Úvod do teorie množin a logiky 2

Ostravská univerzita v Ostravě Přírodovědecká fakulta Úvod do teorie množin a logiky 2 Verze ke dni 10. 12. 2008 David Bartl 2006

Obsah 1 První setkání s pojmem množiny 5 2 Další základní predikáty teorie množin: inkluze a ostrá inkluze 13 3 Základní množinové operace 19 4 Neuspořádaná dvojice. Uspořádaná dvojice 25 5 Další operace s množinami a další predikáty teorie množin 29 6 Další pojmy: kartézský součin a projekce, množina zobrazení mezi dvěma množinami, poznámka k potenční množině 41 7 Vlastnosti relací. Relace částečného uspořádání 47 8 Relace lineárního uspořádání 55 9 Husté uspořádání. Dobré uspořádání 57 10 Částečné uspořádání další pojmy 59 11 Relace ekvivalence 65 12 Poznámka o kvaziuspořádání 73 13 Mohutnost množin 75 Použitá literatura 81 Řešení cvičení 83 Dodatek A: Obsah přednášek z UTELO 97 Dodatek B: Cvičení ze základů teorie množin 101 Vysvětlivky k používaným symbolům 105 3

4 OBSAH

Kapitola 1 První setkání s pojmem množiny Začněme intuitivním zavedením pojmu množina. Množinou (v intuitivním smyslu) rozumíme shrnutí určitých objektů (čísel, bodů, útvarů v rovině, předmětů našeho nazírání,... ) o těchto objektech hovoříme jako o prvcích (tj. elementech) do jediného většího celku-množiny, který je obsahuje. Množina je dostatečně určena, jestliže o každém objektu (číslu, bodu,... ) jsme schopni říci, zda do dané množiny patří, nebo ne. Dále platí, že každý prvek může být v množině obsažen jen (tzn. nejvýše) jednou. Jinými slovy, žádný prvek v množině nemůže být obsažen dvakrát (nebo třikrát apod.). Právě uvedené tři odstavce možná vypadají velice odborně, jako skutečné matematické definice. Ale není tomu tak. Pojem množiny tímto popisem příliš objasněn není. Pokusili jsme se sice zavést pojem množiny, ale nepodařilo se nám to bez toho, že bychom k tomu použili další, dosud neobjasněné pojmy, jako shrnutí nebo objekt. Skutečný matematik se proto okamžitě začne ptát: Co je to shrnutí? Co je to objekt? ( Co je to číslo? ) Čtenář nyní možná očekává, že autor skript tyto pojmy za chvíli vysvětlí. Nebo že autor ví o nějakém jiném řešení naznačeného problému (jak pojem množiny zavést) a řešení časem prozradí. Bohužel, není tomu tak. Pojem množiny je jeden ze základních matematických pojmů, který nelze definovat. Není možné jej definovat, aniž bychom se odvolali na některý jiný, dosud nezavedený pojem. Situace je taková, že pojem množiny se nám nepodaří si vzájemně vysvětlit, aniž bychom už dopředu alespoň nějakou představu o pojmu množiny měli. (Není nutné vědět, že se tomuto pojmu říká zrovna množina, ale je potřeba už předem tento pojem znát.) Je proto nutné se odvolat na vlastní intuici to jsme ostatně naznačovali už na samém začátku této kapitoly. Jestliže tedy čtenář první tři odstavce této kapitoly přečetl a bez nesnází jim porozuměl, je to zřejmě z důvodu, že již nějakou vlastní intuitivní představu o pojmu množiny měl (ať už ze školy základní nebo střední nebo i odjinud). Historická poznámka. Samotný pojem množina je poměrně mladý. Až do 19. století se v matematice nepoužíval. (Ačkoliv matematici samozřejmě i předtím pracovali se souhrny objektů. Ve své intuitivní podobě tedy pojem množiny 5

6 KAPITOLA 1. PRVNÍ SETKÁNÍ S POJMEM MNOŽINY byl v matematice přítomen i dříve.) V českém jazyce se slovo množina po prvé objevilo roku 1884 v článku českého matematika Matyáše Lercha (1860 1922). Slovo množina je v našem jazyce patrně odvozeno od slova množství. Již jsme si uvedli, že množina je dostatečně určena, pokud o každém objektu (prvku) jsme schopni říci, zda do dané množiny patří, nebo ne. Množinu nejsnáze určíme, když všechny její prvky vyjmenujeme. Seznam prvků množiny uvádíme ve složených závorkách. Například { a, b, c } je množina obsahující tři písmena a, b a c. (Správný matematik se opět zeptá: Co je to písmeno? ) Jiným příkladem je množina {10, 11, 12,..., 98, 99} neboli množina všech přirozených čísel od 10 do 99. Pro zkrácení zápisu lze použít tři tečky. (Čtenář jejich použití vidí v příkladu.) Jsou tyto množiny dostatečně určeny? Jsme o každém objektu schopni říci, zda do dané množiny patří, či nikoliv? Ano. Zkusme si klást následující otázky: Je číslo 10 prvkem množiny {10, 11, 12,..., 98, 99}? Odbočka. Abychom množinu {10, 11, 12,..., 98, 99} nemuseli neustále opisovat, proveďme následující označení. Položme A = {10, 11, 12,..., 98, 99}. Od této chvíle bude znak A mít stejný význam jako množina všech přirozených čísel od 10 do 99. Znak A tuto množinu bude označovat. (Čtenář se tak kromě použití tří teček naučil další dovednost: označovat množiny.) Konec odbočky. Vraťme se k naší otázce. Odpověď je ano, číslo 10 je prvkem množiny A. Lze též říkat, že číslo 10 patří do množiny A nebo že číslo 10 náleží množině A. Stručně píšeme, že 10 A. Znak náleží je odvozen od slova element (prvek). (Slovo element pochází z latiny, kde znamenalo prvek, živel, počátek.) A proč platí 10 A? Protože číslo 10 je uvedeno v seznamu prvků množiny A viz výše. Jiná otázka: je číslo 9 prvkem množiny A? Ne. Píšeme 9 / A. Číslo 9 nepatří do množiny A, protože nebylo uvedeno v seznamu jejích prvků. A tak dále (pro ostatní přirozená čísla i pro jiné objekty). Vidíme, že množiny zavedené výčtem svých prvků jsou dobře určeny: o každém objektu jsme schopni říci, zda do takto zavedené množiny patří, nebo ne (podíváme se do seznamu). Podívejme se na jiný příklad množiny zavedené výčtem. Položme A = {a, a},

7 kde a je nějaký prvek. Znak a je proměnná, která má pro tuto chvíli význam nějakého, blíže neurčeného prvku, označuje ten prvek. Proměnná a je pro tuto chvíli konstantní. Proměnná A oproti dřívější úvaze (kde označovala množinu celých čísel od 10 do 99) změnila svůj význam. Nyní označuje množinu {a, a}. Předpokládám, že čtenář se se zápisem (množinou) {a, a} ještě nesetkal a je překvapen. Čtenář si možná klade otázku, zda uvedený zápis považovat za množinu a zda je to vůbec dobře. Ověřme tedy, že A je množina a že je dobře určena. Zodpovíme tedy následující dvě otázky: Platí a A? Ano. Prvek a je totiž uveden v seznamu prvků výše zavedené množiny A. (V seznamu je dokonce uveden dvakrát.) Nechť c je nějaký jiný prvek, c a. Platí c A? Ne. Prvek c není uveden v seznamu prvků množiny A. (Kromě prvku a tam žádný jiný prvek uveden není.) Vidíme, že množina A je dobře určena: o každém objektu jsme schopni říci, zda do množiny A patří, nebo nepatří. Uvažujme nyní množinu B = {a} (prvek a je zde uveden pouze jednou). Platí a B? Ano. Jestliže c je prvek různý od a (c a), platí c B? Ne. Výše uvedenými úvahami jsme dokázali svoje první (matematické) tvrzení: Množiny A = {a, a} i B = {a} mají stejné prvky. Co to znamená? Znamená to, že pro každý prvek c platí: c {a, a} právě tehdy, když c {a}. Důkaz. Budiž c nějaký prvek. Nyní jsou dvě možnosti: (a) buď c = a, (b) anebo c a. A třetí možnost není! (Tertium non datur!) Ad (a). Když c = a, pak prvky c i a jsou totožné (obě proměnné c i a označují jeden a tentýž prvek). A již víme, že a A i a B. Ad (b). Když c a, pak jak už víme, c / A ani c / B. Uvažujeme-li obě možnosti dohromady (a více možností není), dostáváme, že c A právě tehdy, když c B, q. e. d. Tři poznámky k důkazu. (1) Čtenáře asi udivilo, proč jsme v důkazu zdůraznili takovou samozřejmost, že třetí možnost není. Možná se však najdou i takoví čtenáři, kteří už jsou obeznámeni s tzv. Russellovým paradoxem, na nějž Bertrand Russell 1 narazil v roce 1902. Russellův paradox ve své době v ma- 1 Bertrand Russell (1872 1970) byl anglický matematik, později matematiku opustil a věnoval se filosofii a politice. Jeho cílem bylo vybudovat matematiku na čistě logickém základě. Proto přinejmenším od roku 1901 pracoval na monumentálním díle Principia Mathematica. Na díle pracoval společně s Alfredem Whiteheadem. První svazek tohoto díla vyšel v Cambridgi v roce 1925, druhý a třetí svazek v roce 1927. Původně byl v plánu ještě čtvrtý svazek, o geometrii, měl jej psát pouze Whitehead, ale nikdy nevyšel. Práce na tomto velkolepém díle představovala pro Russella obrovskou zátěž. Velmi vyčerpávající bylo, když se (dlouhou dobu marně) snažil vyřešit elementární paradoxy (např. nyní známý Russellův paradox aj.), na které při psaní díla narážel. Uvádí, že duševní úsilí, které psaní tohoto díla vyžadovalo, nenapravitelně vyčerpalo jeho myšlenkovou kapacitu. Prohlásil doslova: Ani jeden z nás [Russell ani Whitehead] by tuto knihu nedokázal napsat sám. I při společné práci a s ulehčením, jež nám přinesla vzájemná diskuse, bylo naše úsilí tak nesmírné, že jsme se nakonec oba od matematické logiky odvrátili s jakýmsi odporem. * Dílo Principia Mathematica je psáno převážně symbolickým jazykem a, jak už naznačeno, jeho rozsah je ohromující. Je proto ironií, že dnes je toto pojednání zajímave spíše jen z historického hlediska. Soudobí matematici toto dílo vlastně moc nečtou. Kdo ví, jaký osud tuto pozoruhodnou knihu čeká? (Kdo ví, jaký osud čeká ostatní matematické knihy??) Matematik Godfey Harold Hardy podává následující svědectví o rozhovoru, který vedl s Bertrandem

8 KAPITOLA 1. PRVNÍ SETKÁNÍ S POJMEM MNOŽINY tematice způsobil hlubokou krizi. 2 Jako jedno možné řešení této krize někteří matematici navrhovali odmítnout tzv. zákon vyloučeného třetího (latinsky tertium non datur ), neboli zákon, že zde žádná třetí možnost není. My s tímto zákonem naopak souhlasíme a v důkazu jsou zvýrazněna místa, kde byl použit. (2) Na konci důkazu stojí latinská zkratka q. e. d., často psaná i velkými písmeny (Q. E. D.), za slova quod erat demonstrandum. Česky to znamená což bylo dokázati. Odtud je i česká zkratka c. b. d. (jen malými písmeny) se stejným významem. Na konci každého důkazu totiž bývá velmi dobrým zvykem nějak naznačit, že důkaz skončil. Ukončení důkazu lze oznámit buď slovy (např. a tímto je důkaz ukončen ) nebo zkratkou (c. b. d., q. e. d.). S velikou oblibou se k označení konce důkazu používá také čtvereček nebo. (3) Snad již jen pro úplnost dodejme, že slovo ad je latinská předložka, která česky znamená k (ad (a) česky k bodu (a)). Dokázali jsme si (a byl to opravdu poctivý matematický důkaz na rozdíl od spíše intuitivního začátku této kapitoly), že množiny A = {a, a} a B = {a} mají stejné prvky. Z toho vyplývá (?), že množiny A a B jsou si rovny (A = B). Proč zpochybňující otazníček? Přeci se opět zdá být přirozené, že jestliže dvě množiny mají stejné prvky, potom jsou si rovny. Ve skutečnosti toto tvrzení až tak samozřejmé není, jde o jeden z axiomů teorie množin (tzv. axiom extensionality 3 ). A v místě zpochybňujícího otazníčku jsme použili právě uve- Russellem: Vzpomínám si, jak mi Bertrand Russell vyprávěl o hrozném snu. Zdálo se mu, že se nachází v univerzitní knihovně někdy kolem roku 2100. Kolem polic s knihami procházel knihovník s obrovským kbelíkem, bral jednu knihu po druhé, prohlížel si je a buď je dával zpátky na polici, nebo je házel do kbelíku. Nakonec přišel ke třem velkým svazkům, v nichž Russell poznal výtisk díla Principia Mathematica. Vzal jeden svazek, obrátil několik stránek a na chvíli se zdálo, že ho podivné symboly zmátly. Pak knihu zavřel, podržel ji v ruce a zaváhal... ** Russell se již k matematice nevrátil. Věnoval se filosofii a politice byl rozhodným zastáncem pacifismu. Už za 1. světové války byl 6 měsíců vězněn za to, že z důvodů svědomí odmítl nastoupit vojenskou službu. Od 50. let 20. století se stále aktivněji zapojoval do celosvětového mírového hnutí proti jaderné válce. V roce 1950 byl Bertrand Russell oceněn Nobelovou cenou za literaturu. * John D. Barrow, Pí na nebesích, str. 122. Viz seznam literatury na konci těchto skript. ** John D. Barrow, Pí na nebesích, str. 123. 2 Pro zájemce popíšu, v čem Russellův paradox spočívá: Uvažujme množinu N (písmeno N psané německou frakturou) všech množin, které nejsou prvkem sama sebe. Neboli, nějaká množina X patří do množiny N (platí X N) právě tehdy, když množina X neobsahuje samu sebe (množina X splňuje vlastnost X / X). Máme tedy N = { X ; X / X }. A nyní si položme otázku: Je množina N prvkem sama sebe? Platí N N? Podívejme se na definici množiny N. Tato množina obsahuje právě ty množiny, které neobsahují sebe sama. Jestliže platí N / / N (množina N neobsahuje sebe sama), potom množina N musí být prvkem množiny N (platí N N). Naopak, jestliže množina N obsahuje sama sebe (platí N N), potom N není obsaženo v N (platí N / / N), protože množiny obsahující sebe sama v množině N nejsou přítomny. Shrnutí: N N právě tehdy, když N / / N. Paradox. 3 Axiomem rozumíme tvrzení, které přijímáme jako pravdivé; pravdivost axiomu tedy nedokazujeme, nýbrž ji předpokládáme. Zmíněný axiom extensionality je následující tvrzení: Mají-li dvě množiny A a B stejné prvky (tzn., že pro každý prvek c platí c A právě tehdy,

9 dený axiom. Pokud s tímto axiomem souhlasíme (a my s ním souhlasit budeme), je naše vyvozování korektní. Proto odvozený závěr, že A = B, je správný. Z dlouhých úvah lze učinit stručné shrnutí: jestliže je nějaký prvek ve výčtu prvků nějké množiny uveden dvakrát (nebo i vícekrtát, např. {a, a}), je to totéž, jako kdyby daný prvek byl v seznamu uveden pouze jednou (např. {a}). Přejděme k dalšímu příkladu. Buďte a a b nějaké dva prvky. Poznámka. Prvky a a b nemusejí být nutně dva různé prvky! Vztah a b tedy může nebo nemusí platit. (Obdobně vztah a = b může nebo nemusí platit.) Řekl jsem totiž pouze buďte a a b nějaké dva prvky. Neřekl jsem buďte a a b dva různé prvky. Prosím proto čtenáře, aby si na tuto jemnost dával pozor a nenechal se zbytečně nachytat. Nechť tedy a a b jsou nějaké dva prvky. Obdobným způsobem se dokáže, že {a, b} = {b, a}. Důkaz. Zvolme libovolný prvek c. Jsou dvě možnosti: (a) buď platí c = a nebo c = b, (b) anebo platí c a a současně c b (a třetí možnost není). Ad (a). Když c = a nebo c = b, potom c {a, b} i c {b, a}. Prvek c je uveden v seznamu prvků obou množin. Ad (b). Pokud c a a zároveň c b, potom c / / {a, b} ani c / / {b, a}. Tentokrát se prvek c nenachází na seznamu prvků zádné z uvedených dvou množin. Tímto jsme ověřili, že množiny {a, b} i {b, a} mají tytéž prvky. Odtud vyplývá (ve skutečnosti opět užitím již zmíněného axiomu extensionality), že obě množiny jsou si rovny, {a, b} = {b, a}, c. b. d. Z právě dokázaného tvrzení (tj. tvrzení, že {a, b} = {b, a}) si můžeme odnést ponaučení, že nezáleží na pořadí, v jakém jsou prvky množiny vyjmenovány. (Připomínám též ponaučení, které jsme uvedli výše: jestliže nějaký prvek je uveden ve výčtu prvků nějaké množiny, potom je lhostejné, zda daný prvek je ve výčtu uveden dvakrát (třikrát,... ) nebo jenom jednou.) Kontrolní otázka: bude uvedený důkaz tvrzení, že {a, b} = {b, a}, fungovat i v případě, že prvky a a b jsou stejné (a = b)? [Ano. Ale proč?] Uveďme si ještě jeden příklad množiny zavedené výčtem svých prvků. Podívejme se na množinu {}. Vidíme, že seznam je prázdný, uvedená množina neobsahuje žádný prvek. Jde o tzv. prázdnou množinu. Prázdnou množinu obvykle značíme znakem. (Značení {} lze používat také, je však méně časté.) Platí tedy = {}. Zdá se mi být vhodné na tomto místě uvést jedno upozornění. Pozor, mnokdyž c B), potom množiny A a B jsou si rovny (tedy A = B). Axiom extensionality, který je jedním z axiomů teorie množin, jsme si tedy už uvedli. Ostatní axiomy teorie množin již v těchto skriptech neuvádím, neboť by to znamenalo překročit rámec jednoduchého úvodu do teorie množin.

10 KAPITOLA 1. PRVNÍ SETKÁNÍ S POJMEM MNOŽINY žina { } je zase další příklad množiny zavedené výčtem. Je to množina, která jako svůj jediný prvek obsahuje prázdnou množinu. (Vidíme, že množiny mohou být prvky jiných množin.) Množina { } tedy obsahuje prvek (prázdnou množinu), a tudíž není prázdná, { }. Nezaměňujte proto množinu { } s množinou prázdnou! Na závěr této kapitoly uvedu dvě poznámky. První z nich se týká množiny všech přirozených čísel {1, 2, 3, 4, 5,...}, již čtenář jistě zná už ze (střední nebo základní) školy. Na právě uvedené množině je zajímavé, že její prvky není možné všechny vyjmenovat. O každém daném objektu (prvku) jsme však schopni při nejmenším intuitivně říci, zda je, anebo není přirozeným číslem. Odtud s odvoláním na úvodní část této kapitoly plyne, že množina všech přirozených čísel je dobře určena. To v důsledku znamená, že v (intuitivní) teorii množin lze pracovat i s množinami, které není možné určit výčtem svých prvků. (Poznámka. V teorii množin se množina přirozených čísel zavádí formálním postupem, při kterém se na intuici nemusíme spoléhat. Tento postup je ale nad rámec těchto skript, proto jej zde neuvádím; vystačíme jen s intuitivním pochopením množiny přirozených čísel.) Druhá poznámka se týká konvencí, které se při označování prvků množin většinou používají. Obyčejné prvky množin obvykle označujeme malými písmeny: a, b, c,..., x, y, z. A podobně. Matematické proměnné (jako např. x, y, z) v textu tradičně vyznačujeme kurzívou (písmo skloněné a poněkud odlišné kresby). Množiny prvků pak obyčejně značíme velkými písmeny: A, B, C,... Potřebujeme-li pracovat se soubory množin (říkáme též množiny množin, kolekce množin, systémy množin apod.), označujeme je s oblibou německou frakturou: A, B, C,..., X, Y, Z. Německé fraktuře se lidově (ne zcela správně ovšem!) říká též švabach. Protože předpokládám, že čtenář s německou frakturou není obeznámen, uvádím ji zde celou (s výjimkou písmen přehlasovaných, německého ostrého ß a několika slitků): A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z, a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z. Případně lze systémy množin označovat písmem kaligrafickým (písmo ozdobně provedené; různá kaligrafická písma se mírou svojí ozdobnosti samozřejmě mohou lišit): A, B, C,..., X, Y, Z. Již poměrně vzácně je potřeba v matematice pracovat se systémy systémů množin. Obecně platí, že čím větší je systém množin, tím kroucenější (tím ozdobnější, případně tím gotičtější apod.) písmo pro jeho označení použijeme.

11 Cvičení 1.1. Jsou dány prvky a, b, c. Uvažujme následující množiny: A = {a, b, a}, B = {a, b, c}, C = {b, a, b}, D = {c, a, a, b}, E = {}, F =, M = {A, B, C}, N = {C, D, A}, O = { }, P = {F }. Které z uvedených množin jsou si rovny? (Rozmýšlejte pozorně!)

12 KAPITOLA 1. PRVNÍ SETKÁNÍ S POJMEM MNOŽINY

Kapitola 2 Další základní predikáty teorie množin: inkluze a ostrá inkluze Čtenář již ze základní školy jistě zná binární predikát rovnosti = vyjadřující, že dva objekty jsou totožné, tj., že jde o jeden a týž objekt. Kromě toho čtenář musí znát také binární predikát náležení vyjadřující, že jeden objekt (prvek) náleží jinému objektu (množině). Zatímco predikát rovnosti je univerzálním predikátem, neboť jeho použití se v matematice neomezuje jen na oblast teorie množin, používání predikátu náležení je zcela charakteristické (v podstatě) výlučně pro teorii množin. Pomocí predikátu náležení, který jsme připomněli v předcházející kapitole, nyní zavedeme další základní predikáty teorie množin. Půjde o binární predikáty inkluze a ostré inkluze. Definice 2.1. (Inkluze a ostrá inkluze.) Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme A B právě tehdy, když každý prvek x množiny A je obsažen v množině B. Formálně máme A B x A: x B x: x A x B. Dále říkáme, že množina A je vlastní podmnožinou množiny B a píšeme A B právě tehdy, když množina A je podmnožinou množiny B a množiny A a B jsou různé. Formálně máme A B A B A B. Graficky lze pojem podmnožiny ilustrovat následujícím obrázkem: A B Poznámka 2.1. Čtenář zřejmě ze střední školy zná zápisy typu x A: ϕ(x) resp. x A: ϕ(x), kde A je množina a ϕ(x) je formule. Uvedené zápisy čteme pro každý prvek x množiny A platí ϕ(x) resp. existuje prvek x množiny A 13

14 KAPITOLA 2.... INKLUZE A OSTRÁ INKLUZE takový, že (resp. pro který) platí ϕ(x). S jedním příkladem takového zápisu jsme se právě setkali ve výše uvedené definici: x A: x B, takže ϕ(x) je zde formule x B. Předpokládám však, že se zápisem typu x: ϕ(x) resp. x: ϕ(x), kde x je proměnná a ϕ(x) je formule, se čtenář až na výše uvedenou definici dosud nesetkal. Na čtení uvedených zápisů však není nic neobvyklého, čteme je pro každý prvek x platí ϕ(x) resp. existuje prvek x takový, že (resp. pro který) platí ϕ(x). Uveďme ještě, že když A je množina, pak zápis x A: ϕ(x) je zkratka za x: x A ϕ(x), zápis x A: ϕ(x) je zkratka za x: x A ϕ(x). Prosím čtenáře, aby uvedeným zkratkám věnoval trochu pozornosti a pokusil se nad jejich významem chvíli zamyslet. Poznámka 2.2. Když už jsme zaběhli do uvádění zkratek, rozmyslete si ještě, že x / A znamená, resp. je zkratka za (x A), x y znamená, resp. je zkratka za (x = y). První zkratka znamená, že x není prvkem množiny A, druhá zkratka znamená, že x se nerovná / je různé od y. Poznámka 2.3. Předpokládá se sice, že čtenář je ze střední školy obeznámen se základními logickými spojkami a zpaměti zná i tabulky jejich pravdivostních hodnot, přesto je zde připomenu: negace z latinského negatio = popření, čti ne-, jiná značení: p, p. konjunkce z latinského coniunctio = spojení, čti a, a současně, a zároveň, příp. i, jiné značení: &. disjunkce z latinského disiunctio = rozpojení, rozloučení alternativa z latinského alternare = uvažovat jedno po druhém, čti nebo, anebo. implikace z latinského implicare = připoutat, čti jestliže..., potom..., -li..., pak..., pokud..., když..., jiné značení:. ekvivalence z latinského aequivalens = stejně hodnotný, čti právě tehdy, když..., tehdy a jen tehdy, když..., právě když..., jiná značení:,. Tabulky pravdivostních hodnot jsou následující:

15 A B A B A B A B A B A B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Poznámka 2.4. Nyní se vraťme k první definici, kde jsme zavedli pojem podmnožiny resp. vlastní podmnožiny a rozhodli se jej označovat resp.. Někteří autoři používají jiné značení, podmnožinu (nikoliv vlastní) označují symbolem. Zápisem A B tito autoři vyjadřují, že x A: x B. S pojmem vlastní podmnožiny tito autoři nepracují. My budeme symboly a používat ve významu podle výše uvedené definice. Následující věta plyne přímo z definice inkluze. Věta 2.1. Každá množina A obsahuje alespoň dvě podmnožiny, totiž a A. Formálně máme A a A A. Jelikož množiny a A jsou podmnožinami každé množiny A, nazýváme je triviálními podmnožinami množiny A. Cvičení 2.1. Odůvodněte platnost výše uvedené věty. Také následující věta se snadno odvodí pomocí definice inkluze a axiomu extensionality.

16 KAPITOLA 2.... INKLUZE A OSTRÁ INKLUZE Věta 2.2. Dvě množiny A a B jsou si rovny právě tehdy, když jsou ve vzájemné inkluzi. Formálně: A = B A B B A. Poznámka 2.5. Nyní uvedená věta se často používá při důkazech rovnosti dvou množin. Předpokládejme, že jsou dány nějaké dvě množiny A a B a že máme dokázat rovnost obou množin. Máme tedy dokázat, že A = B. Důkaz provedeme tak, že postupně dokážeme inkluze A B a B A. Inkluze A B se dokáže podle definice: Zvolíme libovolný prvek x A a nějakým způsobem dokážeme, že z faktu x A vyplývá x B. Jinou možností je dokázat, že z faktu x / / B vyplývá x / / A. V případě inkluze B A se postupuje zcela obdobně. Cvičení 2.2. Odůvodněte platnost naposledy uvedené věty. Již jsme viděli, že každá množina A obsahuje alespoň dvě tzv. triviální podmnožiny, totiž prázdnou množinu a sama sebe, tedy a A. Souhrn všech podmnožin množiny A pak vytváří tzv. potenční množinu množiny A, kterou zavádíme v následující definici. Definice 2.2. (Potenční množina.) Potenční množinu množiny A označíme P(A) a rozumíme jí množinu všech podmnožin množiny A. Formálně máme P(A) = { X ; X A }. Poznamenejme, že potenční množina množiny A se někdy značí také jen P (A) nebo 2 A. Platí tedy P (A) = 2 A = P(A). Poznámka 2.6. V předcházející kapitole jsme množiny vymezovali výčtem jejich prvků. V naposledy uvedené definici potenční množiny se ale setkáváme s množinou vymezenou jiným způsobem, totiž pomocí charakteristické vlastnosti jejích prvků. Množiny vymezené tímto způsobem lze zapsat pomocí cantorovského 1 schématu { x ; ϕ(x) }, kde ϕ(x) je formule. Je to množina všech prvků x, které vyhovují podmínce ϕ(x). Poznamenejme, že má-li být existence množiny { x ; ϕ(x) } zaručena, formuli ϕ(x) nelze volit zcela libovolně, je nutné ji volit s ohledem na všeobecně přijímané axiomy teorie množin. Jak jsem však již při jedné příležitosti uvedl, vyjmenování těchto axiomů by překročilo rámec těchto skript. Ukažme si na příkladě, jak vypadá potenční množina prázdné množiny a potenční množina jedno- až tříprvkové množiny. Příklad 2.1. P ( {} ) = { }, P ( {a} ) = {, {a} }, P ( {a, b} ) = {, {a}, {b}, {a, b} }, P ( {a, b, c} ) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }. 1 Georg Cantor (1845 1918) byl německý matematik. Je to právě on, kdo je považován za zakladatele moderní teorie množin. Jako vůbec první se odvážil soustavně pracovat s aktuálně nekonečnými množinami a popsal jejich vlasnosti.

17 Cvičení 2.3. Kolik prvků má potenční množina P(A), jestliže množina A má n prvků (n = 0, 1, 2, 3,... )? Dokážete svoji odpověď odůvodnit? Potenční množinu je možné částečně uspořádat inkluzí. (Pojem částečného uspořádání zavedu v těchto skriptech v sedmé kapitole.) Například mezi prvky potenční množiny P ( {a} ) platí vztah {a}, mezi prvky potenční množiny P ( {a, b} ) platí mj. vztahy {a}, {b}, {a} {a, b}, {b} {a, b} apod. Částečné uspořádání množin lze přehledně znázornit pomocí tzv. Hasseových diagramů. Znázorňujeme-li částečné uspořádání potenční množiny Hasseovým diagramem, používáme několik jednoduchých zásad: Podmnožiny se stejným počtem prvků zapisujeme do stejného řádku. Podmnožiny s větším počtem prvků zapisujeme do vyšších řádků, podmnožiny s menším počtem prvků do nižších řádků. Je-li jedna podmnožina obsažena v druhé podmnožině, nakreslíme mezi nimi spojnici. Spojnice kreslíme pouze mezi sousedními řádky. Podívejme se, jak částečná uspořádání některých potenčních množin z předcházejícího příkladu vypadají. Příklad 2.2. P ( {} ) : P ( {a} ) : {a} P ( {a, b} ) : P ( {a, b, c} ) : {a} {a, b} {b} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Poznámka 2.7. Podíváte-li se blíže na Hasseův diagram tříprvkové množiny, zjistíte, že připomíná krychli. Vskutku: Hasseův diagram jednoprvkové množiny připomíná úsečku, což je jednorozměrná krychle, a Hasseův diagram dvouprvkové množiny připomíná čtverec, což je dvojrozměrná krychle. Rozšíření této úvahy již nechávám na čtenáři.

18 KAPITOLA 2.... INKLUZE A OSTRÁ INKLUZE Cvičení 2.4. Uvažujme systém množin M = { {a, b}, {b, c}, {c, d}, {a, b, c}, {b, c, d} }, kde a, b, c, d jsou navzájem různé prvky. Uspořádejte množinu M inkluzí, tj., rozhodněte, zda platí {a, b} {b, c} anebo {b, c} {a, b},..., zda platí {a, b} {a, b, c} anebo {a, b, c} {a, b} atd. (Prozkoumejte všechny možnosti.) Nakreslete také Hasseův diagram vzniklého uspořádání.

Kapitola 3 Základní množinové operace Mějme zadány dvě množiny A a B. Pak pomocí základních množinových operací které uvedeme za chvíli z těchto dvou množin můžeme získat další množinu. Základními množinovými operacemi jsou sjednocení, jež označujeme znakem, dále průnik, který označujeme znakem, a rozdíl, k jehož označení používáme znak \. Uvedené operace nyní definujeme. (Poznamenejme, že všechny uvedené operace jsou binární mají dva operandy.) Definice 3.1. (Sjednocení.) Sjednocením dvou množin A a B je množina A B = { x ; x A x B }. Sjednocení A B množin A a B je tedy množina právě všech prvků x takových, že x náleží množině A nebo množině B (případně náleží oběma množinám současně). Graficky můžeme sjednocení A B dvou množin A a B znázornit následovně: A B Kromě zápisu A B se sjednocení množin A a B někdy značí také A + B. (Uvedené značení A + B ale není příliš vhodné.) Definice 3.2. (Průnik.) Průnikem dvou množin A a B je množina A B = { x ; x A x B }. Průnik A B množin A a B je tedy množina právě všech prvků x, které náleží oběma množinám A i B současně. Graficky můžeme průnik A B dvou množin A a B znázornit následovně: A B Průnik dvou množin A a B se kromě zápisu A B značí také A B nebo zkráceně jen AB. (Značení A B ani AB nejsou moc vhodná.) 19

20 KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ OPERACE Definice 3.3. (Rozdíl.) Rozdílem dvou množin A a B je množina A \ B = { x ; x A x / B }. Slovy lze říci, že rozdíl A \ B množin A a B je množina obsahující právě ty prvky x, které leží v množině A a neleží v množině B. Graficky lze rozdíl A \ B dvou množin A a B znázornit následovně: A B Také rozdíl A \ B dvou množin A a B se někdy značí A B popř. A B. (Značení A B není příliš vhodné.) Cvičení 3.1. Nechť A, B a C jsou množiny. Nahlédněte, že platí 1. A B = B A, 2. (A B) C = A (B C), 3. A \ B A, 4. A B A, 5. A B B. Cvičení 3.2. Nechť A, B a C jsou množiny. Platí také následující vztahy? 1. A \ B = B \ A? 2. (A \ B) \ C = A \ (B \ C)? 3. A \ B B? S rozdílem množin těsně souvisí pojem doplňku, který uvedeme v následující poznámce. Poznámka 3.1. (Doplněk.) Nechť A a C jsou dvě množiny (a předpokládejme, že množina A je obsažena v množině C, tedy A C). Pak doplňkem množiny A v množině C rozumíme množinu A C = C \ A resp. A C = C \ A. Zápisy A C a A C jsou dvě možná označení doplňku množiny A v množině C. Vidíme, že nejde o nic jiného než o rozdíl množin C a A. Doplněk množiny A můžeme označit také A nebo A, je-li z okolního kontextu zřejmé, v jaké množině doplněk množiny A uvažujeme. Graficky můžeme doplněk množiny A v množině C znázornit následujícím diagramem: A C

21 Poznamenejme, že doplněk (komplement) množiny A je vždy třeba uvažovat v nějaké množině. Pokud tak neučiníme, dostaneme A = { x ; x / / A }, což není množina, ale pouze tzv. třída 1. Dosažené poznatky nyní stručně shrneme v následující poznámce. Poznámka 3.2. Podle výše uvedených tří definic máme A B = { x ; x A x B }, A B = { x ; x A x B }, A \ B = { x ; x A x / B }, kde A a B jsou množiny. To jinými slovy znamená, že pro libovolný prvek x platí x A B právě tehdy, když x A nebo x B, platí x A B právě tehdy, když x A a současně x B, platí x A \ B právě tehdy, když x A a současně x / B. Právě uvedené tři vztahy budou užitečné při důkazech rovnosti množin provedených tzv. metodou neurčitého prvku, opírající se o axiom extensionality. V další části této kapitoly se zaměříme na základní vlastnosti výše uvedených operací s množinami. Z dřívějška možná znáte některé základní tautologie výrokové logiky, kterými jsou: De Morganova 2 pravidla (A B) ( A B), (A B) ( A B). Zákon dvojí negace A A. A distributivní zákony A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C). Znaky A, B a C ve všech výše uvedených tautologiích označují výrokové proměnné. 1 Pojem třídy je v teorii množin obecnější než pojem množiny. Lze říci, že každá množina je zároveň třídou; některé třídy však nejsou množinami. Vymezovat pojem třídy by přesáhlo rámec těchto skript. Při budování teorie množin se lze navíc s trochou důvtipu bez pojmu třídy docela dobře obejít. Pojem třídy proto blíže nezavádím. 2 Augustus de Morgan (čti mórgen) (1806 1871) britský logik a matematik 19. století, průkopník a systematizátor moderní formální logiky a jejího propojení s algebrou. Po objevení de Morganových pravidel se mnoho dalších matematiků pokoušelo najít obdobné formulky, aby po nich také mohly být pojmenovány. Všeobecně známými však zůstala pouze de Morganova pravidla.

22 KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ OPERACE Uvedené tautologie mají svoje protějšky také v jazyce teorie množin. Obecně lze říci, že logické spojce odpovídá množinová operace, logické spojce odpovídá množinová operace, logické spojce odpovídá doplněk množiny (v nějaké další množině), logické spojce odpovídá predikát, logické spojce odpovídá predikát =. Nyní si ukážeme, jak protějšky výše uvedených tautologií vypadají v jazyce teorie množin. Než tak učiníme, připomeňme, že zápis x / A je ekvivalentní zápisu (x A) ( ) pro libovolný prvek x a libovolnou množinu A. Tvrzení 3.1. (De Morganova pravidla.) Nechť A, B a C jsou množiny. Potom platí: C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), C \ (A B) = (C \ A) (C \ B). Důkaz. Ukážeme platnost prvního vztahu. Důkaz provedeme metodou neurčitého prvku: ukážeme, že pro libovolný prvek x platí x C \ (A B) právě tehdy, když x (C \ A) (C \ B); rovnost obou množin pak plyne pomocí axiomu extensionality. Postupným užitím definice rozdílu množin, vztahu ( ), definice průniku množin, de Morganova pravidla (z výrokové logiky), distributivity, definice rozdílu a sjednocení množin totiž máme: x C \ (A B) x C x / (A B) x C ( x (A B) ) x C (x A x B) x C (x / A x / B) (x C x / A) (x C x / B) x (C \ A) x (C \ B) x (C \ A) (C \ B). Druhý vztah se dokáže obdobně. Poznámka 3.3. První vztah z posledního tvrzení 3.1. lze znázornit následujícím diagramem: C A B

23 Cvičení 3.3. Samostatně dokažte druhé de Morganovo pravidlo z tvrzení 3.1. (metodou neurčitého prvku) a znázorněte jej obrázkem. Následující tvrzení obsahuje vztah odpovídající zákonu dvojí negace. Tvrzení 3.2. Pro dvě množiny A a C platí vztah C \ (C \ A) = A C. Důkaz. Důkaz provedeme metodou neurčitého prvku. Ukážeme, že pro každý prvek x platí x C \(C \A) právě tehdy, když x A C. Podle definice rozdílu množin, vztahu ( ), de Morganova pravidla (z výrokové logiky), distributivity (z výrokové logiky) a definice průniku množin máme: x C \ (C \ A) x C x / (C \ A) x C (x C x / A) x C (x / C x A) (x C x / C) (x C x A) x C x A x A C. Tím je důkaz proveden. Zbývá ukázat, jak v teorii množin vypadají distributivní zákony. Tvrzení 3.3. (Distributivní zákony.) Nechť A, B a C jsou množiny. Potom platí: A (B C) = (A B) (A C), Důkaz. Pro libovolný prvek x platí: A (B C) = (A B) (A C). x A (B C) x A x (B C) x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x (A B) x (A C) x (A B) (A C). Druhý vztah se dokáže obdobně. Cvičení 3.4. Dokažte druhý distributivní zákon z předcházejícího tvrzení. Nakonec v této kapitole zavedeme pojem disjunktních 3 množin.

24 KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ OPERACE Definice 3.4. (Disjunktní množiny.) Dvě množiny A a B jsou disjunktní právě tehdy, když mají prázdný průnik, tj. A B =. Graficky můžeme disjunktní množiny znázornit následujícím obrázkem: A B Cvičení 3.5. Nechť A a B jsou dvě množiny. Nahlédněte (především nakreslením obrázků), že platí: 1. A \ B = (A B) \ B = A \ (A B), 2. A \ (A \ B) = A B. Cvičení 3.6. Nechť A, B a C jsou množiny. Odůvodněte formálně (metodou neurčitého prvku) platnost následujících vztahů: 1. (B C) A = (B A) (C A), 2. (B C) \ A = (B \ A) (C \ A). Cvičení 3.7. Nechť A, B a C jsou množiny. Znázorněte graficky následující vztahy a dokažte je formálně. 1. (A \ B) \ C = A \ (B C), 2. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Poznámka 3.4. Čtenářově pozornosti doporučuji také dodatek B těchto skript, ve kterém je přehledně vyjmenována celá řada dalších vztahů. 3 Nechceme-li používat cizích slov, můžeme říci, že množiny disjunktní jsou množiny rozpojené či rozloučené. Odvozeno z latinského disiunctio = rozpojení, rozloučení.

Kapitola 4 Neuspořádaná dvojice. Uspořádaná dvojice Začneme neuspořádanou dvojicí. Definice 4.1. (Neuspořádaná dvojice.) Neuspořádanou dvojicí prvků a a b rozumíme množinu {a, b}. V první kapitole těchto skript jsme poměrně důkladně dokazovali, že {a, b} = = {b, a}. Nezáleží tedy na pořadí prvků ve dvojici {a, b}. Odtud název neuspořádaná dvojice. Pokud jsou prvky a a b od sebe různé, platí a b, potom množina {a, b} je dvouprvková. Platí-li však a = b, potom množina {a, b} je samozřejmě jednoprvková. (Pokud je čtenář překvapen, připomínám, že nikde nebyl řečen předpoklad, že prvky a a b mají být od sebe různé. Případ a = b tedy není vyloučen.) Chtěli bychom však zavést pojem uspořádané dvojice, pro kterou jsou charakteristické dvě věci: (1) sestává ze dvou prvků (je to dvojice) a (2) záleží na pořadí, v jakém jsou prvky uvedeny (je to uspořádaná dvojice). Následující definici uspořádané dvojice poprvé použil polský matematik Kazimierz Kuratowski 1 v roce 1921, stejnou definici později navrhnul také americký matematik Norbert Wiener 2. Definice 4.2. (Uspořádaná dvojice.) Uspořádanou dvojicí prvků a a b (v u- vedeném pořadí) rozumíme množinu [a, b] = { {a}, {a, b} }. Vidíme, že pojem uspořádané dvojice je vyjádřen pouze za použití prostředků teorie množin. Uspořádaná dvojice je určitá množina, která jako své prvky obsahuje množiny: množina {a, b} určuje, ze kterých prvků daná uspořádaná dvojice sestává, a množina {a} určuje, který prvek je první. 1 Kazimierz Kuratowski (1896 1980) polský matematik. Významně přispěl k rozvoji množinové topologie. Věnoval se také deskriptivní teorii množin a teorii reálných funkcí. 2 Norbert Wiener (1894 1964) americký matematik, je ale znám především jako zakladatel kybernetiky. Pracoval též v oblastech matematické analýzy, teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky a v oblasti výpočetní techniky. 25

26 KAPITOLA 4. USPOŘÁDANÁ A NEUSPOŘÁDANÁ DVOJICE Poznámka 4.1. Kromě zápisu [a, b], který jsme v těchto skriptech zavedli, se uspořádané dvojice značí také zápisem a, b nebo (a, b). Následující věta dokládá, že zavedený pojem uspořádané dvojice je ve shodě s výše uvedenými intuitivními požadavky a že jeho zavedení pomocí prostředků teorie množin bylo úspěšné. Věta 4.1. Pro libovolné čtyři prvky a, b, c, d platí [a, b] = [c, d] právě tehdy, když a = c a b = d. Důkaz. Důkaz ekvivalence rozdělíme na dvě části, na důkaz implikace a implikace. Implikace je ovšem triviální. Dokážeme proto pouze implikaci. V důkazu implikace rozlišíme dva případy: buď a = b, anebo a b. Když a = b, pak platí [a, b] = { {a}, {a, b} } = { {a}, {a, a} } = { {a}, {a} } = { {a} }. Protože podle předpokladu máme [a, b] = [c, d], množiny [a, b] = { {a} } i [c, d] = = { {c}, {c, d} } musejí mít stejné prvky. Odtud plyne {a} = {c} a {a} = {c, d}. Je tedy a = c = d. Protože a = b, máme a = b = c = d. Tím je implikace v případě a = b dokázána. Nyní předpokládejme, že a b. Potom nutně platí, že také c d. (Kdyby c = d, pak by platilo a = b. Stačí použít předchozí část důkazu, přičemž se zamění označení prvků a, b a c, d.) Víme tedy, že [a, b] = [c, d] neboli { } { } {a}, {a, b} = {c}, {c, d}. Obě množiny musejí mít stejné prvky. Platí tedy Odtud plyne, že {a} { {c}, {c, d} }. buď {a} = {c}, anebo {a} = {c, d}. První možnost dává a = c. Druhá možnost dává a = c = d. To ovšem není možné, neboť c d. Platí tedy první možnost s výsledkem a = c. Dále z předpokladu { {a}, {a, b} } = { {c}, {c, d} } plyne, že Odtud {a, b} { {c}, {c, d} }. buď {a, b} = {c}, anebo {a, b} = {c, d}. První možnost dává a = b = c, což není možné, neboť a b. Nastává tedy druhá možnost, kde {a, b} = {c, d}. Protože už jsme dokázali, že a = c, dostáváme b = d. Opět jsme dokázali, že a = c a b = d, čímž je důkaz implikace zcela završen. Na závěr této kapitoly zavedeme pojem uspořádané trojice, uspořádané čtveřice atd.

27 Definice 4.3. (Uspořádaná trojice, uspořádaná čtveřice, uspořádaná n-tice.) Uspořádanou trojicí prvků a, b a c rozumíme uspořádanou dvojici [a, b, c] = [ a, [b, c] ]. Obdobně uspořádanou čtveřicí prvků a, b, c, d rozumíme uspořádanou dvojici [a, b, c, d] = [ a, [b, c, d] ], přičemž [b, c, d] = [ b, [c, d] ]. Obecně uspořádanou n-ticí prvků a 1, a 2,..., a n rozumíme uspořádanou dvojici [a 1, a 2,..., a 2 ] = [ a 1, [a 2,..., a n ] ], kde [a 2,..., a n ] je uspořádaná (n 1)-tice. Vidíme, že pojem uspořádané trojice vychází z již výše zavedeného pojmu uspořádané dvojice. Vskutku: [ a, [b, c] ] je uspořádaná dvojice, prvek a je její první složka a [b, c] (sama uspořádaná dvojice!) je její druhá složka. Stejně tak uspořádaná čtveřice [a, b, c, d] je uspořádaná dvojice [ a, [b, c, d] ], v jejíž druhé složce je využit dříve zavedený pojem uspořádané trojice. Poznámka 4.2. Uspořádanou trojici prvků a, b, c resp. uspořádanou n-tici prvků a 1, a 2,..., a n jsme zavedli jako uspořádanou dvojici [ a, [b, c] ] [ resp. a1, [a 2,..., a n ] ] [ ] [. Alternativně jsme ] ji mohli zavést jako uspořádanou dvojici [a, b], c resp. [a1,..., a n 1 ], a n, což se někdy činí. Poznámka 4.3. Mohlo by se zdát, že když uspořádaná dvojice prvků a, b je zavedena jako množina { {a}, {a, b} }, tak obdobně uspořádanou trojici prvků a, b, c by mohlo být možné alternativně zavést jako množinu { {a}, {a, b}, {a, b, c} }. Není ale tomu tak. Uspořádanou trojici naznačeným způsobem není možné zavést. Lze totiž nalézt prvky a, b, c, d, e, f takové, že { {a}, {a, b}, {a, b, c} } = { {d}, {d, e}, {d, e, f} }, přičemž a d nebo b e nebo c f. Cvičení 4.1. (Dobrovolně.) Pokuste se nalézt prvky a, b, c, d, e, f tak, aby platila rovnost { {a}, {a, b}, {a, b, c} } = { {d}, {d, e}, {d, e, f} }, ale neplatilo, že a = d a b = e a c = f. [Návod: Je-li b = c, může být e f?]

28 KAPITOLA 4. USPOŘÁDANÁ A NEUSPOŘÁDANÁ DVOJICE

Kapitola 5 Další operace s množinami a další predikáty teorie množin V této kapitole uvedeme celou sérii definic důležitých pojmů (operací a predikátů) teorie množin. Začneme pojmem (operací) kartézského 1 součinu. Definice 5.1. (Kartézský součin.) Kartézský součin množin A a B je množina A B = { [a, b] ; a A, b B }. Obecně, kartézský součin n množin A 1, A 2,..., A n je množina A 1 A 2 A n = { [a 1, a 2,..., a n ] ; a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n }. Jsou-li si množiny A 1, A 2,..., A n navzájem rovny jsou rovny nějaké společné množině A, tedy A 1 = A 2 = = A n = A potom kartézský součin A 1 A 2 A n můžeme značit také A n : A A A = A } {{ } n. n Kartézský součin dvou množin A a B můžeme graficky znázornit následovně: 1 Slovo kartézský je odvozeno od latinského slova Cartesius, což je latinské příjmení francouzského učence Reného Descartesa. René Descartes (1596 1650), plným latinským jménem Renatus Cartesius, byl francouzský filosof, matematik, fyzik a přírodovědec. Byl také voják, na počátku 30leté války (1618 1648) byl důstojníkem francouzské armády. Jde o všeobecně významnou osobnost. Ve svojí filosofii požaduje jasnost a zřetelnost každé teze, rozčlenění složitého na jednoduché, postup od známého k neznámému a úplnost článků logické dedukce. Velký důraz klade na prověřování poznání rozumem. Mj. je autorem známého výroku myslím, tedy jsem (latinsky cogito, ergo sum ). V matematice zavedl pojem funkce, proměnné veličiny a pravoúhlé (dnes pojmenované po něm jako kartézské) souřadnice. Jako první studoval geometrické křivky ve vztahu k jejich algebraickému vyjádření a stal se tak zakladatelem analytické geometrie. 29

30 KAPITOLA 5. DALŠÍ OPERACE A PREDIKÁTY A B nebo A B Poznámka 5.1. V první kapitole jsme množiny vymezovali pomocí výčtu jejich prvků. Ve druhé kapitole jsme setkali s vymezením množiny pomocí cantorovského schématu { x ; ϕ(x) }, kde ϕ(x) je vhodná formule. V naposledy uvedené definici kartézského součinu se setkáváme s vymezením množiny generovnáním tak, že prvky jiné množiny (popř. jiných množin) dosazujeme do dané operace. Takto vymezené množiny zapisujeme mirimanovským 2 schématem { O(x) ; x A } resp. { O(x, y) ; x A, y B } resp. obecně { O(x1, x 2,..., x n ) ; x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n }, kde O je jednočetná (tj. unární) resp. dvojčetná (tj. binární) resp. n-četná (tj. n-ární) operace a A, B, A 1, A 2,..., A n jsou množiny. V prvním případě jde o množinu obrazů operace O aplikované na množinu A. Obdobně ve druhém resp. třetím případě jde o množinu prvků získaných tak, že do operace O dosadíme všechny možné prvky množin A a B resp. množin A 1, A 2,..., A n. Ve výše uvedené definici kartézského součinu A B = { [a, b]; a A, b B } je operace O určena předpisem O(a, b) = [a, b] = { {a}, {a, b} } pro libovolné dva prvky a a b. Operace O tedy ze dvou prvků a, b vytvoří uspořádanou dvojici [a, b]. V obecné definici A 1 A 2 A n = { [a 1, a 2,..., a n ] ; a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n } je operace O dána předpisem O(a1, a 2,..., a n ) = = [a 1, a 2,..., a n ] pro libovolné prvky a 1, a 2,..., a n. Poznamenejme, možná překvapivě, že mirimanovské schéma lze převést na cantorovské schéma. Například množina { O(x) ; x A } je totožná s množinou { y ; x A: y = O(x) }. Formule ϕ(y) ze schématu { y ; ϕ(y) }, kde jsme jen přejmenovali proměnnou x na y, je zde ( x A: y = O(x) ). V případě vícečetné operace O bychom postupovali zcela obdobně. Poznámka 5.2. Z definice uspořádané trojice [a, b, c] = [ a, [b, c] ] plyne, že kartézský součin tří množin A, B, C je množina A B C = { [ a, b, c ] ; a A, b B, c C } = = { [ a, [b, c] ] ; a A, b B, c C }. 2 Mirimanov ruský emigrant své výsledky publikoval už v roce 1917. Jeho práce však byly tehdy úplně zapomenuty.

31 Vždy tedy platí rovnost A B C = A (B C), přičemž obecně platí A (B C) (A B) C. Vidíme, že kartézský součin není asociativní. Obdobnou poznámku by bylo možné napsat i pro kartézský součin čtyř nebo více množin. Cvičení 5.1. Dokažte, že pro libovolné čtyři množiny A, B, C, D platí následující vztahy: 1. (A B) (C D) = (A C) (A D) (B C) (B D), 2. (A B) (C D) = (A C) (A D) (B C) (B D). Poznámka 5.3. Některé další vztahy lze nalézt v dodatku B těchto skript. Jako další zavedeme pojem (predikát) relace. Definice 5.2. (Relace.) Množina A je relace a píšeme Rel(A) právě tehdy, když všechny její prvky jsou uspořádané dvojice. To je právě tehdy, když z A x, y: z = [x, y]. Poznámka 5.4. Ekvivalentně lze říci, že množina A je relace, Rel(A), právě tehdy, když Y, X: A Y X. Vyjádřeno slovy, existují dvě množiny Y a X takové, že A je podmnožinou kartézského součinu Y X. To lze graficky načrtnout následovně: Y A Poznámka 5.5. Relace obvykle značíme písmeny R, S apod. Jde-li o relace uspořádání, k jejich označení používáme také znaky, < apod. Jestliže R je relace a x a y jsou dva prvky takové, že [x, y] R, píšeme rovněž xry. Jinými slovy zápis xry je zkratka za [x, y] R. Ostatně jsme již dávno zvyklí psát např. 3 7, 2 < 5 atd. X Poznámka 5.6. Relace modeluje vztah mezi prvky pomocí prostředků teorie množin: z dvojic prvků, mezi nimiž platí studovaný vztah, se vytvoří uspořádané dvojice; z těchto uspořádaných dvojic se pak vytvoří množina (relace). Možná by bylo užitečné zmínit, jaký je mezi relací a predikátem rozdíl. Predikáty popisují vlastnosti všech množin (a prvků), tj. vlastnosti všech individuí Universa teorie množin. Kdežto relace A je sama množinou, a tedy jedním z individuí Universa teorie množin. Kromě toho relace A dokáže popsat vztah jen mezi některými prvky resp. individui Universa teorie množin: popisuje vztah

32 KAPITOLA 5. DALŠÍ OPERACE A PREDIKÁTY pouze mezi těmi prvky, které jsou součástí uspořádaných dvojic, z nichž daná relace sestává. Zopakujme, že ve výše uvedené definici jsme zavedli unární predikát Rel(A) množina A je množinou uspořádaných dvojic. Obdobně bychom mohli zavést také unární predikát Rel 3 (A) množina A je množinou uspořádaných trojic. Apod. Nyní zavedeme operaci skládání množin resp. relací. Definice 5.3. (Skládání množin resp. relací.) Složením množin resp. relací R a S rozumíme množinu R S = { [x, z] ; y: [x, y] R [y, z] S }. Jinými slovy lze říci, že prvky x a z jsou ve složené relaci R S, tedy x(r S)z, právě tehdy, když existuje přechodový prvek y takový, že xry a ysz. Mějme nyní dvě funkce F a G. Zvolme prvek x z definičního oboru funkce G a spočítejme y = G(x). Předpokládejme, že prvek y leží v definičním oboru funkce F, takže můžeme spočítat z = F (y) = F ( G(x) ). Je-li možné tyto výpočty provést pro každý prvek x definičního oboru funkce G, dostáváme funkci složenou funkci složenou z funkce F (jakožto vnější funkce) a z funkce G (jakožto vnitřní funkce). Čtenář je už jistě ze střední školy nebo i odjinud obeznámen se vztahem (F G)(x) = F ( G(x) ), ( ) který je definicí složené funkce. Po této úvaze přikročíme k zavedení pojmu (predikátu) funkce. Zavedeme také operace definičního oboru 3 a oboru hodnot. Jejich označení vychází z anglických názvů, které rovněž uvádíme. K zavedeným pojmům pak uvedeme několik poznámek. Definice 5.4. (Funkce.) Množina A je funkce a píšeme Fnc(A) právě tehdy, když Rel(A) x, y, z: [y, x] A [z, x] A y = z. Definice 5.5. (Definiční obor domain.) Definičním oborem množiny resp. funkce A rozumíme množinu Dom(A) = { x ; y: [y, x] A }. Definice 5.6. (Obor hodnot range.) Oborem hodnot množiny resp. funkce A rozumíme množinu Rng(A) = { y ; x: [y, x] A }. Poznámka 5.7. Slovy můžeme říci, že množina A je funkce právě tehdy, když ke každému prvku x z jejího definičního oboru Dom(A) existuje právě jeden prvek y z jejího oboru hodnot Rng(A) takový, že [y, x] A. Vskutku: kdyby 3 Termín obor má tak trochu historický nádech. Dříve se totiž používal namísto termínu množina. Ostatně ještě dnes se můžeme setkat se slovními obraty řešte rovnici v oboru reálných čísel, pracujeme v komplexním oboru apod.

33 existovaly dva takové prvky y a z, aby platilo [y, x] A a [z, x] A, potom oba tyto prvky už se rovnají, y = z. Poslední tři definice znázorníme pomocí následujícího obrázku na kterém je načrtnuta funkce A, její definiční obor Dom(A) i obor hodnot Rng(A), navíc jsou zakresleny také souřadnice jednoho jejího bodu [y, x] A: Y Rng(A) y A [y,x] x Dom(A) Poznámka 5.8. Funkce obvykle značíme písmeny F, G, H apod. Je-li Fnc(F ), potom ke každému x Dom(F ) existuje právě jeden prvek y takový, že [y, x] F neboli yf x. Tento jednoznačně určený prvek y značíme F (x); platí tedy rovnost y = F (x). Poznamenejme, že zápis yf x můžeme použít, protože funkce F je současně relace. Často se také používá zápis F : A B, který vyjadřuje, že F je funkce s definičním oborem A a oborem hodnot v množině B. To znamená, že zápis F : A B je zkratka za X Fnc(F ) Dom(F ) = A Rng(F ) B. Slovy říkáme, že funkce F zobrazuje množinu A do množiny B. Platí-li navíc, že Rng(F ) = B, potom říkáme, že funkce F zobrazuje množinu A na množinu B. (Zde je důležité si povšimnout použití předložek do a na.) Poznámka 5.9. Čtenář se jistě ptá, proč je definiční obor funkce tvořen druhými složkami uspořádaných dvojic, zatímco obor hodnot je tvořen prvními složkami těchto dvojic. Jen zdánlivě by bylo přirozenější provést tuto volbu obráceně. Naše rozhodnutí však plyne z definice uspořádané trojice (resp. n-tice). Například uspořádaná trojice [ z, [x, y] ] může vyjadřovat, že nějaká funkce dvou proměnných v bodě [x, y] nabývá hodnoty z. Další důvod vychází z definice skládání (množin resp. relací resp. funkcí). Jak jsme již výše uvedli, složenou funkci definujeme vztahem (F G)(x) = = F ( G(x) ), tj., (F G)(x) = F (y), kde y = G(x). Podle definice skládání ovšem pro dva prvky z a x platí [z, x] F G právě tehdy, když existuje prvek y takový, že [z, y] F a [y, x] G. Vidíme, že je naopak velice přirozené, aby obraz prvku (funkční hodnota y = G(x), obor hodnot) byl první složkou uspořádané dvojice a vzor (definiční obor) byl až druhou složkou uspořádané dvojice. Pokud bychom chtěli, aby obor hodnot byl druhou a definiční obor první složkou uspořádané dvojice, museli bychom (kromě způsobu zavedení uspořádané n-tice) pozměnit definici operace skládání funkcí, totiž vztah ( ) pro dvě funkce F a G takové, že Rng(F ) Dom(G) bychom definovali (F G)(x) = G ( F (x) ). Poznámka 5.10. Funkce modeluje pojem zobrazení (a operace) pomocí prostředků teorie množin: ze vzorů a jejich obrazů vytvoříme uspořádané dvojice; z nich pak utvoříme množinu (funkci).