Elektrotechnika 1 - počítačová cvičení

Elektrotechnika (BEL) - počítačová cvičení 8 Elektrotechnika - počítačová cvičení Garant předmětu: doc. ng. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu: doc. ng. Jiří Sedláček, CSc. doc. ng. Milan Murina, CSc. ng. Miloslav Steinbauer, Ph.D. Brno 5.8. 8

Obsah Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace... Metoda zjednodušování obvodu...6 Metoda úměrných veličin... Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů... 5 Metoda smyčkových proudů (MSP)... 6 Metoda uzlových napětí (MN)...8 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN)...5 8 Metoda náhradního zdroje...7 9 Časově proměnné veličiny... Nelineární obvody... Magnetické obvody... Příloha BH charakteristiky...5

Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace OHMŮV ZÁKON. KCHHOFFŮV ZÁKON (PODOVÝ): k Proudy tekoucí z uzlu bereme s kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu se záporným znaménkem. k +. KCHHOFFŮV ZÁKON (NAPĚŤOVÝ): k Napětí (úbytky na rezistorech, napětí zdrojů), jejichž čítací šipka má směr, souhlasící se směrem oběhu kolem smyčky, bereme s kladným znaménkem, ostatní napětí se záporným znaménkem. k i i i + i + + ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je V. Při proudu A je svorkové napětí V. Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje. Řešení a) napěťový model b) proudový model i V i,5 Ω Gi S i i i i 6 A

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad. Stejnosměrný zdroj při připojeném 68 Ω dodává proud,5 A a při pak Řešení,6 A. Vytvořte napěťový a proudový model zdroje. i i, i i, i i i + i 9, 9Ω +,56 V i i i Ω 9,9 Ω i i,56 V Gi,S 9,9 i,56 i i i 9,9,7 A Příklad. rčete napětí a proud V dvou paralelně řazených elektrických zdrojů (např. nový a starší chemický článek). i i,6 V,5 V i,8 Ω, Ω i Řešení Aplikací. K.z. na vyznačenou smyčku dostaneme i V + i V + i i. i i Vypočteme proud smyčky V,75 A. + i i Výsledné napětí je součtem napětí v jedné větvi iv + i, 5 V. Poznámka: Paralelně řazené články jsou naprázdno, přesto uvnitř baterie teče proud. Proto nelze spojovat nové a staré elektrické články paralelně. NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete napětí : a) přepočtem napěťových zdrojů na proudové, b) aplikací základních zákonů elektrických obvodů.

Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace 5 7 V 5 V 9 Ω 5 Ω Výsledek: 5 V Příklad.5 rčete svorková napětí zdrojů a pro hodnotu zátěže a) z 5 Ω a b) z Ω. a) Výsledky:,857 A,7 V,,57 V i i i i,6 V, V,8 Ω Ω b) Výsledky:,59 A, V,,59 V Poznámka: Při vzájemném porovnání výsledků je vidět, že pro menší z hodnot z se otočí polarita svorkového napětí. o může nastat v baterii z nestejných elektrických článků. Příklad.6 rčete hodnotu odporu tak, aby ab V. V, V, V 5 Ω, Ω Nápověda: Přepočtěte zdroje na proudové a k řešení použijte. K.z. pro uzel. Výsledek: 5 Ω

6 Elektrotechnika počítačová cvičení Metoda zjednodušování obvodu ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete metodou zjednodušování. V, Ω, Ω, 5Ω Celkový odpor Proud ze zdroje Hledané napětí + 5 + 5 Ω 5 Ω + + + + 5 7 Ω,9 A 7, V,57 V + Příklad. Vypočtěte proudy,,. V Ω + + 5Ω + + 5Ω,8A 5

Metoda zjednodušování obvodu 7,8 5 V, A, A Příklad. Vypočtěte proudy,,,, 5. V 5 Ω 5 Ω Ω + 5 Ω 5 + 5 Ω 5 5 5 + 5 Ω + 5 Ω A + AB AB V AB AB,5 A +,5 A 5 5

8 Elektrotechnika počítačová cvičení + AB AC 5 AC AB 5 AC AB 55,5 V,5 AC,5 AC,5 A,5A NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Vypočtěte proudy,,,, 5 V Ω Ω Ω Výsledky: 5,5 A, A,,5 A, A, A Příklad.5 Vypočtěte proudy,,,, 5 V Ω Ω Ω Ω 5 6 Výsledky:,75 A,,59 A,,78 A,,9 A, 5,76 A Příklad.6 Vypočtěte proudy,,,,, 5 V Ω 5 Ω Ω Výsledky: 5,8A,,8 A,,5 A,,6 A,,8 A

Metoda zjednodušování obvodu 9 Příklad.7 Vypočtěte proudy,,,, 5, 6 5 V Ω, Ω Ω, Ω 5 Ω, 6 Ω 5 6 Výsledky: 6,585 A,,5 A,,767 A,,576 A, 5, A Příklad.8 rčete všechny proudy v obvodu. V kω kω kω Výsledky:,67 ma,, ma,,58 ma Příklad.9 rčete všechny proudy obvodu. 8V, Ω Ω, Ω Ω, Ω 5 Výsledky:,78A,,96 A,,9 A,,877 A, 5,8 A Příklad. Vypočtěte proudy,,,. 5V, Ω 5 6 Ω, Ω Ω Výsledky:, A,,8 A,,9 A,,7 A

Elektrotechnika počítačová cvičení Metoda úměrných veličin ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete napětí metodou úměrných veličin. V, Ω, Ω, 5Ω Volíme 5 V Koeficient úměrnosti Hledané napětí a vypočteme A, + V ( ) A, + A + V k,7 k,57 V Příklad. rčete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. V kω 5 kω kω kω a) metodou zjednodušování: 5 + 5 ( + ) + +, kω + 6,5 kω,6 ma 5, V,5 kω b) metodou úměrných veličin: Volíme 5 ma. V 5 5 5 ma + ma + V ma

Metoda úměrných veličin, ma, ma,6 V 5 5,8 ma, ma + ma + 5 V k, k,6 ma, k, ma k, ma, k,8 ma k, ma 5 5 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. 5 5 V kω 5 kω kω kω Výsledky:,67mA,,67mA,,mA,,5mA, 5,mA Příklad. Vypočtěte proudy,,,. 5 V, Ω 5 6 Ω, Ω Ω Výsledky:, A,,8 A,,9 A,,7 A Příklad.5 Vypočtěte proudy,,,,, 5. V Ω 5 Ω, Ω Výsledky: 5,8 A,,5 A,, A,, A,,6 A

Elektrotechnika počítačová cvičení Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Obvod řešte aplikací Kirchhoffových zákonů. Ω Ω 5 Ω 6V 8 V. K.z.: pro uzel. K.z.: + + + - - - - 5 6 5 8 Příklad. Obvod popište pomocí K.z.,9 A,558 A,65 A G G Nezávislé uzly n,. K.z.: : + + : + + G : + Nezávislé smyčky s,. K.z.: + G G G G + G G G Popis obvodu pomocí K.z. vede na velké množství rovnic, proto se častěji používá metoda smyčkových proudů nebo metoda uzlových napětí.

5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. 6V, 8V Ω, Ω 5 Ω Pro smyčky můžeme podle. K.z napsat: ( ) ( ) S: + s s s S: + + s s s ( ) ( ) + s s + + s s V maticovém zápisu: + s 5-5 s 6 + s -5 5 s -8 5-5 Pomocí Cramerova pravidla 65-5 5 6-5 5 6 6 6-8 5-5 -8 6 6 s,9 A s,558 A 65 65 s,9 A s,558 A s s,9+,558,65 A Poznámka: Soustavu rovnic pro MSP lze zapsat přímo v maticovém tvaru: s. Prvky hlavní diagonály odporové matice jsou dány součtem rezistorů příslušné smyčky. Při volbě smyček jako ok sítě a souhlasném smyslu smyčkových proudů jsou ostatní prvky matice tvořeny záporně vzatou hodnotou rezistorů společných větví. Prvky vektoru zdrojů napětí jsou dány součtem napětí zdrojů v příslušné smyčce s respektováním znaménka (+ pro nesouhlasnou orientaci napěťové šipky vzhledem ke smyčkovému proudu, - pro souhlasnou orientaci napětí a smyčkového proudu).

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 5. Pomocí MSP určete proudy v obvodu. V Ω G Ω, Ω 5 Ω + G + G s + + G G s + s 65 5 s 5 75 s s, A,,8 A,,9 A s s s, A,,8 A s s,669 A,,765 A s s s s,9 A,,8 A s G s s Příklad 5. rčete proudy obvodu v pomocí MSP. 5 5V, 7V 7,5 Ω,,5Ω 5 Ω, Ω 5Ω + s + + 5 5 s 5 + 5 s,a,,6a,,8a s s s, A,,8 A,,6 A s s s A,,A s s 5 s s 9,5 - s 5 - -5 s -5 7,5 s -7 (Zkouška : +,8 A) 5

5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 5 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5. Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V, V, V Ω Ω Výsledky:,6 A,,6 A,, A Příklad 5.5 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V V Ω Ω Výsledky: -,6 A, -, A,,8 A Příklad 5.6 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. 5 V, V V Ω 5 Ω, Ω Výsledky: -,7 A,, A, -,6 A

6 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 5.7 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V, V Ω Ω Výsledky: -,86 A, -,7 A, -,57 A Příklad 5.8 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V V V Ω Ω Výsledky:,6 A,,8 A, -,6 A Příklad 5.9 rčete proudy v obvodu pomocí MSP. 6 5 5 V, 5 V, 9 V 5 Ω, Ω, 5 Ω Ω, Ω, 7 Ω 5 6 6 Výsledky:,6 A,,5 A,, A,, A, 5,5 A, 6, A

5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 7 Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete jednotlivé proudy ve větvích obvodu. V, V V, 6 V Ω, 5Ω 6 Ω, 5Ω 5 Výsledky: 5,5 A,,95 A,,7 A,,66 A, 5, A, 6,9 A Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy obvodu a také výkony dodávané zdroji a spotřebované rezistory. 6 6 5 5 8V, 8V Ω, 5Ω, 6Ω 5Ω, 9Ω, Ω 5 6 Výsledky:,956 A,,576 A,,77 A,,8 A,,95 A,,77 A 5 6 P, W P,69 W P,9 W P, W P5 55,785 W P6 66,86 W P 7,75 W P,65 W, P,58 W, P 7,76 W Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. P P 6 6 5 5 V, 5 V 5kΩ, kω kω, 5 kω kω,,5 kω 5 6 Výsledky:,5 ma, 6,5 ma, 7,8 ma,, ma, 8,79 ma, 5, ma 5 6

8 Elektrotechnika počítačová cvičení 6 Metoda uzlových napětí (MN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6. rčete napětí a pomocí metody uzlových napětí. A V, 5 V,5 A B Ω Ω Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu a odpory na vodivosti: A B A A, B,75A, G G,5 S, G G,5 S Očíslujeme uzly, jeden (označený obvykle číslem ) je referenční, ostatní nezávislé. Pro uzly můžeme podle. K. z. napsat: : G + G + G + + ( ) ( ) G G ( ) ( ) G + ( G + G ) + A : B G + G + G G B V maticovém zápisu: G+ G + G G A G G G + + B,5,5,5,5,5,875 Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí:,5, 5 5,65,5,5,5, 5, 785 -,8 V,875, 5,5,5,7875,5 V, 5,875 Poznámka: Soustavu rovnic pro MN lze zapsat přímo v maticovém tvaru: G. Prvky hlavní diagonály vodivostní matice jsou dány součtem vodivostí připojených do příslušného uzlu. Ostatní prvky matice G jsou tvořeny záporně vzatou hodnotou vodivostí spojujících mezi příslušnými uzly. A

6 Metoda uzlových napětí (MN) 9 Příklad 6. Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy,,. A B A A Ω Ω G G, Ω G,5 Ω G G+ G -G A -G G + G B,5, 5, 5,5 G+ G G,5,5 det, 5 G G G +, 5,5 A G,5,5 det,5 B G + G,5 V,5, G+ G A,5, 5 det, 5 G,5 V B,5,,5 5,5,5 A,,75 A,,5 A. Příklad 6. Pomocí metody uzlových napětí určete proudy,, v obvodu. 6V, 8V Ω, Ω 5 Ω G,S, G,5 S, G,6 S z,6 A,,9 A z

Elektrotechnika počítačová cvičení Sestavíme rovnici pro uzel : + G + G + G z z + z z G+ G + G 6,9 V Pozor proudy, je nutno určit z původního obvodu! G,9A z G,559 A z G,66 A Příklad 6. rčete proudy větví obvodu pomocí MN. 5V, V kω, kω, 5 kω kω, kω 5 Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu: z,5 ma, z ma G+ G + G G z G G + G+ G 5 z, 5, 5 5,7, 5,6 5,7,5 5 5,5,7 6 6 - -,,5,96 - - -5-6,6 V,9 V,98 ma,,6 ma,,6 ma,8678 ma,,9 ma 5 5

6 Metoda uzlových napětí (MN) Příklad 6.5 rčete napětí a pomocí MN. A V, 5 V,5 A B Ω Ω Přepočet na proudové zdroje a výpočet vodivostí: G G,5 S, G G,5 S A B z A, z,75 A, G z G+ G G z G G + G+ G z z G G G Z,, 5,5,5,,75,, 5, 75, 5,,5, 5,875,75,,,5,65, 5,75,875, 75,65, 75 5,8 V,6 V Příklad 6.6 Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos K a vstupní odpor vst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN). m b azítko ZPŘN: g g m m g g m m 5k Ω, 5kΩ, kω, b 5 k Ω, g ms m Matice MN s doplněným razítkem ZPŘN: G+ G + Gb Gb Gb Gb + G -g m +g m Pozor pravou stranu rovnice tvoří pouze nezávislé zdroje.

Elektrotechnika počítačová cvičení,,,, Napětový přenos a vstupní odpor: /, K,99. /,, 55 Ω.,6 vst 5,,,6,,,,,,,, 5 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6.7 Metodou uzlových napětí vypočtěte uzlová napětí a a poté proudy,,,. V, A Ω, Ω Ω, 5 Ω Výsledky: V, 5 V, A, A, - A, A Příklad 6.8 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy a. V A A, A Ω Ω B Ω Výsledky: -, A,,9 A Příklad 6.9 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy, a. V A Ω Výsledky: -, A,, A,,6 A

6 Metoda uzlových napětí (MN) Příklad 6. Pomocí MN vypočtěte napětí a v obvodu na obrázku. A 5V, V ma B, kω, 5,6 kω, kω, kω 5 Výsledky:,97 V, -6, V Příklad 6. Pomocí MN určete proudy v obvodu. V, 6 V ma, kω, kω z kω, 5kΩ kω, kω 5 6 Výsledky:,9 ma,, ma, -,9 ma,8 ma,, ma,,797 ma 5 6 Příklad 6. Pomocí MN určete napětí a v obvodu na obrázku. A 5V, V ma B, kω 5,6 kω,,7kω kω,,7kω 5 6 Výsledky: -,59 V, -9,6 V

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 6. rčete proudy větví obvodu na obrázku pomocí MN. 5 6 7 5V, V kω, kω, 5kΩ kω, kω, kω kω Výsledky:,75 ma,, ma,, ma,,55 ma,, ma,, ma,,595 ma 5 6 7 Příklad 6. Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos K a vstupní odpor vst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím. 5k Ω, 5kΩ, kω, g m ms Výsledky: K 98,, vst 58,6 Ω

7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 5 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 7. rčete proudy v obvodu pomocí MMN. 5V V 5Ω Ω Zdroj je ideální, nelze jej převést na zdroj proudový. Proto nejprve sestavíme matici MN pro zbylý obvod a doplníme podle K. z. řádek a sloupec pro zdroj. Nejprve je nutno přepočítat zdroj napětí na zdroj proudu a odpory na vodivosti: z A, G G, S, G G,S 5 Matice pro MN: G+ G + G G z G G + G Do uzlu vtéká proud, dále doplníme rovnici pro smyčku dle. K.z, takže dostaneme matici MMN: G+ G + G G z G G G + Po dosazení hodnot:,5,,, Řešením MMN dostaneme: 6V, V,,8A Pozor proud je třeba určit z původního obvodu! G, A, G,6 A ( ) ( ) z G,8 A, G A (Zkouška: + +, + V ) Poznámka: MMN je výhodné použít i pro reálné zdroje napětí, pokud se zajímáme o proud tekoucí zdrojem.

6 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 7. Předešlý obvod řešte bez náhrady zdroje. Podle. K.z. napíšeme rovnice: + + a a Dále vezmeme v úvahu, že do uzlu vtéjá proud a a do uzlu vtéká proud b. G + G G 6V V Výsledek: a -, A b,8 A Dále je možno určit i proudy obvodu, viz předešlý příklad. G G G + a b Příklad 7. Vypočtěte uzlová napětí a proud v uvedeném obvodu pomocí MMN. V, Ω Ω, Ω, 5Ω 5 Aplikací. K.z.: Proud vtéká do uzlu a vytéká z uzlu. G+ G G G G+ G + G5 G G G + G Řešením této maticové rovnice dostaneme:,5 V,,7 V,,765 V,,9 A Poznámka.: Je zřejmé, že MMN vede na větší počet rovnic, což není při počítačovém zpracování na závadu.

8 Metoda náhradního zdroje 7 8 Metoda náhradního zdroje ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) héveninovy věty, b) Nortonovy věty. V Ω Ω, Ω a) Pomocí héveninovy věty P i + i ( + ) + 5 5 i 6,6 V, i 8, Ω + + 6 + + 6 6,6,588 A,,588,77 V i i + 8, + P,77,588 6,9 W b) Pomocí Nortonovy věty i i G i + G P G i A, G + +,S 5 i + G,5,588 A,,77 V, P 6,9 W i Gi + G, +, 5 Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ jednodušší díky snadnějšímu určení i oproti napětí naprázdno i.

8 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) héveninovy věty, b) Nortonovy věty. V z A Ω Ω, Ω a) Pomocí héveninovy věty i P i + i G G + G G 6,6 V, + 6,6 Ω ( ) z i z i i G+ G + 6,6,77 A,,77,76 V i i + 6,6 + ( )( ) P,76,77,556 W b) Pomocí Nortonovy věty ( ) G G G G G ( + ) G i ( G ) G ( ) i G i + G P z + + i z i i G+ G + G,+,5 +, G G G G G G G i + + i Gi + G,6 +,5,6 S,, G,5,,77 A,,76 V P,556 W G, A Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ složitější, neboť určení proudu nakrátko i je komplikovanější ve srovnání s určením napětí naprázdno i.

8 Metoda náhradního zdroje 9 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) héveninovy věty, b) Nortonovy věty. V 5 Ω Ω Ω Výsledky: i V, i Ω,,5 A, 5, V, P,5 W Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) héveninovy věty, b) Nortonovy věty. V,,5 A Ω Ω, Ω Výsledky:,588 A,,588 V, P,6 W Příklad 8.5 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji. G G V, Ω G Ω, Ω 5 Ω Výsledky:,6667 V, Ω,,8 ma i i G

Elektrotechnika počítačová cvičení 9 Časově proměnné veličiny ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9. rčete střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m A. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Střední hodnota (stejnosměrná složka): i() t dt mdt dt mdt + + m m / t 5m [] t + + [] t m 8 m Střední absolutní hodnota: sa i() t dt mdt dt mdt + +,65,65 A m / t 7m [] t + + [] t m 8,875,875 A Efektivní hodnota: m () d md d i t t t t mdt + + m / t [] t + + [] t m,9 A Činitel tvaru je podíl efektivní a střední absolutní hodnoty: k t,9,,875 sa Činitel výkyvu je podíl maximální a efektivní hodnoty: k m v,9

9 Časově proměnné veličiny Příklad 9. Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu periodického průběhu proudu na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m 5 A. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu. m ovnice popisující časový průběh proudu se určí pomocí směrnice: i() t t m m t m Střední hodnota: i() t dt tdt,5a Střední absolutní hodnota: Protože průběh nabývá pouze kladných hodnot, platí sa, 5 A Efektivní hodnota: m m t m i () t dt t dt, A 6 Činitel tvaru: kt m,6, činitel výkyvu: kv 6, 9 6 sa Příklad 9. Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. π ovnice popisující časový průběh napětí je: u() t m sin t π m π Stejnosměrná složka: u() t dt msin t dt cos t π (Stejnoměrná složka je nulová, což je patrné ze symetrie průběhu.) Střední absolutní / π hodnota: sa u() t dt m sin t dt / m cos t π π π m 6,66 V (Vzhledem k symetrii průběhu lze provést integraci pouze za polovinu periody, kdy je hodnota nezáporná).

Elektrotechnika počítačová cvičení Efektivní hodnota: π π sin t dt cos t dt m m Činitel tvaru: kt sa m π m t sin t 7,7 V π π m,7, činitel výkyvu: kv, Příklad 9. Proud i(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: A; A;,5 A; 5,6 A. rčete činitel zkreslení v %. Výpočet činitele zkreslení je možný podle dvou vztahů + + + + k 5,5, 6,666,6 % + + + 5,5 +, 6 k,595 5,95 % + + + + + +,5 +, 6 5 Je vidět, že obě hodnoty jsou velmi blízké. Stejnosměrná složka nemá na činitel zkreslení vliv. Časový průběh (pro porovnání s. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech. i (A) i (t) 5-5 - (A) 5 6 t (ms) 8 6 5 5 6 k (-)

9 Časově proměnné veličiny NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9.5 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m A. Výsledky:,5 A,,866 A Příklad 9.6 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m,5 A. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky:,5 A, sa,75 A,,95 A, kt,5, kv,65 Příklad 9.7 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh napětí dle obrázku, je-li m V. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky:, sa 5 V, 5,77 V, kt,55, kv,7 Příklad 9.8 Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu usměrněného harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Výsledky: 6,66 V, sa 6,66 V, 7,7 V, kt,7, kv, Příklad 9.9 Napětí u(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky:,5 V; 5, V;,5 V;,5 V a 5, V. rčete činitel zkreslení. Výsledky: k 8,59 %, k 8,56 %

Elektrotechnika počítačová cvičení Nelineární obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spektrum neharmonických průběhů Příklad. Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) +sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t),u (t). i(t) u~ u(t) i, u Napětí zdroje obsahuje stejnosměrnou složku ( V) a harmonickou složku ( V): () + sin( ωt) u t Proud nelineárním odporem je: (),,( sin ( ω )),,sin ( ω ),cos( ω ) i t u + t + t t. Poznámka: bylo použito vztahu sin ( α ),5( cos( α )). Proud obsahuje tedy stejnosměrnou složku (, A), základní. harmonickou složku (, A) a. harmonickou složku (, A). Spektra napětí i proudu jsou ukázána v grafech. k V V k, A, A, A k k Aproximace nelineárních charakteristik Příklad. Pomocí metody nejmenších čtverců aproximujte přímkou průběh funkce y f(x) zadané tabulkou v m 5 bodech. x j 5 6 6 5 y y j 5 5 6 7 x

Nelineární obvody 5 Hledáme minimum tzv. kriteriální funkce, která je tvořena součtem odchylek aproximační funkce od původní funkce v daných bodech. ovnice hledané aproximační funkce (přímky) je m y a + a x, je třeba určit a a a. a Kriteriální funkce je σ a, a yj axj a a hledáme min σ ( a,a). ( ) ( ) j { } Minimum se nalezne pomocí parciálních derivací kriteriální funkce, které se položí rovny nule. V maticovém zápise tak dostaneme: m xj a y j, xj x a j x jy j přitom členy rovnice nejlépe zjistíme pomocnou tabulkou. j x j y j x j x j y j 5 9 9 5 5 5 6 6 6 Σ 5 7 8 Po dosazení do maticové rovnice 5 5 a 5 7 a 8 je řešení a, 5 a,58. Hledaná aproximační přímka je popsána rovnicí ya,5,58 x a její průběh je uveden v grafu. Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka a graf naměřených bodů. a) Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod,6 V ±, V. b) Pro pracovní bod,6 V ±, V určete statický a dynamický odpor diody. u (V),,,5,55,6,65,65,675,7 i (A),5,,,,5,6, ovnice hledané aproximační funkce (polynomu. stupně) je ya a + ax+ ax, hledáme koeficienty a, a a a. Polynom bude procházet body, podle zadání pro u (,5;,6;,7) V, v tabulce vyznačeno tučně. ovnice polynomu musí vyhovovat těmto určeným bodům:

6 Elektrotechnika počítačová cvičení a + au + a u i a + au + a u i a + au + a u i, v maticovém zápise Dosazením vybraných bodů z tabulky u u a i u u a i. u u a i,5,5 a,5,6,6 a, dostaneme řešení,7,7 a, a, a 5,6. a 8, Hledaná interpolační funkce je popsána rovnicí i ( u ) průběh je uveden v grafu. Statický odpor pro u p,6 V je: ( ) Dynamický odpor lze určit z okolních bodů: ( ) a, 5, 6 + 8, u A a její s d u,6 Ω. i, p,6 p u, 7,5 i, 5 p,6, a alternativně z interpolační funkce: ( ) G ( u ) p Ω, di d, 6 d 96, 6 5, 6,998 Ω du.5.5 i (A) i (A) -.5.5.55.6.65.7 u (V) Naměřené body charakteristiky diody -.5.5.55.6.65.7 u (V) nterpolační funkce (polynom. stupně. Metody řešení nelineárních obvodů Příklad. Analytickým řešením určete proud nelineárním obvodem. V 5 Ω n + n Podle. K.z.: + + n + + 7

Nelineární obvody 7 Řešení kvadratické rovnice je: 7 7 ( ) Příklad.5 ± A,, A V tomto případě má smysl pouze A. Stabilizátor napětí je zatížen odporem. rčete napětí na zátěži, má-li linearizovaný model stabilizační diody v závěrném směru parametry: d 5,7 V, d Ω. D d d V, Ω, 5 Ω linearizovaný obvod řešíme např. pomocí MN., A ( ) G + G + G + d,5,95, 5,79 V d d d d G G G d 5,7, S 5, S,5S,85 A Příklad.6 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). rčete výstupní napětí při napájení ze zdroje V. Dále určete, jak se změní při zvýšení vstupního napětí z V na 5 V a stanovte činitel stabilizace obvodu. Vypočítejte ztrátový výkon diody a rezistoru. Charakteristiku diody v závěrném směru udává tabulka, pro výpočet použijte linearizovaný model diody pro okolí z,8 V. u (V) -, -,5 -,65 -,8-5, i (A) -, -, -,5 -,5 -,5 V 5V Ω Linearizaci charakteristiky diody provedeme aproximací metodou nejmenších čtverců: j u j i j u j u j i j -,65 -,5,6,68 -,8 -,5,,7-5, -,5 5,5 Σ -,5 -,685 69,66,88 m u a i j j uj u a j ui j j,5 a,685,5 69,66,88 a a 6,, a

8 Elektrotechnika počítačová cvičení Linearizovaný model Zenerovy diody lze pro okolí bodu z,8 V popsat rovnicí pro Nortonův náhradní zdroj: ( ) G +, + 6, A. z d d Obvod s linearizovaným modelem pak řešíme např. pomocí MN. d 5,6 A,, 5 A 6, A G, S, Gd,S + d 6,596 Stabilizované výstupní napětí pro V:,8 V. G+ G,7 + d 6,687 Stabilizované výstupní napětí pro 5 V:,876 V. G+ G,7 Výstupní napětí při změně z V na 5 V ( V) se změní pouze o,876-,8 66 mv. Činitel stabilizace je: s,876,8 5 8,.,8,8 Proud diodou se určí z úbytku na : z 8 ma. Ztrátový výkon na diodě: PD z,8,8,8 W d d na rezistoru: P. z,8,569 W Příklad.7 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). Grafickou metodou určete pracovní bod diody ( z, z ) a její ztrátový výkon. Z grafu zjistěte změnu výstupního napětí při změně vstupního napětí o ± V. Charakteristiku diody v závěrném směru udává graf. 6V 5 Ω Použijeme metodu zatěžovací přímky, kterou zakreslíme do grafu AV charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka představuje převrácenou AV charakteristiku náhradního

Nelineární obvody 9 zdroje lineární části obvodu a je dána dvěma body napětí naprázdno (dioda odpojena) a proud nakrátko (dioda nahrazena zkratem), její směrnice tak odpovídá vodivosti /. 6 Napětí naprázdno je 6V, proud nakrátko je k, A. Po zakreslení 5 přímky do grafu dostaneme průsečík pracovní bod (,75 V, 85 ma). Ztrátový výkon diody je PD z z,75,85, W. Při změně o ± V se posunou zatěžovací přímky na [ ; k ] [-5;-,] resp. [-7;-,66]. éto změně odpovídá změna výstupního napětí z na,65 V resp.,8 V. -7 z (V) -6-5 - - - - -. -. -. ZDV8 -. z (A) -.5 Příklad.8 rčete proud nelineárním obvodem. Použijte Newtonovu iterační metodu. V Ω n n Podle. K.z.: n + + terační funkce: f + Derivace: df f + d Newtonova iterace: i ( ) i + ( ) +, kde k k ( k ) ε f k k + ε( ) je oprava pro k+ krok. k f k + Jako počáteční odhad (nultou iteraci) volíme např. / A. k (k),6,559,5,5 ε (k) -, -,9 -,59 -, -5 -,5 - Pro dostatečnou přesnost stačí iterační kroky. Proud obvodem je,5 A.

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad.9 rčete napětí d na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu d v rozsahu,6 -,7 V. Použijte iterační metodu půlení intervalu, řešte s chybou pod mv. 5V, 5 Ω d d 8 d e Podle. K.z.: 8d d +, d + e 5. ( ) d 8 terační funkce je f d d + e 5, počáteční interval a,6 V a b,7 V. + Odhad hodnoty je dán průměrem (půlením) u( k) a b. Při následující iteraci se upraví interval podle toho, ve kterém leží hledaný kořen iterační rovnice. terace se ukončí, když chyba ε ( k ) b a klesne pod zadanou hodnotu. k a u(k) b f(a) f(u(k)) f(b) ε,6, 65,7 -,69,6576,698,5,6,65,65 -,69,895,6576,5, 6,65,65 -,69 -,587,895,5,65,6875,65 -,587,997,895,65,65,6565,6875 -,587 -,59,997,5 5,6565,6788,6875 -,59,66,997,56 6,6565,666,6788 -,59,89,66,78 Napětí na diodě je d (66,±,8) mv NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t),u (t)+u(t). Pomůcka: sin ( α ),5( cos( α )) u z (t) i(t) u(t) Výsledek: () 5 + sin ( ω ) 5cos( ω ) i t t t. Amplitudy harmonických složek proudu jsou: 5 A, A a 5 A.

Nelineární obvody Příklad. rčete kvadratický interpolační polynom ia a + au + au, který aproximuje charakteristiku nelineárního prvku v bodech uvedených v tabulce. Extrapolujte pomocí vypočtené aproximační funkce chybějící proud prvkem pro napětí,7 V. Pro tučně vyznačený pracovní bod určete statický a dynamický odpor nelineárního prvku. u (V),,,5,7 i (ma),,5,85 Výsledky: i ( u ) a,786 +,99, 9u ma, i( u,7 V),7 ma, s (, ),57Ω, ( ),, Ω d Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Metodou nejmenších čtverců proveďte aproximaci charakteristiky přímkou. u (V),6,65,65,675 i (A),,5,,8 Výsledek: i ( u ) a,6 6, 6 A. Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod,65 V±,5 V. u (V),,,5,55,6,65,65,675,7 i (A),5,,,,5,6, Výsledek: i ( u+ u ) a,, A Příklad. rčete napětí d na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu d asi,7 V. Použijte Newtonovu iterační metodu, řešte s chybou pod mv. V, 5 Ω d d 8 d 5 e Výsledek: d,67 V

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad.5 Předchozí zadání (Příklad.) řešte pomocí metody půlení intervalu pro počáteční odhad,6 -,7 V. Výsledek: d,67 V Příklad.6 Napětí na výstupu nelineárního obvodu lze popsat rovnicí 5. Vypočtěte hodnotu napětí s přesností lepší než,5 %. Použijte Newtonovu iterační metodu s počátečním odhadem ( ) V. Výsledek:,65 V. Příklad.7 Grafickou metodou určete pracovní bod ( z, z ) a ztrátový výkon diody v zatíženém stabilizátoru napětí. Charakteristiku použité diody v závěrném směru udává graf. V, Ω, 7 Ω Nápověda: Náhraďte lineární část obvodu dle héveninovy věty. u (V) - - - -9-8 -7-6 -5 - - - - i (A) -. -. ZD9V -. -. -.5 Výsledky: Pracovní bod stabilizační diody je (9,5 V, 65 ma). Ztrátový výkon diody je PD z 9,5,65,595 W

Magnetické obvody Magnetické obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Dlouhým přímým vodičem protéká proud A. rčete velikost intenzity magnetického pole H ve vzdálenosti m od vodiče. Výchozí vztah (Ampérův zákon celkového proudu): Aplikace vztahu pro dané zadání: (vektor H je všude rovnoběžný s dl) H d H πr H,59 A/m πr π Příklad. Na prstenci z transformátorových plechů průřezu S 6 mm je vinutí s N závity. Střední průměr prstence je D s mm. Jak velký proud musí vinutím procházet, aby vznikl magnetický tok Φ,6 mwb? Magnetické pole v prstenci lze považovat přibližně za homogenní. ndukce v jádře je: Pro hodnotu B f zjistíme z magnetizační křivky transformátorových plechů (příloha na konci kapitoly) hodnotu intenzity: Z Ampérova zákona lze psát pro intenzitu pole ve feromagnetiku: B Φ,6 S 6 f H f A/m H f s d H N Střední délka siločáry je: s πds,69 m Hledaný proud je: Hf s,69, A N

Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad. Cívka je navinuta na toroidním jádře, má N závitů a protéká jí proud A. rčete magnetický tok jádrem Φ a indukčnost cívky L. Střední průměr toroidu D s mm, průřez magnetického obvodu S cm. ozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu toroidu H f (A/m) 9 5 7 9 B f (),6,7,8,9 Ekvivalentní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí mn N a magnetický odpor ob- feromagne- vodu. Magnetický odpor je tvořen tikem a je proto nelineární. Úbytek magnetic- kého napě tí na odporu je mf Hf s. mn Φ mf mf Platí obdoba. K.z. součet magnetických napětí v obvodu je roven nule: mn mf N Hf s Střední délka siločáry: s πds,77 m ntenzita magnetického pole v jádře je omu, odpovídá magnetická indukce v jádře (odečteno z tabulky): Magnetický tok obvodem je: H B N m f s πds,77 f 5 A/m ( H ),7 pro 5 A/m Φ B f f S,7 8 µwb ndukčnost cívky je podíl spřaženého magnetického toku Ψ NΦ k proudu : 6 Ψ N Φ 8 L 56 mh Příklad. Prstenec z feromagnetického materiálu má průměr D 9 mm, plocha průřezu jádra je S mm. Ve vzduchové mezeře l v mm požadujeme indukci B v,5. Vypočtěte potřebný počet závitů budicí cívky při proudu 5 A a indukčnost cívky L pro tento proud. ozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence B f (),,5,7,9 H f (A/m) 66 9 67 6 D v

Magnetické obvody 5 Ekvivalentní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí mn N, magnetický odpor feromagnetika a magnetický odpor vzduchové mezery. Průřez S a stejně tak i magnetický tok jsou konstantní po celé délce siločáry, Φ Bf S Bv S Z toho plyne, že indukce v jádře je shodná s indukcí v mezeře, Bf Bv. Střední délka siločáry v magnetiku: mn s mf f s v mf mv Φ mv D D 9 8 mm πd,5 m Platí. K. z.: mn mf + mv ntenzita magnetického pole v jádře pro indukci,5 se určí pomocí tabulky, Hf ( B f,5 ) 9 A/m. Z předešlé rovnice dostaneme: B N H + H H + a z toho potřebný počet závitů budicí cívky: N 85, 85 v f f v v f f v µ,5 5 N 9,5+ 7 π ndukčnost této cívky pro 5 A je: L N Φ N B S ( ) 85,5 v 5 85 µh Příklad.5 Vypočtěte velikost magnetovacího proudu potřebnou pro vytvoření magnetické indukce ve vzduchové mezeře B v,5. Jádro je složeno z dynamových plechů s činitelem plnění k p,9 (činitel plnění jádra udává poměr průřezu samotného feromagnetika v jádře k celkovému průřezu jádra, tj. včetně izolace mezi plechy). Počet závitů cívky je N. s v ozměry jádra: a mm b mm t mm h mm v 5mm Náhradní obvod: mf Φ mn mf mv mv

6 Elektrotechnika počítačová cvičení Předpokládáme homogenní magnetické pole. Pro sériový magnetický obvod platí (se započtením činitele plnění jádra): Φ Φ f Φ v Bf S kp Bv S konst. Protože je průřez magnetického obvodu po celé délce siločáry konstantní, je i indukce konstantní: Bf Bv / kp,5/,9,556 Střední siločáru geometricky tvoří čtyři úsečky a čtyři čtvrtkružnice v rozích. Délka střední siločáry ve feromagnetiku je tedy: π t / f ( a t) + ( b t) v + ( a+ b t) + π t v, +,, +,π,5,8978 m ( ) Pro magnetické napětí lze psát: mn N mf + mv B H + H H + v f f v v f f v µ Magnetické napětí na vzduchové mezeře je: Bv,5 mv v 5 989 A 7 µ π ntenzita magnetického pole v jádře (odečtená z grafu magnetizační charakteristiky pro dynamové plechy v příloze na konci kapitoly) je: ( ) Hf B f,556 A/m Magnetické napětí na feromagnetiku je: mf Hf f,8978 89,78 A Potřebný magnetovací proud je: mf + mv 89, 78 + 989,8 A N Příklad.6 Cívka elektromagnetu s N závitů je protékána proudem ma. Jádro i kotva mají stejný průřez S,5 cm. Střední délka magnetické siločáry v jádru je l j cm, v kotvě l k cm. Délka vzduchové mezery je l v,5 mm. elativní permeabilitu materiálu jádra µ rj 5 a relativní permeabilitu materiálu kotvy µ rk pokládáme za konstantní (magnetický obvod je linearizován). Nakreslete náhradní schéma obvodu, vypočtěte magnetická napětí na jednotlivých částech magnetického obvodu a určete indukčnost cívky. v k j v Magnetický odpor jádra: mj 568 H 7 µµ S π 5,5 rj j -

Magnetické obvody 7 Magnetický odpor kotvy: k mk 7 H 7 µµ S π,5 Magnetický odpor vzduchové mezery: Magnetické napětí zdroje: rk,5 8 H v mv 7 µ S π,5 mn N, A - - Magnetický indukční tok: mj Φ + + mn Φ mj mk mv 7856,76 µwb Magnetická napětí na jednotlivých částech obvodu: 6 mj Φ mj, 76 568, A mn mj mv mk mv 6 mk Φ mk, 76 7, 7 A 6 mv Φ mv, 76 8, 5 A mk Zkouška: mn mj mk mv + +,A A ndukčnost cívky je: 6 N Φ,76 L,7 mh, Příklad.7 Zkratový proud ka (vzájemně opačného směru) protéká dvěma paralelně uloženými vodiči vzdálenými od sebe r 5 cm. Jaká působí síla F na každý metr vodičů? Fyzikální podstata silových účinků proudů Výpočet magnetické indukce způsobené jedním µ vodičem v místě druhého vodiče H B µ H πr πr Výpočet síly, která působí na druhý vodič s proudem v poli s indukcí B (vyvolané prvním vodičem) pro l m: πr π µ µ F B r ( ) 7 π 6 N π 5

8 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad.8 Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E je složeno ze dvou přiléhajících částí. Průřez prstence je S cm, jeho střední průměr je D s, m a cívkou, která má N závitů, protéká proud 5 A. Jak velkou silou jsou drženy obě části pohromadě? ntenzita magnetického pole v jádře je N z Ampérova zákona celkového proudu: m N Hf f Hf Střední délka siločáry: f πds π,,68 m Výpočet intenzity magnetického pole: H f N 5 796 A/m, 68 Z magnetizační křivky oceli E (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu magnetické indukce Bf ( H f 769 A/m),8. Výpočet síly (plochu průřezu je třeba započíst dvakrát): Příklad.9 Elektromagnet z elektrotechnické oceli E zadaných rozměrů (v mm) má přitáhnout kotvu ze vzdálenosti cm silou F 56 N. Jak velký proud musí protékat cívkou, má li cívka N 5 závitů. važujte rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře o %. f BS, 8 F 66 N π f 7 µ f Průřez ve vzduchové mezeře je o % větší: S v, S,,8,8 7, m f Pro vytvoření zadané síly je potřeba magnetické indukce ve vzduchu: (Plochu mezery je třeba započítat dvakrát.) BvS F µ v µ F B 7 π 56 v Sv 7,

Magnetické obvody 9 Z rovnosti magnetických toků ve feromagnetiku a ve vzduchové mezeře odvodíme magnetickou indukci v jádře: Φ Bf Sf Bv Sv konst. B B S B,S v v v f f Bv Sf Sf,, Z magnetizační křivky oceli E (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodno- H B. tu intenzity magnetického pole f ( f ) A/m Střední délka siločáry ve vzduchu: Střední délka siločáry ve feromagnetiku: Potřebné magnetické napětí zdroje je dáno součtem magnetických napětí na feromagnetiku a na vzduchové mezeře: (všiměte si zanedbatelně malého mf ) Pro vytvoření přítahu 56 N je třeba proud v,,m,,8+,5,8,98m f ( ) B N + H + v mn mf mv f f v µ,98 +, 69 A 7 π mn 69, A N 5 v Příklad. Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky l p a plochy S p. rčete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě ºC. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S S v cm, v p 8cm, p,5cm cm p v Anizotropní ferit B p 5 m H p 85 ka/m

5 Elektrotechnika počítačová cvičení Při zanedbání rozptylových toků platí: Φ p Φ v Bp Sp Bv Sv konst. Při zanedbání odporu nástavců platí: Spojením obou rovnic pro B v dostaneme rovnici zatěžovací přímky magnetického obvodu, kterou zakreslíme do grafu BH charakteristiky feritu. rčíme např. dva body: B ; H a B,87; H ka/m, viz graf. Z průsečíku zatěžovací přímky obvodu a charakteristiky zdroje magnetického napětí (feritu) zjistíme pracovní bod B p 5 m, H p 85 ka/m. Z toho pak indukce v mezeře: B B S 8 p p v Sv B B H B 8 v mn p p mv v µ v µ H 7,598 p p -6 v 7,598-6 p p B H B B p v,87-6 H 8 Bp,67 p p, z toho H p Příklad. Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. V mezeře je třeba vytvořit pole s indukcí B v,5. Zdrojem pole je permanentní magnet s optimálním pracovním bodem B p m, H p 9 ka/m. rčete potřebnou výšku l p a plochu S p permanentního magnetu. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v 5cm, v,6cm p v Při zanedbání rozptylových toků platí: Z toho potřebná plocha PM: Při zanedbání odporu nástavců platí: Potřebná výška PM: Φ p Φ v Bp Sp Bv Sv konst. S B S,5 5 v v p Bp, B H v mn p p mv v µ v v p 7 µ H p π 9,87 cm B,5,6,65 cm

Magnetické obvody 5 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete intenzitu a indukci magnetického pole, magnetický tok a indukčnost cívky navinuté na litinovém prstenci o kruhovém průřezu s průměrem d cm. Střední průměr prstence je D s 5 cm. Vinutí má N závitů a budicí proud je A. Výsledky: Hf 67 A, Bf,8, Φ 78 µwb, L 5 mh Příklad. Jak velký proud musí protékat budicí cívkou, která má N závitů, aby vznikl v magnetickém obvodu tok Φ mwb. oroid vyrobený z dynamových plechů má průřez jádra S - m a střední průměr D s, m. Výsledek:, 7 A Příklad. Jádro z transformátorových plechů má rozměry dle obrázku. Jaký počet závitů N musí mít magnetovací vinutí, má-li jádrem procházet magnetický tok Φ mwb při budicím proudu, A? Dále určete magnetický odpor m obvodu a indukčnost budicího vinutí L. Výsledky: N L - 9, m 99 H, 8,8 mh

5 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad.5 Feromagnetické jádro má tvar prstence (vlastnosti materiálu popisuje tabulka) o průměru D 5 mm, průměr jádra je d 5 mm. a) Vypočtěte potřebný počet závitů N tak, aby proudem 5A vznikla v jádru indukce B f,7. b) V jádru byla vytvořena vzduchová mezera l v mm. Vypočtěte potřebný počet závitů budicího vinutí N tak, aby indukce v jádru zůstala stejná. ozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence B f (),,5,7,9 H f (A/m) 66 9 67 6 Výsledky: N, N Příklad.6 Na toroidním jádře z ocelolitiny je navinuta cívka N záv. Průměr toroidu je D mm, jeho průřez má průměr d mm. V obvodu je vzduchová mezera l v, mm, ve které je indukce B v,8. a) Vypočítejte magnetická napětí na feromagnetickém jádru mf a na vzduchové mezeře mv. b) Vypočtěte budicí proud cívky. ozptylové toky zanedbejte. Výsledky: mf 87,96 A, mv 76,9 A,,6 A v v Příklad.7 rčete magnetické napětí potřebné k vytvoření magnetického pole s indukcí B v ve vzduchové mezeře. Průřez ocelového jádra (ocel E) je S 6 cm, délka vzduchové mezery l v,5 mm, délka střední siločáry v jádře je l f, m. v f Výsledek: mf N 66 A

Magnetické obvody 5 Příklad.8 Elektromagnet má jádro zadaných rozměrů (v mm) z materiálu s velkou permeabilitou. Cívka má závitů a je napájena proudem A. Jak velká přítažná síla působí na kotvu? Magnetický odpor jádra je zanedbatelný. ozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře i rozptylové toky neuvažujte. Výsledek: F N Příklad.9 Mezi pólovými nástavci permanentního magnetu je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. rčete potřebnou plochu S p permanentního magnetu, má-li být magnetická indukce ve vzduchové mezeře při teplotě ºC B v,5. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf v příloze. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. p PM p v v PM S cm, mm, mm v p v Výsledek: S,5 cm, plocha každého ze dvou PM. p

5 Elektrotechnika počítačová cvičení Příloha BH charakteristiky Magnetizační charakteristika některých měkkých feromagnetických materiálů,5,,,,,9,8 B (),7,6,5,,,, ocel E dynamový plech 5 6 7 8 9 H (A/m) transformátorový plech (% Si) ocelolitina litina Magnetizační charakteristika tvrdého anizotropního feritu (permanentní magnet) Anizotropní ferit