když n < 100, n N, pak r(n) = n,

Zúžená aritmetika úvod Nad a Stehlíková Autorem netradiční aritmetické struktury, v rámci které se budeme nadále pohybovat, je Prof. Milan Hejný. Nejdříve si zavedeme základní pojmy. Základem zúžené aritmetiky je zobrazení r : N N, tzv. redukce, které je zavedeno takto: když n < 100, n N, pak r(n) = n, když n 100, rozdělíme číslo odzadu na dvojčíslí a ty spolu sečteme. Pokud je výsledné číslo větší než 99, opět ho rozdělíme odzadu na dvojčíslí a ty spolu sečteme atd. Např. r(171) = r(1 + 71) = 72, r(1 356) = r(13 + 56) = 69, r(8 869) = r(88 + 69) = = r(157) = r(1 + 57) = 58, r(57 865) = r(5 + 78 + 65) = r(148) = r(1 + 48) = 49 Necht A 2 = {1, 2, 3,..., 99} je množina prvních devadesáti devíti přirozených čísel. Pomocí redukce r zavedeme binární operace z-sčítání a z-násobení v A 2 takto: x, y A 2, x y = r(x + y) a x y = r(x y). Např. 78 56 = r(134) = 35, 7 55 = r(385) = 88. Symbol A 2 bude nadále používán pro označení množiny i struktury A 2 = (A 2,, ). Čísla z množiny A 2 budeme nazývat z-čísla. Pokud neřekneme jinak, budeme nadále pracovat výhradně v množině A 2. Řešte následující úlohy, které vám pomohou vybudovat teorii zúžené aritmetiky a objevit řadu jejích vlastností. Můžeme si také klást vlastní otázky, které vás při řešení budou napadat. 1. Zjistěte r(100), r(2 574), r(58 693), r(10 001 000). 2. Najděte všechny {x N; r(x) = 6} {x N; r(x) = 18}, {x N; r(x) = 99}. 3. Řešte rovnice s neznámou x A 2 : x 17 = 99 x 61 = 4 x 6 = 92 25 x = 36 99 x = 13 66 x = 66 98 x = 3 x 99 = 58 4. Zaved te z-odčítání. 5. Řešte rovnice s neznámou x A 2. 1

2 x = 40 2 x = 1 2 x = 99 3 x = 30 3 x = 1 3 x = 99 3 x = 45 14 x = 91 13 x = 45 6 x = 3 93 x = 3 50 x = 5 6 x = 45 3 x 2 = 83 5 x 10 = 5 6. Zaved te z-dělení. 7. Definujte v A 2 sudá a lichá čísla. 8. Která z-čísla jsou z-dělitelná číslem 2?, 3?, 5?, 9?, 33?, 55? 9. Řešte kvadratické rovnice s neznámou x A 2 (x 2 znamená x x). x 2 = 4 x 2 = 22 x 2 91 x = 99 x 2 3 x = 99 x 2 69 x 81 = 99 x 2 2 x 15 = 99 x 2 8 x 16 = 99 3 x 2 48 x 27 = 99 2

Zúžená aritmetika druhé mocniny Nad a Stehlíková Ve výše definované zúžené aritmetice můžeme zkoumat i některé vlastnosti, které nemají obdobu v normální aritmetice. Jednou z vhodných oblastí, která přináší zajímavé výsledky, je téma druhých mocnin. Řešením následujících úloh byste měli odhalit některé zajímavé vlastnosti struktury druhých mocnin. 1. Najděte všechny druhé mocniny v A 2. 2. Řešte rovnice x 2 = a, kde x, a A 2 a x je neznámá a a je parametr. 3. Snažte se zjistit co nejvíce vlastností druhých mocnin a odmocnin v A 2. Které z nich jsou obdobné vlasnostem druhých mocnin a odmocnin v normální aritmetice a které ne? Zapište je. 4. Má množina druhých mocnin v A 2 nějakou strukturu? Rada: Pokuste se je nějak symbolicky zakreslit. Například můžete spojit šipkou číslo a jeho druhou odmocninu. Uděláte-li to se všemi z-čísly, dospějete k zajímavému diagramu. 5. Zkoumejte diagram druhých mocnin. Jakým způsobem jsou v něm znázorněny vlastnosti struktury druhých mocnin, které jste odhalili dříve? Jaká kritéria můžeme použít na rozdělení množiny A 2 na podmnožiny čísel? 6. Znáte jednu odmocninu nějaké druhé mocniny v A 2. Jakým způsobem můžeme dopočítat zbylé odmocniny této druhé mocniny, aniž bychom museli zdlouhavě zjišt ovat druhé mocniny všech z-čísel? 7. Zkoumejte množiny odmocnin z-čísla, které je druhou mocninou v A 2, z hlediska vlastností algebraických struktur (např. zda jsou to aditivní nebo multiplikativní grupy). 8. Ted již umíme v A 2 odmocňovat, můžeme se podívat na řešitelnost kvadratických rovnic v A 2. Problematika kvadratických rovnic v A 2 je poměrně složitá a vyžaduje větší úsilí než předchozí úkoly. Řešte kvadratické rovnice s neznámou x A 2 : x 2 4 x = 99, 2 x 2 3 x = 99, 9 x 2 33 x = 99, x 2 2 x 6 = 99, 7 x 2 6 x 93 = 99, 9 x 2 2 x 66 = 99. 3

Popište obecné řešení kvadratických rovnic. Klasifikujte kvadratické rovnice v A 2 podle počtu jejich kořenů. Zjistěte, zda pro kořeny kvadratické rovnice v A 2 platí Viètovy vztahy. Zkoumejte vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice v A 2. 4

Zúžená aritmetika magické čtverce Michaela Ulrychová V zúžené aritmetice můžeme také zkoumat některé partie rekreační matematiky. Zde uvedeme sérii úloh, kterou lze použít pro zkoumání vlastností magických čtverců v A 2 Na úvod zaved me magické čtverce v množině A 2. Magický čtverec v A 2 je takový soubor čísel z A 2 uspořádaných do tvaru čtverce, že z-součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a v každé úhlopříčce je týž. Magické čtverce se rozdělují podle počtu čísel v jednom řádku. Počet čísel v jednom řádku se nazývá řád čtverce, který budeme značit n. V tomto textu se omezíme na řád z množiny A 2. Magické čtverce dělíme na sudé a liché (podle řádu magického čtverce). Z-součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a v každé úhlopříčce nazveme konstanta magického čtverce. Konstantu magického čtverce v N budeme značit k, konstantu magického čtverce v A 2 budeme značit k. 1. Vypočítejte z-součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a v každé úhlopříčce, magického čtverce na obr. 1. Obr. 1 2. Necht je zadán magický čtverec 4. řádu v oboru přirozených čísel (obr. 2). Převed te tento čtverec do A 2 a vypočítejte jeho konstantu. 5

Obr. 2 3. : Doplňte chybějící čísla z A 2 v magickém čtverci na obr. 3 tak, aby jeho konstanta byla 30. Obr. 3 4. Doplňte chybějící čísla z A 2 v magickém čtverci na obr. 4 tak, aby jeho konstanta byla 63. Obr. 4 5. Pro výpočet konstanty k magického čtverce skládajícího se ze všech přirozených čísel od 1 do n 2 platí vztah mezi konstantou k magického čtverce a řádem n magického čtverce: k = 1 2 n(1+n2 ). Zjistěte, zda podobný vztah platí i pro výpočet konstanty k magického čtverce v A 2. 6. Využitím vztahů z předchozí úlohy sestavte tabulku, která bude pro daný řád n magického čtverce udávat konstantu k magického čtverce v N a konstantu k magického čtverce v A 2 (n {3, 4, 5,..., 99}). 7. Sestavte magický čtverec 11. řádu v A 2 a vypočítejte jeho konstantu k. 6

8. Je možné určit jednoznačně hodnotu středového čísla (čísla v políčku uprostřed magického čtverce) v lichém magickém čtverci v A 2? 9. V oboru přirozených čísel se můžeme setkat s aritmetickým průměrem čísel. Jak souvisí středové číslo lichého magického čtverce v N s aritmetickým průměrem řádku, sloupce či úhlopříčky? Platí něco podobného v A 2? 10. Vyberte vhodná čísla z čísel 3, 21, 33, 48, 57, 87 a doplňte je do obr. 16 tak, abyste získali magický čtverec v A 2. Vypočítejte jeho konstantu k. Obr. 5 7

Zúžená aritmetika pythagorejské trojice Michaela Ulrychová Podobně jako magické čtverce, můžeme také studovat pythagorejské trojice. Opět tak učiníme prostřednictvím úloh. Pythagorejskou trojicí v A 2 nazveme takovou trojici z-čísel (x, y, z), pro kterou platí x 2 y 2 = z 2, přičemž symbol x 2 znamená x x. 1. Ověřte, zda následující trojice čísel tvoří pythagorejskou trojici v A 2 (čísla jsou uvedena v pořadí x, y, z). (a) 5, 66, 49, (b) 11, 33, 88, (c) 16, 62, 1, (d) 3, 18, 27, (e) 4, 99, 5, (f) 23, 26, 13, (g) 23, 27, 13, (h) 99, 99, 1. 2. Najděte všechny pythagorejské trojice v A 2, které obsahují čísla 10 a 66. (Pokud jste již dříve nezkoumali druhé mocniny v A 2, viz výše, bude lépe, pokud nejprve vyřešíte následující úlohu.) 3. Zjistěte, která z-čísla jsou druhou mocninou nějakého z-čísla. 4. Najděte co nejvíce pythagorejských trojic v A 2. 5. Kolik pythagorejských trojic získáme z rovnosti 1 99 = 1? 6. V předchozích dvou úlohách jsme odvodili způsob, jakým zjistíme všechny pythagorejské trojice v A 2. Najděte nějaký vhodný způsob zápisu všech těchto možností. 7. V množině přirozených čísel platí, že pokud přirozená čísla a, b, c tvoří pythagorejskou trojici, pak čísla pa, pb, pc, kde p je přirozené číslo, také tvoří pythagorejskou trojici. Formulujte analogické tvrzení v A 2 a zjistěte, zda platí. 8. Pro pythagorejskou trojici (a, b, c) v N platí, že jedno z čísel a, b musí být dělitelné číslem 3, jedno z těchto čísel musí být dělitelné číslem 4 a některé z čísel a, b, c musí být dělitelné číslem 5. Zformulujte podobné tvrzení pro pythagorejské trojice v A 2. 8

Zúžená aritmetika jednodušší varianta Nad a Stehlíková Můžeme vytvořit jednodušší variantu zúžené aritmetiky A 1, kde budou pouze jednociferná čísla bez nuly. Její základ opět tvoří zobrazení r : N N, které budeme nazývat redukce a které zavedeme takto: když n < 10, n N, pak r(n) = n, když n 10, provádíme ciferný součet čísla tak dlouho, dokud nedostaneme číslo od 1 do 9. Například r(71) = 7 + 1 = 8, r(135) = 1 + 3 + 5 = 9, r(869) = r(8 + 6 + 9) = = r(23) = 2 + 3 = 5. Označme množinu A 1 = {1, 2, 3,..., 9}. Pomocí redukce r zavedeme binární operace z-sčítání a z-násobení v A 1 takto: x, y A 1, x y = r(x + y) a x y = r(x y). Například 7 5 = r(12) = 3, 7 5 = r(35) = 8. Můžeme řešit podobné úlohy jako u A 2. Zde některé z nich uvedeme a zaměříme se zejména na zkoumání pythagorejských trojic v A 1. 1. Najděte redukce následujících čísel: 69, 5, 896, 45, 9, 99, 8321. 2. Z kterých čísel uděláme redukcí číslo (a) 6, (b) 8, (c) 9? 3. Vypočtěte: 6 3, 8 5, 6 9, 9 3, 7 4, 5 9. 4. Vypočtěte: 5 4, 6 9, 4 8, 2 2, 3 5, 3 6, 8 8. Poznámka: Pythagorejskou trojicí v A 1 nazveme takovou trojici z-čísel (x, y, z), pro kterou platí x 2 y 2 = z 2. Symbolem x 2 značíme součin x x. 5. Ověřte, zda následující trojice (x, y, z) tvoří pythagorejské trojice v A 1 : (1, 5, 6), (4, 6, 2), (3, 3, 6), (5, 5, 3), (2, 9, 7). 6. Lehce ověříme, že 7 2 6 2 = 2 2 a 6 2 7 2 = 2 2. Budeme považovat trojice (7, 6, 2), (6, 7, 2) za různé? 7. Máme dána tři čísla. Vytvořte z nich pythagorejské trojice (pokud to jde): (a) 4, 6, 7, (b) 1, 8, 9, (c) 3, 6, 9, (d) 2, 6, 8. 8. Máme dána dvě čísla 3 a 8. Najděte všechny pythagorejské trojice, které obsahují tato dvě čísla. 9

9. Najděte všechny pythagorejské trojice v A 1. 10. Pro pythagorejské trojice v množině přirozených čísel platí, že pokud tři čísla x, y, z tvoří pythagorejskou trojici, i trojice px, py, pz, kde p N, je pythagorejská. Formulujte toto tvrzení v množině A 1 a zjistěte, zda platí. 11. Najděte co nejmenší množinu pythagorejských trojic v A 1, ze kterých se dá pomocí vynásobení těchto trojic nějakým číslem z A 1 vytvořit množinu všech pythagorejských trojic v A 1. Například z trojice (1, 3, 1) vznikne vynásobením číslem 2 trojice (2, 6, 2), číslem 3 trojice (3, 9, 3) atd. Tuto množinu nazveme množinou základních pythagorejských trojic. 12. Najděte co nejvíce množin základních pythagorejských trojic. 13. Pro pythagorejské trojice (x, y, z) v množině přirozených čísel platí, že k jejich výpočtu můžeme použít vztahů x = p 2 q 2, y = 2pq, z = p 2 +q 2, kde p, q jsou libovolná přirozená čísla a p > q. Platí něco takového i v množině A 1? 14. Prozkoumejte tabulku druhých mocnin v A 2. Zjistěte, jaké jsou vztahy mezi čísly, která mají v A 1 stejnou druhou mocninu. 15. Podívejte se na výsledek úlohy 13. Znáte-li jednu dvojici čísel p, q, která vytvoří určitou trojici, najděte pravidlo, pomocí kterého je možné určit druhou dvojici čísel p, q, které vytvoří stejnou trojici. 16. Zjistili jsme, že pomocí vztahů u úlohy 13 se dají vygenerovat ty pythagorejské trojice, v nichž nejsou všechna čísla vesměs dělitelná třemi. Pokuste se najít jiné vztahy, které by vytvořily (a) právě ty pythagorejské trojice, které obsahují pouze čísla dělitelná třemi, (b) všechny pythagorejské trojice. 17. Pro pythagorejské trojice v množině přirozených čísel také platí, že všechny tzv. primitivní trojice (tj. čísla x, y, z musí být po dvou nesoudělná) se dají vygenerovat pomocí vztahu uvedeného u úlohy 13 za předpokladu, že čísla p, q mají rozdílnou paritu (tj. jedno je sudé a druhé liché). Zjistěte, zda tomu tak je v množině A 1. 10