Matematický úvod do unitární teorie pole. 1) Základy topologie

275 Matematický úvod do unitární teorie pole 1) Základy topologie Vlastnosti prostoru mžeme rozdlit na kvantitativní - metrické (související s mením vzdáleností, úhl, ploch) - a na kvalitativní - topologické. Topologie, která se nkdy též nazývá "kvalitativní geometrie", je velmi zhruba eeno to, co zbude z geometrie, když si z ní odmyslíme všechno co má njakou velikost (a v tomto smyslu i konkrétní tvar). Topologie studuje takové vlastnosti geometrických útvar, které se pi spojitých deformacích (tj. rzných roztaženích, stlaeních nebo zprohýbáních za podmínky že nedochází k žádným roztržením nebo spojením rzných ástí) nemní. Jinak eeno, topologie systematizuje naše intuitivní pedstavy a zkušenosti o "možném" a "nemožném" v prostoru. Z hlediska topologie jsou kružnice, elipsa, tverec nebo trojúhelník stejné, jsou vzájemn homeomorfní - použitím topologického zobrazení lze deformovat kružnici na elipsu, tverec nebo trojúhelník a naopak. Tím spíše jsou si topologicky ekvivalentní kružnice o rzných polomrech nebo tverce s rznými délkami strany. Podobn koule, elipsoid, krychle a jehlan. Takové vzájemn homeomorfní útvary jsou jen rznými metrickými variantami téže topologické množiny bod. Topologie tedy studuje nejzákladnjší globální vlastnosti prostoru (a geometrických útvar v nm) jako je souvislost, spojitost, poet rozmr, omezenost nebo neomezenost a pod. V tomto smyslu je tedy topologie hlubší a obecnjší než to, co se bžn pokládá ze geometrii. Níže uvidíme píklady prostor, které mají stejné geometrické (metrické) vlastnosti, avšak zcela odlišné vlastnosti topologické. ást matematiky zvaná topologie, která vznikla pi upesování intuitivních pojm "spojitost", "blízkost", "limita", se zabývá jakýmsi "místopisem" bodových množin; studuje kvalitativní pojem "blízkosti" jednotlivých bod tím, že specifikuje co se rozumí okolím každého bodu množiny. íkáme, že na množin X je dána topologie, 275

276 je-li urena soustava podmnožin U X taková, že: a) Prnik dvou množin z patí rovnž do ; b) Sjednocení libovolné soustavy množin z patí rovnž do. Množina X (která je rovnž prvkem ) spolu s danou topologií se nazývá topologický prostor (X, ). Okolím bodu x X pak rozumíme otevenou množinu U která bod x obsahuje. Ke vzájemnému porovnávání množin slouží operace zobrazování: zobrazení ϕ : X Y množiny X do množiny Y znamená, že každému bodu x X piadíme uritý bod ϕ ( x) y Y ( 1050 ) Zobrazení ϕ topologického prostoru (X, ) do prostoru (Y, ) se nazývá spojité, jestliže ke každému bodu x X a ke každému okolí V bodu ϕ(x) Y existuje okolí U tak, že ϕ(u) V. Vzájemn jednoznané spojité zobrazení ϕ prostoru (X,) na (Y,) pro které je i inverzní zobrazení ϕ -1 spojité, se nazývá homeomorfismus (je zejmé, že ϕ -1 je pak rovnž homeomorfní zobrazení prostoru Y na X). Homeomorfní zobrazení je tedy takové vzájemn jednoznané zobrazení množin X a Y, pi kterém se blízké body jedné množiny pevádjí na blízké body druhé množiny (otevené podmnožiny v X a Y tvoící okolí bod x X a ϕ(x) Y jsou ve vzájemn jednoznaném vztahu) - zachovává se pi nm okolí bod. Množiny X a Y, mezi nimiž existuje takový homeomorfismus, se nazývají homeomorfní a považují se z topologického hlediska za ekvivalentní. Homeomorfismus je vyjádením onch "spojitých deformací" (stlaení nebo roztažení) zmínných výše. Topologické pojmy a topologické vlastnosti jsou takové pojmy a vlastnosti, které zstávají zachovány pi homeomorfismu. Napíklad elektrický obvod je pojem topologický, protože pro jeho innost není podstatné rozmístní jednotlivých souástek, ale jejich vzájemné propojení (neplatí to tak docela pro vysokofrekvenní techniku, kde se pro rzná rozmístní souástek mohou rzn uplatovat jevy elektromagnetické indukce i vyzaování vln). 276

277 Nejnázornjším píkladem topologického prostoru je množina reálných ísel R 1 s pirozenou topologií danou soustavou podmnožin A R 1, které spolu s každým svým bodem obsahují vždy i uritý interval kolem nho: pro každý bod x A existují ísla a,b taková, že a < x < b a interval (a, b) A. Zobecnním je n-rozmrný Eukleidv prostor R n všech n-tic reálných ísel (x 1,x 2,...,x n ) pi - < x i < + s obvyklou topologií. A práv dobe známé vlastnosti eukleidovského prostoru, "odkoukané" od chování makroskopických tles, umožují (pomocí vhodného zobrazení) na jinak amorfním topologickém prostoru zavést dodatené struktury a uinit jej tak vhodným nástrojem k modelování fyzikálních dj. Varieta dimenze n (n - rozmrná varieta) n je takový topologický prostor, jehož každý bod má okolí homeomorfní s R n (s uritým okolím v R n ). Homeomorfní zobrazení ϕ otevené (pod)množiny A n do R n piazuje každému bodu x A n-tici ísel 1 2 n ( ) (,,, ) ϕ x = x x x R n, ( 1051 ) které se nazývají souadnice bodu x. íkáme, že na množin A je zavedena souadnicová soustava (systém souadnic) x i. Zvolením jiného homeomorfního zobrazení ϕ' z A n do R n budou jednotlivým bodm x A piazeny jiné souadnice 1 2 n (,,, ) x x x R n, ( 1052 ) pejdeme k jiné souadnicové soustav v podmnožin A. Zobrazit celé n do R n tímto zpsobem však pro mnohé topologické prostory nelze (nap. zobrazení S 2 do R 2 zavádjící na kulové ploše S 2 sférické souadnice ϑ,ϕ pestává být vzájemn jednoznané na pólech). Obecn tedy mžeme varietu n zobrazit do R n po ástech - vytváet lokální souadnicové "mapy" (A α, ϕ α ) jednotlivých "domén" (souadnicových okolí) A α. Soubor map jednotlivých domén A α, pokrývajících (tj. α A α = ), tvoí "atlas" variety. 277

278 Pouze variety topologicky ekvivalentní R n lze celé pokrýt jedinou mapou (,ϕ). Zavedením systému souadnic ztrácejí body variety svoji "anonymitu" a varieta mže být zkoumána pomocí dobe známých a rozvinutých matematických operací s reálnými ísly. Obr.30. V diferencovatelné variet n jsou obrazy f α (p) a f β (p) bodu p z prniku dvou domén A α a A β svázány spojitými transformacemi vetn derivací do r-tého ádu. Varieta n se nazývá diferencovatelná tídy C r, jestliže je pro ni dán atlas map (A α, ϕ α ) jednotlivých domén A α n zobrazovaných vzájemn jednoznanými zobrazeními ϕ α na otevené množiny v R n splující podmínky: a) A α tvoí pokrytí, tj. α A α = ; b) Mají-li dv domény A α a A β neprázdný prnik, pak bodm p A α A β této pekrývající se ásti bude zobrazením ϕ α piazena n-tice souadnic x i α(p) R n a zobrazením ϕ β zárove n-tice souadnic x k β(p) R n tak, že transformace ( ) ( ) = ( 1053 ) i i k xβ p x xα p jsou v R n spojité funkce se spojitými derivacemi do r-tého ádu (obr. 30). Aplikujeme-li vlastnost b) na dv domény i ( A, : x x ( x) ) a ϕ ( 1054 ) 278

i ( A, ϕ : x x ( x) ) takové, že 279 ( 1055 ) A = A = A A ( 1056 ) ale ϕ ϕ, ( 1057 ) pak pechod od soustavy souadnic x i k jiné soustav souadnic x' i bude dán regulární a spojitou transformací ( ) ( ) = ( 1058 ) i i k x x x x x r-krát derivovatelnou. V diferenciální geometrii se vtšinou zabýváme lokálními geometrickými vlastnostmi v rámci jedné lokální mapy, zatímco globální geometrie studuje strukturu celé variety. Aby varieta mla obvyklé lokální vlastnosti (a mohla být použitelná pro klasický popis fyzikálních dj), kladou se na ni ješt dva dodatené požadavky: Hausdorffovost a parakompaktnost. Prostor se nazývá Hausdorffv, jestliže ke každým dvma rzným bodm existují rzná jejich okolí. Požadavek parakompaktnosti znamená, že ke každému pokrytí variety soustavou otevených podmnožin existuje takové jeho zjemnní, pi nmž každý bod variety má okolí protínající jen konený poet podmnožin tohoto zjemnného pokrytí (tj. toto zjemnní je lokáln konené). Pi splnní Hausdorffovosti je parakompaktnost ekvivalentní požadavku, aby mla spoetnou bázi, tj. aby existovala taková spoetná soustava otevených množin, jejichž sjednocením je libovolná otevená množina v (prostory, jejichž topologie má spoetnou bázi, se nazývají separabilní). Parakompaktnost umožuje zavedení konexe na (viz níže). 279

280 Obr.31. Souvislost množin (variet). a) Souvislá množina. b) Nesouvislá množina, která je sjednocením dvou disjunktních ástí. c) Jednoduše souvislá množina - všechny spojnice mezi dvma body jsou topologicky ekvivalentní, každá uzavená kivka je homologická nule. d) Dvojnásobn souvislá množina - existují dv tídy spojnic mezi body, nkteré uzavené kivky (nap. C) nelze smrštit do bodu. Pod kivkou (arou) λ(t) na variet se rozumí zobrazení uritého úseku R 1, tj. množina bod v, které jsou zobrazením bod kivky x i = x i (t) v R n parametrizované promnnou t R 1. Základní topologickou charakteristikou každé množiny (geometrického útvaru) je souvislost. Jako souvislou oznaujeme takovou varietu, která není tvoena sjednocením nkolika disjunktních neprázdných ástí; potom každé její dva body lze spojit arou, která je celá souástí této množiny (obr. 31a). V opaném pípad se jedná o nesouvislou množinu (obr. 31b). Souvislá množina se nazývá jednoduše souvislou, jestliže pro každé dva body A a B jsou všechny spojnice mezi nimi vzájemn topogicky ekvivalentní (homologické); jinak vyjádeno, každou uzavenou kivku zde mžeme spojit "stáhnout" do bodu (každá uzavená kivka je homologická nule) - obr. 20c. Jestliže mezi nkterými body existuje více druh spojnic které nejsou vzájemn topologicky ekvivalentní, jedná se o vícenásobn souvislou množinu (obr. 31d), kde nkteré uzavené áry nelze "stlait" do vymizení v bod. Pitom "násobnost" souvislosti je definována jako s = c + 1, ( 1059 ) 280

281 kde c je poet topologicky nezávislých uzavených ar, které nelze smrštit do bodu (c je zárove rovno potu "rozezání", po kterých se daná množina stává jednoduše souvislou); veliina s udává, kolika topologicky rznými cestami se lze dostat z jednoho místa variety do druhého místa. Zobecnním jednorozmrné kivky ve variet n je p-rozmrná plocha C p (p n), která je zobrazením píslušného p-rozmrného podprostoru v R n. Takovou plochu C p lze považovat za souet (sjednocení) elementárních p-rozmrných "rovnobžník", resp. "krychlí" K p (které jsou ovšem obecn "kivoaré") ( α p) α 0 x 1 = 1, 2,,. ( 1060 ) Vhodným zpsobem se zde zavádí orientace a sítání, což umožuje studovat souvislosti mezi rznými plochami C a jejich hranicemi C, nap. pi integrování. Orientovaná p-rozmrná krychle K p má (p 1)-rozmrnou hranici K tvoenou jednotlivými stnami. Tato plocha je uzavená a proto nemá sama již žádnou hranici, takže (p 2 )-rozmrná hranice (p 1)-rozmrné hranice p-rozmrné krychle je rovna nule: K = 0. ( 1061 ) Plyne to též z konstrukce hranice krychle pomocí sumy tverc tvoících hranice jednotlivých stn krychle, kde každá strana tverce je zapoítávána dvakrát s opanou orientací a proto se zruší. Obecnou plochu S mžeme rozložit na adu krychlí (patiné dimenze) K i : S =. ( 1062 ) i i a Ki Potom hranici plochy S definujeme jako souet hranic "krychlí" z nichž je složena: 281

282 i a Ki ( 1063 ) i S = (ve skutenosti se vtšina tchto píspvk z vnitních oblastí zruší, protože jsou zapoítávány dvakrát s opanou orientací podobn jako u bžného odvozování Gaussovy nebo Stokesovy vty). Jestliže hranice njaké p-rozmrné plochy S je rovna nule ( S = 0), jedná se o uzavenou (kompaktní) plochu. Hranice S každé plochy (nejen uzavené) je uzavená plocha, která již nemá svou hranici, takže vždy platí S = 0. ( 1064 ) toto se oznauje jako topologický princip "hranice hranice je rovna nule", který má velký význam pro zákony zachování v obecné teorii pole. Jestliže dv uzavené plochy C p 1 a C p 2 tvoí hranici (p+1)-rozmrné oblasti v, íkáme, že jsou vzájemn homologické (mohou být spojitou deformací pevedeny jedna v druhou); pokud uzavená plocha C p samotná tvoí hranici (C p = A p+1 ) oblasti A, nazývá se homologická nule (spojitou deformací mže být stažena do jediného bodu). Homologická tída {C p i} sestává ze všech uzavených p-rozmrných ploch C p které jsou vzájemn homologické. Poet nezávislých homologických tíd {C p 1}, {C p 2},, {C p Bp} ploch dimenze p se nazývá p-tým Bettiho íslem variety (nezapoítává se zde tída {C p 0} = {0} ploch homologických nule). Veliina n p ( 1) Bp ( 1065 ) χ = p= 0 se nazývá Eulerovou charakteristikou této variety. V Eukleidov prostoru R n mohou být všechny p-rozmrné (p n) uzavené plochy stlaeny do bodu, takže všechny jsou homologické nule a patí do nulové homologické tídy {C p 0} = {0}. 282

283 Protože mezi plochami C p je definováno sítání, tvoí soubor tchto ploch ve variet grupu; množina tíd vzájemn homologických p-rozmrných uzavených ploch pak tvoí p-rozmrnou grupu homologií daného prostoru. Vztahy mezi množinami a jejich hranicemi tak mohou být studovány algebraickými metodami v tzv. algebraické topologii. Dvod vícenásobné souvislosti oblasti podle obr. 31d je zejmý: ást z je "vyíznuta", takže daná oblast má krom vnjší hranice též vnitní hranici, pes kterou žádná spojnice nesmí jít. Existují však útvary i celé prostory bez hranic, které jsou vícenásobn souvislé, jak si ukážeme na následujících jednoduchých píkladech. Vezmeme rovný list papíru, který mžeme považovat za ást Eukleidovské roviny R 2 (obr. 32a). Tento list je jednoduše souvislý a platí zde axiomy Eukleidovy geometrie (proto nap. souet úhl v narýsovaném trojúhelníku bude roven 180 ). Stoíme-li tento list papíru a slepíme protjší strany, tj. udláme ztotožnní ( x a, y) ( x, y) +, ( 1066 ) dostaneme válcovou plochu. Eukleidovský charakter geometrie se tím lokáln nezmnil - vzdálenosti mezi jednotlivými body zstaly stejné, nezmnily se úhly ani plochy. Avšak svými globálními topologickými vlastnostmi je tato válcová plocha zcela jiným dvojrozmrným prostorem než byla pvodní Eukleidova rovina. Mezi každými dvma body existují dv topologicky odlišné tídy spojnic, uzavenou kružnici obepínající válec nelze nijak stáhnout do bodu, zatímco jiné uzavené kivky ano; válcová plocha je dvojnásobn souvislá a v jednom smru (rozmru) konená. Bettiho ísla zde jsou B 0 =1, B 1 = 1, B 2 = 1. 283

284 Obr.32. Ke vztahu mezi (geo)metrickými a topologickými vlastnostmi. a) List papíru je ástí Eukleidovy roviny. Jeho stoením a slepením dostaneme válcovou plochu s lokáln zachovanou Eukleidovou geometrií, ale jinou globální topologií. b) Jestliže se pi stoení provede navíc pekroucení o 180, vznikne Möbiv list (proužek). c) Stoením a slepením úseku válcové plochy vznikne toroid (anuloid). Nebo podobn ohnutím, zkroucením o 180 a slepením - tj. ztotožnním ( x a, y) ( x, y) + ( 1067 ) papírové pásky s pvodn Eukleidovskou geometrií a topologií, dostaneme známý Möbiv proužek (obr. 32b), jehož lokální geometrie se opt neliší od Eukleidovy, ale topologické vlastnosti má jiné. Jedná se o jednostrannou plochu (známý neúspšný pokus s obarvením "líce" i "rubu" jedním tahem stejnou barvou), na níž nelze zavést orientaci, protože po jednom obhu "kolem dokola" se to, co bylo vlevo objeví vpravo, smr "nahoru" se zmní na "dol" a naopak. Uvedené píklady ukazují, že pro úplné urení charakteru prostoru nestaí jeho (lokální) metrické vlastnosti, ale je teba vzít v úvahu též jeho (globální) vlastnosti topologické. Krom Eukleidova prostoru R n, na nmž je pojem variety založen, tedy existují i obecnjší variety s jinými topologickými vlastnostmi. Uveme si nkteré další pípady. Jedním z nejdležitjších typ variety je kulová plocha. Dvojrozmrná kulová plocha (sféra) S 2 jednotkového polomru je jak známo plocha v R 3, jejíž body jsou dány rovnicí 284

1 2 3 ( x ) ( x ) ( x ) 2 2 2 285 + + = 1. ( 1068 ) Analogicky n-rozmrná sféra S n (jako podprostor v R n+1 ) je geometrické místo bod v R n+1 splujících podmínku i ( x ) n+ 1 2 = 1. ( 1069 ) i= 1 Sféra S n je konená (kompaktní) jednoduše souvislá varieta. Pro dvojrozmrnou kulovou plochu S 2 jsou Bettiho ísla B 0 =1, B 1 =1, B 2 =1 a Eulerova charakteristika χ =1. Stoíme-li dvojrozmrnou válcovou plochu (zhotovenou z elastického materiálu) a slepíme protjší základny, vznikne toroid (anuloid, obr. 32c), který má na rozdíl od pvodní válcové plochy svou vnitní geometrii zakivenou. Tento toroid T 2, který vzniká ztotožnním ( x a, y b) ( x, y) + + ( 1070 ) bod v R 2, je píkladem trojnásobn souvislé plochy. Jsou zde dv tídy uzavených kivek - kružnice podél "velkého" a "malého" obvodu toroidu - které nelze smrštit do bodu. Obecn, n-rozmrný toroid T n je prostor, který vznikne ztotožnním i i i ( ) ( ), 1, 2,, x + a x i = n, ( 1071 ) bod v R n. Dvojrozmrný toroid T 2 má Bettiho ísla rovná B 0 =1 (odpovídá tíd všech bod - všechny body jsou vzájemn homologické), B 1 =2 (jsou dv nezávislé tídy {C 1 1} a {C 1 2} uzavených kivek procházejících kolem menšího a vtšího obvodu toroidu), B 2 =1 (odpovídá samotnému toroidu); Eulerova charakteristika χ(t 2 )= 0. Z n-rozmrné variety n a m-rozmrné variety m mžeme "kartézským souinem" sestrojit (n+m)-rozmrnou varietu n m, jejíž body jsou dvojicemi (x, y), kde x je libovolný bod z n a y 285

286 libovolný bod z m. Nap. Eukleidv prostor R 3 je souinem R 2 R 1, R n lze zapsat jako n 1 1 1 R = R R R ( 1072 ) (kartézský souin n-koeficient). Válcovou plochu C 2 lze považovat za souin kružnice a Eukleidovy pímky, tj. 2 1 1 C = S R. ( 1073 ) Co se týe toroidu, je pedevším zejmé, že jednorozmrný toroid T 1 a jednorozmrná sféra S 1 (kružnice) jsou vzájemn homeomorfní, tj. T = S. ( 1074 ) 1 1 Proto n-rozmrný toroid T n je z topologického hlediska kartézským souinem n kružnic: n 1 1 1 T = S S S. ( 1075 ) Topologická struktura variety n m je pirozeným zpsobem dána strukturou n a m : pro libovolné body x n a y m mající souadnicová okolí A n a B m je bod (x, y) n m obsažen v souadnicovém okolí A B n m a má tam souadnice (x i, y j ), kde x i jsou souadnice bodu x v domén A a y j souadnice bodu y v domén B. Funkce f (skalární pole) na variet n je zobrazení z n do R 1. íkáme, že tato funkce je diferencovatelná tídy C r v bod p, jestliže je definována v oteveném okolí bodu p a její vyjádení 1 2 n ( ) (,,, ) f x = f x x x ( 1076 ) pomocí souadnic x i R n v njaké lokální souadnicové soustav má spojité derivace do r-tého ádu podle x i. Z této definice plyne, že v 286

287 diferencovatelné variet tídy C s je souadnice x i (x) diferencovatelnou funkcí tídy C s. Dalšími geometrickými objekty, které pirozeným zpsobem souvisejí se strukturou variety, jsou tenzory a tenzorová (speciáln též vektorová) pole. Tenzorem r-tého ádu v bod "p" n-rozmrné variety n se rozumí souhrn n r ísel,,,,,,,, 1, 2,, ( 1077 ) i1 i2 iα T i i i j j j n = j1 j2 jβ 1 2 α 1 2 β s α r kontravariantními (horními ) a β = r α kovariantními (dolními) indexy, které se pi transformaci souadnic ( ) ( ) ( ) =, ( 1078 ) x i p x i x j p tj. dx x x i i j = dx, ( 1079 ) j transformují v kontravariantních indexech jako souiny α - diferenciál souadnic a v kovariantních indexech jako souiny β - inverzních diferenciál v bod p : T α ( 1080 ) β x x x x x x i 1 i 2 i l α l 1 l 2 β i1, i2,, i x x x x x x α k1, k2,, k j, j,, j = T k k k j j j l, l,, l 1 2 β 1 2 1 2 1 2 Tyto transformaní vlastnosti zaruují, že tenzorové rovnice jsou invariantní (kovariantní) vzhledem k transformacím souadnic. Pravidla pro aritmetické operace mezi tenzory jsou stejné jako v eukleidovském prostoru R n. Aby bylo možno porovnávat vektory a tenzory zadané v rzných bodech variety, zavádí se konexe, tj. pravidlo (pedpis) pro paralelní penos vektor a tenzor mezi rznými body; varieta se tím stává 287

288 prostorem afinní konexe. A zde již mže pijít ke slovu diferenciální geometrie - poítání kovariantních derivací tenzorových polí, kvantifikace zakivení pomocí tenzoru kivosti, stanovení geodetických ar atd., jak to bylo nastínno v 1. kapitole. Konen se do variety zavádí metrika, tj. pedpis pro stanovení vzdáleností mezi jednotlivými body, ímž vzniká metrický prostor. Pomocí souadnic vyjádená vzdálenost mezi bodem x i a nekonen blízkým bodem x i + dx i je dána diferenciální formou =,, = 1, 2,,, ( 1081 ) 2 i k ds gikdx dx i k n kde g ik je metrický tenzor vyjadující vztah mezi souadnicemi a skutenými vzdálenostmi. Aby konexe byla sluitelná s metrikou (konexe a metrika jsou obecn nezávislé struktury zavádné do variety), musí se pi paralelním penosu zachovávat pravidla tenzorové algebry a velikost penášeného vektoru. Vede to na zákon paralelního penosu (2.8) a jednoznaný vztah (2.2b) mezi koeficienty konexe a složkami metrického tenzoru. Metrický prostor s konexí (sluitelnou s metrikou) se nazývá Riemannv prostor. Možnost zavedení libovolného tenzorového pole na variet je obecn podmínna topologickými vlastnostmi variety. Nap. každá nekompaktní varieta pipouští existenci konstantního vektorového pole. Pro existenci konstantního vektorového pole na kompaktní variet je však nutnou a postaující podmínkou, aby se Eulerova charakteristika χ variety rovnala nule. Napíklad válec nebo toroid pipouští konstantní vektorové pole, zatímco kulová plocha nikoli (nelze hladce uesat vlasy na tenisovém míku). Pedstavme si nyní, že v tírozmrném topologickém prostoru S udláme dva otvory. Jeden z nich V 1 bude zaínat a konit na povrchu tohoto prostoru a druhý V 2 bude zaínat sice na povrchu, ale konit nkde uvnit prostoru. 288

289 Obr. 33. Supravodivá oblast S se dvma víry V 1 a V 2. Jádro víru má nesupravodivou válcovou oblast schematicky znázornnou na obrázku. Vír 1 zaíná i koní na povrchu supravodie. V prostoru supravodie existují stažitelné i nestažitelné kivky (viz obr. 31d). Smyky typu b nelze na rozdíl od smyek typu a v objemu supravodie z víru stáhnout. Vír V 2 ovšem koní v objemu supravodie a kivka se z nj dá stáhnout do bodu A. Vír V 1 má tedy netriviální topologii. Je zejmé, že otvor V 1, bude mít netriviální topologii zvanou vírové vlákno. Uzavenou kivku b, nemžeme v prostoru z vírového vlákna stáhnout (dvojnásobn souvislý prostor). V pípad otvoru V 2 mžeme uzavenou kivku v prostoru S snadno stáhnout do bodu A. Taková singularita je jednoduše souvislá a vlastn ji nebudeme singularitou vbec nazývat (jedná se o odstranitelnou singularitu). Pokud budeme v dalším hovoit o singularitách, budeme mít vždy na mysli singularity neodstranitelné, jdoucí napí celým uvažovaným topologickým prostorem, tj. zaínající i konící na jeho povrchu. Protože parametr poádku kvantové kapaliny definujeme jako komplexní skalár (, t) exp i (, t) Ψ r = Ψ Θ r, ( 1082 ) 289

290 mžeme v komplexní rovin sledovat zmnu fáze podél uzavené kivky Γ. Pi obhu podél Γ se fáze vlnové funkce mže mnit o 2π n, kde n = 1, 2,. Vírem v kvantové kapalin nazýváme cirkulaci vektoru okolo osy znané jádro víru. Protože u kvantových vír je rychlost v s proudní blízko jádra nepímo úmrná vzdálenosti r od jádra, vs r 1, ( 1083 ) je jasné, že v ose víru by mla dosahovat nekonené velikosti. V ose víru tedy oekáváme topologickou singularitu. Integrál rychlosti podél kivky Γ uvnit víru nazýváme cirkulace víru. Pro daný vír je konstantní, ale obecn to vbec nemusí být celé íslo. V pípad kvantových kapalin však cirkulace víru je kvantována a je rovna 2π n, kde n je celé íslo, nazývané topologický náboj víru, nebo též navíjecí íslo. Nap. v supratekutém 4 He je supratekutá rychlost rovna gradientu makroskopické fáze Θ parametru poádku: v s = Θ m ( 1084 ) a cirkulace. ( 1085 ) v 2 n nh s d l π = Θ d = dθ = = m l m m m Γ Ukažme si nyní na jednoduchých píkladech vektorových polí na ploše zpsob urení topologického náboje. Vezmme si rozložení vektor ležících tangenciáln na povrchu koule. 290

291 Obr. 34. Rozdlení vektorového pole tangenciálního k povrchu koule S 2. Existují minimáln 2 singulární body S, J, v nichž vektory smují do všech stran. Povrch koule s tangenciálním vektorovým polem se nedá naesat bez singularit. Snadno nahlédneme, že existují 2 zpsoby jejich vzájemného uspoádání, které oba obsahují 2 singularity s navíjecím íslem n = ± 1 (vektor daného tangenciálního pole se pi plném obhu po kružnici kolem singularity otoí o úhel ± 2π ). Samozejm pi této klasifikaci topologických defekt a singularit vzniká celá ada otázek. Jde nap. o stabilitu takových objekt, o jejich srážky, rozpad, sluování atd. Tak nap. energie víru s n = 2 je vtší, než energie dvou vír s n = 1. Víry s n = 1 a n = 1 mohou pi kolizi anihilovat. Také zákony zachování nkterých topologických invariant, jako nap. topologického náboje, jsou velice silnými zákony. V teorii elementárních ástic se v souasnosti rozvíjí velmi nadjná teorie strun (vírových vláken), která si klade za cíl sjednocení všech ty interakcí (budeme o ní hovoit v sedmé kapitole). V ní jsou ástice považovány nikoliv za bodové objekty, jak tomu bylo díve, ale za malé víry i struny s uritými náboji na koncích a s uritým topologickým nábojem (navíjecím íslem). Krom singularit ve form jednodimenzionálních linií (strun) existují též singularity bodové (nuladimenzionální), plošné (dvojdimenzionální) a v teorii strun dokonce i vícedimenzionální, tzv. p brány. 291

292 Nejjednodušším pípadem dvojdimenzionální singularity je membrána typu doménové stny (nap. feromagnetické domény reprezentující oblast mezi dvmi magnetizacemi M a M). Podobné pechodové oblasti nejrznjšího charakteru nazýváme také solitony. Takový soliton se mže v prostedí relativn voln pohybovat, procházet pes jiný soliton, aniž by anihiloval atd. Bodové singularity nazýváme monopóly. Tyto monopóly pipomínají osamocený volný magnetický pól, tzv. Diracv monopól. Setkáváme se s nimi nap. v elektricky neutrální form, u supratekutého 3 He. S rozvojem inflaní kosmologie se v posledním desetiletí minulého století zaalo pátrat po topologických defektech typu kosmologická struna, doménová stna a magnetický monopol, i v kosmologických mítkách. Toto pátrání však dosud nebylo úspšné. 2) Kalibraní teorie Když jsme v pedchozích kapitolách vyjádily vektory E a B s pomocí skalárního a vektorového potenciálu coby grad ϕ A E =, t B = rot A, ( 1086 ) ihned zpoátku bylo jasné, že dané elektromagnetické pole (E, B) mžeme získat z rzných hodnot skalárního a vektorového potenciálu. To znamená, že potenciály neurují dané elektromagnetické pole jednoznan. Vezmme nap. nové potenciály ϕ, A ve tvaru ϕ = ϕ Θ, t A = A + grad Θ ( 1087 ) 292

293 a dosame je do vztah ( 1086 ): A grad Θ A grad Θ E = grad ϕ = grad ϕ + = t t t t A = grad ϕ, t B = rot A + rot grad Θ = rot A. ( 1088 ) Funkce Θ(r, t) je libovolná skalární funkce, kterou budeme nazývat fází. Zavedení skalárního a vektorového potenciálu nám v ad pípad umožnilo snadnjší ešení úloh z elektrodynamiky. Co však s jejich nejednoznaností? Fyzikální význam se díve pipisoval pouze polím E, B a nikoliv potenciálm A, ϕ. A pece moderní fyzika ukázala, že tyto potenciály jsou fundamentálnjší charakteristikou elektromagnetického pole než vektory intenzit a indukcí, a že mohou mít pozorovatelné dsledky. Tento jejich význam byl dlouhou dobu urputn diskutován, ale byl posléze ješt podtržen novými, tzv. kalibraními (cejchovacímy) teoriemi, které mají tu moc sjednotit na první pohled rzné teorie pole do jedné jediné. Uritou vybranou formu potenciál z jejich nekoneného potu nazýváme kalibrací a pechod od jedné kalibrace (A, ϕ) k jiné kalibraci (ϕ, A ) nazýváme kalibraní transformací. V pedchozí kapitole jsme vidli, že kvantová teorie pole používá striktn jen elektromagnetických potenciál a nikoliv polí. Všechny pokusy formulovat kvantovou elektrodynamiku s poli E a B ztroskotaly na fyzikálních rozporech, k nimž tato formulace vedla. Ale žádná mitelná veliina nesmí záviset na výbru té i oné kalibrace, a to ani v klasické, ani v kvantové mechanice. íkáme, že klasická i kvantová mechanika jsou kalibran invariantní. 293

294 Maxwellovy rovnice jsou samozejm invariantní vi kalibraci ( 1087 ). H. Weyl v roce 1919 byl první, kdo pochopil význam kalibraní invariance pro fyziku. Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 1955) Zobecnné ideje této invariance jsou dnes ve fyzice zcela dominantní a zdá se, že nám poskytují klí k jednotnému pochopení sil psobících mezi elementárními ásticemi. V této kapitole se proto budeme tmito idejemi zabývat ponkud podrobnji. Schrödingerovu rovnici volné ástice bez vnjších elektromagnetických polí mžeme napsat jako ( r t) Ψ, 1 2 i = ( i ) Ψ( r, t). ( 1089 ) t 2m Tato rovnice je invariantní vi transformaci vlnové funkce ( ) Ψ Ψ = Ψ exp iθ, ( 1090 ) 0 kde Θ 0 je konstanta nezávislá na ase a na souadnici. Budeme ji nazývat globální fází. 294

295 Transformace ( 1090 ) se nazývá globální kalibraní transformací a dotvrzuje nám, že globální fáze je nemitelnou veliinou a vyjaduje jen jakýsi konstantní posun daných ešení. Budeme nyní požadovat invarianci Schrödingerovy rovnice vi lokální kalibraní transformaci Θ = Θ(r, t). V každém bodu prostoru budeme pedpokládat jinou hodnotu fáze Θ(r, t). Transformace ( 1009 ) bude nyní zobecnna na ( t) Ψ Ψ = Ψ exp iθ r,. ( 1091 ) Jak si tená snadno odvodí, dosazením Θ z ( 1091 ) do ( 1089 ), není už te Schrödingerova rovnice pro volnou ástici invariantní vi této lokální kalibraní transformaci, protože výrazy Θ(r,t) a Θ(r,t)/ t nyní nejsou rovny nule. Ukazuje se, že tato lokální transformace ( 1091 ) vyžaduje pítomnost nových kompenzujících polí, která by vykompenzovala ony pírstky Θ(r,t) a Θ(r,t)/ t. Požadavek lokální kalibraní invariance tak vede ke vzniku nových kompenzujících polí, která nazýváme kalibraní pole. Snadno se dá ukázat, že tato invariance nám bude generovat Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole: Napíšeme nyní místo ( 1089 ) Schrödingerovu rovnici pro ástici v elektromagnetickém poli ve tvaru, který vyžaduje tato lokální fázová kalibraní transformace: 1 2m Ψ i e Ψ + eθψ = i, ( 1092 ) t ( A) 2 kde e je elementární náboj. Snadno se lze pesvdit, že tato rovnice nezmní tvar pi kalibraních transformacích 295

296 Θ A A = A + e Θ ϕ ϕ = ϕ e t Ψ Ψ ( r, t) ( r, t) ( r t) = Ψ( r t),, ( r, t) iθ,, e. ( 1093 ) Potenciály a vlnová funkce se tedy mní od místa k místu. To je výsledek neobyejn krásný. Požadavek lokální fázové invariance se tak stal jedním ze základních pilí souasné istiové fyziky. Lokální kalibraní invariance mže generovat i další interakce, jako jsou interakce slabé a silné. Odtud plyne ten ohromný úspch souasných kalibraních teorií jež jsou základem všech pokus o sjednocení fyzikálních sil elektromagnetických, slabých, silných i gravitaních. Zatím se úspšn podailo sjednotit elektromagnetické a slabé síly do jediné, tzv. elektroslabé interakce (EW). Za teoretické práce v této oblasti obdrželi v roce 1979 Nobelovu cenu A. Salam, S. Weinberg a S. Glashow. Za fantasticky složité experimentální potvrzení existence intermediálních boson W ± a Z 0 prostedník slabé interakce obdrželi Van der Meer a C. Rubbia Nobelovu cenu v roce 1984. ásten úspšn se též podailo slouit elektroslabou a silnou interakci do jediné síly prostednictvím tzv. grandunifikaní teorie, která však stále ješt eká na své experimentální potvrzení, jež je nesmírn nároné a stalo se velikou výzvou nastupujícím generacím fyzik. Ke všem tmto zásadním objevm promluvíme v této knize ješt podrobnji. Nyní však sledujme dále linii našich úvah o lokální kalibraní invarianci. Fázový faktor Θ(r, t) je možné psát rovnž jako ( r, t) eχ ( r, t) Θ =. ( 1094 ) 296

297 Vztahy ( 1093 ) pak mžeme psát v ekvivalentní podob A A = A + χ, χ ϕ ϕ = ϕ, t ieχ Ψ Ψ = Ψ ( r, t) exp, ( 1095 ) kde χ má rozmr magnetického toku, kdežto Θ bylo bezrozmrné. Smysl této transformace spoívá v tom, že v každém bod prostoru si mžeme zvolit jinou souadnicovou soustavu, v níž bychom urili fázový úhel. Ve druhé kapitole jsme si ukázali, že požadavek mít v každém míst jinou souadnou soustavu není formální vc, ale v celé ad pípad fyzikální nutnost. H. Weyl chtl spojit fáze v rzných lokálních souadnicích, a nalezl, že tuto transformaci mohou zajistit elektromagnetické potenciály. Ze srovnání rovnic ( 1089 ) i ( 1092 ) vidíme, že jsme v podstat nahradili prostorovou a asovou derivaci výrazy ( A), i i e i i eϕ. t t ( 1096 ) Tento nový typ derivace dobe známe již z našeho dívjšího pojednání o fyzice gravitaního pole obecné teorii relativity. Není to nic jiného, než naše stará známá kovariantní derivace. Nyní se ukazuje, že tato derivace má zásadní dležitost rovnž v teorii kalibraních polí. Pedpis pro kalibraní teorie pak zní: nahra obyejné derivace kovariantními. V druhé kapitole jsme si ukázali, že kovariantní derivace spojuje geometrii v jednom míst prostoru s geometrií v jiném míst. Také jsme si ukázali, že v nezakiveném prostoru se kovariantní derivace rovná bžné derivaci. 297

298 Prostor vnitních stup volnosti elektromagnetického pole je tedy zakiven. Nabízející se paralela se zakiveným prostoroasem OTR, jež je východiskem pro genezi gravitaní interakce, se nám snaží naznait, v jakém smru se moderní kalibraní teorie snaží najít spolený jazyk. Hmota íká prostoru stav kterak se má zakivit a zakivený prostor stav zptn diktuje hmotným ásticím, jak se mají pohybovat. Nejedná se tedy o nic jiného, než o další a ješt dslednjší geometrizaci fyziky. Nemitelná vlnová funkce uritého stavu závisí na kalibraci ( r, t ) Ψ Ψ exp ieχ, ( 1097 ) tj. v každém míst prostoru je fázový faktor jiný. Schrödingerova rovnice je kalibran invariantní, ale nap. hamiltonián ástice v elektromagnetickém poli nikoliv, nebo operátor potenciální energie, na rozdíl od operátoru kinetické energie, kalibran invariantní není (oba operátory spolu nekomutují). Proto jsme museli pekalibrovat i vlnovou funkci ( 1097 ), abychom získali kalibran invariantní Schrödingerovu rovnici. V klasické mechanice a elektrodynamice hraje rozhodující úlohu pojem síly F: dv F = m, dt F = ee + e v B ( ). ( 1098 ) V kvantové mechanice však operujeme s potenciály A a ϕ, nikoli s poli E = grad ϕ, B = rot A, které jsou z nich odvozeny derivacemi. Lorentzova síla se v kvantové elektrodynamice nikde neobjevuje. V kvantové mechanice jsou fyzikáln relevantní pouze potenciály, a to i tehdy, pokud v míst, kde se ástice nachází, neexistují žádná pole, jež by na ástici psobila. 298

299 Znalost polí E a B je tedy pro kvantovou mechaniku nedostaující, nebo síla sama má v kvantové mechanice velice nepímý význam, a potenciálm A, ϕ je zde vyhrazena nová, zásadnjší role. Tuto roli poprvé dkladnji prozkoumali S. Aharonov a D. Bohm. Ti ukázali, že smysl potenciál není vyerpán tím, že urují pole E a B a že za uritých podmínek v mnohonásobn souvislých oblastech jsou integrály potenciál po uzavené dráze kalibran invariantní, tj. nejsou ureny náhodn a mají tedy fyzikální význam. Jinak eeno ϕ dt = A dl = A dl, ϕ dt, ( 1099 ) protože d χ = 0. ( 1100 ) Samy potenciály jsou nefyzikální, tj. nemitelné veliiny. Jejich integrály však mají fyzikální dsledky v topologicky netriviálních mnohonásobn souvislých oblastech. Stejn tak i Ψ je nepozorovatelné, ale Ψ 2 již ano. Nyní budeme rozebírat pouze pípad statického magnetického pole. Mjmež tenký a nekonen dlouhý solenoid s rotaní osou totožnou s osou z, jímž protéká elektrický proud, vytváející magnetické pole uvnit solenoidu. Vn solenoidu bude magnetické pole B = rot A rovno nule, nikoliv však potenciál A. Potenciál A kolem osy solenoidu má nenulovou jedinou složku, a to azimutální složku A ϕ, zatímco radiální a z-tové složky jsou nulové. Nabitá ástice obíhající kolem solenoidu po dráze Γ, se tedy nachází v místech, kde silové psobení od solenoidu je rovno nule. Pohyb ástice v elektromagnetickém poli potenciálu A povede ke zmn fáze vlnové funkce o uritý fázový faktor δ : 299

300 2 e δ = d A l. ( 1101 ) 1 Elektromagnetické kvantové jevy závisejí na dráhových integrálech potenciál. Pokud ástice obhne celou uzavenou dráhu Γ, pak celkový fázový posuv bude e 0 = d A l. ( 1102 ) Γ Po obhu kivky Γ se dostaneme do stejného místa, takže vlnová funkce po obhu musí splovat požadavek jednoznanosti 0 Ψ = Ψ e i = Ψ, ( 1103 ) Γ 0 0 odkud 0 e i = 1, ( 1104 ) ili e 0 = d = 2 π n, n = 0,1, 2, A l. ( 1105 ) Γ Celkový fázový faktor po obhu kivky Γ tak bude bu roven nule, nebo celistvému násobku 2π. Poznamenejme, že fázový posuv zpsobený potenciálem A na neuzavené dráze není kalibran invariantní δ δ, ale celkový posuv na uzavené dráze již ano, nebo 300

301 e e = A d l χ d l = A d l = Γ Γ Γ. ( 1106 ) 0 0 Vztah ( 1105 ) mžeme s použitím Stokesovy vty napsat též jako. ( 1107 ) e e 0 = A d l = B d S = 2 π n, n = 0,1, 2, neboli Γ S 2π n n Φ = d = = B S. ( 1108 ) e e S kde Φ je magnetický indukní tok. Formule ( 1108 ) vyjaduje podmínku kvantování magnetického toku a platí pro všechny ekvivalentní kivky Γ, nestažitelné do bodu. Solenoid nám pedstavuje vzhledem ke kivkám dvojnásobn souvislou oblast. Kdybychom mli kivku Γ v jednoduše souvislé oblasti, obdrželi bychom výraz A d l = B d S, ( 1109 ) Γ S jehož hodnota není kvantována a mže se pro S = 0 rovnat i nule. V dvojnásobn souvislých oblastech však bude magnetický tok vždy kvantován a pro jeho elementární kvantum Φ 0 (tzv. fluxon) bude platit Φ 0 =. ( 1110 ) e 301

302 Aharonovv Bohmv jev nám tedy ukázal, že v mnohonásobn souvislé oblasti platí vztah pro kvantování magnetického toku, a to i tehdy, pokud na ástici nepsobí žádná silová pole E a B. Tento jev zeteln ukazuje na kalibraní pvod elektromagnetismu. Je to skuten paradoxní neklasický jev nesilového a nelokálního psobení, kdy magnetické pole, v našem pípad soustedné v ose solenoidu, ovlivuje chování elektron vn solenoidu, aniž by se jich dotklo, jak by vyžadovala Lorenzova síla. My však již víme, že tak iní skrze ovlivování fáze jejich vlnové funkce. Všechny doposud známé interakce gravitaní, elektromagnetická, slabá, a silná jsou v kvantové teorii zprostedkovány výmnou ástic bosonohého charakteru. Odpudivé i pitažlivé síly mezi ásticemi jsou zpsobeny výmnou kvant píslušného pole mezi ásticemi. Tato kvanta jsou vždy virtuální, tj. existují jen po uritou dobu bhem níž se díky relacím neuritosti E t ( 1111 ) nezachovává energie. Neuritost v energii E mže existovat jen po dobu t. ( 1112 ) E Za tuto dobu mže ástice probhnout maximáln dráhu l c = c t =, ( 1113 ) E mc což je tzv. Comptonova délka urující dosah interakce. Na této dráze mže dle poruchové teorie existovat virtuální kvantum o hmotnosti m. 302

303 Takové interakce, jako gravitaní, i elektromagnetická, které jsou zprostedkovány ásticemi, jejichž klidová hmotnost je rovna nule, mají dosah interakce l. Jinak tomu ovšem bude pro pípad interakce slabé a silné. Ty jsou zprostedkovány výmnou hmotných kvant. Objasnní nenulové hmotnosti tchto kvant se stalo jedním z vrchol kalibraních teorií. Mechanismus stvoení hmot si ukážeme nejprve na nejjednodušším pípad elektromagnetické interakce. Z Maxwellovy teorie plyne, že vektorový potenciál je uren klasickou vektorovou rovnicí ( 814 ) s ešením ( iωt ) A exp ikr, ( 1114 ) kde mezi vlnovým vektorem k a úhlovou frekvencí omega platí vztah c 2 2 2 2 2 ω = c k = p 2. ( 1115 ) Pro energii fotonu z ( 146 ) dostáváme E = cp = ω. ( 1116 ) Chceme-li popsat skalární pole ϕ, které je kvantováno kvanty s nenulovou klidovou hmotností, musíme použít celý vztah ( 146 ). Relativistické vyjádení vztahu mezi ω a k pro hmotnou ástici je tedy jiný, než de Brogliev vztah ( 1113 ). Je jím dobe známá Klein Gordonova relativistická vlnová rovnice ( 812 ) pro skalární pole ϕ. V roce 1933 zjistili W. Meissner a R.Ochsenfeld, že supravodivé materiály vytlaují magnetickou indukci B ze svého vnitku. Je ponkud kuriózní, že tento jev byl objeven až tak pozd. Dvodem byla topologie použitého vzorku. Pi mení vlastností vodie pi nízkých teplotách se používaly totiž z úsporných dvod vzorky ve tvaru tenkého prstence, namísto plného válce. 303

304 Pitom se njak pozapomnlo na fakt, že se jedná o rznou topologii. Pi snižování teploty tak nedošlo k vypuzení magnetického pole z celého objemu válce, ale jen z objemu supravodie tvoícího stny válce. Šlo tedy o malou zmnu která byla snadno pehlédnuta. Toto drobné opomenutí zpsobilo, že tento dležitý jev byl odhalen až o desítky let pozdji, když Meissner a Ochsenfeld použili pro svj experiment monokrystal cínu a olova, tedy topologicky jednoduše souvislou oblast. V pípad, že máme vodivý prstenec pi T > T c vložen do magnetického pole, pak pi poklesu teploty pod T c dojde k redistribuci magnetického toku v prstenci. Z oblasti supravodie bude magnetický tok vytlaen a pi odstranní vnjšího pole se v prstenci zachytí magnetický tok Φ = BS, ( 1117 ) kde B je indukce v díe prstence a S je plocha, kterou prstenec obepíná. Hodnota Φ v prstenci musí být kvantována, jak jsme si již ukázali výše. Platí pro ni Φ = BS = nφ, n = 1, 2,, ( 1118 ) 0 kde h Φ 0 = ( 1119 ) q je fluxon a q je elementární náboj nosi tzv. stínícího proudu. Ze standardní kvantové mechaniky víme, že proudová hustota vyvolaná ásticí hmoty m s nábojem q je dána v pítomnosti elektromagnetického pole kalibran invariantním výrazem 304

305 2 q q 2 j = Ψ ( i Ψ ) + Ψ( i Ψ ) Ψ 2m A. ( 1120 ) m Tento výraz se dá pro vlnovou funkci ( 1082 ) kde Θ(r, t) je fáze, napsat také jako q 2 j = Ψ ( Θ qa). ( 1121 ) 2m proudovou hustotu si pak rozložíme na j = j + j, ( 1122 ) p d kde první len odpovídá transportnímu proudu a je úmrný gradientu makroskopické fáze Θ(r, t) kondenzátu supravodivých nosi j s q 2 = Ψ Θ, ( 1123 ) 2m jehož asová derivace Θ E ( 1124 ) t je hnací silou transportního proudu. Vytvoíme-li ve vzorku gradient fáze, potee v supravodii proud. Bude-li Θ = konst. bude j s na ase nezávislým proudem. Druhý len v ( 1121 ) nám udává stínící diamagnetický proud úmrný potenciálu A 2 q 2 jd = Ψ A. ( 1125 ) 2m Podle Maxwellových rovnic platí, že pro statické magnetické pole 305

306 rot B = rot rot A = grad div A 2 A = µ 0 j. ( 1126 ) Pro vybranou kalibraci div A = 0 platí 2 = µ 0 A j. ( 1127 ) Srovnáním ( 1127 ) a ( 1125 ), dostaneme pro j j d rovnici 2 2 2 µ 0q 2 2 A = Ψ A = λl A = 2 2 2m c M A. ( 1128 ) kde λ L 2 2 µ 0q Ψ = 2m 1 2 ( 1129 ) je tzv. Londonova hloubka vniku magnetického pole do supravodie, a M = λ c L ( 1130 ) bylo interpretováno jako zhmotnní fotonu v prostedí supravodie. Hustota supravodivých nosi náboje Ψ 2 10 28 m -3. Vidíme, že statické magnetické pole nevnikne do supravodie, protože foton, mající ve vakuu hmotnost M = 0, získá v supravodii hmotnost M 0. Pro typickou hodnotu λ L = 10-7 m, iní hmotnost fotonu v supravodii ádov 10-36 kg. Za pedpokladu B = rot A, div B = 0, 2 (rot A) = rot ( 2 A), mžeme rovnici ( 1128 ) pepsat na tvar 306

307 2 2 2 B = λ L B = B. ( 1131 ) 2 2 c M Rovnice ( 1131 ) je slavnou vektorovou rovnicí vniku statického a hmotného magnetického pole do supravodie. V jednorozmrném pípad lze rovnici ( 1131 ) pepsat jako 2 d B x dx ( ) B( x) =. ( 1132 ) λ 2 2 L ešením bude exponenciela x = 0 exp, ( 1133 ) λl ( ) B( ) B x kde B(0) = B je vnjší magnetické pole. Hranice mezi normální fází i vakuem a supravodiem tedy není ostrá, alebrž rozmazaná na vzdálenosti λ L. Pokud je však vnjší magnetické pole dostaten silné, zane pronikat do nitra supravodie ve form tzv. vírových vláken. Každé toto vlákno má normální nesupravodivé jádro, jímž proniká magnetický tok až zhruba do vzdálenosti λ L od jádra, tvoícího tak v supravodii topologickou singularitu. Tok pole jednotlivým vírem je rovný práv jednomu fluxonu Φ 0. Nosii náboje v supravodii jsou tzv. dielektrony, ili Cooperovy páry. Jedná se o bosony tvoené kondenzovaným stavem dvojice elektron plovoucích voln ve Fermiho moi. Tento pár bude mít nejvyšší stabilitu, jestliže vlnové vektory a spiny obou elektron budou antiparalelní. Podstatou Cooperova jevu je nestabilita Fermiho moe vzhledem k tvorb Cooperových pár. Z kvantové mechaniky víme, že každou interakci si lze znázornit jako výmnu virtuálních boson existujících po dobu t, která je sluitelná s principem neuritosti ( 1111 ). 307

308 V pípad Cooperova párování jsou onmi bosony kvaziástice zvané fonony. Fonony se pohybují rychlostí zvuku v daném prostedí, s energií ω a impulsem k. V této teorii chápeme intenzitu vlnového pole u(r, t), která je závislá na prostorových souadnicích r, jako nekonenou množinu souadnic spojité kvantov-mechanické soustavy. Jestliže zavedeme zobecnné impulsy odpovídající tmto souadnicím, a požadujeme, aby pro n platily obvyklé komutaní relace kvantové mechaniky, mžeme dsledn vytvoit kvantovou teorii takovýchto polí. Jedná se tedy o bžné druhé kvantování, jaké jsme použili již na elektromagnetické pole ve 3. kapitole, kdy se souadnice u(r, t) stávají opt operátory, nebo nekomutují s píslušnými zobecnnými impulsy. V { ˆQ } reprezentaci se tak stávají operátory i komplexní normální a k. souadnice j ( ) Jak je naším zvykem z dívjška, budeme je znait ( ) Komplexn sdružené souadnici a j ( ) + sdružený operátor a ( k ). ˆ j Snadno ukážeme, že hermitovský oprátor: ( ) ˆ ( ) = ˆ ( ) ˆ j a k. k odpovídá hermitovsky + aˆ k a k N k. ( 1134 ) j j j má všechny vlastnosti operátoru potu fonon je stavu (j, k) a má n k. tudíž vlastní hodnotu j ( ) Psobíme-li operátorem ( ) aˆ j k na vlastní funkci operátoru ˆ j ( ) dostaneme opt vlastní funkci operátoru N ( k ), ale s vlastní hodnotou n j ( ) 1 ( ) aˆ j k. k má tedy vlastnosti anihilaního operátoru. ˆ j N k, 308

309 + Analogické úvahy nás pivedou k poznání, že a ( ) ˆ j k zvyšují vlastní hodnotu operátoru potu fonon o 1 a mají tedy všechny atributy kreaního operátoru. Podstatným rysem každého energetického kvanta je jeho úmrnost frekvenci. Vysokofrekvenní fonony mohou zvyšovat svoji frekvenci jen po relativn velkých skocích. Pravdpodobnost, že mód s frekvencí ω bude vbec vybuzen je dána Boltzmannovým faktorem ω w = exp. ( 1135 ) kbt A proto módy s ω kbt budou již zanedbateln pispívat k celkové energii. Jak teplota stoupne nad absolutní nulu, bude se zvtšovat poet užitených mód (tch s ω kbt ). Poet pispívajících mód pak bude ( ) n T V 6π v B 2 2 3 k T, ( 1136 ) (srov. UTU ( 575 )), odkud obdržíme tzv. Debeyovu teplotu θ D 1 1 3 3 2 2 ω 6 π n 6 v π = = = v 3, ( 1137 ) kb V kb a kb kde a je mížková konstanta. U fonon se tedy jedná se o kolektivní excitace krystalové míže, jež mají v mížce jisté spektrální rozdlení a svj maximální kmitoet daný vztahem 309

310 k b θ ν D max = ( 1138 ) h Vyšší frekvence již nemají smysl, nebo by jejich vlnová délka byla menší, než vzdálenost mezi atomy. Elektrony si tedy mohou vymovat s mížkou fonony o kmitotu 0 až ν max. Na obrázku 35 je znázornn Feynmanv diagram tohoto procesu. Elektron s vlnovým vektorem k vyzáí bhem své dráhy fonon s vlnovým vektorem q a zmní svj vektor na k q. Pi tomto procesu musí platit zákon zachování hybnosti a energie. Vyzáený fonon bude poté absorbován dalším elektronem s vlnovým vektorem k. 310

311 Obr. 35. Feynmanovy diagramy pro emisi (a), absorpci (b) a výmnu fononu q mezi dvma elektrony (c) s vlnovými vektory (k, -k). Pevládne-li tato pitažlivá interakce (c) nad coulombovskou odpudivou interakcí v kovové mížce, vznikne supravodivý stav. 311

312 Zatímco ve vakuu, kde žádné fonony nejsou, se elektrony pouze elektrostaticky odpuzují, v krystalové mížce kovu se mohou i pitahovat. Je to podobná pitažlivá síla, která psobí mezi lokami na rozvlnné hladin. Když se k sob piblíží, vznikne mezi lokami "stín", který omezuje šíení vln kratších vlnových délek, protože ty nedokáží ob lodi tak dobe "obcházet". V koneném dsledku je mezi lodmi hustota vln nižší a energie okolních vln stlauje ob lodi k sob. Staré námonické píruky dokonce obsahovaly zákaz vplouvání více lodí do pístavu za rozboueného poasí souasn. Pitažlivá síla by totiž mohla vzrst pi piblížení lodí natolik, že by se navzájem roztíštily. Obr. 36 Náboj supravodivých nosi (dielektron) je tedy ve skutenosti q = 2e a jejich hmotnost m = 2m e. Hybnost dielektron je dána výrazem 2m v = Θ 2eA. ( 1139 ) e s protože 2 n Ψ = ρ =, ( 1140 ) 2 312

313 bude nse Θ ens 2eA nse j = nsev s = 2eρvs = = 2m 2m 2m ( Θ 2eA) e e e. ( 1141 ) nyní si zvolme v supravodii njakou uzavenou dráhu Γ Obepínající vírové vlákno, jíž protéká magnetický tok Φ = BS, kde B je magnetická indukce v jáde a S plocha vymezená kivkou Γ. Z rovnice ( 1060 ) plyne, 2m e Θ = j + 2eA. ( 1142 ) nse Pak dráhový integrál tohoto kanonického momentu po uzavené kivce Γ bude 2me Θ d l = d Θ = j d l + 2e A d l = nh en, ( 1143 ) Γ Γ Γ s Γ neboli nh d l n 0. ( 1144 ) e Γ Ψ c = Θ = = Θ 2e 2 výraz ( 1144 ) se nazývá fluxoid, Vidíme také, že pro fluxoid zavedený vztahem ( 1144 ) platí: h Θ 0 =. ( 1145 ) 2e Pi obhu kolem magnetického vírového vlákna se mní fáze vlnové funkce. 313

314 Z kvantové mechaniky víme, že fyzikáln pozorovatelné jevy jsou dány pouze bilineární kombinací funkce Ψ a funkce k ní hermitovsky sdružené Ψ, tj. kvadrátem normy 2 ΨΨ = Ψ. ( 1146 ) Nyní ale vidíme, že i samotná vlnová funkce, urující neklasické vlnové chování, bude mít v netriviální topologii pozorovatelné dsledky ekvivalentní Aharonovovu Bohmovu jevu. Kvantování fluxoidu nezávisí na kivce Γ, pokud ji mžeme spojit deformovat v objemu supravodie na jinou Γ. Víme již, že spojité transformace (homotopie) nemní topologii. V pípad magnetického toku to ovšem neplatí, nebo kdybychom kivku Γ deformovali tak, že by ležela v hloubce λ L, kde existuje magnetické pole a proudy, pak by Φ Φ 0 a museli bychom vzít v úvahu i integrál tchto proud pes kivku Γ, tj. fluxoid. Pesn se tedy kvantuje fluxoid, nikoliv tok. Odtud název fluxon pro jeho elementární kvantum, které nyní již mžeme spojit se zhmotnlým fotonem magnetického pole po fázovém pechodu z vodie na supravodi. Byli jsme tedy svdky toho, kterak se pi poklesu teploty pod jistou kritickou hranici rozpadá elektromagnetická interakce na interakci elektrickou, zprostedkovanou i nadále nehmotným fotonem, a interakci magnetickou, zprostedkovanou nyní již zhmotnlou verzí fotonu fluxonem. Stále by tedy za hích pokusit se náš postup obrátit a položit si otázku, zda by nemohl vésti naopak ke sjednocení nkterých ze 4 nám dobe známých interakcí. Jak jsme již naznaili výše, skuten se toto sjednocení již podailo u interakce elektromagnetické a slabé. 314

315 Pehled grup Mezi obvyklé symboly pro grupy patí: S n, grupa všech permutací n-prvkové množiny (má n! prvk). n! A n, její normální podgrupa všech sudých permutací (má 2 prvk pro n > 1). n, podgrupa S n, grupa všech symetrií pravidelného n-úhelníka (2n prvk). nám již známé aditivní komutativní grupy Z, Z n. To byly grupy diskrétní (nespojité) a v prvých tech pípadech konené. Další položky budou grupy Lieovy: GL, SL, O, SO, U, SU ( 1147 ) Pro tenáe, kteí zatím nebudou íst níže uvedený text, uvádíme telegraficky nejdležitjší informace. GL je grupou všech regulárních matic, SL je podgrupou všech matic s determinantem jedna, O je grupou všech tzv. ortogonálních matic; pojem ortogonální matice mžeme definovat nejmén temi ekvivalentními zpsoby: Matice, jejichž ádky mají normu jednotkovou a jsou vzájemn kolmé. 1 Matice, pro které platí vztah A = A. Jinými slovy, AA = 1 (což je ekvivalentní se vztahem A A = 1). (Tato vlastnost se nejlépe hodí k dkazu uzavenosti na komposici a inversi). bˆ x, y = bˆ Ax, Ay. Matice, které zachovávají skalární souin: ( ) ( ) Matice, které zachovávají velikost vektoru. Konen, grupou SO rozumíme grupu všech ortogonálních matic, jejichž determinant má hodnotu jedna. Grupy U a SU tzv. unitárních matic jsou analogií grup O a SO jsou užitené v komplexních prostorech. Pojem unitární matice lze opt definovat nkolika ekvivalentními zpsoby: unitární matice 315