3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

Transkript

1 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí Omyly a hrubé chyby Systematcké chyby Náhodé chyby 3.3 Výpočet charakterstky přesost měřeí 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost 3.6 Příklady a zpracováí výsledků přímých měřeí 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchylek 3.8 Příklady a aplkac ZHSO 3.9 Vybraé pojmy z geometrcké přesost staveb 3.10 Vytyčovací odchylky ve výstavbě 1

2 3.1 Úvod o měřeí obecě. V geodéz měříme především délky, úhly, a dále také apř. čas, velkost síly tíže apod. Výsledek měřeí je charakterzová číslem, závslým též a volbě jedotek. Ze zkušeost platí : opakuje l se měřeí téže velčy, tak př sebevětší pečlvost jsou získáy obecě růzé výsledky. Je to tím, že žádé měřeí elze zolovat od moha rušvých vlvů, hlavě : - edokoalost ašch smyslů, - edokoalost přístrojů, - vější vlvy, - edostatečá zalost všech okolostí, které způsobují chyby měřeí atd. 2

3 3.1 Úvod o měřeí obecě. Omezováím chyb apř. využtím přesějšího přístroje lze sížt jejch vlv, a tak zvýšt přesost měřeí. Promělvé, velm početé, a eje proto v podstatě epostžtelé vlvy určují číselě výsledek měřeí, který je v určtých mezích áhodou (lbovolou a epředvídatelou) velčou. Rozdílost výsledků měřeí vyplývá z fyzkálí podstaty prostředí. Př měřeí a jeho zpracováí je hledáa ejspolehlvější hodota výsledku měřeí, odhadováa její přesost a meze její spolehlvost. Měřeím č zpracováím měřeí NIKDY ezískáme skutečou hodotu velčy, vždy se jedá o odhad. 3

4 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí. Výsledek každého měřeí je evyhutelě zatíže skutečou chybou e, která je souhrem působeí jedotlvých vlvů. Skutečou chybu měřeí e lze vyjádřt pomocí skutečé (správé) hodoty velčy X a měřeé hodoty l : e X l Chyby měřeí : - hrubé chyby a omyly, - evyhutelé (áhodé, systematcké). 4

5 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí Omyly a hrubé chyby Omyly ejsou způsobey objektvím podmíkam měřeí, ale esprávým úkoy měřče (omyl, epozorost, špatá mapulace s přístrojem apod.) Hrubé chyby mohou vzkat akupeím epřízvých vlvů ebo jejch eobvyklou velkostí jako apř. slý vítr ebo vbrace obrazu cíle v dalekohledu. Měřeí s těmto chybam jsou v příkrém rozporu s kotrolím měřeím - je uté dvojí měřeí ebo měřeí adbytečých hodot. Nejsou chybam evyhutelým a dále ejsou uvažováy. 5

6 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí Systematcké chyby. Vzkají z jedostraě působících příč,za stejých podmíek ovlvňují měřeí ve stejém smyslu, tj. chyba měřeí má stejé zaméko velkost. Dále je lze dělt a : - kostatí (př každém měřeí stejé zaméko velkost, apř. chybá délka pásma), - promělvé (jejch vlv se měí v závslost a podmíkách měřeí, apř. a teplotě atmosféry apod., jejch vlv může mít růzá zaméka). Systematcké chyby je možo potlačt seřízeím (rektfkací) přístrojů a pomůcek před měřeím a vhodou metodkou zpracováí měřeí. 6

7 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí Náhodé chyby. Takové chyby, které př stejé měřeé velčě, metodě měřeí, podmíkách a pečlvost, áhodě abývají růzé velkost zaméka. Jedotlvě emají žádé zákotost a jsou vzájemě ezávslé, epředvídatelé a ezdůvodtelé. Ve větších souborech (vícekrát opakovaé měřeí) se však jž řídí jstým statstckým zákotostm. Náhodé chyby stejého druhu mají charakter áhodé velčy s ormálím rozděleím pravděpodobost. 7

8 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí. Vlastost áhodých chyb : - pravděpodobost vzku kladé č záporé chyby určté velkost je stejá, - malé chyby jsou pravděpodobější (četější) ež velké, - chyby ad určtou mez se evyskytují (resp. považujeme je za hrubé). Hustota pravděpodobost j(x) (také frekvečí fukce) ormálího rozděleí N(E(x),s 2 ): x E ( x ) 1 2 2s j( x ) e, x (, ). s 2 2 8

9 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí. j(x) Frekvečí křvka ormálího rozděleí P B j ( x )dx A A B x E(x) - 2s E(x) - 1s E(x) E(x) + 1s E(x) + 2s Pravděpodobost P, že měřeí bude zatížeo chybou o velkost padoucí do tervalu <A;B> je rova ploše vyšrafovaé v grafu. 9

10 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí. Několk hodot pravděpodobostí P, charakterzujících ormálí rozděleí : A B P E(x) E(x) + s 0,341 E(x) s E(x) + s 0,682 E(x) E(x) + 2s 0,477 E(x) 2s E(x) + 2s 0,954 E(x) E(x) + 3s 0,499 E(x) 3s E(x) + 3s 0,997 E(x) E(x) + 1,000 10

11 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí. Co to je směrodatá odchylka s? Je to parametr popsující ormálí rozděleí. Ve vztahu k měřeí je to charakterstka přesost. Z hledska chyb měřeí je třeba vždy tuto charakterstku terpretovat s ohledem a předchozí tabulku, a tedy s uvědomt, že apř. v tervalu < -2s ; 2s > od měřeé hodoty se vyskytuje hledaá hodota geometrckého parametru s pravděpodobostí 95 % (za předpokladu, že měřeí mají ormálí rozděleí). Výsledkem vlvu áhodých a systematckých chyb je skutečá chyba měřeí : e c 11

12 3.3 Výpočet charakterstky přesost měřeí. Jako charakterstka přesost měřeí se téměř výhradě využívá směrodatá odchylka s. Druhy směrodatých odchylek : základí : z velkého souboru měřeí, kde, výběrová : ze souboru mešího. Výpočet : s ee e 2 1 e X l 12

13 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost Př praktckém měřeí kromě ěkolka málo specfckých případů skutečou hodotu ezáme a v takovémto případě je jako ejpravděpodobější odhad skutečé hodoty možo použít artmetcký průměr l. Rozdíly průměré hodoty a jedotlvých měřeí jsou pak azýváy opravam v, ze kterých se počítá výběrová směrodatá odchylka s, přesěj vyjádřeo, její odhad. Výpočet platí pro měřeí stejé přesost (= stejé váhy rové jedé). s v 2 1 vv 1 1 l l 1 l v l l 13

14 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost. Směrodatá odchylka je také áhodá velča pokud provedeme stejě apř. 2 x 10 měřeí a vypočteme dvakrát směrodatou odchylku, obecě ebude stejá. Je pro lustrac je zde uvede vzorec pro výpočet odhadu směrodaté odchylky směrodaté odchylky. s s s 1 2 kde je adbytečý počet měřeí, zde = (1) / (2 ) 0,71 0,50 0,35 0,24 0,16 0,10 0,07 0,03 14

15 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost. Pokud je záma směrodatá odchylka jedoho měřeí a bylo měřeo vícekrát, směrodatá odchylka průměré hodoty se vypočte podle vzorce s l s 15

16 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Pokud měřeí emají stejou přesost a tato přesost je záma, je uto zvolt jý postup zpracováí. Hodota výsledku měřeí je pak získáa jako vážeý průměr l pl p 1 1 Váhy se určují : p c s 2 p l p, kde c je voleá kostata. 16

17 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Směrodatá odchylka hodoty určeé vážeým průměrem se vypočte s l p pvv p p v 2 1, kde opravy se vypočtou v l l 17

18 3.6 Příklady a zpracováí výsledků přímých měřeí. Příklad 1 : Délka byla měřea opakovaě pětkrát za stejých podmíek a stejou metodou (= se stejou přesostí). Vypočtěte průměrou délku, přesost jedoho měřeí a přesost průměru. l l / m v / m vv / m 2 1 5,628-0,0014 1,96E ,626 0,0006 3,60E ,627-0,0004 1,60E ,624 0,0026 6,76E ,628-0,0014 1,96E-06 S 28,133 0,000 1,12E-05 s l = 5,6266 m, = 0,0017 m, = 0,00075 m s l 18

19 3.6 Příklady a zpracováí výsledků přímých měřeí. Příklad 2 : Délka byla měřea opakovaě pětkrát růzým metodam (= s růzou přesostí). Vypočtěte průměrou délku a přesost průměru. l / m s / m p l. p v / m 1 5,628 0,0030 0,69 3,908-0, ,626 0,0020 1,56 8,791 0, ,627 0,0025 1,00 5,627-0, ,624 0,0035 0,51 2,869 0, ,628 0,0025 1,00 5,628-0,0013 S 4,77 26,823 l Volba c = 0,0025 2, = 5,6267 m, = 0,00056 m s l 19

20 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchylek. V moha případech elze ebo eí výhodé přímo měřt určovaou hodotu, a tato se pak určuje zprostředkovaě čl výpočtem z jých měřeých hodot. Příkladem může být plocha trojúhelíka, jsou-l měřey dvě stray a úhel. Potřebujeme eje vypočítat hledaou hodotu, ale také určt její směrodatou odchylku. Záme l fukčí vztah mez velčam, dokážeme j vypočítat pomocí zákoa hromaděí směrodatých odchylek (ZHSO). ZHSO vychází ze zákoa hromaděí skutečých chyb, který je založe a totálím dferecálu fukčího vztahu. 20

21 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchylek. Záko hromaděí skutečých chyb : Fukčí vztah : y f ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5,..., x k ) Platí : y e f x e, x e, x e,..., x e y 1 x1 2 x2 3 x3 k x k Vzhledem k tomu, že skutečé chyby jsou oprot měřeým hodotám velm malé, lze rozvout pravou strau vztahu podle Taylorova rozvoje s omezeím pouze a čley prvího řádu. f f y e f ( x,..., x )... x e x e y 1 k x1 x k 1 k 21

22 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchylek. Záko hromaděí skutečých chyb : f f f f e e e e... e x x x x y x1 x2 x3 x k k Skutečé chyby měřeých velč zpravdla ezáme, ale záme jejch směrodaté odchylky a Záko hromaděí směrodatých odchylek je dá vztahem : 2 2 f f f s s s... s y x 1 x2 x x1 x2 xk 2 k 22

23 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchylek. Záko hromaděí směrodatých odchylek platí za ásledujících podmíek : 1. Jedotlvé měřeé velčy, a tedy jejch skutečé chyby, musí být vzájemě ezávslé. 2. Skutečé chyby mají áhodý charakter, jejch zaméko a velkost se řídí ormálím rozděleím. 3. Chyby jsou oprot měřeým hodotám malé, parcálí dervace musí zůstat praktcky kostatí, změí - l se měřeé hodoty o hodoty chyb. 4. Jedotlvé čley musí mít stejý fyzkálí rozměr. 23

24 3.8 Příklady a aplkac ZHSO. Příklad 1 : Jsou zámy dvě délky a = 34,352 m, b = 28,311 m, které byly změřey se s a =s b = 0,002m. Dále byl změře úhel w = 52,3452, s w = 0,0045. Určete směrodatou odchylku plochy trojúhelíka. a w b 24

25 3.8 Příklady a aplkac ZHSO. Fukčí vztah : 1 P a b s( w ) 2 Skutečé chyby : 1 1 e P b s( w ) e a a s( w ) e b a b cos( w ) ew

26 3.8 Příklady a aplkac ZHSO. Směrodaté odchylky : b s( ) P a a s( ) b s w s w s s w a b cos( w ) 2 Úprava pro s a = s b = s d : b a 2 2 s s ( w ) s P d s a b cos( ) 2 w w 2 4 Po dosazeí : s P = 0,043 m 2, P = 384,983 m

27 3.8 Příklady a aplkac ZHSO. Příklad 2 : Odvoďte vzorec pro směrodatou odchylku průměru z měřeí, záte-l směrodatou odchylku jedoho měřeí s l. Fukčí vztah : l l l l...l 1 2 Záko hromaděí skutečých chyb : e 1... l e e e l1 l2 l Víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchylku. O skutečých chybách ale evíme c (je to áhodá velča) a proto NELZE závorku zjedodušt. Obecě platí : e e... e l l l

28 3.8 Příklady a aplkac ZHSO. Záko hromaděí směrodatých odchylek : Ze zadáí víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchylku. Proto platí : s s... s s l l l l s s s s... s s l l l l l l 28

29 3.9 Vybraé pojmy z geometrcké přesost staveb. Základí hodota geometrckého parametru Skutečá hodota g.p. Skutečá odchylka Mezí odchylka Přesost kotrolího měřeí Hodota uvedeá v projektové dokumetac. Hodota ve skutečost. Rozdíl mez projektovaou a měřeou hodotou. Největší přípustá odchylka pro výsledky měřeí. Odvíjí se od požadovaé přesost určeí geometrckého parametru. 29