostorového svazku sl s příslušým směrovým úhly α, β, γ vyjádříme podle vztahů (.4) a (.5) ve tvaru y z + +, (4.5) y z cos α, cos β, cosγ. (4.6) - 3 (48) -

33 Prostorové soustavy sl Důležté: Statcké (slové) podmíky rovováhy: Prostorová soustava sl se společým působštěm je v rovováze je tehdy, když algebracké součty průmětů všech sl soustavy do tří os avzájem kolmých (obecě kosoúhlých) jsou rovy ule: 0, 0, y y z z 0. (4.7) Nahrazeí a zrušeí síly třem slam zadaým paprsky se společým působštěm Sílu v prostoru lze jedozačě rozložt pouze do tří složek. U ezámých sl (,, 3) zvolíme zcela lbovolě jejch smysly (obr. 4.3). Př rozkladu síly do tří složek řešíme tř statcké podmíky ekvvalece (4.4). Úloha zrušeí síly třem složkam vede a použtí tří statckých podmíek rovováhy (4.7). Otázky Obr. 4.3: Nahrazeí síly třem slam,, 3. Jaký je výsledý úček sl působících v prostoru a společý bod? Příklad 4. Zadáí Staovte výsledc prostorového svazku tří sl pro, α, β, γ,,, 3 zadaé v tabulce 4.. Řešeí Výpočet uspořádáme pro větší přehledost a sadou kotrolu do tabulky 4.. Nejprve vyčíslíme osové (, y, z) složky jedotlvých sl podle vztahů (4.3). Sečteím hodot v posledích třech sloupcích získáme složky výsledce, y, a z, které odpovídají vztahům (4.4) (48) -

34 Slové soustavy [kn] α [ ] Tab. 4. Zadáí a řešeí příkladu 4. β [ ] γ [ ] cosα [kn] cos β y [kn] cosγ z [kn] , ,00 346, , , ,55 y 346, 4 z 653,55 Výsledce má velkost podle vztahu (4.5) , , ,55 93,88 kn y z a směr výsledce určíme pomocí směrových kosů podle vztahů (4.6) 553,55 cosα 0,599 α 53 ', 93,88 y 346,4 cos β 0,375 β 67 59', 93,88 z 653,55 cosγ 0,707 γ 44 59'. 93, Statcký momet síly k bodu v prostoru omet síly k bodu byl pro jedu sílu defová v odst..6.. V případě většího počtu sl růzě působících v prostoru jsou rovy statckých mometů jedotlvých sl (určeé paprskem síly a bodem) obecě růzé a vektory mometů s, mají růzé směry. Pak Vargoova věta pro síly k bodu v prostoru zí: Statcký momet s výsledce prostorové soustavy sl,, k lbovolému bodu s v prostoru je rove vektorovému součtu statckých mometů s,,, s, jedotlvých sl soustavy k tomuto bodu s s, s,. (4.8) 4.4 Statcký momet síly k ose v prostoru omet síly k ose byl zmíě v odst..6.. Lbovolým bodem m paprsku síly (působštěm síly) proložme rovu ρ kolmou k mometové ose O (obr. 4.4). Sílu rozložme do složky sα ležící v rově ρ a do složky cosα rovoběžé s osou O (48) -

35 Prostorové soustavy sl Statcký momet o vyvolá pouze síla působící v rově ρ (obr. 4.4), takže o p p sα. (4.9) Obr. 4.4: Statcký momet síly k ose Vargoova věta k ose v prostoru zí: Statcký momet síly (výsledce lbovolé prostorové soustavy sl) k mometové ose O je rove algebrackému součtu statckých mometů jejích složek (jedotlvých sl soustavy) k téže ose. V odst. 4.6 budeme využívat specálí případ, a to statcký momet síly k souřadcovým osám, y, z a k počátku souřadc o. Sílu v působšt m (, y, z) proto ekvvaletě ahradíme třem pravoúhlým složkam rovoběžým se souřadcovým osam (obr. 4.5) podle vztahů (.8). Statcké momety, y, z síly k osám jsou dáy výrazy y z ( ycosγ z cos ), y z s β z y z ( z cosα cos ), s γ z y ( cos β ycos ). (4.0) s α 3 y Obr. 4.5: Statcký momet síly k souřadcovým osám a k počátku - 35 (48) -

36 Slové soustavy Působště vektorů, y, z statckých mometů lze volt v lbovolém bodu souřadcových os, y, z; výhodě zvolíme počátek o. Výsledý vektor statckého mometu o s síly k bodu o s určíme vektorovým součtem statckých mometů, y, z k souřadcovým osám. Podle (.4) a (.5) získáme velkost o s a směrové úhly λ, µ, ν ve tvaru + o s + y z, (4.) ν y z cos λ, cos µ, cos. (4.) o o o 4.5 Dvojce sl v prostoru V odst..6.3 jsme uvedl, že úček dvojce sl lze vyjádřt volým vektorem o velkost daé rovcí (.3). Vektor svírá se souřadcovým osam, y, z směrové úhly λ, µ, ν (obr. 4.6). Obr. 4.6: Dvojce sl v prostoru Pro dvojc sl v prostoru platí (podobě jako pro dvojc sl v rově), že j v její rově ρ můžeme: lbovolě posuout ebo pootočt, ahradt lbovolou jou dvojcí sl, která má s původí dvojcí sl momet stejé velkost a smyslu; dvojc sl v prostoru lze posuout do lbovolé rovy φ rovoběžé s rovou ρ (dojde pouze ke změě polohy působště, ale výsledý úček zůstává stejý). Vektor statckého mometu O dvojce sl působící v rově φ k lbovolé ose O v prostoru (obr. 4.7) je rove průmětu vektoru mometu dvojce sl do osy O o velkost O cosϕ p cosϕ, (4.3) - 36 (48) -

37 Prostorové soustavy sl kde ϕ je úhel, který svírá vektor s osou O a rověž úhel mez rovam ρ a φ. Statcký momet o k ose O dvojce sl v rově φ je také rove mometu dvojce sl, kterou obdržíme promítutím dvojce sl do rovy ρ O, takže O p p cosϕ. (4.4) Obr. 4.7: Statcký momet dvojce sl k ose a k bodu v prostoru Skládáí slových dvojc v prostoru Uvažujme soustavu slových dvojc v prostoru o mometech (,, ), působících a tuhé těleso v obecých rovách ρ (obr. 4.8). Jedotlvé slové dvojce zobrazíme volým vektory přemístěým do počátku o pravoúhlého souřadcového systému, y z. Tím získáme soustavu vektorů mometů (,..., ) se společým působštěm o. Pro výsledý vektor mometu r uplatíme stejý postup jako pro výsledc v odst. 4.. Každý vektor rozložíme pomocí směrových úhlů λ, µ, ν a tř pravoúhlé složky, y, z o velkostech cos λ, cosµ, cosν. (4.5) y z Obr. 4.8: Prostorový svazek vektorů mometů - 37 (48) -

38 Slové soustavy Tím jsme prostorový svazek vektorů mometů ahradl třem soustavam vektorů v souřadcových osách, takže pro jejch velkost platí r ry r r cosλ cosλ, cos µ cosµ, y rz r cosν cosν. (4.6) z ovce (4.6) představují tř podmíky ekvvalece pro soustavu slových dvojc v prostoru. Podle (.4) a (.5) platí pro velkost výsledého vektoru mometu r a jeho směrové úhly vztahy + +, (4.7) r r ry rz r ry rz cos λ, cos µ, cosν. (4.8) r r r Závěrem můžeme kostatovat, že soustavu slových dvojc v prostoru o mometech lze ahradt jedou výsledou dvojcí sl (mometem) o velkost r, který lze zobrazt volým vektorem r. Důležté: ometové podmíky rovováhy: Soustava slových dvojc v prostoru o mometech,, je v rovováze je tehdy, když algebracké součty průmětů všech vektorů mometů slových dvojc do tří os avzájem kolmých (obecě kosoúhlých) jsou rovy ule: r, ry y 0, rz 0 0. (4.9) z 4.6 Obecá prostorová soustava sl Obecou prostorovou soustavou sl rozumíme soustavu sl, jejíž paprsky eleží v jedé rově a a eprocházejí jedím bodem. V souřadcové soustavě, y, z s počátkem o je každá síla soustavy (,, ) zadáa velkostí, působštěm m (, y, z ) a směrovým úhly α, β, γ (obr. 4.9) (48) -

39 Prostorové soustavy sl Obr. 4.9: Obecá prostorová soustava sl edukce síly k bodu o Posueme-l sílu rovoběžě do počátku o souřadcové soustavy, musíme (pro zachováí stejého účku) přdat dvojc sl o mometu o (rovém co do velkost a smyslu statckému mometu síly k počátku o) s velkostí p. (4.0) o Vektor mometu o, vztyčeý v bodu o, je kolmý k rově ρ (tvořeé paprskem síly a bodem o). Nejvýhodější je provést redukc síly k bodu o pomocí jž uvedeých pravoúhlých složek síly (4.3) cos α, cos β, cosγ. (4.) y Pro jejch přeložeí do počátku o musíme přdat celkem šest slových dvojc (působících po dvou v jedotlvých souřadcových rovách), takže y z y cosγ z cos β ), z y ( z y z z z cosα cosγ ), z ( y cos β y cosα ). (4.) y ( Výsledým účkem tří slových dvojc o mometech, y, z v jedotlvých souřadcových rovách je jedá dvojce sl o mometu o, který je rove statckému mometu síly k počátku o. Pro velkost mometu a směrové úhly podle (4.7) a (4.8) platí + +, (4.3) o y z y z cos λ, cos µ, cosν. (4.4) o o o Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl Po redukc všech sl soustavy do počátku o souřadcové soustavy, y, z dostáváme prostorový svazek vektorů sl a prostorový svazek vektorů mometů o (,, ) v bodu o (48) -

40 Slové soustavy Velkost výsledce prostorového svazku sl daá vztahem (4.5), jejích pravoúhlých složek, y, z (rových algebrackému součtu průmětů všech sl soustavy do jedotlvých os) daých výrazy (4.4) a směrových úhlů α, β, γ uvedeých v (4.6) jsou tedy přehledě zapsáy vztahy + +, (4.5) y z y cosα cosα, cos β cos β, y z cosγ cosγ, (4.6) z y z cos α, cos β, cosγ. (4.7) Výsledý úček prostorového svazku vektorů mometů o je dá vztahem (4.7) z odst. 4.5 a představuje jedou dvojc sl o mometu r s působštěm v počátku o souřadcové soustavy o velkost r r ry rz + +, (4.8) kde pravoúhlé průměty r, ry, rz vektoru r do souřadcových os, y, z, rové algebrackým součtům statckých mometů sl soustavy k těmto osám, spolu se směrovým úhly λ, µ, ν mají podle (4.6) a (4.8) velkost r ry r r cosλ ( y z ) ( y cosγ z cos β ), z y cosµ ( z ) ( z cosα cosγ ), z rz r cosν ( y ) ( cos β y cosα ), (4.9) y r ry rz cos λ, cos µ, cosν. (4.30) r r r Vektory a r v počátku souřadc o (obr. 4.0) svírají avzájem úhel ψ, pro který platí vztah cos ψ cosα cosλ + cos β cos µ + cosγ cosν r + y ry r + z rz 0 π ψ. (4.3) - 40 (48) -

41 Prostorové soustavy sl Obr. 4.0: Bvektor, r obecé prostorové soustavy sl Závěr: Obecou prostorovou soustavu sl (,, ) lze ekvvaletě ahradt slou procházející zvoleým počátkem o a dvojcí sl o mometu r rovém statckému mometu všech sl soustavy k bodu o. Teto výsledý úček se azývá bvektorem (dyamou), r a je vyjádře šestcí ezávslých velč, y, z, r, ry, rz. ovce (4.6) pro, y, z spolu s rovcem (4.9) pro r, ry, rz představují šest statckých podmíek ekvvalece obecé prostorové soustavy sl. Důležté: Podmíky rovováhy: Obecá prostorová soustava sl (,, ), působící a tuhé těleso, je v rovováze je tehdy, když algebracké součty průmětů všech sl soustavy do každé souřadcové osy jsou rovy ule y y cosα 0, cos β 0, slové podmíky rovováhy z z cosγ 0, a současě když součty statckých mometů všech sl soustavy k těmž osám jsou rověž ulové: - 4 (48) -

42 Slové soustavy r ry rz y z ( y cosγ z cos β ) 0, mometové ( z cosα cosγ ) 0, podmíky ( cos β y cosα ) 0. rovováhy (4.3) ísto tří slových a tří mometových podmíek rovováhy lze s výhodou použít vyšší počet mometových podmíek (př celkovém počtu šest podmíek). Nejvýhodější je použtí šest mometových podmíek k šest vhodě zvoleým osám. Slové podmíky pak slouží jako kotrolí. Nahrazeí síly ebo soustavy sl šest slam zadaým paprsky Nahraďme úček lbovolé síly v prostoru, určeé velkostí, působštěm m (, y, z) a směrovým úhly α, β, γ, šest slam k (k,, 6) působícím v zadaých paprscích. Síla má pravoúhlé průměty do souřadcových os, y, z a statcké momety, y, z k souřadcovým osám, y, z. Zvolíme zcela lbovolě smysly všech sl k (k,, 6), kterým odpovídají směrové úhly α k, β k, γ k a působště m k. Velkost a správé smysly těchto sl obdržíme řešeím šest statckých podmíek ekvvalece (4.6) a (4.9), které lze apsat mez soustavou sl k a slou 6 6 k, ky y,, k k k 6 6 k, ky y,. (4.33) k k k Řešeí je možé a jedozačé, pokud determat soustavy rovc D 0. Úloha zrušeí síly šest slam k (k,, 6), působícím v zadaých paprscích představuje rovovážou soustavu sl, pro ž sestavujeme šest statckých podmíek rovováhy (4.3) ve tvaru 6 6 k + 0, ky + y 0, + 0, k k k 6 6 k + 0, ky + y 0, + 0. (4.34) k k k Nahrazeí a zrušeí obecé prostorové soustavy sl P (,, ) šest slam k (k,, 6) působícím v zadaých paprscích se řeší podobě, je v rovcích (4.33) a (4.34) místo fguruje prostorová soustava sl P. S touto úlohou se setkáváme př výpočtu reakcí vazeb tuhého tělesa kz 6 kz kz kz z z z z - 4 (48) -

43 Prostorové soustavy sl Otázky. Jaké jsou výsledé účky obecé prostorové soustavy sl?. Kolk je podmíek rovováhy pro obecou prostorovou soustavu sl a jaké to mohou být (slové, mometové)? Příklad 4. Zadáí Staovte výsledý úček obecé prostorové soustavy sl vztažeé k pravoúhlým souřadcovým osám, y, z s počátkem o. Síly (,, 3) jsou zadáy velkostí, směrovým úhly α, β, γ a polohou působště m (, y, z ) v tabulce 4.. [kn] α [ ] Tab. 4. Zadáí příkladu 4. β [ ] ,07 3,5 6, 4, , ,3,9 3, ,577,8 4,0 5, γ [ ] [m] y [m] z [m] Řešeí Výpočet uspořádáme pro větší přehledost a sadou kotrolu do tabulky 4.3. Nejprve vyčíslíme složky jedotlvých sl ve směrech os, y, z podle vztahů (4.). Dále určíme velkost mometů kolem os, y, z od jedotlvých sl podle vztahů (4.). Sečteím hodot v odpovídajících sloupcích získáme složky výsledce, y, z a momety r, ry, rz, které odpovídají vztahům (4.6) a (4.9). [kn] y [kn] Tab. 4.3 Řešeí příkladu 4. z [kn] [knm] y [knm] z [knm] 88,86 39,674 63,3 8, ,80 680,93 38,03 86,656 0, ,67 44,650 00, ,397 05,47 80, ,43 75, , , 738 y 33, 747 z 33,698 r ry rz 66, ,5 6, 604 Výsledce má podle vztahu (4.5) velkost - 43 (48) -

44 Slové soustavy , , , ,577 kn y z a směr výsledce určíme pomocí směrových kosů podle vztahů (4.7) 45, 738 cosα 0,359 α 8 ', 336,577 y 33,747 cos β 0,9857 β 9 4', 336,577 z 33, 698 cosγ 0,00 γ 84 5'. 336,577 Velkost vektoru r výsledého statckého mometu soustavy sl k počátku o určíme ze vztahu (4.8) + + r r ry rz + + ( 66,584) ( 760,5) 6, ,840 knm a jeho směr určíme pomocí směrových kosů podle vztahů (4.30) r 66,584 cosλ 0,900 λ 54 0', 845,840 r ry 760,5 cos µ 0, 48 µ 4 9', 845,840 r rz 6, 604 cosν 0,47 ν 8 5'. 845,840 r 4.7 Soustava rovoběžých sl v prostoru Na soustavu rovoběžých sl v prostoru (obr. 4.) můžeme pohlížet jako a zvláští případ prostorového svazku sl (odst. 4.), kde společý bod leží v ekoeču, ebo též a zvláští případ obecé prostorové soustavy sl (odst. 4.6). K daé soustavě rovoběžých sl (,, ) v prostoru veďme pravoúhlý souřadcový systém, y, z tak, aby jeda souřadcová osa (apř. y) byla rovoběžá s paprsky sl soustavy. Kolmé vzdáleost, z paprsků sl od souřadcových os představují souřadce průsečíků m sl se souřadcovou rovou z. Výsledce soustavy rovoběžých sl má směr shodý se směrem paprsků sl, velkost a polohu určíme ze vztahů, z z, z, (4.35) které představují statcké podmíky ekvvalece soustavy rovoběžých sl v prostoru. Souřadce, z průsečíku m paprsku výsledce se souřadcovou rovou z jsou - 44 (48) -

45 Prostorové soustavy sl z, z z. (4.36) Vyášíme je a tu strau od příslušé souřadcové osy, aby zaméko statckého mometu výsledce k příslušé ose bylo stejé jako zaméko statckého mometu celé soustavy sl k téže ose. Důležté Podmíky rovováhy: Obr. 4.: ovoběžé síly v prostoru Soustava rovoběžých sl (,, ) v prostoru, které jsou rovoběžé apř. s osou y, je v rovováze je tehdy, když algebracký součet všech sl a součet statckých mometů všech sl soustavy ke dvěma zbývajícím osám (, z), ležícím v rově kolmé a paprsky sl, je rove ule, z 0, z 0 0. (4.37) Statcký střed soustavy rovoběžých sl v prostoru Otáčíme-l současě všechy síly (,, ) soustavy rovoběžých sl v prostoru kolem svých působšť tak, že zůstávají avzájem rovoběžé (obr. 4.), otáčí se jejch výsledce kolem jstého pevého bodu s, který azýváme statckým středem soustavy rovoběžých sl v prostoru. Určíme jej jako průsečík paprsků výsledc daé soustavy rovoběžých sl pro tř směry, ejlépe a sebe kolmé. Pro souřadce statckého středu lze psát vztahy s ys, zs y z,. (4.38) - 45 (48) -

46 Slové soustavy Obr. 4.: Statcký střed soustavy rovoběžých sl v prostoru Shrutí Úvahy k řešeí slových soustav v rově jsme rozšířl a prostor. Na základě zalost pravoúhlých složek síly v prostoru byl vyšetře prostorový svazek sl. Byl defová pojem statckého mometu síly v prostoru k bodu a k ose, jakož pojem dvojce sl v prostoru. Takto vyzbroje jsme řešl obecou prostorovou soustavu sl, aalyzoval jsme její výsledý úček. Bylo formulováo šest podmíek ekvvalece, resp. rovováhy vyšetřovaých slových soustav v prostoru. Pozorost byla věováa též prostorové soustavě rovoběžých sl a jejímu statckému středu (48) -

47 Studjí pramey 5 Studjí pramey 5. Sezam použté lteratury [] Kadlčák, J., Kytýr, J. Statka stavebích kostrukcí I. Základy stavebí mechaky. Statcky určté prutové kostrukce. Druhé vydáí. VUTI- U, Bro 000 [] Novotá, H., Cas, S., Ptáček,. Teoretcká mechaka. SNTL/ALA, Praha Sezam doplňkové studjí lteratury [3] Hallday, D., esck,. a Walker, J. yzka. VUTIU, Bro 000 [4] Julš, K., Brepta,. echaka I. Statka a kematka. Techcký průvodce 65. SNTL, Praha 986 [5] eram, J. L. Egeerg echacs. Statcs ad Dyamcs. Joh Wley & Sos, New York 978 [6] Cas, S. Statka stavebích kostrukcí Dějy stavebí mechaky. Doplňková skrpta. ČVUT, Praha Odkazy a další studjí zdroje a pramey [7] (48) -

48 Slové soustavy Pozámky - 48 (48) -