STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM
Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež, statistika. B. Disraeli W. Churchill Sedíš li jednou ůlkou v ledu a druhou na rozálených kamnech, je ti statisticky velmi říjemně. Statistika nám říká, že už teď je na světě víc lidí, než je otřeba k řenesení i toho nejtěžšího iána. Pokud neučiníme řítrž rozmnožování, nebude v roce 2 už kde servírovat večeři, ledaže budeme ochotni rostírat na hlavách cizích lidí. Pak se ti lidé nebudou smět ohnout hodinu, než se najíte. H. Allen Smrt jednoho muže je tragédie, smrt milionu je jen ouhá statistika. J.V.Stalin
Probíraná témata 8.4. 2.5. 7.6. Poisná statistika (. část) Poisná statistika (2. část) Teorie odhadu Časové řady Indexní analýza Úvod do demografie Řešení říkladů
I. Poisná statistika Obecný úvod Základní statistické ojmy Statistické šetření Tabulky četností Souhrnné charakteristiky Grafická znázornění dat
Obecný úvod Indukce - roces zobecňování oznatků, naříklad řenášením závěrů z výběru na celou oulaci. Dedukce - z obecných zákonitostí (teorie) činíme závěry (redikce) ro jednotlivé říady (ozorování).
Základní statistické ojmy Hromadné jevy a rocesy -jevy a rocesy vyskytují se u velkého množství rvků. Statistická jednotka oisovaný rvek, u kterého jsou sledovány různé vlastnosti. Statistický znak (roměnná)-zachycuje určitou vlastnost statistické jednotky. Statistický soubor soubor statistických jednotek, u kterých sledujeme stejné znaky. o základní soubor (oulace) soubor všech statistských rvků daných výčtem, nebo vymezením některých solečných vlastností. o výběrový soubor část jednotek základního souboru Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika jako ojem Číselné údaje o hromadných jevech. Praktická činnost sočívající ve sběru, zracování a vyhodnocování statistických údajů. Teoretická discilína, která se zabývá metodami sloužícími k oisu a odhalování zákonitostí ři ůsobení odstatných, relativně stálých činitelů na hromadné jevy.
Klasifikace roměnných statistický znak kvantitativní kvalitativní (kategoriální) diskrétní sojité nominální ordinální (ořadové)
Klasifikace roměnných Kvantitativní-nabývají číselných hodnot (hmotnost, délka, evnost, cena, doba, životnost) Diskrétní -nabývají ouze oddělených číselných hodnot (očet vad, kusová rodukce aod.) Sojité-nabývají všech hodnot z nějakého intervalu reálných čísel (rozměr výrobku, doba do oruchy, cenový index aod.) Kvalitativní -nemají číselný charakter a lze je vyjádřit slovně (barva, jakostní třída, tvar) Ordinální -slovní hodnoty má smysl usořádat (jakostní třídy, klasifikace aod.) Nominální -slovní hodnoty ostrádají význam ořadí (barva, tvar, dodavatelé aod.) Dichotomická (alternativní ) nabývá ouze dvou různých hodnot (ohlaví )
Statistické šetření
Projekt restaurace ) Založení restaurace - vyhodnocení dostuných informací (oisná statistika) 2) Plánování v rámci rovozu restaurace (teorie odhadu) 3) Výsledky rovozu restaurace o rvním roce (časové řady) 4) Srovnání výsledků restaurace (indexní analýza)
Příklad ořadí resondenta Počet jídel v restauraci 4 2 3 3 2 4 5 6 7 4 8 3 9 2 2 2 3 4 5 5 2 6 8 7 2 8 5 9 2 5 2 Zetali jsme se 2 resondentů na otázku: Kolikrát za měsíc jdete do restaurace na jídlo?
Kolik máme statistických jednotek a které to jsou? Kolik máme roměnných a jakého jsou tyu? Je uvedený soubor resondentů základním souborem nebo výběrovým souborem? Sestavte tabulku četností ro roměnnou Počet jídel v restauraci
Tabulky četností Podává informaci o očtu (četnosti) výskytu jednotlivých variant znaku v souboru Absolutní/relativní četnosti Varianta Četnost Kumulativní četnosti znaku x i Absolutní n i Relativní i absolutní relativní x x 2 x k n n 2 n k 2 P k n n + n 2 P P + P2 Celkem x x
Intervalové rozdělení četností Interval četnost střed intervalu 2 2 4 4 6 6 8 n n 2 n 3 n 4 3 5 7 Celkem n x
Výsledky Celkem máme 2 statistických jednotek. Představují resondenty, kterých jsme se taly na očet jídel v restauraci za měsíc. Celkem máme jednu roměnnou, která se jmenuje jídla v restauraci. Jedná se o kvantitativní a nesojitou roměnnou. Jedná se o výběrový soubor. Základní soubor by byli všichni obyvatelé dané čtvrti nebo města.
Tabulka četností: Počet jídel v restauraci varianta znaku absolutní četnost relativní četnost absolutní kumulativní četnosti relativní kumulativní četnosti 2, 2, 6,29 8,38 2 5,24 3,62 3 2, 5,7 4 2, 7,8 5 3,4 2,95 8,5 2 celkem 2 x x
Grafická znázornění dat a) Sojnicové a sloukové grafy Polygon četností (sojnicový graf) vhodné zobrazení ři srovnávání struktury různých souborů. Sloucový graf Zdroj:ČSÚ
Grafická znázornění dat Histogram rozdělení četností vhodný ro znázornění sojitých roměnných (intervalové rozdělení četností). Zdroj:Žák, 26
Grafická znázornění dat b) Bodové grafy -slouží ke znázornění závislostí mezi dvěma kvantitatvními znaky (nebo růběhové časové řady). Zdroj:office.microsoft.com
Grafická znázornění dat c) výsečové grafy Zdroj:office.microsoft.com
Grafická znázornění dat c) Krabičkový graf slouží k zakreslen základních výběrových charakteristik kvantitativní roměnné. Zdroj: Dorda, 22
Počet objednaných jídel 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 8
Počet objednaných jídel 5% % 4% % 28% 2 3 4 5 % 8 23%
Výběrové charakteristiky Výběrové charakteristiky znázornění datového souboru omocí číselných charakteristik ) Míry olohy určují tyické rozložení hodnot souboru Střední hodnoty kvantily 2) Míry variability určují variabilitu (roztyl) hodnot kolem své tyické hodnoty. Absolutní Relativní 3) Šikmost 4) Šičatost
Míry olohy (střední hodnoty) aritmetický růměr Def.: součet hodnot dělený jejich očtem. rostý tvar vážený tvar
Míry olohy (střední hodnoty) harmonický růměr Def.: očet hodnot roměnné dělený součtem jednotlivých obrácených hodnot. Využití v říadech, kdy racujeme s roměnnou vyjadřující relativní změny (nař. růměrná rychlost, růměrná délka otřebná ke slnění určitého úkonu). rostý tvar vážený tvar
Míry olohy (střední hodnoty) geometrický růměr Def.: n-tá odmocnina ze součinu kladných hodnot. Využívá se k výočtu růměrného růstu. rostý tvar vážený tvar modus Def.: nejčastěji se vyskytující kategorie sledované roměnné ve vztahu k nejbližšímu okolí.
Míry olohy (kvantily) -rocentní kvantil Určení ořadí jednotky x% ) Datový soubor usořádáme vzestuně odle velikosti. 2) Seřazeným ozorováním řiřadíme ořadí od do n. 3) %-ní kvantil je otom roven ozorování s ořadím z n < z < n + ojmenované kvantily kvartily(25%,5%a75%kvantily) decily(%,2%,...,9%kvantily) ercentily(%,2%,...,99%kvantily)
Příklad, okračování Vyočítejte růměrný očet objednaných jídel Vyočítejte růměrný očet objednaných jídel z tabulky četností Určete modus
Výsledky
Příklad, okračování Určete medián roměnné očet jídel a interretujte. Určete dolní kvartil roměnné očet jídel interretujte. Určete horní kvartil roměnné očet jídel a interretujte. Jaký je rozdíl mezi růměrem a mediánem?
Výsledky 5 % dotázaných objedná měsíčně 2 nebo méně než 2 jídla 25% dotázaných objedná měsíčně nebo méně než jídlo a současně 75 % dotázaných objedná nebo více než jídlo. 75% dotázaných objedná měsíčně 4 nebo více než 4 jídla a současně 25 % dotázaných objedná 4 nebo méně než 4 jídla. ořadí 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 Počet objednaných jídel 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 8
Míry variability Absolutní míry variability Variační rozětí R def.: rozdíl největší a nejmenší hodnoty znaku Roztyl def.: růměr čtverců odchylek jednotlivých hodnot znaku od jeho aritmetického růměru rostý tvar
Absolutní míry variability - roztyl vážený tvar
Absolutní míry variability - směrodatná odchylka Jednotkou roztylu je druhou mocninou jednotky roměnné. Směrodatná odchylka - uvedena ve stejných jednotkách jako zkoumaný statistický znak Def.: druhá odmocnina z roztylu.
Relativní míry variability - variační koeficient Pro orovnání variability roměnných vyjádřených v různých jednotkách Bezrozměrný, vyjadřuje relativní míru variability Def.: odíl směrodatné odchylky a aritmetického růměru sledované roměnné
Příklad 2 Navštívili jsme dvě restaurace a sledovali očet objednaných jídel v růběhu stejného časového úseku. V rvní restauraci bylo objednáno během ěti hodin:,,2,, a ve druhé: 2,4,3,4,2. Pro každou restauraci sočítejte následující míry:. Průměr 2. Medián 3. Roztyl 4. Variační rozětí 5. Variační koeficient Výsledky orovnejte a interretujte.
Výsledky restaurace
Výsledky restaurace 2
Rozklad roztylu Máme-li datový soubor, který je rozdělen na skuiny a jsou-li zadané skuinové četnosti, skuinové růměry a skuinové roztyly, očítáme celkový roztyl omocí rozkladu roztylu na meziskuinovou a vnitroskuinovou variabilitu.
Rozklad roztylu - vzorec Pokud máme statistický soubor o n jednotek rozdělen do k dílčích odsouborů, kde známe dílčí roztyly, dílčí růměry a dílčí četnosti, otom roztyl celého souboru je dán součtem roztylu skuinových růměrů a růměrů ze skuinových roztylů.
Příklad 3 Dvě restaurace nabízejí v rámci olední nabídky hotová jídla. Restaurace číslo rodala za měsíc 2 hotových jídel, za růměrnou cenu 75 Kč, cena má směrodatnou odchylku 5. Restaurace číslo 2 rodala za měsíc 5 hotových jídel za růměrnou cenu 85 Kč, cena má směrodatnou odchylku Kč. Jaký je variační koeficient ceny hotových jídel za obě cukrárny? Zajímá nás, jak variabilita ceny hotových jídel kolísá během měsíce. k k 2 2 ( Xi X) * ni six* ni 2 2 2 i= i= x = + = + X k k s s s n i i= i= n i
Výsledek n X s = 2, = 75, = 5 n X s = 5, = 85, = X n X * n i= = = = n i= n i 75* 2+ 85*5 2+ 5 79,3 k 2 six* ni 2 2 2 i = 5 *2 + *5 2 s k = = = = 57, 2+ 5 35 n i= i s k 2 ( i ) * 2 i= X k X X ni 2 2 (75 79,3) *2 + (85 79,3) *5 36988+ 48735 85723 = = = = = 24,5 2+ 5 35 35 n i= i
Výsledek s = s + s = 24,5+ 57,= 8,6 s = 8,6 2 2 2 x X X s X V x = 9 sx 9 = = = X 79,3, Relativní variabilita ceny vyjádřená variačním koeficientem je %. V růběhu měsíce kolísá cena hotových jídel blízko růměrné ceny.
Šikmost a šičatost Charakteristika šikmosti oisuje soubor hodnot sledované roměnné z hlediska koncentrace malých a velkých hodnot sledované roměnné v orovnání se symetrickým rozdělením četností. a) Pokud je koeficient šikmosti kladný = větší koncentrace malých hodnot v souboru. b) Pokud je koeficient šikmosti záorný = větší koncentrace velkých hodnot v souboru. c) Pokud je koeficient šikmosti roven nule = rozdělení hodnot je symetrické. Charakteristika šičatosti oisuje soubor hodnot sledované roměnné z hlediska koncentrace hodnot v souboru kolem střední hodnoty (v orovnání s tzv. Gaussovou křivkou). Čím je hodnota koeficientu šičatosti vyšší, tím je rozdělení četností strmější a v souboru je vyšší koncentrace hodnot blízkých střední hodnotě.
Poisná statistika v Excelu Každá funkce v Excelu má své klíčové slovo. Průvodce funkcí (tlačítko fx na začátku stavového řádku). Je třeba zadat do závorky z čeho má být říslušná funkce očítána. Funkce ro oisnou statistiku POPISNÁ CHARAKTERISTIKA NÁZEV FUNKCE V EXCELU Rozsah souboru =POČET Aritmetický růměr =PRŮMĚR Harmonický růměr =HARMEAN Geometrický růměr =GEOMEAN Modus =MODE Medián =MEDIAN 25 % kvartil =PERCENTIL Součet hodnot =SUMA Roztyl =VAR Výběrový roztyl =VAR.VÝBĚR Směrodatná odchylka =SMODCH Výběrová směrodatná odchylka =SMODCH.VÝBĚR Maximum =MAX Minimum =MIN Šikmost =SKEW Šičatost =KURT
2. Teorie odhadu Odhadování vlastností (arametrů) celého základního souboru (oulace) na základě výběrového souboru a jeho výběrových charakteristik zevšeobecňující úsudek Předokladem zobecňujících úsudků je náhodný výběr ři získávání jednotek do výběrového souboru (losování, výběr omocí tabulek náhodných čísel, systematický výběr). K odhadu charakteristiky nelze využít jakoukoliv charakteristiku, ale takovou, která slňuje určitá kritéria: )Nestrannosti = zvolená statistika by neměla vést k systematickému nadhodnocování nebo odhodnocování odhadované charakteristiky (zkreslení) 2)Konzistence = s rostoucím rozsahem výběru by se měl odhad charakteristiky blížit hodnotě charakteristiky základního souboru 3)Vydatnost = velikost roztylu (čím nižší hodnoty roztylu výběrové charakteristiky, tím menší zkreslení odhadu základní charakteristiky) 4) Dostatečnost = mimo výběrové statistiky neexistuje žádná jiná statistika, která by oskytovala další dolňující informace o odhadované charakteristice základního souboru
Bodový odhad odhadované charakteristiky základní soubor s (sigma), m (mí), (í) základní střední hodnota ˆ= µ x základní roztyl 2 2 σ ˆ = s základní relativní četnost ˆ = π
Bodový odhad Odhadujeme arametr ZS omocí jednoho čísla. Neznámou hodnotu G ZS odhadneme omocí vyočítané hodnoty vhodné výběrové charakteristiky g.
Intervalový odhad intervalový odhad = interval, který bude s vysokou ravděodobností obsahovat skutečnou hodnotu odhadované charakteristiky základního souboru interval solehlivosti: α = 95 (99) odhadované charakteristiky základní střední hodnota ři známém základním roztylu σ P x u α / 2 x u α / 2 = n < µ < + σ n α
ři neznámém základním roztylu; velký rozsah výběru α µ α α = + < < 2 2 n s u x n s u x P x / x / ři neznámém základním roztylu; malý rozsah výběru α µ α α = + < < 2 2 n s t x n s t x P x / x /
základní roztyl α χ σ χ α α = < < ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 / x / x s n s n P základní relativní četnost α π α α = + < < ) ( ) ( 2 2 n u n u P / / stanovení rozsahu souboru 2 2 2 2 σ α/ u n 2 2 2 / 2 2 2 /,25, ) ( π π α α u n u n
Příklad 4 Po rvním měsíci (květen) fungování restaurace jste zjistili, že růměrně rodáte denně 85 hotových jídel. Dále jste zjistili, že denní roztyl očtu hotových jídel je 25. Na základě tohoto výběru odhadněte střední hodnotu dosaženého rodeje hotových jídel za rok a sestrojte 95 % interval solehlivosti ro tuto střední hodnotu. µ X = X = 85 σ σ P X u α/2* µ X + u α/2* = α n n
Výsledek 5 5 P 85,96* µ 85+.96* =,95 3 3 P 8, 6 µ 89,39 =,95 ( )
Příklad 5 Rozhodli jste se řilákat nové zákazníky a rovedli jste roto změny v jídelním lístku. Poté jste náhodně oslovili 32, z nichž 59 bylo s novou nabídkou nesokojeno.. Odhadněte rocento sokojených zákazníků. 2. Sestrojte 95 % dvoustranný interval solehlivosti ro odhad nesokojených zákazník. 3. Jaký je nejmenší odíl nesokojených zákazníků s novou nabídkou za výše daných odmínek.
Výsledek
3. Časové řady definice časové řady: oslounost hodnot sledovaného ukazatele, která je usořádána v čase. tyy časových řad A) Dle rozhodného okamžiku intervalové (určitý časový interval, nař. rok) okamžikové (k určitému časovému okamžiku, nař. k 3. 2. 22) B) Dle délky krátkodobé (méně než rok) dlouhodobé stanovení růměrné hodnoty y = y + 2 y 2 + y 2 + y3 +... + 2 n y n 2 + y n = 2 y y + n t= = n t= 2 y t n n + y t 2 y n
základní míry dynamiky diference y t = y t - y t- = n t= 2 y t n = y n y n koeficient růstu k t = y t y t k = n k2 k3... kn = n y y n
Příklad 6 Vyjádřete dynamiku vývoje zisku restaurace omocí absolutních řírůstků zisku a koeficientu růstu zisku. Určete růměry těchto charakteristik za dané období.
Výsledek
Dynamika vývoje ziskovosti restaurace (22-23) 7 6 5 4 3 2 V.2 VI.2 VII.2 VIII.2 IX.2 X.2 XI.2 XII.2 I.3 II.3 III.3 IV.3 V.3
Dekomozice časové řady Tt trendová složka = vyjadřuje dlouhodobé změny ve vývoji roměnného chování sledovaného ukazatele St sezónní složka = ravidelně se oakující výkyvy ve vývoji sledovaného ukazatele vzhledem k trendu Ct cyklická složka = kolísání v rámci období delším než rok Εt = náhodná nesystematická složka aditivní model multilikativní model y t =T t + S t + C t + ε t y t =T t S t C t ε t
Tyy trendů římka: arabola: Tt Tt exonenciála: = β + βt = β + βt+ β 2 2 T = β β t t
Příklad 7 Vyjádřete dynamiku vývoje zisku restaurace omocí trendové římky. Pomocí této římky odhadněte výši zisku v květnu 24.
Výsledek 3,85 34, 23*7 b = = 4,37 63 49 b = 34,23 (4,37*7) = 3,62 T = 3,62+ 4,37*25= 2,87 t Předokládaný zisk květnu 24 bude 2 87,- Kč.
modelování trendu a) regresní řístu k modelování trendu trendové funkce T t = f(t) b) adativní řístuy k modelování trendu exonenciální vyrovnávání jednoduché: Y t =αy t + ( -α)y t- metoda klouzavých růměrů délka klouzavého růměru ois sezónnosti sezónní odchylky sezónní indexy extraolace v časových řadách
Klouzavé růměry
m= 2+ 7= 2+ = 3 Y t 23+ 34+ 46+ 59+ 67+ 89+ 96 (7) = = 59 7
4. Indexní analýza Index bezrozměrné číslo vyjadřující změnu sledovaného ukazatele mezi dvěma obdobími nebo místech srovnání v relativním vyjádření. Ι diference číslo vyjadřující změnu sledovaného ukazatele mezi dvěma obdobími nebo místech srovnání (ve stejných měrných jednotkách jako sledovaný ukazatel). bazický index versus řetězový index individuální indexy jednoduché (,,Q) složené (Σ,ΣQ, r ) souhrnné (cenové a množstevní) Paascheho, Laseyresův, Fisherův index
individuální indexy jednoduché cenový množstevní hodnotový i = i = i Q = Q Q individuální indexy složené množstevní hodnotový I I Q = = Q Q
cenový = = = Q Q I rozklad = = =. I = = =. I rozklad 2
cenové indexy = = I I L L Laseyresův Paascheho = = = P P Q Q I I Souhrnné indexy Fisherův i Q P L F I I I. =
Objemové indexy Laseyresův Paascheho L I P I = = Fisherův F I = I. L P I
Nárožní 26/9a,58, PRAHA 5 tel. +42 84 33 66 info@vsem.cz www.vsem.cz