Modelování kreditního spreadu

Modelování kreditního spreadu Jan Šedivý 1 Abstrakt Text uvádí do problematiky stanovení kreditního spreadu za pomoci strukturálních a redukovaných modelů úvěrového rizika. Jako determinanty kreditního spreadu zmiňuje hodnotu aktiv, jejich volatilitu, bezrizikovou úrokovou míru a prémii za likviditu na trzích s korporátními dluhopisy. Dále je představen plán analýzy kreditních spreadů českých společností, z nichž většina nemá akcie obchodované na burze. V závěru textu jsou představen pohled na kreditní spready riskmanagementu bank, které řídí tzv. refinanční riziko. Klíčová slova Strukturální modely úvěrového rizika, kreditní spread, refinanční riziko. 1. Úvod Ohodnocení úvěrového rizika je pro finanční instituce důležitým úkolem. Pro stanovení hodnoty dluhu určité společnosti existuje mnoho modelových přístupů. Velkou skupinu modelů úvěrového rizika tvoří strukturální modely (zaset value models), které jsou založené na modelování hodnoty aktiv firmy, u níž úvěrové riziko sledujeme. Tyto modely vycházejí z opčního principu podrobně rozvedeném R. C. Mertonem [7]. V tomto příspěvku bude analyzováno, jak modely z této skupiny odpovídají pohledu trhu na úvěrové riziko. Jinou skupinou modelů úvěrového rizika jsou modely redukované (intensity based), které kladou jiné nároky na vstupní data, ale postrádají fundamentální přístup jasně daných vysvětlujících proměnných. Motivací tohoto příspěvku je pak zvláště pohled finanční instituce, která hodlá v budoucnosti emitovat vlastní dluhopisy, aby získala dodatečné zdroje. Cenou za zdroje je mimo tržní sazby právě kreditní spread dané instituce. S využitím modelu, který odpovídá trhu, lze lépe odhadovat budoucí náklady a také riziko spojené s refinancováním svých podnikatelských aktivit. To je důležité zejména v době po finanční krizi, kdy prémie za úvěrové riziko a likviditu se výrazně podílí na konečné ceně zdrojů. Záměrem je využít omezeného datového souboru českého dluhopisového trhu a modifikovat výchozí Mertonův model kreditního spreadu v budoucím výzkumu. 2. Determinanty kreditního spreadu Strukturální modely úvěrového rizika jsou založeny na myšlence, že na firemní akcie a dluh lze nahlížet jako na deriváty, jejichž podkladovým instrumentem je hodnota aktiv firmy. Prvním ze skupiny těchto modelů byl Mertonův model představený v roce 1974 [7]. Později byl tento model rozšířen a byly opuštěny některé jeho omezující předpoklady (viz. například Black a Cox [2], Turnbull [8], Longstaff a Schwartz [6]). Nicméně hlavní faktory ovlivňující úvěrové riziko (reprezentované kreditním spreadem) v těchto modelech zůstaly. Proto pro 1 Ing. Jan Šedivý, Vysoká Škola Ekonomická v Praze, Katedra Měnové Teorie a Politiky, nám. Winstona Churchilla, e-mail: xsedj30@vse.cz

úvod vycházíme právě z Mertonova modelu. Základním předpokladem Mertonova modelu je, že pro vývoj hodnoty firemních aktiv A platí následující stochastická diferenciální rovnice: dat = µ At dt + σat dwt (1) kde α je okamžiková očekávaná míra návratnosti hodnoty firmy, µ je parametr driftu, σ je směrodatná odchylka náhodné složky hodnoty firmy a dw v je Wienerův náhodný proces. Dalšími silnými předpoklady modelu jsou neexistence daní a transakčních nákladů a dostatečná likvidita trhu. Rovnice (1) je dále využita k modelování procesu defaultu firmy. Firma je v čase T v defaultu, pokud se hodnota jejích aktiv nachází pod určitou kritickou hranicí H. Je-li hodnota aktiv vyšší než H, firma dostojí svým závazkům. Má-li firma veškerý svůj dluh sekuritizovaný do jednoho dluhopisu, pak může být hodnota H rovna nominální hodnotě tohoto dluhopisu, kterou je nutno v čase T splatit věřitelům. Dále budeme tedy předpokládat, že H je rovna právě nominální hodnotě (notional amount) oceňovaného dluhopisu. Na dluh firmy D lze nahlížet jako na opci, jejímž podkladovým instrumentem jsou aktiva firmy. V logice původního Mertonova modelu se jedná o evropskou put opci, kterou můžeme ocenit Black- Scholes opční oceňovací formulí: r τ At D ( At, τ ) = H e φ ( x2, t ) + φ( x ) r τ 1, t (2) H e kde x 1 2 1 z 2 φ ( xt ) = e dz 2π x 1, t At 1 + + 2 ln r σ τ H 2 = σ τ x 2, t = x1, t σ τ (3) Přičemž r označuje bezrizikovou úrokovou sazbu a τ čas zbývající do splatnosti dluhopisu. Z hodnoty dluhu lze přímo vyjádřit kreditní spread, který je rozdílem výnosu bezrizikového dluhopisu a dluhopisu společnosti, jejíž proces defaultu je modelován: 1 ln φ ( x2, t ) + φ( x1, t ) ( ) = d CS t T (4), τ kde r τ H e d = (5) At Rovnice (3) a (4) ukazují, že kreditní spread závisí na hodnotě aktiv, volatilitě hodnoty aktiv, době splatnosti a na bezrizikové výnosové křivce.tyto determinanty budou dále blíže diskutovány. Hodnota aktiv ovlivňuje výši kreditního spreadu prostřednictvím tzv. leverage ratia (parametr d v rovnicích (4) a (5)). Snižuje-li firma podíl dluhu na celkových aktivech, bude snáze schopna dostát závazkům u svých věřitelů. Naopak firma, která zvýší podíl svého dluhového financování, bude muset dosáhnout vyšší efektivnosti. Vztah mezi hodnotou aktiv společnosti a jejím kreditním spreadem je tedy nepřímá úměrnost. Při praktické aplikaci modelu vyvstávají potíže z faktu, že hodnota aktiv není na trhu přímo pozorovatelná. Vzhledem k tomu, že v tomto textu nás zajímá zejména pohled vlastníka firmy na její úvěrové riziko a kreditní spread, tak tento problém teoreticky odpadá, protože předpokládáme, že

vlastník firmy zná, či je schopen zjistit, hodnotu aktiv své firmy v jakémkoli okamžiku. Při modelování kreditního spreadu, ale z těchto interních informací o hodnotě aktiv nelze vycházet, protože tyto údaje trh k dispozici nemá a nás zajímá právě úvěrové riziko tak, jak ho vnímají účastníci trhu. Pro praktické aplikace se navrhuje využít hodnotu akcií, která se na hodnotu aktiv transformuje. Závislost kreditního spreadu na leverage ratiu, které je poměrem dluhu a celkových aktiv, zachycuje obrázek č. 1. Jsou na něm zobrazeny kreditní spready pro dluhopisy s různě dlouhými splatnostmi. Pro volatilitu aktiv platí totéž, co pro volatilitu jakéhokoli podkladového instrumentu opčního kontraktu. Při zvýšení volatility se zvětšuje pravděpodobnost, že hodnota aktiv překročí kritickou hranici H a tedy, že společnost skončí v defaultu. Mezi volatilitou a kreditní přirážkou je tedy přímý vztah. Míra toho, jak je dopad změny volatility na kreditní spread velký, je závislá také na délce splatnosti dluhopisu, jak ukazuje obrázek č. 2. Podobně jako u hodnoty aktiv se i zde většinou vychází z volatility akcií, protože hodnota aktiv je na trhu pozorovatelná jen v diskrétních časových okamžicích (při zveřejnění účetních výkazů společnosti). Obr. č. 1: Závislost CS na leverage ratio Obr. č. 2: Závislost CS na volatilitě aktiv CS CS 0,1 5 0,09 0,08 0,07 0,035 0,06 0,03 0,025 0,02 0,03 0,015 0,32 0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,02 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 3Y 5Y 10Y leverage ratio 3Y 5Y 10Y volatilita aktiv Zdroj: vlastní výpočty Zdroj: vlastní výpočty Ze vztahů (4) a (5) vyplývá, že model pro kreditní spread předpokládá zápornou závislost na bezrizikové úrokové sazbě. Při vyšších sazbách se předpokládá vyšší růst hodnoty aktiv firmy v podkladovém stochastickém procesu (1). Nízké sazby naopak bývají často vnímány jako indikátor nižší výkonnosti ekonomiky, což má opět vliv na vývoj hodnoty aktiv firmy. Vztah kreditního spreadu a bezrizikové úrokové sazby graficky ukazuje obrázek č. 3. Jak bylo zmíněno výše, Mertonův základní model je založen na předpokladech o likvidním trhu a neexistenci daní a transakčních nákladů. Pro určité typy dluhopisů a jiných finančních instrumentů, ale trhy nemusejí mít stejnou úroveň likvidity jako státní dluhopisy. Investoři samozřejmě požadují kompenzaci za sníženou likviditu jimi nakupovaného dluhopisu. Snížená likvidita tak vede k vyšší kreditnímu přirážce. Při empirickém ověřování determinantů modelu je proto třeba model rozšířit, aby připouštěl existenci likvidní přirážky. Za míru likvidnosti bude považován bid-ask spread pro danou skupinu dluhopisů, jak doporučují Amihud a Mendelson [1].

Obr. č. 3: Závislost CS na bezrizikové úrokové sazbě CS 8 6 4 2 0,038 0,02 0,025 0,03 0,035 5 3Y 5Y 10Y risk-free sazba Zdroj: vlastní výpočty 3. Empirické ověření modelu Aplikace teoretického přístupu, uvedeného v předchozí části, v prostředí České Republiky, sebou nese několik problémů. Je třeba předeslat, že emise dluhopisů se v zásadě týkají pouze velkých společností, především pak bank. Dluhopisový trh není v České Republice zdaleka tak rozvinutý jako v západní Evropě či USA a vstupní data tedy nejsou tak obsáhlá. To na jednu stranu snižuje váhu analýzy, na druhou stranu ale právě řešení problému s nedokonalými vstupními daty bude významnou částí a přínosem analýzy. Pro empirické ověření je potřeba vybrat takové dluhopisy, které jsou na trhu pravidelně (alespoň jednou týdně) kotované. Analýza časových řad je prováděna na týdenních časových řadách cen dluhopisů a z nich vypočtených výnosů do doby splatnosti. Při tomto omezení zůstávají v analýze dluhopisy společností Česká spořitelna a. s. a Unicredit Bank Czech Republic a. s., které jsou častými emitenty a datový soubor dluhopisů u těchto společností s pravidelnou kotací je relativně rozsáhlý. Další společnosti (například Wustenrot hypoteční banka a. s.) emitovaly také některé dluhopisy, které jsou pravidelně kotovány alespoň na týdenní bázi. Analýza se proto zaměří na velmi úzké spektrum společností. Z těchto společností má na burze obchodované akcie pouze Česká spořitelna a. s., u ostatních společností budou muset informace o hodnotě aktiv vycházet ze zveřejňovaných účetních výkazů. Model bude potřeba výrazně modifikovat, protože Mertonův předpoklad o spojitém procesu vývoje hodnoty aktiv nebude v souladu s diskrétně získávanými informacemi o hodnotě aktiv. Východiskem pro empirické ověření bude výše uvedený Mertonův model, který podstoupí významné modifikace. Ze zobecnění dříve uvedených závěrů plyne, že předpokládáme, že kreditní spread je následující funkcí: CS = f ( A, σ A,τ, r, L) (6) kde L vyjadřuje prémii za sníženou likviditu pro daný dluhopis. Analýza bude zkoumat sílu závislosti kreditního spreadu na těchto parametrech. Z časových řad dostupných pro kotované státní a korporátní dluhopisy dostaneme časovou řadu kreditního spreadu. Stejně tak dostaneme míru likvidity, tedy bid-ask spread. Nejproblematičtějším zjevně budou parametry hodnoty aktiv a jejich volatilit u společností, které nemají obchodované své akcie na trhu. Užší informační soubor u těchto společností pravděpodobně povede k modifikaci strukturálního Mertonova modelu do jeho redukované formy (např. Jarrow a Proter [3]). To povede na jedné straně ke ztrátě informací o některých určujících proměnných, ale na druhé

straně povede k možnosti, jak i při omezených informacích odhadnout kreditní spread společnosti. 4. Implikace pro řízení refinančního rizika Refinančním rizikem se rozumí riziko vznikající právě ze změny kreditních spreadů u plánovaných budoucích emisí. Z pohledu riskmanagementu společností, které toto riziko chtějí řídit tedy vyvstává otázka, jak toto riziko měřit a jak s tímto rizikem dále nakládat, aby bylo na přijatelné úrovni. Standardem v procesu řízení rizika se stal přístup Value-at-Risk. Tento model lze použít i pro měření refinančního rizika jako relativně jednoduchý a přístupný nástroj. Základním vstupem modelu VaR je současná pozice porftolia společnosti. Protože nás zajímá potřeba refinancování, zajímá nás likvidní pozice. Tedy splatnost jednotlivých cash-flow je brána podle skutečného data peněžního toku a nikoli nejbližšího fixingu, jako je tomu u použití modelu Vaue-at-Risk pro výpočet tržního rizika. Na základě likviditní GAPové analýzy pozice, což model VaR implicitně činí, lze určit likviditní GAP, který vyjadřuje, kolik dodatečných zdrojů, a v jakém časovém horizontu, si bude společnost nucena opatřit emisí dluhopisů. Rizikovými faktory modelu Value-at-Risk potom jsou přímo determinanty kreditního spreadu, přičemž model Value-at-Risk zahrnuje již kalibrovaný model kreditního spreadu společnosti. Obr. č. 4: Vývoj úrokových sazeb s kreditním spreadem pro finanční instituce s ratingem A sazba 0,08 0,07 0,06 0,03 0,02 0,01 0,00 31.1.08 31.5.08 30.9.08 31.1.09 31.5.09 30.9.09 31.1.10 31.5.10 čas 3Y 5Y 10Y Zdroj: REUTERS Relativně složitý proces kalibrace modelu kreditního spreadu má také zjednodušenou, ale zároveň praktickou variantu. Informační zdroje společnosti REUTERS zveřejňují na denní bázi kreditní spready pro hlavní světové výnosové křivky s rozlišením křivek podle odvětví a ratingu společností. Hodnoty kreditních spreadů jsou vypočteny vnitřním modelem společnosti REUTERS na základě realizovaných emisí společnostmi, které odpovídají vybranému odvětví, ratingu a měně. Zvolíme-li zveřejňovanou křivku kreditního spreadu s příslušným odvětvím a ratingem a považujeme-li EUR výnosovou křivku za přípustnou aproximaci korunové křivky, můžeme použít jako rizikový faktor modelu VaR výhradně zveřejňované kreditní spready. Takto vypočtený VaR lze interpretovat jako n-tou nejhorší ztrátu pro dané období a danou hladinu pravděpodobnosti, kterou realizujeme při nepříznivém vývoji kreditních spreadů.

Možností, jak refinanční riziko přímo snížit, je využití kreditních derivátů. Předpokládejme, že analýza likvidity odhalila záporný likviditní GAP v čase T (nedostatek likvidity). Tento GAP hodlá společnost pokrýt emisí dluhopisů, u nichž dopředu nezná výši kreditního spreadu. Proti pohybu hodnoty kreditního marže se společnost může zajistit nákupem credit default swapu (CDS) vypsaného na sebe samu. Za tento nakoupený CDS musí společnost zaplatit prémii, což je cena za zajištění. Před realizací emise je CDS prodán. V případě, že se mezitím zvýšil kreditní spread společnosti je CDS prodána za vyšší cenu, která kompenzuje zvýšené náklady na emitované dluhopisy. Tato struktura ale klade zvláštní nároky na systém řízení rizik v případě, že společnost nepočítá s využitím kreditních derivátů. Alternativou je na základě změřeného refinančního rizika alokovat část akceptované míry rizik (AMR), kterou podle vyhlášky č. 123/2007 Sb. musí každá finanční instituce mít schválenou představenstvem, alokovat právě na refinanční riziko. To vede ke snížení limitů za nezměněných podmínek u ostatních rizik. 5. Závěr Cílem textu bylo představit teoretické základy problematiky kreditních spreadů prostřednictvím základního Mertonova modelu úvěrového rizika. Teoretický úvod poslouží při analýze českého dluhopisového trhu a empirickém ověření modelů. Důležité bude především vyřešit problém s nedostatečnými informacemi o hodnotě aktiv u společností, jejichž akcie se neobchodují na burze. Schopnost lépe odhadnout kreditní spread společnosti poslouží při řízení refinančního rizika, které je součástí problematiky řízení likvidity. Mírou tohoto rizika je speciální model Value-at-Risk, který pracuje s kreditními spready jako s rizikovými faktory. Literatura [1] AMIHUD, Y., MENDELSON, H.: Asset pricing and the bid-ask spread, Journal of Financial Economics 17, 1986. [2] BLACK, F., COX, J. C.: Valuing corporate securities: Some effects of bond indenture provisions, Journal of Finance 31, 1976. [3] DUFFIE, D., LANDO, D.: Term structures of credit spreads with incomplete accounting information, Econometrica, 2000. [4] JARROW, R. A., PROTER, P.: Structural versus reduced form models A new information based perspective, Journal of Investment Management, 2005. [5] LANDSCHOOT, A. V.: Determinants of euro term structure of credit spreads, ECB Working Papers Series No. 397, 2004. [6] LONGSTAFF, F. A., SCHWARTZ, E.: A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt, Journal of Finance 50, 1995. [7] MERTON, R. C.: On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance 29, 1974. [8] TURNBULL, S. M.: Debt capacity, Journal of Finance 34, 1979.

Summary Text introduces modelling of credit spreads with asset value models and intensity based models of credit risk. As determinants of credit spread there is mentioned value of assets, volatility of assets, risk-free interest rate and liquidity premium at the corporate bond markets. There is also introduced a plan of research of credit spreads of czech companies. Most of them does not have traded stocks. At the end of the text is also mentioned a use of credit spreads by riskmanagement. Models of credit spreads assist with dealing refinance risk.