Minimalizace logické funkce

VYSOKÉ UČENÍ TEHNIKÉ V RNĚ FKULT ELEKTROTEHNIKY KOMUNIKČNÍH TEHNOLOGIÍ Ústav mikroelektroniky LORTORNÍ VIČENÍ Z PŘEDMĚTU Digitální integrované obvody Minimalizace logické funkce Michal Krajíček Martin Klíma

Obsah. Úvod.... inární číselná soustava, logické funkce a operátory..... inární číselná soustava..... Logické funkce...... Zápis Pravdivostní tabulkou... 5... Zápis funkce algebraickými výrazy normálními formami... 5.. Logické operátory... 6... Negace NOT... 6... Logický součet OR nebo... 7... Negovaný logický součet NOR... 7... Logický součin ND... 8..5. Negovaný logický součin NND... 8..6. Nonekvivalence OR... 9. Realizace logické sítě... 9. Minimalizace logické funkce..... ooleova algebra..... De Morganovy zákony..... Karnaughova mapa...... Sestavení Karnaughovy mapy...... Zapsání funkce do Karnaughovy mapy...... Vyhodnocení Karnaughovy mapy... 5 5. Závěr... 6 6. Zdroje... 6 7. Zadání cvičení... 7

. Úvod S rozvojem elektroniky a jejímu stále častějšímu využívání pro plnění výpočetních úkolů se po čase elektronika rozdělila na analogovou elektroniku, která zpracovává spojité signály, a elektroniku digitální - číselnou. Jedním z důvodů byl fakt, že velká část matematických operací pracuje s konkrétními hodnotami, což je těžko realizovatelné pomocí prvků se spojitými charakteristikami. Protože nestačí možné stavy od sebe pouze separovat, ale je nutné i rozlišit je při vyhodnocení od sebe, nastal problém s definováním rozhodovacích úrovní signálu. Pro lidi přirozená dekadická číselné soustava se nejevila vhodná z důvodu nutnosti rozlišit relativně velké množství úrovní. Kvůli jasnému určení stavu se tedy elektronika vydala cestou, které skýtá nejmenší možný počet pro rozhodnutí, a to dva. Pro efektivní zpracovaní matematických operací, které má především vliv na rychlost zpracování informace, menší spotřebu materiálu i energie, začal být kladen důraz na snížení počtu operací na nutné minimum a jejich zjednodušení. Protože všechny zmíněné výhody, včetně času, lze vyčíslit penězi, je patrné, že minimalizace a zjednodušování operací vede ke značným úsporám.. inární číselná soustava, logické funkce a operátory V souvislosti s digitální elektronikou je často užíván termín logický - logické hodnoty, logické funkce, logické operace aj. Logickou hodnotou, nebo také bool hodnotou, je hodnota reprezentována stavy pravda/nepravda true/false, nebo také ano/ne, zapnuto/vypnuto nebo /. Veškeré matematické souvislosti pro tyto hodnoty zastřešuje ooleova algebra... inární číselná soustava Za nadskupinu logických hodnot může být považována binární, česky dvojková, číselné soustava, která je rovněž reprezentována dvěma stavy - a. Jde o poziční číselnou soustavu mocnin se základem a je nutné podotknout, že logické hodnoty korespondují pouze s jednomístnými binárními čísly - bity. Poziční soustava vychází ze zvyklostí zapisování čísla, tj. z leva doprava, přičemž nalevo jsou hodnoty s nejvyšší váhou a napravo s nejnižší, stejně, jako tomu je u desítkové soustavy. To je patrné z následující ukázky převodu binárního čísla na dekadické. Číslo rozepíšeme jakou součet součinů hodnot příslušných pozic s mocninou čísla. Nultou pozicí je hodnota s nejnižší váhou, směrem doleva se tato mocnina zvyšuje s krokem. 9 8 56 8 6 9 7 6 5

Převod dekadického čísla na binární má opačný postup. Je třeba určit kolik a jakých mocnin se základem dává v součtu převáděné dekadické číslo. Standardní způsob převodu využívá celočíselné dělení dekadického čísla číslem. Podstatné jsou právě zbytky po celočíselném dělení, které nabývají hodnot, nebo. Ty se postupně zapisují, výsledek převodu tvoří tyto zbytky zapsané v opačném pořadí. Více napoví následující příklad - převod čísla 9. 9 7 7 57 57 78 78 89 89 5 5 zb. zb. zb. zb. zb. zb. zb. zb. zb. zb. zb. Protože se tato práce zaměřuje především na zjednodušení bitových operací a funkcí, binárními čísly se dále zabývat nebudeme... Logické funkce Logická funkce je funkce, která pro konečný počet vstupních parametrů vrací logické hodnoty. Jedná se o soubor logických operací, konkrétně operací s výroky, jejichž výsledkem je opět výrok, jež nabývá logických hodnot závisejících na pravdivosti výroků a druhu operace. Druh logické operace určuje operátor. V elektronice se logickými operátory rozumí prvky realizující operace s logickými funkcemi. Obecně se nazývají hradla. Pro praktickou realizaci jakékoliv funkce bylo vytvořeno šest základních operací a jim odpovídajících hradel. Více v kapitole. Logické operátory. o se týče zápisu logické funkce, každou logickou funkci lze vyjádřit různými způsoby grafickými nebo algebraickými. Je-li každému stavu x, x..x N nezávislých proměnných logické funkce fx,x..x N přiřazena funkční hodnota y, mluvíme o úplně určené funkci f. hybí-li byť jedna funkční hodnota, jedná se o neúplně určenou funkci. Takovému stavu říkáme neurčitý stav.

5... Zápis Pravdivostní tabulkou Do pravdivostní tabulky, viz Tabulka -, se zapisují hodnoty vstupních stavů a výstupního stavu kombinační obvody pouze jeden výstupní stav, resp. výstupních stavů sekvenční obvody může být více výstupních stavů. S - stavový index, dekadické číslo, které nabývá hodnot až n- - vstupní stavy Y - výstupní stav - logická jednička - logická nula! - neurčitý stav - Zápis logické funkce pravdivostní tabulkou S Y! 5 6 7 8 9!!! 5... Zápis funkce algebraickými výrazy normálními formami Úplná součtová normální forma n S y S K S y y

6 Úplná součinová normální forma n S y S K S y y y S - funkční hodnota odpovídající stavovému indexu K S - základní logický součin.. Logické operátory... Negace NOT Výstupem funkce negace je hodnota opačná - negovaná - k hodnotě vstupní proměnné. Jestliže na vstupu bude hodnota log. na výstupu Y bude hodnota log. viz tabulka -. -bitové hradlo pro realizaci funkce negace má jeden vstup a jeden výstup. Značky dle různých pro toto hradlo jsou na obr. - Matematický zápis negace: Y. Tab. - Pravdivostní tabulka Negace Y Obr. - NOT: a EU, b US, c ČSN, d IE []

... Logický součet OR nebo Logický, nebo také binární, součet sčítá dvě a více proměnných. Výstupem funkce bude log., jestliže je alespoň na jednom z n vstupů logická. Tato funkce se také nazývá disjunkce sjednocení. V praxi má uplatnění i jako hradlo pro kontrolu výskytu. Matematický zápis logického součtu: Y Tab. - Pravdivostní tabulka logického součtu Y Obr. - Používané značení hradel OR: a EU, b US, c ČSN, d IE []... Negovaný logický součet NOR Negovaný logický součet je spojením funkcí log. součtu a negace, tudíž na výstupu bude log. pouze v případě, že na vstupu jsou samé log.. Matematický zápis negovaného logického součtu: Y Tab. - Pravdivostní tabulka NOR Y Obr. - Používané značení hradel NOR: a EU, b US, c ČSN, d IE [] 7

... Logický součin ND Logický součin je bitovou operací dvou a více proměnných. Její výstupní hodnota nabývá hodnoty log. jen tehdy, jsou-li všechny vstupní hodnoty log.. Tato funkce se také nazývá konjunkce průnik a jedno z jeho praktických využití je kontrola shody. Matematický zápis logického součinu: Y Tab. -5 Pravdivostní tabulka logického součinu Y Obr. - Používané značení hradel ND: a EU, b US, c ČSN, d IE []..5. Negovaný logický součin NND Obdobně jako pro log. funkci OR existuje funkce NOR, tak i log. funkce ND má negovaný protějšek NND, což je zřetězením funkcí ND a NOT. Po provedení logického součinu se výstupní hodnota zneguje, tudíž na výstupu může být log. jen tehdy, pokud na všech vstupech bude log.. Matematický zápis logického negovaného součinu: Y Tab. -6 Pravdivostní tabulka negovaného logického součinu Y Obr. -5 Používané značení hradel NND: a EU, b US, c ČSN, d IE [] 8

..6. Nonekvivalence OR Funkce bývá někdy označována jako exkluzivní logický součet. Její výstup nabývá hodnoty log. tehdy, kdy jsou vstupní hodnoty rozdílné. Matematický zápis nonekvivalence: Y Tab. -7 Pravdivostní tabulka nonekvivalence Y Obr. -6 Používané značení hradel OR: a EU, b US, c ČSN, d IE []. Realizace logické sítě Každá logická funkce lze realizovat pomocí základních logických členů - hradel. Při realizaci funkce je nutné respektovat pořadí matematických operací. Logickou síť sestavujeme zpravidla z leva doprava. V tomto případě pořadí hradel ukazuje na prioritu operace z leva hradla vykonávají operace s vyšší prioritou. To je vidět na příkladu sestavení funkce pomocí hradel obr. -. Nejprve jsou vyčísleny závorky, dále součiny a jako operace s nejnižší prioritou je poslední operací součet. Y Obr. - Funkce Y realizovaná pomocí základních logických členů 9

. Minimalizace logické funkce Jak již bylo v úvodu řečeno, minimalizování logické funkce, resp. úkonů, které musí digitální obvod řešit dle stanovených požadavků, vede k úspoře času potřebnému k výpočtu, materiálu a energie. Nutnost zvýšení výpočetního výkonu a snížení nákladů na provoz a výrobu se zvyšuje také s počtem použitých prvků v rámci systému a jejich řetězení. Veškeré minimalizační metody vycházejí z ooleovy algebry... ooleova algebra V roce 87 anglický matematik Georgie ool vytvořil algebru logiky pro zjednodušování složených výroků, později byla tato algebra nazvána ooleova algebra. V té době ovšem nebyla tolik doceněna a opravdové využití pro ni přišlo až v souvislosti s reléovými obvody a s rozvojem číslicové techniky. Díky ní lze systematicky navrhovat číslicová zařízení s minimálním počtem prvků. oolova algebra se dělí do několika skupin, přičemž každému pravidlu pro logický součet odpovídá obdobné pravidlo pro logický součin funkce logického součtu a součinu jsou navzájem duální. Zákony pro logické operace dle ooleovy algebry se dají rozdělit do několika skupin: Komutativní sociativní Distributivní Dvojité negace Vyloučení třetího O agresivnosti O neutrálnosti bsorpce bsorpce negace

.. De Morganovy zákony Využívají principů duality ooleovy algebry. Umožňují určení duální funkce k negovanému součtu nebo součinu s libovolným počtem členů definovaných v přímém tvaru. Výsledkem potom je duální výraz tvořený přímým součtem nebo součinem definovanými ve tvaru inverzním. Rovnice - De Morganovy zákony............ Jedním z omezení je, že proměnné jsou pouze v jednom tvaru - přímém, nebo negovaném, dále pak je použit pouze jeden typ operátoru, aby byl převod možný. Ze zákonů je také patrné, že každé hradlo NND lze nahradit hradlem OR a NOR hradlem ND. Toho se využívá především tehdy, je-li logická funkce realizována různými logickými operátory. Při návrhu je totiž výhodnější použít pouze jeden typ operátoru. Například používáme-li integrované obvody plnící určitou log. funkci, často jich bývá více v jednom pouzdře - zpravidla násobky dvou. Oproti využití ze integrovaných invertorů, ze hradel ND a jednoho logického součtu, jak je tomu na obrázku níže, lze po zjednodušení stejnou funkci zrealizovat pomocí ze integrovaných invertorů a ze hradel NND, čímž odpadá nutnost použít o integrovaný obvod navíc. Obr. - Zjednodušení obvodu s využitím de Morganových zákonů

Libovolnou základní logickou funkcí lze definovat vždy dvěma symboly. Jeden z nich využívá součinového, druhý součtového hradla. Stejně užitečná je i úprava symbolu invertoru. Podle principu de Morganových zákonů lze také odvodit obdobný zákon pro další log. funkce. Obr. - Ekvivalentní funkce hradel I když de Morganovy zákony názorně objasňují princip duality ooleovy algebry, nejsou ve své základní formě dostatečně univerzální, neumožňují přehlednou práci se složitějšími výrazy nebo proměnnými v obecném tvaru... Karnaughova mapa Karnaughovy mapa je to matematický nástroj pro práci s logickými funkcemi. Umožňuje realizovat prakticky všechny operace ooleovy algebry a téměř vždy platí pravidlo, že pro zjednodušení funkce o více než dvou proměnných je výhodnější použít mapu. Do mapy může být zapsána i obecná logická funkce upravená do tvaru DNT. Tvar mapy pak odpovídá plnému počtu proměnných logické funkce, pravdivostní tabulky Karnaughova mapa umožňuje: - zápis disjunkční funkce nebo pravdivostní tabulky - minimalizaci nebo jiné logické úpravy např. rozvoj funkce až do úrovně UDNT - inverzi funkce - určení duální funkce, vzhledem k zápisu zpravidla v konjunkčním tvaru * DNT Disjunktivní normální tvar UDNT Úplná disjunktivní normální forma Zapisovaná funkce musí být ve tvaru: f f f D f f f f... Y f D 5 6 7 8

... Sestavení Karnaughovy mapy Karnaughova mapa je tvořena tabulkou o n políček, kde n je počet vstupních proměnných, platí n,,,, a počet buněk v řádku či sloupci je násobkem čísla. Pro názornost viz obr. - Obr. - Odvození velikosti tabulky pro Karnaughovu mapu Dalším krokem po sestavení tabulky pro Karnaughovu mapu je vytvoření souřadnicového systému. Ten reprezentují vstupní proměnné funkce v závislosti na jejich počtu a je zapisován dle Grayova kódu, tzn. kódu specifického tím, že následující hodnota se od předchozí liší pouze v jednom bitu viz Obr. -. Ve stejném obrázku je také znázorněno, jak se postupuje při zařazení vstupních proměnných do souřadnic. Když zachováme uvedený postup vytvoření tabulky Karnaughovy mapy platí, že má-li mapa v ose n buněk, pak n je počet proměnných potřebných k určení souřadnice buňky v této ose. To stejné platí pro osu Y. V uvedeném příkladu obr. - je tabulka pro vstupní proměnné - N. Tabulka má tedy 6 buněk a rozměr x. Protože jsou v ose buňky n, k určení souřadnice buňky na řádku jsou třeba proměnné. V tomto případě totéž platí i pro buňku ve sloupci. Nezáleží na tom, jaké pořadí proměnných zvolíme, avšak je nutné toto pořadí dále respektovat. Tak, jak je uvedeno na příkladu obr. -, označíme řádek proměnnými. Protože jsou dvě, budou souřadnice popsány Grayovým kódem pro proměnné. Existuje i další způsob označení souřadnic sloupce a řádky se označí čarou, která reprezentuje souřadnice, kde příslušná proměnná nabývá log.. Vychází rovněž z Grayova kódu. Obr. - Grayův kód a příklady označení souřadnic Karnaughovy mapy

... Zapsání funkce do Karnaughovy mapy Pro vyplnění Karnaughovy mapy platí pravidla: - Obvykle se zapisuje pouze, nevyplněná buňka odpovídá - Pro neúplné funkce se prázdná políčka vyplňují Jestliže je sloupec určen například kódem, bude na něj odkazovat součin negovaných proměnných a ve členu zapisované funkce v úplné normální disjunktivní formě, resp. na buňky pod -ovou souřadnicí je odkazováno všemi součiny, kde se vyskytuje. Podobně je tomu u -ové souřadnice, na kterou odkazuje výskyt v součinu atd. Pokud bude v zapisovaném součinu chybět jedna z proměnných -ových souřadnic, určující je výskyt druhé z proměnných. Např. výskyt v zapisovaném součinu ukazuje na buňky ve sloupcích a. Stejně tak mohou chybět i všechny proměnné -ových souřadnic. Na buňky tak ukazují pouze Y-ové souřadnice. Obecně je vybraná buňka na průsečíku řádku a sloupce označených příslušnými souřadnicemi. Obdobně se postupuje pro Y-ové souřadnice. Příklad doplnění funkce Y D D D je na obr. -5. Obr. -5 Doplňování funkce do Karnaughovy mapy Doplňovaná funkce nemusí vždy definovat obsah všech políček Karnaughovy mapy. To může nastat např. v případě, že se jedná o funkci Z proměnných zapsanou pravdivostní tabulkou, která pracuje pouze s některými hodnotami, jež je možné těmito proměnnými popsat. Konkrétně budeme-li chtít extrahovat funkci výstupu logického obvodu funkce tří proměnných - Z : lze popsat 8 stavů -7. Jestliže funkce pracuje pouze se stavy 5, pak jsou zbylé nedefinované a do Karnaughovy mapy je do příslušné buňky zanesen křížek viz obr. -6. Obr. -6 Vytvoření Karnaughovy mapy funkce Y určené tabulkou s některými stavy nedefinovanými

... Vyhodnocení Karnaughovy mapy Protože tato práce pojednává především o minimalizování logických funkcí, bude vyhodnocení Karnaughovy mapy zaměřeno stejně. Postup zjištění nejjednoduššího možného tvaru logické funkce se odvíjí od utváření co největší skupiny buněk s hodnotou v mapě, které mohou mít pouze n buněk n,, a mají tvar obdélníku, přičemž nejmenší obdélník je jedna buňka. Dalšími pravidly pro vyhodnocení mapy jsou: - První a poslední buňka řádku, stejně tak první a poslední buňka sloupce, jsou sousedními buňkami - Pokud skupina zabírá v dané ose více buněk, její souřadnice v tomto směru je ta, která se nemění, případně, že zabírá všechny buňky v tomto směru, je určena pouze souřadnicemi směru kolmého - uňka s hodnotou může být obsažena ve dvou i více skupinách - Zjednodušenou funkci tvoří součet všech souřadnic určujících skupiny buněk s hodnotou, přičemž jsou tyto souřadnice součinovými členy - S buňkami s vyznačenými nedefinovanými stavy je možné, pokud je to výhodné pro zjednodušení, pracovat jako s buňkami a tvořit s nimi skupiny dle předchozích pravidel Na obr. -7 jsou příklady vyhodnocení. Obr. -7 Příklady vyhodnocení Karnaughovy mapy 5

Krom Karnaughovy mapy existují i další metody zjednodušení logických funkcí. Pro informaci jsme vybrali tyto dvě: Quine-Mcluskeyho metoda Vychází ze stejných principů jako metoda Karnaughových map. Pracuje s implikanty konjunkcemi funkce a zjednodušování probíhá ve dvou fázích. Nejprve hledání prostého implikantu konjunkce minimální součtové formy dané funkce, v druhém kroku se pak vybírá minimální počet prostých implikantů, jejichž součet tvoří formu Patrickova metoda Stejně jako Quine-Mcluskeyho metoda pracuje s množinami prostých implikantů a jednotlivých stavů dané funkce. Podle daných pravidel sestavuje tabulku, ze které se vychází při minimalizaci 5. Závěr ílem práce bylo seznámit studenty se základními principy postupu minimalizace logických funkcí, především s ooleovou algebrou, De Morganovými zákony a Karnaughovými mapami. Problematika těchto metod je mnohem složitější a i ty uvedené se komplikují se zvyšováním počtu proměnných. Často je proces minimalizace automatizován, což jistě šetří návrháři čas, ale i v případech méně rozsáhlých ručních minimalizací je úspora v dalším návrhu značná, a to včetně úspory materiálu, energie a času zpracování informace, jak bylo řečeno již v úvodu. 6. Zdroje Logická funkce Logické operace itové operátory ooleho algebra Minimalizační metody De Morganovy zákony Logické členy Karnaughova mapa http://cs.wikipedia.org/wiki/logick%%_funkce http://cs.wikipedia.org/wiki/logick%%_operace http://cs.wikipedia.org/wiki/itov%%d_oper%%tor http://elektronika.ezin.cz/ http://mvt.ic.cz/dva/prp/prp-.pdf http://www.prochazka.profitux.cz/booleova-algebra.a6.html http://artemis.osu.cz/polpo/7/5a_ooleova_algebra.pdf http://jjohnyk.sweb.cz/elektronika/.htm http://ww.webpark.cz/cviceni.pdf http://www.prochazka.profitux.cz/de-morganovy-zakony.a7.html http://cs.wikipedia.org/wiki/logick%%d_%%8dlen#nd rendáš V.: Číslicová technika. ohumín, http://www.prochazka.profitux.cz/karnaughova-mapa.a.html 6

7. Zadání cvičení Zrealizujte pomocí hradel funkci Y a pro hodnoty, a. Zobrazte její výsledek na sedmisegmentovém displayi, případně na diodě. Po té funkci zjednodušte pomocí Karnaughovy mapy a opět zobrazte. Porovnejte původní a zjednodušenou funkci i logické obvody, které ji realizovaly. Y Postup minimalizování. Úprava na úplnou součtovou normální formu s pomocí zákonů ooleovy algebry Y Y Y. Sestavení a vyhodnocení Karnaughovy mapy. Minimalizovaná funkce Y 7

Vytvořte dekodér kódu z 5 na D. Ze zadané tabulky získejte využitím Karnaughovy mapy minimalizovanou funkci a nakreslete schéma logické sítě. 7- Pravdivostní tabulka převodu kódu z5 do D z 5 D S 5 y y y y 5 6 7 8 9. Sestavení Karnaughových map a jejich vyhodnocení y : y : y y 5 y : y : y 5 y 8

. Sestavení logické sítě 9