IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti práce s odmocninami a iracionálními rovnicemi lze využít v mnoha přírodovědných a praktických oborech. Teorie: Iracionální rovnice je rovnice, v níž se neznámá nachází pod odmocninou. Než se pustíme do samotných matematických úprav iracionální rovnice, nezapomeňme uvést podmínky pro neznámou určit definiční obor rovnice. ři práci s iracionálními rovnicemi používáme často operaci umocňování. Umocnění obou stran rovnice je důsledková úprava vystihuje skutečnost, že každé řešení původní rovnice je také řešením rovnice nové, avšak obráceně to platit nemusí. Důsledkovou úpravou se žádné řešení neztratí, ale některá řešení mohou přibýt nutnou součástí řešení těchto rovnic je ZKOUŠKA! Zkoušku provádíme dosazením vypočteného možného kořene (příp. kořenů) rovnice do původní iracionální rovnice. orovnáním vypočtených levých a pravých stran rovnice zjistíme, zda případný kořen je skutečným kořenem původní rovnice. okud ano, zapíšeme množinu kořenů; pokud ne, uvedeme množinu kořenů rovnice jako prázdnou. ři úpravách rovnice používáme rovněž ekvivalentní úpravy. Ekvivalentními úpravami jsou například: - přičtení (odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice - přičtení (odečtení) stejného násobku neznámé k oběma stranám rovnice - vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem - ekvivalentní úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice, atd. (Ekvivalentní úprava vystihuje skutečnost, že každá nově získaná rovnice má naprosto stejné řešení jako výchozí rovnice.) řipomeňme, že početní operace násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním! Řešené úlohy: říklad. Řešte rovnici 4 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 4 0 4 ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 4 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 4 /(-4) (ekvivalentní úpravy) 4) 3 (pro lepší pochopení matematické úpravy)
3) rovedení zkoušky: 5 /: 5 5 (zjistíme, zda číslo je prvkem definičního oboru rovnice) 5 5 ; (číslo je prvkem definičního oboru rovnice; přesto Vypočtený kořen rovnice ( 5 orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají. je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. 5 5. 4 3 5 3 5 5 5 (číslo je řešením původní rovnice) říklad. 5 K (výsledek) Řešte rovnici 5 3 6 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 0 ; ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: definiční obor rovnice 5 3 6 (úprava rovnice osamostatnění odmocniny) 3. /:3 (rovnici vydělíme číslem 3) 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) 3 0 /: ( ) (pro lepší pochopení matematické úpravy)
3) rovedení zkoušky: 5 (zjistíme, zda kořen 5 je prvkem definičního oboru rovnice) 5 ; (číslo 5 je prvkem definičního oboru rovnice; přesto je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) Vypočtený kořen rovnice ( 5 ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají. 5 5 3..5 5 3. 5 3.3 5 6 5 6 5 5 (číslo 5 je řešením původní rovnice) 5 K (výsledek) říklad 3. Řešte rovnici 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 3 0 3 jakékoli reálné číslo umocněné na druhou je číslo nezáporné R definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 3 (ekvivalentní úpravy) /: (zjistíme, zda případný kořen rovnice ( ) je prvkem definičního oboru rovnice) R (číslo (-) náleží definičnímu oboru rovnice; přesto je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) 3) rovedení zkoušky: Vypočtený kořen rovnice ( ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají.
3 3 4 (pro vypočtený kořen rovnice (-) zkouška nevyšla nevyhovuje zadání původní rovnice rovnice nemá žádný kořen) K Ø (prázdná množina - výsledek) říklad 4. Řešte rovnici 0 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 0 0 0 0 0; 0 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 0 (ekvivalentní úprava) 0 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 0 ) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 0 4 4 (ekvivalentní úpravy) 4 6 0 /: 3 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( ).( 3) 0 ; 3 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 0; 0 3 0; 0 (. vypočtený kořen (-) náleží definičnímu oboru rovnice) (. vypočtený kořen 3 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-) i 3, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-) a 3.
0 ( ) 0 3 5 (číslo (-) není řešením původní rovnice) 3 0 3 0 3 3 3 3 3 (číslo 3 je řešením původní rovnice) 3 K (výsledek) říklad 5. Řešte rovnici 3. 6 4 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 6 0 6; definiční obor rovnice 6 ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 3. 6 4 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3. 6) (4 ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice.( probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 6) 6 8 (ekvivalentní úpravy) 54 6 8 7 70 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 7).( 0) 0 7 ; 0 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 7 ; ) (. vypočtený kořen 7 náleží definičnímu oboru rovnice) 0 ; ) (. vypočtený kořen 0 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: 7 i 0, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!)
3) rovedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 7 a 0. 7 3. 7 6 3. 3. 3 7 4 7 3 7 7 (číslo 7 není řešením původní rovnice) 0 3. 0 6 3. 4 3. 6 0 4 0 6 0 0 (číslo 0 není řešením původní rovnice) říklad 6. K Ø (prázdná množina - výsledek) Řešte rovnici 5 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 5 0 5; definiční obor rovnice 5 ) ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 5) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 4( 5) 4 4 (ekvivalentní úpravy rovnice) 3) rovedení zkoušky: 4 0 4 4 6 4 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené 4 ) kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 5; (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) 4 5; ) (. vypočtený kořen (-4) náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny 4 i (-4) jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba možné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 4 a (-4).
4. 4 5..3 6 4 4 6 4 4 (číslo 4 je řešením původní rovnice) 4. 4 5.. 4 4 4 4 (číslo (-4) není řešením původní rovnice) 4 K (výsledek) říklad 7. Řešte rovnici 7 5 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 7 0 7 7; ) definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 7 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 7) ( 5) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 7 0 5 (ekvivalentní úpravy rovnice) 8 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( ).( ) 0 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 7; ) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 7; ) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla a. 7 3 5 3 (číslo není řešením původní rovnice)
7 6 4 5 4 (číslo je řešením původní rovnice) K (výsledek) říklad 8. Řešte rovnici 4 6 4 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na obou stranách rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 4 6 0 4 0 (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 4 6 4 6 4 4 3 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 3 číselná osa ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. 4 6 4 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) 4 6 4 (ekvivalentní úpravy rovnice) /: (zjistíme, zda vypočtený kořen ( ) je prvkem definičního oboru rovnice) ; (číslo není prvkem definičního oboru rovnice tj. 3) Zapíšeme množinu kořenů rovnice: některý z výrazů na levé či pravé straně rovnice, po dosazení čísla, nemá smysl ( 4 6 ) rovnice nemá žádný kořen) K Ø (prázdná množina - výsledek)
říklad. Řešte rovnici 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 0 0 (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) číselná osa Ø definiční obor rovnice je prázdný rovnice nemá smysl ) Zapíšeme množinu kořenů rovnice: K Ø (výsledek) říklad 0. Řešte rovnici 4 5 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 4 0 5 0 (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 4 4 5 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) -5 4 číselná osa 5;4 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. OZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina! 4 5 3 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 4 3 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou)
6 ( 4 ) (3 5 ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 4 6 5 5 (iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu 5 5 4 6 5 0 /: osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) 3 5 5 /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále ( 3 5 ) (5.(5 ) 5 0 ) postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) 45 5 0 0 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 5).( 4) 0 5 ; 4 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 5 5; 4 (. vypočtený kořen (-5) náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 4 5; 4 (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-5) i 4, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-5) a 4. 5 4 ( 5) 5 5 0 3 5 3 5 5 (číslo (-5) je řešením původní rovnice) 4 4 4 5 4 0 3 4 3 4 4 (číslo 4 je řešením původní rovnice) K 5;4 (výsledek)
říklad. Řešte rovnici 7 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 7 0 3 0 (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 3 7 3 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 7;3 definiční obor rovnice -7 3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. OZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina! 7 3 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 3 7 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 7) ( 3 ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec 4 4 3 3 7 4 3 4 3 a b a ab b ) 7 (iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě ji ponecháme na pravé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) 0 4 3 /: 3 5 /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 5) (. 3 0 5 4.(3 ) ) 0 5 5 4 6 7 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 3).( ) 0 3 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)
3) rovedení zkoušky: 3 7; 3 7; 3 (. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru rovnice) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-3) i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-3) a. 3 3 7 3 ( 3) 4 6 4 6 3 3 3 (číslo (-3) není řešením původní rovnice) 7 3 6 4 4 (číslo je řešením původní rovnice) říklad. K (výsledek) Řešte rovnici. 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 0 3 0 (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 3 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) ; definiční obor rovnice -3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:. 3 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice). 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (. ) ( 3) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b )
4.( ) 4 4 3 3 (iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na levé straně rovnice) 4 4 4 4 3 3 (odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě na levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) 4 3 4 3 4 4 4 3 3 /() (obě strany opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 4 3) ( 3 6.( 3) 66 ) 6 48 66 8 73 0 (kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 8; c 73 ) D ( 8) 4..( 73) D 406 b D,. a 8 64, 8 73 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny 73 ; (. vypočtený kořen vyhovují definičnímu oboru rovnice) 73 náleží definičnímu oboru rovnice) ; (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: (oba kořeny: 73 i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 73 a. 73 73 73 73 73 7 64 00 8 0. 3... 3 3 73 73 73 73 (číslo není řešením původní rovnice) 6 3 0 3 6 3
. 3. 0 4.0 0 (číslo je řešením původní rovnice) říklad 3. K (výsledek) Řešte rovnici. 7 4 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: 0 7 0 (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 7 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) -7 - číselná osa ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:. 7 4 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 4. 7 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 4) (. 7) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 8. 6 4.( 7) (iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na pravé straně rovnice) 8. 6 4 8 (odmocninu osamostatníme, v tomto případě ji ponecháme na levé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) 8. 4 8 6 8. 3 0 /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 8. ) (3 64.( ) 64 8 0) 60 00 60 00
4 8 0 (kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 4; c 8 ) D ( 4) 4..( 8) D 04 b D,. a 4 3, 8 4 ; 3) rovedení zkoušky: (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) ; (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 4 ; (. vypočtený kořen ( rovnice) (oba kořeny: i ( 4 4 ) náleží definičnímu oboru ) jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 73 a.. 7 4..3 6 4 4 (číslo je řešením původní rovnice) 4 4 3 4 4 3 4 4 (číslo ( 4 ; K (výsledek) 4 ) je řešením původní rovnice)
říklad 4***. Řešte rovnici 6 3 5 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: 3 > 0 5 0 (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 5 > -3 < 3 5 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 5 3 číselná osa ; 5 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 6 3 5 /. 3 3 6 ( 5).(3 ) 3 (odstranění zlomku; celou rovnici násobíme výrazem 3 ) (úprava rovnice) 7 4 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( ) ( 7 4 5 ) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 8 8 7 4 5 (ekvivalentní úpravy rovnice) 4 6 54 0 /: 3 7 0 (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 3; c 7 ) D ( 3) 4..( 7) D 5 b D,. a 3 5, 4 ; 3 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)
3) rovedení zkoušky: ; (. vypočtený kořen nenáleží definičnímu oboru 5 rovnice neprovádíme s ním zkoušku) 3 ; (. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru 5 rovnice) (pro možný kořen (-3) ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice tj. číslo (-3). 6 6 6. 6 6 3 3 ( 3) 6.. 6 3 ( 3) 3 5.( 3) 5 4 4.6. 6 3 3 říklad 5***. K 3 (výsledek) 6 6 6 6 (číslo (-3) je řešením původní rovnice) 6 6 Řešte rovnici 3. ) Stanovíme podmínky pro neznámou: 0 3 0 0 3 0 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou, tzv. definiční obor rovnice) 3; definiční obor rovnice 0 3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 3. /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3) (. ) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b )
. ( ).( 3) 3 4 (ekvivalentní úpravy rovnice). 5 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (. 5 3) ( ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 4.( 5 3) 4 4 (ekvivalentní úpravy rovnice) 8 0 4 4 7 4 6 0 (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a 7; b 4; c 6 ) D ( 4) 4.7.( 6) D 04 b D,. a 4 3, 4 4 4 ; 7 3) rovedení zkoušky: (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 3 ; (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) 4 4 ; 7 3 (. vypočtený kořen ( 4 7 ) nenáleží definičnímu oboru rovnice neprovádíme pro něj zkoušku) (pro možný kořen 4 ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice, tj číslo 4. 4.4 4 3 3 4 4. 4. 4 4 4 (číslo 4 je řešením původní rovnice) 4 K (výsledek) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vysvětlivky: symbolem *** je označeno rozšiřující učivo (např. pro studenty Technického lycea)
Úlohy k procvičování: ) Řešte rovnici 4 7 Výsledek: ) Řešte rovnici 3. 4 5 Výsledek: 8 3) Řešte rovnici. Výsledek: Ø 4) Řešte rovnici 7 Výsledek: 3 5) Řešte rovnici 5 Výsledek: 0 6) Řešte rovnici 5 Výsledek: 0; 3 7) Řešte rovnici 3 3 Výsledek: 8) Řešte rovnici. 5 Výsledek: 4 ) Řešte rovnici 6 4 4 Výsledek: - 0) Řešte rovnici 3 4 Výsledek: Ø ) Řešte rovnici 4 5 Výsledek: 0
) Řešte rovnici 3 4 4 Výsledek: 3) Řešte rovnici 6 Výsledek: -; 5 4) Řešte rovnici 4 Výsledek: 3 5) Řešte rovnici 3 5 3 Výsledek: 6) Řešte rovnici 4 8 3 Výsledek: ; 34 7) Řešte rovnici 3 3 3 Výsledek: - 8) Řešte rovnici 0 8 Výsledek: ) Řešte rovnici 4 Výsledek: -5 0) Řešte rovnici 4 4 6 Výsledek: Ø ) Řešte rovnici 3 7 Výsledek: -; 3 ) Řešte rovnici 3 4 Výsledek: 4 3) Řešte rovnici 3. 5 Výsledek: 5
3 4) Řešte rovnici 7 Výsledek: 3 4 5) Řešte rovnici Výsledek: 8 5 6***) Řešte rovnici Výsledek: Ø 7***) Řešte rovnici 5 7. Výsledek: 4 8***) Řešte rovnici 4 6 Výsledek: ; 4 5 ***) Řešte rovnici 4 5 Výsledek: 5; 30***) Řešte rovnici 4 5 4 Výsledek: 5 3***) Řešte rovnici Výsledek: 3 4 3***) Řešte rovnici 4 5 4 Výsledek: 5
33***) Řešte rovnici 3 6 3 Výsledek: Ø 34***) Řešte rovnici 6 5. Výsledek: 35***) Řešte rovnici. 3 Výsledek: - 36***) Řešte rovnici Výsledek: -3