Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz"

Zdenka Moravcová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz

2 Pravděodobnost a matematická statistika týden ( ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza (histogramy, četnosti absolutní, relativní, rosté, kumulativní), základní statistické charakteristiky (růměr, výběr.roztyl, minimum, maximum, medián, kvartily, boxlot), sešikmenná rozdělení (vzájemná oloha mediánu a střední hodnoty), chvosty, kvantily 2. týden ( ) Princi statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, exeriment. Náhodná veličina, rozdělení ravděodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděodobnost, ravidla ro očítání s ravděodobností, odmíněná ravděodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden ( ) Využití závislosti ři stanovení ravděodobnosti - věta o úlné ravděodobnosti a Bayesova věta 4.týden ( ) Rozdělení chyb měření - normální rozdělení a očítání s ním. Odhady arametrů normálního rozdělení. Intervaly solehlivosti ro normální data. Jednovýběrové testy o střední hodnotě 5.týden ( ) Výběrový oměr jako odhad ravděodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového oměru. Výběry s vracením a bez vracení (binomické a hyergeometrické rozdělení) 6.týden ( ) odadá 7.týden ( ) Poruchy v čase (Poissonův roces). Poissonovo rozdělení, exonenciální rozdělení, jeho výhody a nevýhody, modelování doby do oruchy omocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, říadně useknuté normální rozdělení. 8.týden ( ) Testy dobré shody, Q-Q graf (ouze vysvětlení), testy normality. Některé nearametrické testy 9.týden ( ) Dvě náhodné veličiny - srovnání dvou výběrů (dvouvýběrové testy) 10. týden ( ) Dvě náhodné veličiny. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení (vše ouze diskrétně s tabulkou) 11. týden ( ) Závislost náhodných veličin, míry závislosti (kovariance, korelace), test významnosti korelačního koeficientu 12. týden ( ) Regrese, lineární regresní model (římková, kvadratická, olynomická regrese), analýza reziduí, ásy solehlivosti 13. týden ( ) Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden ( ) Rezerva, oakování, testy normality (náhrada za )

3 Výběrový oměr Úloha: Jaká je ravděodobnost, že balíček kávy, který si kouí náhodný zákazník, bude mít hmotnost menší, než je dolní hranice intervalu solehlivosti ro růměr? h24.868, i

4 Výběrový oměr Úloha: Jaká je ravděodobnost, že balíček kávy, který si kouí náhodný zákazník, bude mít hmotnost menší, než je dolní hranice intervalu solehlivosti ro růměr? od hranicí: 36 v mezích: 14 celkem: 50 36/50 = /50 = 0.28 h24.868, i Výběrový oměr = statistický bodový odhad ravděodobnosti sledovaného jevu

5 Alternativní rozdělení X řibližně v 100.% říadů nastane výsledek 1 řibližně v 100.(1-)% říadů nastane výsledek 0 střední hodnota X: E(X) =.1+(1 ).0 = roztyl X: Var(X) =E X 2 E(X) 2 =.1+(1 ).0 2 = (1 ) nx absolutní četnost kladných výsledků = součet ozorování Y = X i X n nx i=1 E(Y )=E X Var(Y )=E(Y n) 2 i = E(X i )=n = n(1 ) i=1 i=1 1 relativní četnost kladných výsledků = aritmetický růměr ozorování X = n E( X) 1 nx =E X i = 1 n n n E X X i = 1 nx E(X i )= 1 n n n = i=1 i=1 i=1 nx i=1 X i Var( X) =E( X ) 2 = (1 ) n

6 Intervalový odhad výběrového oměru U = Y n n(1 ) s N(0, 1) U = X n s N(0, 1) (1 ) Intervalový odhad ro výběrový oměr X = Intervalový odhad ravděodobnosti sledovaného jevu r r (1 ) u, n X (1 ) + n u Test hyotézy o výběrovém oměru: H 0 : = 0 H A : 6= 0 T = Y n 0 n0 (1 0 ) T = X 0 0 (1 0 ) n Nulovou hyotézu zamítneme, když T u ro námi stanovené

7 Výběr bez vracení Sortka: 49 čísel, ze kterých 6 vyhrává (jsou vytaženy). Jaká je ravděodobnost, že ři výběru 6ti čísel vybereme 4 z tažených? Kontrola jakosti: 1000 výrobků, mezi nimi jsou 3% vadných. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru 10 výrobků vybereme alesoň 1 zmetek? Výběr uchazečů o ráci: z 15ti uchazečů o zaměstnání, mezi kterými je 10 žen, vybíráme anonymně odle výsledku testu 5 osob. Jaká je ravděodobnost, že to budou samé ženy? Obecně: N rvků, mezi nimiž je M s určitou sledovanou vlastností. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru n rvků bez vracení vybereme k rvků se sledovanou vlastností? očet k-tic v M rvcích P (k; n, N, M) = M k N n N n M k očet zbylých (n-k)-tic z ostatních (N-M) rvků očet všech možností = očet n-tic z N rvků

8 Výběr bez vracení Sortka: 49 čísel, ze kterých 6 vyhrává (jsou vytaženy). Jaká je ravděodobnost, že ři výběru 6ti čísel vybereme 4 z tažených?

9 Výběr bez vracení Kontrola jakosti: 1000 výrobků, mezi nimi jsou 3% vadných. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru 10 výrobků vybereme alesoň 1 zmetek?

10 Výběr bez vracení Výběr uchazečů o ráci: z 15ti uchazečů o zaměstnání, mezi kterými je 10 žen, vybíráme anonymně odle výsledku testu 5 osob. Jaká je ravděodobnost, že to budou samé ženy?

11 Hyergeometrické rozdělení (N,M,n,k) = M k N n N n M k N =1, 2,..., M ale N, n ale N, max(0,n+ M N) ale k ale min(n, M) E(X) =n M N Var(X) = nm(n n)(n M) N 2 (N 1)

12 Výběr s vracením Házení kostkou: házíme třemi hracími kostkami současně (nebo jednou třikrát o sobě). Jaká je ravděodobnost, že adnou alesoň dvě šestky? Kontrola jakosti: Z výrobní linky odebíráme nezávisle na sobě 10 výrobků. Víme, že v rodukci jsou 3% vadných. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru vybereme alesoň 1 zmetek? Losování zaměstnance: každý den v týdnu losujeme jednoho z 15ti zaměstnanců, který rovede odolední úklid. Mezi zaměstnanci 10 žen. Jaká je ravděodobnost, že v týdnu vybereme samé ženy? Obecně: N rvků, mezi nimiž je M s určitou sledovanou vlastností. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru n rvků s vracením vybereme k rvků se sledovanou vlastností? P (k; n, N, M) = n M k N očet k-tic v n rvcích k N M N n k (n-k)-krát vybereme rvek s ravděodobností M (1- ) N k-krát vybereme rvek s ravděodobností M N

13 Výběr s vracením Házení kostkou: házíme třemi hracími kostkami současně (nebo jednou třikrát o sobě). Jaká je ravděodobnost, že adnou alesoň dvě šestky?

14 Výběr s vracením Kontrola jakosti: Z výrobní linky odebíráme nezávisle na sobě 10 výrobků. Víme, že v rodukci jsou 3% vadných. Jaká je ravděodobnost, že ři výběru vybereme alesoň 1 zmetek?

15 Výběr s vracením Losování zaměstnance: každý den v týdnu losujeme jednoho z 15ti zaměstnanců, který rovede odolední úklid. Mezi zaměstnanci 10 žen. Jaká je ravděodobnost, že v týdnu vybereme samé ženy?

16 Binomické rozdělení P (k; n, N, M) = n M k N k N N M n k N =1, 2,..., M ale N, n ale N, max(0,n+ M N) ale k ale min(n, M) Obvyklejší je tvar P (k; n, ) = n k (1 ) n k k n =1, 2,..., 2 (0, 1), k =0, 1,...,n Náhodná veličina s binomickým rozdělením oisuje očet úsěchů ři n nezávislých oakováních bernoulliovských okusů s ravděodobností úsěchu. E(X) =n Var(X) =n(1 )

17 Binomické rozdělení

18 Binomické rozdělení

19 Geometrické rozdělení P (X = 5) = (1 ) P (X = k) =(1 ) k 1 k =0, 1, X je očet kroků, které je třeba učinit, aby nastal rvní výskyt sledovaného jevu E(X) = 1 Var(X) = 1 2

20 Geometrické rozdělení X je očet kroků, které je třeba učinit, aby nastal rvní výskyt sledovaného jevu P (Y = 4) = (1 ) P (X = k) =(1 ) k k =1, 2,... P (X = 5) = (1 ) 4 Y je očet kroků, které ředcházejí rvnímu výskytu sledovaného jevu P (Y = k) =(1 ) k k =0, 1,... E(Y )= 1 Var(Y )= 1 Je-li sledovaný jev orucha, otom se Y nazývá diskrétní doba života 2

21 Geometrické rozdělení 3 * * 3 µ * * * * * * * * P ( X µ 3 )= (3) ( 3) = 2 (3) 1=0, 9973 P ( X µ 3 )=0, 0027 N = očet insekcí řed signálem =0, 0027 E(N) = 1 = 1 0, 0027 = 370 Počet insekcí řed rvním falešným signálem (ARL = Average Run Length)

Podobné dokumenty

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza