Elektrotechnika 1. doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. doc. Ing. Milan Murina, CSc. Příklady k procvičení

Transkript

1 Elektrotechnika Příklady k procvičení doc. ng. Jiří Sedláček, CSc. doc. ng. Miloslav Steinbauer, Ph.D. doc. ng. Milan Murina, CSc. ÚSTAV TEOETCKÉ A EXPEMENTÁLNÍ ELEKTOTECHNKY

2 Elektrotechnika počítačová cvičení Obsah Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace... Metoda zjednodušování obvodu... 6 Metoda úměrných veličin... Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů... 5 Metoda smyčkových proudů (MSP)... 6 Metoda uzlových napětí (MN)... 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) Metoda náhradního zdroje Časově proměnné veličiny... Nelineární obvody... 7 Magnetické obvody... 6 Příloha BH charakteristiky Příloha - Program Linov... 59

3 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace OHMŮV ZÁKON. KCHHOFFŮV ZÁKON (PODOVÝ): Proudy tekoucí z uzlu bereme s kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu se záporným znaménkem. k k. KCHHOFFŮV ZÁKON (NAPĚŤOVÝ): Napětí (úbytky na rezistorech, napětí zdrojů), jejichž čítací šipka má směr, souhlasící se směrem oběhu kolem smyčky, bereme s kladným znaménkem, ostatní napětí se záporným znaménkem. k k i i i i ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je V. Při proudu A je svorkové napětí V. Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje. Řešení a) napěťový model b) proudový model i i i i V i,5 Ω G i Gi i i S i i 6 A

4 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad. Stejnosměrný zdroj při připojeném 68 Ω dodává proud,5 A a při Ω pak,6 A. Vytvořte napěťový a proudový model zdroje. Řešení,, i i i i i i i i 9, 9,56 V i i i i i 9,9 Ω i i,56 V G i i Gi,S 9,9 i,56 i i i 9,9,7 A Příklad. rčete napětí a proud V dvou paralelně řazených elektrických zdrojů (např. nový a starší chemický článek). i i v i i i i,6 V,5 V,8, Ω i i Řešení Aplikací. K.z. na vyznačenou smyčku dostaneme i V i V i i. i i Vypočteme proud smyčky V,75 A. i i Výsledné napětí je součtem napětí v jedné větvi i V i, 5 V. Poznámka: Paralelně řazené články jsou naprázdno, přesto uvnitř baterie teče proud. Proto nelze spojovat nové a staré elektrické články paralelně. NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete napětí : a) přepočtem napěťových zdrojů na proudové, b) aplikací základních zákonů elektrických obvodů.

5 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace 5 7 V 5 V 9 Ω 5 Ω Výsledek: = 5 V Příklad.5 rčete svorková napětí zdrojů a pro hodnotu zátěže a) z = 5 Ω a b) z = Ω. i i z i i a) Výsledky:, 857 A,7 V,,57 V i i i i,6 V, V,8 Ω Ω b) Výsledky:,59 A, V,,59 V Poznámka: Při vzájemném porovnání výsledků je vidět, že pro menší z hodnot z se otočí polarita svorkového napětí. To může nastat v baterii z nestejných elektrických článků. Příklad.6 rčete hodnotu odporu tak, aby ab V. a V, V, V 5 Ω, Ω b Nápověda: Přepočtěte zdroje na proudové a k řešení použijte. K.z. pro uzel a. Výsledek: = 5 Ω

6 6 Elektrotechnika počítačová cvičení Metoda zjednodušování obvodu ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete metodou zjednodušování. V, Ω, Ω, 5 Ω Celkový odpor Proud ze zdroje Hledané napětí 5 5 Ω =5 Ω 5 7 Ω,9 A 7, V,57 V Příklad. Vypočtěte proudy,,. V 5Ω 5Ω,8A 5

7 Metoda zjednodušování obvodu 7,85 V, A, A Příklad. Vypočtěte proudy,,,, 5. 5 A C B 5 V 5 = Ω 5 5 Ω Ω 5 Ω A AB AB 5 A C B AB V 5 AB,5 A,5 A 5 5

8 8 Elektrotechnika počítačová cvičení AB AC 5 AC AB 5 AC AB 5 5,5 V,5 AC,5 AC,5 A,5A NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Vypočtěte proudy,,,, = 5 V = Ω = = Ω = Ω Výsledky: 5,5 A, A,,5 A, A, A Příklad.5 Vypočtěte proudy,,,, 5 5 A C B = V = = = = = = 5 6 Výsledky:,75 A,,59 A,,78 A,,9 A, 5,76 A Příklad.6 Vypočtěte proudy,,,,, = V = = = Ω 5 = Ω = Ω Výsledky: 5,8A,,5 A,,8 A,,6 A,,8 A

9 Metoda zjednodušování obvodu 9 Příklad.7 Vypočtěte proudy,,,, 5, 6 5 A C B = 5 V =, = =, = = 5, = Výsledky: 6,585 A,,5 A,,767 A,,576 A, 5, A Příklad.8 rčete všechny proudy v obvodu. V kω kω kω Výsledky:,67 ma,, ma,,58 ma Příklad.9 rčete všechny proudy obvodu V, Ω Ω, Ω Ω, Ω 5 Výsledky:,78 A,,96 A,,9 A,,877 A, 5,8 A Příklad. Vypočtěte proudy,,,. 5 = 5V, = = Ω 5 =6 Ω, = Ω = Ω Výsledky:, A,,8 A,,9 A,,7 A

10 Elektrotechnika počítačová cvičení Metoda úměrných veličin ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete napětí metodou úměrných veličin. V, Ω, Ω, 5 Ω Volíme 5 V a vypočteme Koeficient úměrnosti Hledané napětí A, V A, A V k,7 k,57 V Příklad. rčete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. 5 5 V 5 kω kω kω kω a) metodou zjednodušování: 5 5, kω 6,5 kω,6 ma 5, V,5 kω b) metodou úměrných veličin: Volíme 5 ma V ma ma V ma

11 Metoda úměrných veličin, ma, ma,6 V 5 5,8 ma, ma ma 5 V k, k,6 ma, k, ma k, ma, k,8 ma k, ma 5 5 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. 5 5 V 5 kω kω kω kω Výsledky:,67 ma,,67 ma,, ma,,5 ma, 5, ma Příklad. Vypočtěte proudy,,,. 5 = 5 V, = = Ω 5 =6 Ω, = Ω = Ω Výsledky:, A,,8 A,,9 A,,7 A Příklad.5 Vypočtěte proudy,,,,, = V = = = Ω 5 =, = Ω

12 Elektrotechnika počítačová cvičení Výsledky: 5,8 A,,5 A,, A,, A,,6 A

13 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Obvod řešte aplikací Kirchhoffových zákonů. Ω Ω 5 Ω 6V 8 V. K.z.: pro uzel. K.z.: - - Příklad. Obvod popište pomocí K.z ,9 A,558 A,65 A G G Nezávislé uzly n =,. K.z.: : : G : Nezávislé smyčky s =,. K.z.: + GG = GG= G G G Popis obvodu pomocí K.z. vede na velké množství rovnic, proto se častěji používá metoda smyčkových proudů nebo metoda uzlových napětí.

14 Elektrotechnika počítačová cvičení 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. s s 6 V, 8 V Ω, Ω 5 Ω Pro smyčky můžeme podle. K.z napsat: S: s s s S: s s s V maticovém zápisu: s s s s s s s s Pomocí Cramerova pravidla s,9 A s,558 A s,9 A s,558 A s s,9,558,65 A Poznámka: Soustavu rovnic pro MSP lze zapsat přímo v maticovém tvaru: s =. Prvky hlavní diagonály odporové matice jsou dány součtem rezistorů příslušné smyčky. Při volbě smyček jako ok sítě a souhlasném smyslu smyčkových proudů jsou ostatní prvky matice tvořeny záporně vzatou hodnotou rezistorů společných větví. Prvky vektoru zdrojů napětí jsou dány součtem napětí zdrojů v příslušné smyčce s respektováním znaménka (+ pro nesouhlasnou orientaci napěťové šipky vzhledem ke smyčkovému proudu, - pro souhlasnou orientaci napětí a smyčkového proudu).

15 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 5 Příklad 5. Pomocí MSP určete proudy v obvodu. s s G G s V G 5 Ω Ω Ω, Ω G G s G G s s 65 5 s 5 75 s s, A,,8 A,,9 A s s s, A,,8 A s s,669 A,,765 A s s s s,9 A,,8 A s G s s Příklad 5. rčete proudy obvodu v pomocí MSP. 5 5 V, 7 V s s s 5 5 7,5 Ω,,5Ω 5 Ω, Ω 5Ω s 5 5 s 5 5 s,a,,6a,,8a s s s, A,,8 A,,6 A s s s A,, A s s 5 s s 9,5-5 s - -5 s -5 7,5 s -7 (Zkouška :,8 A) 5

16 6 Elektrotechnika počítačová cvičení NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5. Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. Ω V, V, V Ω Výsledky:,6 A,,6 A,, A Příklad 5.5 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V V Ω = Ω Výsledky: -,6 A, -, A,,8 A Příklad 5.6 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. 5 V, V V 5, Výsledky:,7 A,, A, -,6 A

17 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 7 Příklad 5.7 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V, V Výsledky: -, 86 A, -,7 A, -,57 A Příklad 5.8 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy,,. V V V Výsledky:, 6 A,,8 A, -,6 A Příklad 5.9 rčete proudy v obvodu pomocí MSP V, 5 V, 9 V 5 Ω, Ω, 5 Ω Ω, Ω, 7 Ω Výsledky:,6 A,,5 A,, A,, A, 5,5 A, 6, A

18 8 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete jednotlivé proudy ve větvích obvodu V, V V, 6V Ω, 5 Ω 6 Ω, 5 Ω 5 Výsledky: 5,5 A,,95 A,,7 A,,66 A,, A,,9 A 5 6 Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy obvodu a také výkony dodávané zdroji a spotřebované rezistory V, 8V Ω, 5Ω, 6Ω 5Ω, 9Ω, Ω 5 6 Výsledky:,956 A,,576 A,,77 A,,8 A,,95 A,,77 A 5 6 P, W P,69 W P,9 W P, W P,785 W P,86 W P 7,75 W P,65 W, P,58 W, P7,76 W P P Příklad 5. Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu.

19 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) V, 5 V 5kΩ, kω, kω, 5 6 kω 5 kω,5 kω Výsledky:,5 ma, 6,5 ma, 7,8 ma,, ma, 8,79 ma, 5, ma 5 6

20 Elektrotechnika počítačová cvičení 6 Metoda uzlových napětí (MN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6. rčete napětí a pomocí metody uzlových napětí. A B A V, 5 V,5 A B Ω Ω Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu a odpory na vodivosti: A B A A, B,75 A, GG,5 S, G G,5 S Očíslujeme uzly, jeden (označený obvykle číslem ) je referenční, ostatní nezávislé. Pro uzly můžeme podle. K. z. napsat: : G G G G G A : B G G G G A G G G G B V maticovém zápisu: G G G B G G G G A A G G G B,5, 5,5, 5, 5,875 Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí:,5, 5 5,65,5,5,5, 5, 785 -,8 V,875, 5,5,5,7875,5 V, 5,875 Poznámka: Soustavu rovnic pro MN lze zapsat přímo v maticovém tvaru: G =. Prvky hlavní diagonály vodivostní matice jsou dány součtem vodivostí připojených do příslušného uzlu. Ostatní prvky matice G jsou tvořeny záporně vzatou hodnotou vodivostí spojujících mezi příslušnými uzly.

21 6 Metoda uzlových napětí (MN) Příklad 6. Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy,,. A B A B A A GG, S G,5 S A B G G G -G A -G G G B,5, 5, 5,5 GG G,5, 5 det, 5 G G G, 5,5 A G,5 det,5, 5,5 V B G G,5, GG A,5 det, 5, 5,5 V G B,5,,5 5,5 A,,75 A,,5,5 A. Příklad 6. Pomocí metody uzlových napětí určete proudy,, v obvodu. 6 V, 8 V Ω, Ω 5 Ω

22 Elektrotechnika počítačová cvičení G G G G,S, G,5 S, G,6 S z,6 A,,9 A z z z Sestavíme rovnici pro uzel : G G G z z z z G G G 6,9 V Pozor proudy, je nutno určit z původního obvodu! G,9A z G,559 A z G,66 A Příklad 6. rčete proudy větví obvodu pomocí MN V, V kω, kω, 5 kω kω, 5 kω z G G G G 5 G z Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu: z,5 ma, z ma G G G G z G G G G 5 z, 5,5 5,7, 5,6 5,7,5 5 5,5,7 - -,,5, ,6 V,9 V

23 6 Metoda uzlových napětí (MN),98 ma, -,6 ma,,6 ma,8678 ma,,9 ma 5 5 Příklad 6.5 rčete napětí a pomocí MN. A A V, 5 V,5 A B Ω Ω B Přepočet na proudové zdroje a výpočet vodivostí: A,,75 A, A B z z GG,5 S, G G,5 S z G G G z G G GGG z z G G G Z,, 5,5, 5,,75,, 5, 75, 5,,5, 5,875,75,,,5,65, 5,75,875, 75,65, 75 5,8 V,6 V Příklad 6.6 Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos K a vstupní odpor vst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN).

24 Elektrotechnika počítačová cvičení g m = 5 k Ω, = 5 kω, = k Ω, = 5 k Ω, g = ms b b Matice MN s doplněným razítkem ZPŘN: G G Gb G b Gb Gb G -g m +gm azítko ZPŘN: Pozor pravou stranu rovnice tvoří pouze nezávislé zdroje. g m gm g m gm g m,,,, 5,6,,,, Napětový přenos a vstupní odpor: /,, K = = = = =,99., /,,,,, vst = = = = 55 Ω., 5,6 m NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6.7 Metodou uzlových napětí vypočtěte uzlová napětí a a poté proudy,,,. = V, = A = Ω, = Ω = Ω, = 5 Ω Výsledky: V, 5 V, A, A, - A, A Příklad 6.8 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy a. A B = V A = A, = A = Ω = Ω B = = Ω Výsledky: -, A,,9 A

25 6 Metoda uzlových napětí (MN) 5 Příklad 6.9 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy, a. = V = A = = = = Ω Výsledky: -, A,, A,,6 A Příklad 6. Pomocí MN vypočtěte napětí a v obvodu na obrázku. A 5 B A 5 V, V ma B, kω, 5,6 kω, kω, kω 5 Výsledky: =,97 V, = -6, V Příklad 6. Pomocí MN určete proudy v obvodu z V, 6 V ma, kω, kω z kω, kω, kω kω Výsledky:,9 ma,, ma, -,9 ma,8 ma,, ma,,797 ma 5 6 Příklad 6. Pomocí MN určete napětí a v obvodu na obrázku.

26 6 Elektrotechnika počítačová cvičení A B 5 6 A 5 V, V ma B, kω 5,6 kω,,7kω kω, 5 6,7 kω Výsledky: = -,59 V, = -9,6 V Příklad 6. rčete proudy větví obvodu na obrázku pomocí MN V, V kω, kω, 5 kω kω, kω, kω kω Výsledky:,75 ma,, ma,, ma,,55 ma,, ma,, ma,,595 ma Příklad 6. Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos K a vstupní odpor vst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím. g m Výsledky: K 98,, vst 58,6 5 k, 5 kω, k, g ms m

27 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 7 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 7. rčete proudy v obvodu pomocí MMN. 5V V 5Ω Ω Zdroj je ideální, nelze jej převést na zdroj proudový. Proto nejprve sestavíme matici MN pro zbylý obvod a doplníme podle K. z. řádek a sloupec pro zdroj. Nejprve je nutno přepočítat zdroj napětí na zdroj proudu a odpory na vodivosti: z A, GG, S, G G,S 5 Matice pro MN: G G G G G z G G G G G G Do uzlu vtéká proud, dále doplníme rovnici pro smyčku dle. K.z =, takže z dostaneme matici MMN: G. K.z. G G G z. K.z. G G G Po dosazení hodnot:,5,,, Řešením MMN dostaneme: 6 V, V,,8 A Pozor proud je třeba určit z původního obvodu! G, A, G,6 A z G,8 A, G A (Zkouška:, V ) Poznámka: MMN je výhodné použít i pro reálné zdroje napětí, pokud se zajímáme o proud tekoucí zdrojem.

28 8 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 7. Předešlý obvod řešte bez náhrady zdroje. G a G G G b Podle. K.z. napíšeme rovnice: a a Dále vezmeme v úvahu, že do uzlu vtéjá proud a a do uzlu vtéká proud b. GG G 6V G GG V a Výsledek: a -, A b b,8 A Dále je možno určit i proudy obvodu, viz předešlý příklad. Příklad 7. Vypočtěte uzlová napětí a proud v uvedeném obvodu pomocí MMN. 5 V, Ω Ω, Ω, 5 Ω 5 Aplikací. K.z.: Proud vtéká do uzlu a vytéká z uzlu. G G G G G G G5 G G G G Řešením této maticové rovnice dostaneme:,5 V,,7 V,,765 V,,9 A Poznámka.: Je zřejmé, že MMN vede na větší počet rovnic, což není při počítačovém zpracování na závadu.

29 8 Metoda náhradního zdroje 9 8 Metoda náhradního zdroje ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. V Ω Ω, Ω a) Pomocí Thèveninovy věty i i i i P i i 5 5 i 6,6 V, i 8, Ω 6 6 6,6,588 A,,588,77 V i i 8, P,77,588 6,9 W b) Pomocí Nortonovy věty i G i i G G G i i G i P i A, G, S 5 i G,5,588 A,,77 V, P 6,9 W i GiG,, 5 Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ jednodušší díky snadnějšímu určení i oproti napětí naprázdno i.

30 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. z V z A, a) Pomocí Thèveninovy věty G G G G z i i i i P i i G G G G 6,6 V, 6,6 Ω z i z i i GG 6,6,77 A,,77,76 V i i 6,6 P,76,77,556 W b) Pomocí Nortonovy věty G G G i G z i G i i G i i G i G P G G G z i z i i GGG,, 5, G G G G G i GiG,6,5,, G G G Gi,6 S GGG G,5,,77 A,,76 V P,556 W, A Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ složitější, neboť určení proudu nakrátko i je komplikovanější ve srovnání s určením napětí naprázdno i.

31 8 Metoda náhradního zdroje NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. V 5 Ω Ω Ω Výsledky: i V, i Ω,,5 A, 5, V, P,5 W Příklad 8. V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. V,,5 A Ω Ω, Ω Výsledky:,588 A,,588 V, P,6 W Příklad 8.5 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji. G G V, Ω Ω, Ω G 5 Ω Výsledky: i,6667 V, i Ω, G,8 ma

32 Elektrotechnika počítačová cvičení 9 Časově proměnné veličiny ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9. rčete střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m = A. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. i m - m / T/ T/ T/ T t Střední hodnota (stejnosměrná složka): Střední absolutní hodnota: T T T T m itdt mdt dt mdt T T T T T m T/ t T 5m t t m T T T 8 T T T m T/ t T 7m t t m T T T 8,65,65 A T T T T m sa it dt mdt dt mdt T T,875,875 A Efektivní hodnota: m i tdt mdt dt dt T T T T T m T T T t t m,9 A T m T T/ t T T T Činitel tvaru je podíl efektivní a střední absolutní hodnoty:,9 kt,,875 sa Činitel výkyvu je podíl maximální a efektivní hodnoty: k m v,9

33 9 Časově proměnné veličiny Příklad 9. Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu periodického průběhu proudu na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m = 5 A. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu. i m T/ T t T ovnice popisující časový průběh proudu se určí pomocí směrnice: m Střední hodnota: Střední absolutní hodnota: Efektivní hodnota: T T T m m t m T T T T itdt tt d, 5 A Protože průběh nabývá pouze kladných hodnot, platí sa, 5 A it T T T m m t m i tdt t dt, A T T T T 6 m Činitel tvaru: kt,6, činitel výkyvu: kv 6, 9 6 sa t Příklad 9. Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m = V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. u m T/ T t π ut sin t T ovnice popisující časový průběh napětí je: m T T π π u t dt msin t dt cos t T T T π T Stejnosměrná složka: m Střední absolutní hodnota: (Stejnoměrná složka je nulová, což je patrné ze symetrie průběhu.) T T/ π sa ut dt m sin tdt T T T T / m π cos t m π T π 6,66 V (Vzhledem k symetrii průběhu lze provést integraci pouze za polovi- T

34 Elektrotechnika počítačová cvičení nu periody, kdy je hodnota nezáporná). Efektivní hodnota: T T π m π msin t dt cos t dt T T T T m T π m t sin t 7,7 V T π T π m Činitel tvaru: kt,7, činitel výkyvu: kv, sa T Příklad 9. Proud i(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: = A; = A; =,5 A; 5 =,6 A. rčete činitel zkreslení v %. Výpočet činitele zkreslení je možný podle dvou vztahů k 5,5, 6,66=6,6 % 5,5, 6 k,595 5,95 %,5, 6 5 Je vidět, že obě hodnoty jsou velmi blízké. Stejnosměrná složka nemá na činitel zkreslení vliv. Časový průběh (pro porovnání s. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech. i (A) i (t) t (ms)

35 9 Časově proměnné veličiny 5 (A) k (-) NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9.5 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m = A. Výsledky:, 5 A,,866 A i m T/ T/ T/ T - m t Příklad 9.6 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li m =,5 A. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. i m - m / T/ T/ T/ T t Výsledky:,5 A, sa,75 A,,95 A, kt, 5, kv, 65 Příklad 9.7 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh napětí dle obrázku, je-li m = V. rčete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. u m Výsledky:, sa 5 V, 5, 77 V, kt,55, kv, 7 - m T/ T t Příklad 9.8

36 6 Elektrotechnika počítačová cvičení Vypočítejte střední hodnotu, střední absolutní hodnotu sa a efektivní hodnotu usměrněného harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota m = V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. u m T/ T t Výsledky: 6,66 V, sa 6,66 V, 7, 7 V, kt,7, kv, Příklad 9.9 Napětí u(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: =,5 V; = 5, V; =,5 V; =,5 V a 5 =, V. rčete činitel zkreslení. Výsledky: k 8,59 %, k 8,56 %

37 Nelineární obvody 7 Nelineární obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spektrum neharmonických průběhů Příklad. Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = + sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) =,u (t). i(t) u~ u(t) = i=, u Napětí zdroje obsahuje stejnosměrnou složku ( V) a harmonickou složku ( V): sint ut Proud nelineárním odporem je:,, sin,, sin, cos it u t t t. Poznámka: bylo použito vztahu sin,5 cos. Proud obsahuje tedy stejnosměrnou složku (, A), základní. harmonickou složku (, A) a. harmonickou složku (, A). Spektra napětí i proudu jsou ukázána v grafech. k = V = V k =, A =, A =, A k k Aproximace nelineárních charakteristik Příklad. Pomocí metody nejmenších čtverců aproximujte přímkou průběh funkce y = f(x) zadané tabulkou v m = 5 bodech. x j y y j x

38 8 Elektrotechnika počítačová cvičení Hledáme minimum tzv. kriteriální funkce, která je tvořena součtem odchylek aproximační funkce od původní funkce v daných bodech. ovnice hledané aproximační funkce (přímky) je ya a ax, je třeba určit a a a. Kriteriální funkce je m a hledáme min a,a a, a y ax a j j j. Minimum se nalezne pomocí parciálních derivací kriteriální funkce, které se položí rovny nule. V maticovém zápise tak dostaneme:, m x a y j j xj x j a xy j j přitom členy rovnice nejlépe zjistíme pomocnou tabulkou. j x j y j x j x j y j Σ Po dosazení do maticové rovnice 5 5 a 5 7 a 8 je řešení a,5. a,58 Hledaná aproximační přímka je popsána rovnicí ya, 5,58 x a její průběh je uveden v grafu. Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka a graf naměřených bodů. a) Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod,6 V ±, V. b) Pro pracovní bod,6 V ±, V určete statický a dynamický odpor diody. u (V),,,5,55,6,65,65,675,7 i (A),5,,,,5,6, ovnice hledané aproximační funkce (polynomu. stupně) je y a ax ax a, hledáme koeficienty a, a a a. Polynom bude procházet body, podle zadání pro u = (,5;,6;,7) V, v tabulce vyznačeno tučně. ovnice polynomu musí vyhovovat těmto určeným bodům:

39 Nelineární obvody 9 a au au i a au au i a au au i, v maticovém zápise Dosazením vybraných bodů z tabulky,5,5 a, 5,6,6 a, dostaneme řešení,7,7 a, u u a i u u a i. u u a i a, a 5,6. a 8, Hledaná interpolační funkce je popsána rovnicí i u u průběh je uveden v grafu. Statický odpor pro u p =,6 V je: Dynamický odpor lze určit z okolních bodů: a,5, 6 8, A a její s d u,6. i, p,6 p u, 7,5, i, 5 p,6, alternativně z interpolační funkce: di a d, 6Gd 96, 6u5, 6,998 d u p.5.5 i (A) i (A) u (V) Naměřené body charakteristiky diody u (V) nterpolační funkce (polynom. stupně) Metody řešení nelineárních obvodů Příklad. Analytickým řešením určete proud nelineárním obvodem. V 5 n n Podle. K.z.: n 7

40 Elektrotechnika počítačová cvičení Řešení kvadratické rovnice je: 7 7 Příklad.5 A,, A V tomto případě má smysl pouze A. Stabilizátor napětí je zatížen odporem. rčete napětí na zátěži, má-li linearizovaný model stabilizační diody v závěrném směru parametry: d = 5,7 V, d = Ω. D D d d V,, 5 linearizovaný obvod řešíme např. pomocí MN., A d d G G G d d,5,95, 5,79 V G G d d G d d d G G G d 5,7, S 5, S,5 S,85 A Příklad.6 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). rčete výstupní napětí při napájení ze zdroje = V. Dále určete, jak se změní při zvýšení vstupního napětí z V na 5 V a stanovte činitel stabilizace obvodu. Vypočítejte ztrátový výkon diody a rezistoru. Charakteristiku diody v závěrném směru udává tabulka, pro výpočet použijte linearizovaný model diody pro okolí z =,8 V. u (V) -, -,5 -,65 -,8-5, i (A) -, -, -,5 -,5 -,5 z D V 5V Linearizaci charakteristiky diody provedeme aproximací metodou nejmenších čtverců: j u j i j u j u j i j -,65 -,5,6,68 -,8 -,5,,7-5, -,5 5,5 Σ -,5 -,685 69,66,88 m u a i j j uj u j a ui j j, 5 a, 685, 5 69, 66 a,88 a 6, a,

41 Nelineární obvody Linearizovaný model Zenerovy diody lze pro okolí bodu z =,8 V popsat rovnicí pro Nortonův náhradní zdroj: z d d G, 6, A. Obvod s linearizovaným modelem pak řešíme např. pomocí MN. 5,6 A,, 5 A 6, A d G, S, Gd,S d 6,596 Stabilizované výstupní napětí pro V:,8 V. GG,7 d 6,687 Stabilizované výstupní napětí pro 5 V:,876 V. GG,7 Výstupní napětí při změně z V na 5 V ( = V) se změní pouze o =,876- -,8 = 66 mv. Činitel stabilizace je: s,876,8 5 8,.,8,8 Proud diodou se určí z úbytku na : z 8 ma. Ztrátový výkon na diodě: PD z,8, 8, 8 W D d d G d G G d d d na rezistoru: P z,8,569 W. Příklad.7 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). Grafickou metodou určete pracovní bod diody ( z, z ) a její ztrátový výkon. Z grafu zjistěte změnu výstupního napětí při změně vstupního napětí o ± V. Charakteristiku diody v závěrném směru udává graf. z D z 6V 5 Použijeme metodu zatěžovací přímky, kterou zakreslíme do grafu AV charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka představuje převrácenou AV charakteristiku náhradního

42 Elektrotechnika počítačová cvičení zdroje lineární části obvodu a je dána dvěma body napětí naprázdno (dioda odpojena) a proud nakrátko (dioda nahrazena zkratem), její směrnice tak odpovídá vodivosti /. 6 Napětí naprázdno je 6V, proud nakrátko je k, A. Po zakreslení 5 přímky do grafu dostaneme průsečík pracovní bod (,75 V, 85 ma). Ztrátový výkon diody je PD z z,75,85, W. Při změně o ± V se posunou zatěžovací přímky na [ ; k ] = [-5;-,] resp. [-7;-,66]. Této změně odpovídá změna výstupního napětí z na,65 V resp.,8 V. -7 z (V) z ZDV8 -. z (A) -.5 Příklad.8 rčete proud nelineárním obvodem. Použijte Newtonovu iterační metodu. V n n Podle. K.z.: n terační funkce: f Derivace: df f d Newtonova iterace: i k i k, kde k f k k k je oprava pro k+ krok. f k Jako počáteční odhad (nultou iteraci) volíme např. / = A. k (k),6,559,5,5 ε (k) -, -,9 -,59 -, -5 -,5 - Pro dostatečnou přesnost stačí iterační kroky. Proud obvodem je =,5 A.

43 Nelineární obvody Příklad.9 rčete napětí d na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu d v rozsahu,6 -,7 V. Použijte iterační metodu půlení intervalu, řešte s chybou pod mv. 5V, 5 d d 8 d e Podle. K.z.: 8 d d, d e 5. f d d e 5, počáteční interval a =,6 V a b =,7 V. 8 d terační funkce je ab Odhad hodnoty je dán průměrem (půlením) uk. Při následující iteraci se upraví interval podle toho, ve kterém leží hledaný kořen iterační rovnice. terace se ukončí, když ba chyba k klesne pod zadanou hodnotu. k a u(k) b f(a) f(u(k)) f(b) ε,6,65,7 -,69,6576,698,5,6,65,65 -,69,895,6576,5,6,65,65 -,69 -,587,895,5,65,6875,65 -,587,997,895,65,65,6565,6875 -,587 -,59,997,5 5,6565,6788,6875 -,59,66,997,56 6,6565,666,6788 -,59,89,66,78 Napětí na diodě je d = (66,±,8) mv NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) =,u (t)+u(t). u z (t) i(t) u(t) Pomůcka: sin,5 cos Výsledek: it 5 sint 5cost. Amplitudy harmonických složek proudu jsou: = 5 A, = A a = 5 A.

44 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad. rčete kvadratický interpolační polynom ia aau au, který aproximuje charakteristiku nelineárního prvku v bodech uvedených v tabulce. Extrapolujte pomocí vypočtené aproximační funkce chybějící proud prvkem pro napětí,7 V. Pro tučně vyznačený pracovní bod určete statický a dynamický odpor nelineárního prvku. u (V),,,5,7 i (ma),,5,85 Výsledky: i u u a,786,99, 9 ma, iu,7 V,7 ma,, s,,57,, d Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Metodou nejmenších čtverců proveďte aproximaci charakteristiky přímkou. u (V),6,65,65,675 i (A),,5,,8 Výsledek: i u a,6 6, 6 A. Příklad. Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod,65 V±,5 V. u (V),,,5,55,6,65,65,675,7 i (A),5,,,,5,6, Výsledek: i u u a,, A Příklad. rčete napětí d na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu d asi,7 V. Použijte Newtonovu iterační metodu, řešte s chybou pod mv. V, 5 d d 8 d 5 e Výsledek: d, 67 V

45 Nelineární obvody 5 Příklad.5 Předchozí zadání (Příklad.) řešte pomocí metody půlení intervalu pro počáteční odhad,6 -,7 V. Výsledek: d, 67 V Příklad.6 Napětí na výstupu nelineárního obvodu lze popsat rovnicí 5. Vypočtěte hodnotu napětí s přesností lepší než,5 %. Použijte Newtonovu iterační metodu s počátečním odhadem V. Výsledek:, 65 V. Příklad.7 Grafickou metodou určete pracovní bod ( z, z ) a ztrátový výkon diody v zatíženém stabilizátoru napětí. Charakteristiku použité diody v závěrném směru udává graf. V,, 7 Nápověda: Náhraďte lineární část obvodu dle Thèveninovy věty. u (V) D z i (A) ZD9V Výsledky: Pracovní bod stabilizační diody je (9,5 V, 65 ma). Ztrátový výkon diody je PD z9,5,65,595 W

46 6 Elektrotechnika počítačová cvičení Magnetické obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. Dlouhým přímým vodičem protéká proud = A. rčete velikost intenzity magnetického pole H ve vzdálenosti m od vodiče. l r H Výchozí vztah (Ampérův zákon celkového proudu): H d Aplikace vztahu pro dané zadání: (vektor H je všude rovnoběžný s dl) Hπr H,59 A/m πr π Příklad. Na prstenci z transformátorových plechů průřezu S = 6 mm je vinutí s N = závity. Střední průměr prstence je D s = mm. Jak velký proud musí vinutím procházet, aby vznikl magnetický tok Φ =,6 mwb? N D s S Magnetické pole v prstenci lze považovat přibližně za homogenní. ndukce v jádře je:,6 Bf T S 6 Pro hodnotu B f = T zjistíme z magnetizační křivky transformátorových plechů (příloha na konci kapitoly) hodnotu intenzity: f A/m H Z Ampérova zákona lze psát pro intenzitu pole ve feromagnetiku: Hd Hfs N Střední délka siločáry je: s πds,69 m Hledaný proud je: Hf s, 69, A N

47 Magnetické obvody 7 Příklad. Cívka je navinuta na toroidním jádře, má N = závitů a protéká jí proud = A. rčete magnetický tok jádrem Φ a indukčnost cívky L. Střední průměr toroidu D s = mm, průřez magnetického obvodu S = cm. ozptylové toky zanedbejte. N D s F Magnetické vlastnosti materiálu toroidu H f (A/m) B f (T),6,7,8,9 Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí mn N a magnetický odpor obvodu. Magnetický odpor je tvořen feromagnetikem a je proto nelineární. Úbytek magnetického napětí na odporu je mf Hf s. mn Φ mf mf Platí obdoba. K.z. součet magnetických napětí v obvodu je roven nule: mn mf N Hf s Střední délka siločáry: s πds,77 m ntenzita magnetického pole v jádře je Tomu, odpovídá magnetická indukce v jádře (odečteno z tabulky): Magnetický tok obvodem je: H N m f s πds,77 f f 5 A/m B,7 T pro H 5 A/m B f S,7 8 μwb ndukčnost cívky je podíl spřaženého magnetického toku Ψ = NΦ k proudu : 6 N 8 L 56 mh Příklad. Prstenec z feromagnetického materiálu má průměr D = 9 mm, plocha průřezu jádra je S = mm. Ve vzduchové mezeře l v = mm požadujeme indukci B v =,5 T. Vypočtěte potřebný počet závitů budicí cívky při proudu = 5 A a indukčnost cívky L pro tento proud. ozptylové toky zanedbejte. N D S v Magnetické vlastnosti materiálu prstence B f (T),,5,7,9 H f (A/m)

48 8 Elektrotechnika počítačová cvičení Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí mn N, magnetický odpor feromagnetika a magnetický odpor vzduchové mezery. Průřez S a stejně tak i magnetický tok jsou konstantní po celé délce siločáry, Bf S Bv S. Z toho plyne, že indukce v jádře je shodná s indukcí v mezeře, Bf Bv. Střední délka siločáry v magnetiku: mn s mf mf f s v mv Φ mv D D 9 8 mm πd,5 m Platí. K. z.: mn mf mv ntenzita magnetického pole v jádře pro indukci,5 T se určí pomocí tabulky, HfBf,5 T 9 A/m. Z předešlé rovnice dostaneme: a z toho potřebný počet závitů budicí cívky: N 85, 85 B N H H H v f f v v f f v,5 5N 9,5 7 π ndukčnost této cívky pro = 5 A je: L N NB S 85,5 v 5 85 μh Příklad.5 Vypočtěte velikost magnetovacího proudu potřebnou pro vytvoření magnetické indukce ve vzduchové mezeře B v =,5 T. Jádro je složeno z dynamových plechů s činitelem plnění k p =,9 (činitel plnění jádra udává poměr průřezu samotného feromagnetika v jádře k celkovému průřezu jádra, tj. včetně izolace mezi plechy). Počet závitů cívky je N =. t N t s t/ h v a ozměry jádra: a mm b mm t mm h mm 5 mm v Náhradní obvod: mf Φ mn mf mv mv b

49 Magnetické obvody 9 Předpokládáme homogenní magnetické pole. Pro sériový magnetický obvod platí (se započtením činitele plnění jádra): f v Bf Skp BvS konst. Protože je průřez magnetického obvodu po celé délce siločáry konstantní, je i indukce konstantní: Bf Bv / kp,5 /,9,556 T Střední siločáru geometricky tvoří čtyři úsečky a čtyři čtvrtkružnice v rozích. Délka střední siločáry ve feromagnetiku je tedy: π t f at bt / v abt tv,,,,π,5,8978 m Pro magnetické napětí lze psát: mn N mf mv B H H H v f f v v f f v Magnetické napětí na vzduchové mezeře je: Bv,5 mv v A 7 π ntenzita magnetického pole v jádře (odečtená z grafu magnetizační charakteristiky pro dynamové plechy v příloze na konci kapitoly) je: Hf Bf,556 T A/m Magnetické napětí na feromagnetiku je: mf Hf f, ,78 A Potřebný magnetovací proud je: mf mv 89, 78989,8 A N Příklad.6 Cívka elektromagnetu s N = závitů je protékána proudem = ma. Jádro i kotva mají stejný průřez S =,5 cm. Střední délka magnetické siločáry v jádru je l j = cm, v kotvě l k = cm. Délka vzduchové mezery je l v =,5 mm. elativní permeabilitu materiálu jádra µ rj = 5 a relativní permeabilitu materiálu kotvy µ rk = pokládáme za konstantní (magnetický obvod je linearizován). Nakreslete náhradní schéma obvodu, vypočtěte magnetická napětí na jednotlivých částech magnetického obvodu a určete indukčnost cívky. v N k j v Magnetický odpor jádra: mj 568 H 7 S π 5,5 rj j -

50 5 Elektrotechnika počítačová cvičení Magnetický odpor kotvy: k mk 7 H 7 S π,5 Magnetický odpor vzduchové mezery: Magnetické napětí zdroje: rk,5 8 H v mv 7 S π,5 mn N, A - - Magnetický indukční tok: mj Φ mn mj mk mv 7856,76 μwb Magnetická napětí na jednotlivých částech obvodu: 6 mj mj, , A mn mj mv mk mv 6 mk mk, 76 7, 7 A 6 mv mv, 76 8, 5 A mk Zkouška: mn mj mk mv, A A ndukčnost cívky je: 6 N,76 L,7 mh, Příklad.7 Zkratový proud = = ka (vzájemně opačného směru) protéká dvěma paralelně uloženými vodiči vzdálenými od sebe r = 5 cm. Jaká působí síla F na každý metr vodičů? Fyzikální podstata silových účinků proudů H F r F Výpočet magnetické indukce způsobené jedním vodičem v místě druhého vodiče H B H πr πr Výpočet síly, která působí na druhý vodič s proudem v poli s indukcí B (vyvolané prvním vodičem) pro l = m: πr πr FB 7 π π5 6 N

51 Magnetické obvody 5 Příklad.8 Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E je složeno ze dvou přiléhajících částí. Průřez prstence je S = cm, jeho střední průměr je D s =, m a cívkou, která má N = závitů, protéká proud = 5 A. Jak velkou silou jsou drženy obě části pohromadě? N D s S ntenzita magnetického pole v jádře je N z Ampérova zákona celkového proudu: m N Hf f Hf Střední délka siločáry: f πds π,,68 m Výpočet intenzity magnetického pole: H f N A/m, 68 Z magnetizační křivky oceli E (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodno- B H. tu magnetické indukce f f 769 A/m,8 T Výpočet síly (plochu průřezu je třeba započíst dvakrát): f BS,8 F 66 N π f 7 f Příklad.9 Elektromagnet z elektrotechnické oceli E zadaných rozměrů (v mm) má přitáhnout kotvu ze vzdálenosti cm silou F = 56 N. Jak velký proud musí protékat cívkou, má li cívka N = 5 závitů. važujte rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře o %. N 8 F 8 Průřez ve vzduchové mezeře je o % větší: 5 S v,s,,8,8 7, m f

52 5 Elektrotechnika počítačová cvičení Pro vytvoření zadané síly je potřeba magnetické indukce ve vzduchu: (Plochu mezery je třeba započítat dvakrát.) Z rovnosti magnetických toků ve feromagnetiku a ve vzduchové mezeře odvodíme magnetickou indukci v jádře: BvS F B v F T 7 π 56 v Sv 7, Bf Sf BvSv konst. B B S B,S v v v f f Bv Sf Sf,, T Z magnetizační křivky oceli E (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodno- H B. tu intenzity magnetického pole f f, T A/m Střední délka siločáry ve vzduchu: Střední délka siločáry ve feromagnetiku: v,, m,, 8,5, 8,98 m f v Potřebné magnetické napětí zdroje je dáno součtem magnetických napětí na feromagnetiku a na vzduchové mezeře: (všiměte si zanedbatelně malého mf ) Pro vytvoření přítahu 56 N je třeba proud B N H v mn mf mv f f v,98, 69 A 7 π mn 69, A N 5 Příklad. Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky l p a plochy S p. rčete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě ºC. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. p S p PM S v v S S v p cm, v,5 cm 8 cm, p cm

53 Magnetické obvody 5 Anizotropní ferit B p 5 mt H p 85 ka/m Při zanedbání rozptylových toků platí: p v BpSp BvSv konst. Při zanedbání odporu nástavců platí: Spojením obou rovnic pro B v dostaneme rovnici zatěžovací přímky magnetického obvodu, kterou zakreslíme do grafu BH charakteristiky feritu. rčíme např. dva body: B = ; H = a B =,87; H = ka/m, viz graf. Z průsečíku zatěžovací přímky obvodu a charakteristiky zdroje magnetického napětí (feritu) zjistíme pracovní bod B p 5 mt, H p 85 ka/m. Z toho pak indukce v mezeře: B B S 8 p p v Sv B B H B 8 v mn p p mv v v H 7,598 p p -6 v -6 p 7,598 p B H B B p v,87-6 H 8 Bp,67 T p p, z toho H p Příklad.

54 5 Elektrotechnika počítačová cvičení Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. V mezeře je třeba vytvořit pole s indukcí B v =,5 T. Zdrojem pole je permanentní magnet s optimálním pracovním bodem B p mt, H p 9 ka/m. rčete potřebnou výšku l p a plochu S p permanentního magnetu. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. p S p PM S v v S v 5 cm, v,6 cm Při zanedbání rozptylových toků platí: Z toho potřebná plocha PM: Při zanedbání odporu nástavců platí: Potřebná výška PM: p v BpSp BvSv konst. S B S,55 v v p Bp, B H v mn p p mv v Bv v,5,6 p 7 H p π 9,87 cm,65 cm NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad. rčete intenzitu a indukci magnetického pole, magnetický tok a indukčnost cívky navinuté na litinovém prstenci o kruhovém průřezu s průměrem d = cm. Střední průměr prstence je D s = 5 cm. Vinutí má N = závitů a budicí proud je = A. N D s d Φ Výsledky: Hf 67 A, Bf,8 T, 78 μwb, L 5 mh Příklad.

55 Magnetické obvody 55 Jak velký proud musí protékat budicí cívkou, která má N = závitů, aby vznikl v magnetickém obvodu tok Φ = mwb. Toroid vyrobený z dynamových plechů má průřez jádra S = - m a střední průměr D s =, m. N D s Φ Výsledek:, 7 A Příklad. Jádro z transformátorových plechů má rozměry dle obrázku. Jaký počet závitů N musí mít magnetovací vinutí, má-li jádrem procházet magnetický tok Φ = mwb při budicím proudu =, A? Dále určete magnetický odpor m obvodu a indukčnost budicího vinutí L. 5 N 6 Výsledky: N L - 9, m 99 H, 8,8 mh Příklad.5 Feromagnetické jádro má tvar prstence (vlastnosti materiálu popisuje tabulka) o průměru D = 5 mm, průměr jádra je d = 5 mm. d a) Vypočtěte potřebný počet závitů N tak, aby proudem = 5A vznikla v jádru indukce B f =,7 T. b) V jádru byla vytvořena vzduchová mezera l v = mm. Vypočtěte potřebný počet závitů budicího vinutí N tak, aby indukce v jádru zůstala stejná. N D v ozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence B f (T),,5,7,9 H f (A/m) Výsledky: N, N

56 56 Elektrotechnika počítačová cvičení Příklad.6 Na toroidním jádře z ocelolitiny je navinuta cívka N = záv. Průměr toroidu je D = mm, jeho průřez má průměr d = mm. V obvodu je vzduchová mezera l v =, mm, ve které je indukce B v =,8 T. a) Vypočítejte magnetická napětí na feromagnetickém jádru mf a na vzduchové mezeře mv. N D d v b) Vypočtěte budicí proud cívky. ozptylové toky zanedbejte. Výsledky: mf 87,96 A, mv 76,9 A,,6 A Příklad.7 rčete magnetické napětí potřebné k vytvoření magnetického pole s indukcí B v = T ve vzduchové mezeře. Průřez ocelového jádra (ocel E) je S = 6 cm, délka vzduchové mezery l v =,5 mm, délka střední siločáry v jádře je l f =, m. v f N S Výsledek: mf N 66 A Příklad.8 Elektromagnet má jádro zadaných rozměrů (v mm) z materiálu s velkou permeabilitou. Cívka má závitů a je napájena proudem A. Jak velká přítažná síla působí na kotvu? N 5 Magnetický odpor jádra je zanedbatelný. ozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře i rozptylové toky neuvažujte. 5 Výsledek: F N Příklad.9

57 Magnetické obvody 57 Mezi pólovými nástavci permanentního magnetu je vzduchová mezera délky l v a s plochou S v. rčete potřebnou plochu S p permanentního magnetu, má-li být magnetická indukce ve vzduchové mezeře při teplotě ºC B v =,5 T. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf v příloze. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. p S p PM S v v PM S cm, mm, mm v p v Výsledek: S,5 cm, plocha každého ze dvou PM. p

58 58 Elektrotechnika počítačová cvičení Příloha BH charakteristiky Magnetizační charakteristika některých měkkých feromagnetických materiálů,5,,,,,9,8 B (T),7,6,5,,,, ocel E dynamový plech H (A/m) transformátorový plech (% Si) ocelolitina litina Magnetizační charakteristika tvrdého anizotropního feritu (permanentní magnet) Anizotropní ferit

59 Příloha - Program Linov 59 Příloha - Program Linov Linov je jednoduchý program k řešení soustav lineárních rovnic. až 5. řádu. Po spuštění programu se objeví okno kalkulátoru představující maticový zápis soustavy rovnic: K X= Y, kde K je matice koeficientů, X je vektor hledaných neznámých a Y je vektor pravých stran, tj. budicích veličin. Vlastní výpočet soustavy lineárních rovnic zahájíme volbou řádu soustavy rovnic ( až 5). Zadávání prvků matice je možné výběrem příslušného prvku (kliknutím myší nebo sekvenčně klávesou Tab.) Hodnoty se zobrazují podle potřeby ve standardním či vědeckém tvaru. Při zadávání čísel se akceptuje desetinná čárka nebo tečka (podle nastavení národního prostředí Windows). Je možné vkládat čísla i ve vědeckém tvaru (např.,665e-5). Obvykle se bude zadávat diagonálně symetrická matice K. Pak stačí zadat hodnoty prvků horního trojúhelníku matice a tlačítkem Kopíruj zkopírovat hodnoty do dolního trojúhelníku. Celou rovnici je možno smazat tlačítkem Vymaž. Výpočet se provede stiskem tlačítka Výpočet, zobrazí se i determinanty použitelné pro Cramerovo pravidlo. Program hlídá singularitu matice soustavy.