E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 IV.7. Poteniální vektorové pole Vektorové pole f (U,V,W se nazývá poteniální pole v oblasti G E 3, jestliže eistuje skalární funke ϕ taková, že f gradϕ v oblasti G. Podobně pro vektorové pole f (U,V v oblasti G E. Skalární funki ϕ nazýváme poteniálem vektorového pole f v G. Platí následujíí tvrzení (podrobněji ve skriptu Matematika II od J. Neustup: Věta. Neht f je poteniální a spojité vektorové pole s poteniálem ϕ v oblasti G E3 (resp. E. Neht je orientovaná křivka v G s počátečním bodem A a s konovým bodem B. Pak f d s ϕ(b ϕ(a. Poznámka.Protože pro poteniální vektorové pole f závisí hodnota křivkového integrálu f d s pouze na počátečním a konovém bodě, lze v tomto případě psát B f d s f d s. A Věta. Neht f je spojité vektorové pole v oblasti G E3 (resp. E. Pak následujíí tři výrok jsou ekvivalentní: a f je poteniální pole v G. b Křivkový integrál f d s nezávisí v oblasti G na integrační estě. Cirkulae pole f po libovolné uzavřené křive v G je nulová. V dalším tetu se soustředíme především na vektorové pole v E. Věta. (Postačujíí podmínka poteniálnosti v E. Neht a G je jednoduše souvislá oblast v E a b f (U,V je vektorové pole, jehož souřadniové funke U(,,V(, mají v oblasti G spojité pariální derivae a funke U,V splňují podmínku V v G. Pak f je poteniální vektorové pole v G. Při výpočtu poteniálu zpravidla nejprve ověříme podle postačujíí podmínk, že dané vektorové pole je poteniální v oblasti G. Pro výpočet poteniálu v E pak máme několik možností. 1. metoda.poteniálurčímezdefiniepoteniálu,tzn. f gradϕ ve.takdostáváme rovnie (1 U, ( V. metoda. Poteniál určíme výpočtem křivkového integrálu. Z výše uvedené vět vplývá, že poteniál ϕ(, f d s, kde je vhodně zvolená křivka v G se zvoleným počátečním bodem, ] a konovým bodem,]. Příklad 554. Určete největší možnou oblast(i, na níž je dané vektorové pole poteniální. a f ( sin, +, b f (, +. 116
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 Řešení: a Souřadniové funke U, V daného pole mají spojité pariální derivae v oblasteh D 1 a D, kde D 1 {,] E ; > }, D {,] E ; < }. Vpočteme pariální derivae: V, zatímo os. Není ted splněna nutná podmínka, ab vektorové pole blo poteniální, tj. podmínka V. b Dané vektorové pole má spojité pariální derivae v oblasti D 1 a v oblasti D z úloh a. Každá z těhto oblastí je jednoduše souvislá a platí V,. Zadané vektorové pole ted splňuje výše uvedenou postačujíí podmínku a proto je poteniální v každé z oblastí D 1, D. Příklad 555. a Ověřte, že vektorové pole f (3+, 3 je poteniální v oblasti E. b Určete poteniál tohoto vektorového pole. Vpočítejte křivkový integrál f d s, kde je úsečka od bodu A 1,3] do bodu B,1]. Řešení: a Souřadniové funke U, V jsou polnom. Mají ted spojité pariální derivae v množině E, ož je oblast jednoduše souvislá. Výpočtem V, vidíme, že dané pole je poteniální v oblasti E. b Při výpočtu poteniálu podle 1. metod vjdeme ze dvou podmínek (1 3+, ( 3 Integrováním podle vpočítáme z podmínk (1: ϕ(, (3+d 3+ +K(. Takto vpočtená funke ϕ(, obsahuje neznámou funki K(. Po dosazení za ϕ do podmínk ( získáme rovnii (, ve které už nebude proměnná. To je kontrolní místo výpočtu. Derivai funke K zapíšeme ve tvaru dk d, nebot K je funke jedné proměnné. ( + dk d 3 dk d 3. Funki K( pak získáme integrováním: K( 3 d 3 +C. Po dosazení za K( obdržíme výsledný tvar poteniálu ϕ(, 3+ 3 +C,,] E, C je libovolné reálné číslo. Zadaný křivkový integrál lze vpočítat pomoí parametrizae dané úsečk. Protože však dané pole je poteniální v E, lze křivkový integrál vpočítat pomoí poteniálu: (3+, 3 d s ϕ(b ϕ(a ϕ(,1 ϕ(1,3 3. 117
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 Příklad 556. a Ověřte, že jsou splněn postačujíí podmínk poteniálnosti pro dané vektorové pole f v oblasti G E. b Určete jeho poteniál výpočtem křivkového integrálu, tj.. metodou. Vpočtěte B A (3 3, 3 6 d s, je-li A 1,3],B,1]. Řešení: a Funke U a V jsou spojité a diferenovatelné v elém E. G E je jednoduše souvislá oblast, Pak k ověření, že f je poteniální v G, stačí zjistit, zda V : V 3 6, 3 6. Ano, pole f je poteniální v E. b f ( gradϕ,,], ] f d s,], ] d+ d,],], ] dϕ ϕ (, ϕ (,. Zvolíme, ],] : ϕ(, (3 3 d+( 3 6d (,] víme, že integrál nezávisí na estě, proto zvolíme,] lomenou čáru,],],] :,],] :,d,],] : konst.,d,],],],] (3 3 d+( 3 6d + d+,1] 1,3],],] ( 3 6d 3 3 ϕ(, 3 3 +C, (3 3 d+( 3 6d f d s ϕ(,1 ϕ(1,3 (8 6 (3 7 6. Příklad 557. Je dáno vektorové pole f (3, 3 +. Napište postačujíí podmínk pro to, ab křivkový integrál vektorové funke f d s nezávisel v oblasti D E na estě. Určete poteniál ϕ a užijte jej k výpočtu křivkového integrálu vektorové funke f po dané křive. a 1 je úsečka z bodu A,4] do bodu B 1,1]. b je záporně orientovaná hranie množin M {,] : +( 3 8, }. Řešení: U(, 3, V(, 3 +. Ověřte si, že pariální derivae jsou spojité a v oblasti D {,] E ; > }, která je jednoduše souvislá platí rovnost V. Výpočet poteniálu ϕ: Podmínk (1 a ( mají tvar: 118
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 (1 3, ( 3 + Z podmínk (1 vpočítáme ϕ(, 3 d 3 +K(. Po dosazení do (: 3 + dk d 3 +. Po úpravě získáme rovnii dk d, d ze které určíme K( 3 +C. 3 Hledaný poteniál v D je ϕ(, 3 + 3 3 +C. a b B A 1 M f d s (3, 3 + d s 1 1 ϕ(1,1] ϕ(,4] 17/3. Daná křivka je uzavřená. Je to obvod půlkruhu M, který leží v oblasti D, v níž je dané vektorové pole f poteniální. Z vlastnosti poteniálu pak vplývá, že irkulae daného vektorového pole f podél této křivk je rovna nule. Příklad 558. Je dáno vektorové pole f (os, sin. a Ověřte, že je pole poteniální v E. b Určete jeho poteniál ϕ. Vpočtěte f d s, kde je křivka s počátečním bodem A,] a konovým bodem B 4,π/]. Řešení: a Oblast E je jednoduše souvislá oblast a platí sin, V sin f je poteniální v E. b os ϕ(, osd os +K( sin ( sin+ dk d sin dk d K( C ϕ(, os +C. f d s ϕ(4,π/ ϕ(, 16os π 4os 4. Příklad559.Určete oblasti G E, v nihž je pole f ( 1 + 5, 1 ++11 poteniální a stanovte jeho poteniál ϕ(,, který splňuje podmínku ϕ(,. 119
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 Řešení: G 1 {,] E ; >, > }, G {,] E ; <, > }, G 3 {,] E ; >, < }, G 4 {,] E ; <, < }. Platí V 1 1 +, ted je f poteniální v G i,i 1,,3,4. Výpočet poteniálu ϕ : 1 + 5 ϕ(, 1 + 5d + + 5+K( 1 ++11 +1 ++dk d 1 ++11 K( 11+C ϕ(, + + 5+11 +C; Z podmínk ϕ(, vpočteme konstantu C: 1+1 8+1++C C ϕ(, + + 5+11 pro,] G. Příklad 56. Určete největší možnou oblast G E, v níž je vektorová funke ( f,4 spojitá a rozhodněte, zda f d s nezávisí na integrační estě v G. Pokud tato oblast eistuje, vpočtěte 4, ] 1,] f d s. Řešení: G {,] E, > } je polorovina, a ted je jednodušše souvislá oblast v E. f d s nezávisí na estě, protože pariální derivae souřadniovýh funkí U, V jsou spojité v G a platí 4, ] 1,] V eistuje poteniál ϕ. ϕ(, d +K( 4 + dk d 4 K( C f d s 4, ] 1,] ϕ(, +C (,4 d s ϕ(4, ϕ(1, 8 Příklad561.Je dána funke ϕ(, 3 +. Určete a silové pole f, jehož poteniálem je funke ϕ(,; b prái síl f při pohbu z bodu M 1,1] do bodu N,3]; prái síl f podél křivk {,] E ; +4 4}, která je orientována kladně. Řešení: a f gradϕ f (3 +, 3 + ; 1
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 b W N M f d s (integrál nezávisí na estě ϕ(n ϕ(m ( 4+36 (1+1 1; W f d s. Příklad56.Je dáno vektorové pole f (,+ v G E + \{,]}. a Ověřte, že platí V vg. b Výpočtem integrálu f d s, kde je záporně orientovaná kružnie S, ], r, se přesvědčte, že pole není poteniální v G. Řešení: a V + ( + (,+ b Cirkulae f d s d s + P(t ost,sint], t,π P(t ( sint,ost křivka je nesouhlasně orientovaná s parametrizaí π (ost sint,(ost+sint ( sint,ostdt 4 1 π ( 4(ost sintsint+4(ost+sintost dt 4 Pole f není poteniální, protože f d s. π 1dt π Poznámka: K výpočtu tohoto integrálu nelze použít Greenovu větu, jelikož bod,] int {,] E ; + < 4} nepatří do D( f. Příklad 563. Vpočtěte N M f d s, kde M 1,,e], N, 1,e ], víte-li, že pole f je poteniální v oblasti E 3 a jeho poteniál je funke ϕ(,,z lnz. Určete největší možnou oblast G, v níž je ϕ poteniálem pole f. Řešení: G {,,z] E 3 ;z > }; N M f d s ϕ(n ϕ(m lne 4. Je dáno vektorové pole f. Ověřte, že je pole poteniální v G E, resp. E 3, stanovte jeho poteniál a vpočtěte B A f d s : Příklad564.* f (3 z +z, 3 +z 3, z ++5, A,1,1], B 3,,], G E 3 Řešení: a K ověření stačí: 1 spojitost pariálníh derivaí funkí U(,,z, V(,,z, W(,,z v oblasti G, která je jednodušše souvislá v E 3, 11
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 rot f v G. i j k rot f z 3 z +z 3 +z 3 z ++5 (, z ++z,3 3 f je poteniální v E 3.,,z],,],,],,] b ϕ(,,z (3 z +zd+( 3 +z 3d +( z ++5dz z,,],,z],,z] f d s+ f d s+ f d s,,],,],,],,] :,d,z,dz,,],,] : d,z,dz,,],,z] : d,d d+ ( 3 3d + z 3 3 + z z +z +5z +C, 3,,],1,1] ( z ++5dz f d s ϕ(3,, ϕ(,1,1 7. 565. f (e,( +1e, A 1,], B 3,1],,],,],,] ϕ 1 ] ( +1e +C; 5e 1 566. f (3, 3, A 1,1], B, 1] ϕ 3 +C; 1] 567. f (os + +, sin +, A,7], B 1,] ϕ + +os + +C; 3] 568.* f ( z, z,z, A,,3], B 3,3,] ϕ 1 ] 3 (3 + 3 +z 3 z +C; 9 569.* f ( +z,+1,z +, A,1,1 ],B 3,,] 57.* f ( + +1, ϕ + +z +z +C; 13] + +1,z, A 1,,], B,1,1] ϕ 1 ] ln( + +1+z +C; 1 571. Ověřte, že pole f (, je poteniální v E. Stanovte poteniál ϕ(,, splňujíí ϕ( 4,3 9. ϕ +7] 57.* Stanovte poteniál pole f ( 1 1 + z, z +,z na G E z 3 : >, z >. ϕ + z +z +C ] 1
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 573. Najděte prái silového pole f, jehož poteniálem je funke ϕ(, artg při pohbu a z bodu M 1, 3] do bodu N, ] ; b podél křivk {,] E ; ( + 1} v kladném směru. a π ] 1, b Vpočtěte : 574. 575. 1,],1] π/6,1] π/4,] d d sind+(1 osd 3, integrál nezávisí na estě ] 3 ] 576. (+d+(+d, : + a ] Určete oblasti G, v nihž je vektorové pole f poteniální a stanovte poteniál : 577. f ( 3 +, + 4 G, f není poteniální] 578. f 579.* f (ln e e, + ( z, z,ln( + 1 z G 1 E : >, > G E : >, < ϕ e +ln +C G E 3 : >, z > ϕ zln( + z +C ] Je dáno vektorové pole f (U,V a křivka. a Pomoí křivkového integrálu vektorové funke vpočítejte prái, kterou vkoná síla f působením po křive. b Ověřte, že vektorové pole f (U,V je poteniální v E. Určete poteniál ϕ tohoto pole a pomoí něho ověřte výsledek z úloh a. 58. f (+3, 3, jeorientovanáúsečkaspočátečnímbodema,1]akonovým] bodem B 1,3] a19/ ϕ(, /+3 +C 581. f (,, je část parabol s počátečním bodem A,] a konovým] bodem B,4] 58. f (,3, {,] E ; 1} od bodu 1;] do bodu 5; ] a3 ϕ(, +C a38 ϕ(, +3 +C 583. f (,, {,] E ; + 4} od bodu A,] do bodu B,] a4 584. a Vsvětlete, o to znamená, že integrál ϕ(, /+ /+C f d s nezávisí v oblasti G E na integrační estě. b Zdůvodněte, zda ( sin, os ds nezávisí v E na integrační estě. Eistuje-lipoteniálpole f ( sin, os ve,najdětejejavpočítejte ] ] 13
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (16 křivkový integrál tohoto pole po křive s počátečním bodem A,] a konovým bodem B,π]. ] bověřte splnění postačujíí podmínk, ϕ(, / os+c, π / π Je dána skalární funke ϕ(,,z, která je poteniálem nějakého vektorového pole f. a Určete největší oblast v E 3, ve které má ϕ spojité pariální derivae a vjádřete v této oblasti pole f. b Je-li ještě nějaká jiná funke poteniálem f v této oblasti, pak ji uved te. Vpočítejte křivkový integrál f d s pro danou křivku. 585. ϕ(,,z 1 ln( + +z ; je křivka v G s počátečním bodem 1,,] a konovým bodem,1,1]. 586. ϕ(,,z +z+z; } pro t,4 ag {,,z] E 3; + > } b f(,,z ( +, +, z 1 {,,z] : 1+t, + t, z os ( tπ 4 ae 3, funkeϕ+c b f ( +z, +z, +, Je dáno vektorové pole f (U,V, oblast D a křivka. a Napište postačujíí podmínk pro to, ab vektorové pole f (U,V blo poteniální v oblasti D E. b Ověřte, že postačujíí podmínk poteniálnosti jsou splněn pro dané vektorové pole f a danou oblast D (není-li oblast D dána, uved te největší možnou. Určete poteniál a užijte jej k výpočtu křivkového integrálu vektorové funke f po dané křive. 587. f ( +,, D {,] E + ; >, > }, je úsečka AB s počátečním bodem A,4] a konovým bodem B 1,] ϕ(, 1 588. f ( +,, D {,] E + ; > }, je kladně orientovaná ln( + +C; ln ] ϕ(, artg +C; ] kružnie ( 1 +( 1 1 4 589. f (, + 1, D {,] E ; > }, je křivka s poč. bodem A,1] a kon. bodem B 1,] 59. f ( +, ln os, je křivka s počátečním bodem A 1,π/4] a konovým bodem B ;] ϕ(, + +C; ] ϕ(, 3 /3+ ln sin/+c; 17/6 ] 14