FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO Garant předmětu: Prof. Ing. Kamil Vrba, CSc. Autoři textu: doc. Ing. Jaroslav Koton, Ph.D. Prof. Ing. Kamil Vrba, CSc. BRNO 204 Vznik těchto skript byl podpořen projektem č. CZ..07/2.2.00/28.0062 Evropského sociálního fondu a státním rozpočtem České republiky.
2 FEKT Vysokého učení technického v Brně Autor Jaroslav Koton, Kamil Vrba Název Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO Vydavatel Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav telekomunikací Technická 2, 66 00 Brno Vydání první Rok vydání 204 Náklad elektronicky ISBN 978-80-24-5067-7 Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 3 Obsah Uvod 9 Teorie kmitočtových filtrů. Typy kmitočtových filtrů.............................2 Základní matematický popis filtrů....................... 4.2. Přenosové funkce filtrů. řádu..................... 6.2.2 Přenosové funkce filtrů 2. řádu..................... 6 2 Pasivní filtry 8 2. Dolní propust.................................. 8 2.2 Horní propust.................................. 25 2.3 Pásmová propust................................ 27 2.4 Pásmová zádrž................................. 3 2.5 Fázovací článek................................. 36 2.6 Aproximace přenosových funkcí........................ 39 2.6. Aproximace přenosové funkce dle Butterwortha........... 40 2.6.2 Aproximace přenosové funkce dle Bessela............... 45 2.6.3 Aproximace přenosové funkce dle Čebyševa.............. 49 3 Aktivní prvky užívané ve filtrech 6 3. Operační zesilovače............................... 6 3.2 Transadmitanční zesilovače........................... 66 3.3 Proudové konvejory............................... 67 3.4 Napěťové konvejory............................... 7 3.5 Proudové aktivní prvky............................. 74 4 Aktivní filtry 78 4. Dolní propust. řádu.............................. 79 4.2 Horní propust. řádu.............................. 82 4.3 Fázovací článek. řádu............................. 85 4.4 Dolní propust 2. řádu.............................. 87 4.5 Horní propust 2. řádu.............................. 95 4.6 Pásmová propust 2. řádu............................ 03 4.7 Pásmová zádrž 2. řádu............................. 09 4.8 Fázovací článek 2. řádu............................. 2 4.9 Multifunkční filtry............................... 5
4 FEKT Vysokého učení technického v Brně 4.0 Kmitočtové filtry vyšších řádů......................... 2 4.0. Realizace kaskádní syntézou...................... 22 4.0.2 Realizace nekaskádní syntézou..................... 23 5 Metody návrhu aktivních filtrů 28 5. Návrh pomocí úplné admitanční sítě..................... 30 5.. Úplná admitanční síť a odvozené autonomní obvody......... 3 5..2 Návrh kmitočtového filtru....................... 34 5.2 Návrh kmitočtových filtrů využívající syntetické prvky........... 37 5.2. Teorie syntetických prvků....................... 37 5.2.2 Transformační články.......................... 38 5.3 Syntéza filtrů pomocí grafů signálových toků................. 40
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 5 SEZNAM OBRÁZKŮ. Ideální modulové charakteristiky základních typů kmitočtových filtrů typu (a) dolní propust (DP), (b) horní propust (HP), (c) pásmová propust (PP), (d) pásmová zádrž (PZ)............................ 2.2 Kmitočtová pásma použitelnosti vybraných typů realizací analogových kmitočtových filtrů []............................... 3.3 Filtr jako dvojbran............................... 4.4 Závislost modulové charakteristiky filtru typu DP na řádu filtru...... 5 2. Pasivní dolní propust. řádu......................... 8 2.2 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust. řádu...................................... 2 2.3 Pasivní dolní propust 2. řádu......................... 22 2.4 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 2. řádu (Q = 0, 707)............................... 23 2.5 Modulová charakteristika dolní propusti 2. řádu normovaná (a) vzhledem k charakteristickému (f 0 ), (b) vzhledem k meznímu (f m ) kmitočtu..... 24 2.6 Pasivní horní propust. řádu......................... 25 2.7 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust. řádu...................................... 26 2.8 Pasivní horní propust 2. řádu......................... 27 2.9 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 2. řádu (Q = 0, 707)............................... 28 2.0 Princip tranformace dolní propusti na pásmovou propust [3]........ 29 2. Pasivní RC pásmová propust 2. řádu (Wienův člen)............. 30 2.2 Realizace pasivní RLC pásmové propusti (a) se sériovým rezonančním obvodem, (b) s paralelním rezonančním obvodem................ 30 2.3 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová propust 2. řádu (Q =, Q = 0)......................... 32 2.4 Modulové charakteristiky pásmové propusti 4. řádu aproximované dle Butterwrotha a Čebyševa (zvlnění 2 db)..................... 33 2.5 Realizace pasivní RC pásmové zádrže..................... 34 2.6 Realizace pasivní RLC pásmové zádrže.................... 34 2.7 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová zádrž 2. řádu (Q =, Q = 0)............................ 35 2.8 Realizace pasivního RC fázovacího článku. řádu.............. 39
6 FEKT Vysokého učení technického v Brně 2.9 Srovnání modulu přenosové funkce dolních propustí navržených dle vybraných aproximací: (a) 4. řád, (b) 0. řád.................... 4 2.20 Srovnání (a) přechodových charakteristik dolních propustí 4. řádu navržených dle vybraných aproximací, (b) skupinového zpoždění τ(ω)....... 42 2.2 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Butterwortha. 43 2.22 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Bessela..... 47 2.23 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním ΔK db = 2 db pro filtry lichého řádu................. 52 2.24 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním ΔK db = 2 db pro filtry sudého řádu.................. 53 2.25 Modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění ΔK db v propustném pásmu........ 60 2.26 Charakteristiky skupinového zpoždění dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění ΔK db v propustném pásmu.... 60 3. (a) Schematická značka operačního zesilovače, b) lineární model OZ s rušivými zdroji [8]................................. 64 3.2 Bodeův diagram operačního zesilovače s otevřenou smyčkou zpětné vazby s tzv. standardním průběhem kmitočtové charakteristiky.......... 65 3.3 Schematická značka prvku (a) OTA, (b) BOTA, (c) MOTA......... 66 3.4 Schematická značka proudového konvejoru (a). generace, (b) 2. generace, (c) 3. generace.................................. 67 3.5 Řiditelné proudové konvejory (a) ECCII, (b) CCCII............. 69 3.6 Proudové konvejory s diferenčním vstupem (a) DDCC, (b) DVCC..... 69 3.7 Schématická značka UCC........................... 70 3.8 Schématická značka zobecněného proudového konvejoru GCC....... 70 3.9 Schématická značka napěťového konvejoru xté generace........... 72 3.0 Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru GVC........ 72 3. Schématická značka univerzálního napěťového konvejoru UVC....... 73 3.2 Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru se svorkou W (GVCW) 74 3.3 Schématická značka proudového sledovače jako trojbranu.......... 74 3.4 (a) Vícevýstupový proudový sledovač MO-CF, (b) jeho implementace využitím UCC................................... 75 3.5 Schématická značka proudového zesilovače jako trojbranu.......... 76 3.6 Schématická značka diferenčního proudového sledovače FD-CF....... 76 3.7 Schématická značka diferenčního proudového zesilovače DACA....... 77 4. Obecné struktury ARC filtrů s jedním zesilovačem (K) (a) s jedním trojbranem, (b) se dvěma dvojbrany........................ 78
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 7 4.2 Primitivní řešení aktivní dolní propusti.................... 79 4.3 Invertující integrátor s OZ: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový.......... 80 4.4 Realizace neinvertujícího integrátoru pomocí (a) jednoho, (b) dvou operačních zesilovačů.................................. 80 4.5 Bezeztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující...... 8 4.6 Bezeztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující..................................... 8 4.7 Ztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující......... 82 4.8 Ztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující 82 4.9 Primitivní řešení aktivní horní propusti. řádu............... 83 4.0 Invertující derivátor s operačním zesilovačem: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový 84 4. Bezeztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující....... 84 4.2 Bezeztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující..................................... 84 4.3 Ztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující......... 85 4.4 Ztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující 85 4.5 Fázovací článek. řádu s OZ.......................... 86 4.6 Aktivní dolní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby..... 87 4.7 Aktivní dolní propust 2. řádu s jednoduchou smyčkou zpětné vazby.... 88 4.8 Aktivní dolní propust 2. řádu - Sallen Key.................. 89 4.9 Aktivní dolní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem....... 90 4.20 Aktivní dolní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači s vysokým Q 9 4.2 Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající jeden operační zesilovač..................................... 92 4.22 Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající dva operační zesilovače.................................... 94 4.23 Aktivní horní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby.... 95 4.24 Aktivní horní propust 2. řádu s neinvertujícím zesilovačem s konečným zesílením..................................... 96 4.25 Aktivní horní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem....... 97 4.26 Aktivní horní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači........ 98 4.27 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ... 99 4.28 Jiné řešení aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ........................................ 00 4.29 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou vycházející z obr. 4.25........ 0 4.30 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou využívající dva operační zesilovače. 02 4.3 Primitivní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu.............. 03
8 FEKT Vysokého učení technického v Brně 4.32 Aktivní pásmová propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby... 04 4.33 Variantní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu se zesilovačem s konečným zesílením.................................. 06 4.34 Aktivní pásmová propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači...... 08 4.35 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s dvojitým T článkem............ 09 4.36 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s jedním operačním zesilovačem....... 0 4.37 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s Wien-Robinsonovým mostem....... 4.38 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu se dvěma operačními zesilovači....... 2 4.39 Aktivní fázovací článek 2. řádu realizovaný pomocí pásmové propusti a sumačního zesilovače.............................. 3 4.40 Aktivní fázovací článek 2. řádu se dvěma operačními zesilovači....... 5 4.4 KHN filtr s operačními zesilovači....................... 6 4.42 KHN filtr s proudovými konvejory....................... 7 4.43 KHN filtr s napěťovými konvejory....................... 8 4.44 Tow-Thomas filtr s operačními zesilovači................... 9 4.45 Akerberg-Mossberg filtr s operačními zesilovači................ 20 4.46 Multifunkční kmitočtový filtr s plně nastavitelnými parametry....... 20 4.47 Modulové charakteristiky dílčích bloků a výsledná modulová charakteristika dolní propusti 0. řádu aproximovaná dle Čebyševa se zvlněním 3 db. 22 4.48 Aktivní dolní propust n. řádu (a) pro n sudé, (b) pro n liché........ 23 4.49 Kmitočtový filtr ntého řádu realizovaný pomocí UVC a OTA [33]..... 26 5. Přidružená transformace mezi (a) zdrojem napětí řízeného napětím, (b) zdrojem proudu řízeného proudem....................... 29 5.2 Úplná admitanční síť (a) se čtyřmi uzly, (b) její připojení k GVC..... 30 5.3 Úplná admitanční síť se dvěma (a) GCC, (b) GVC, (c) GCF........ 33 5.4 Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5. - proudový mód.................................... 34 5.5 Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5. - napěťový mód.................................... 36 5.6 Syntetické dvojpóly typu (a) DP, (b) DS, (c) EP, (d) ES [36]....... 39 5.7 Obecný pohled na realizaci syntetických prvků vyšších řádů (a), (b) s nutností, (c) bez nutnosti použít vnější admitance Y E.............. 40
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 9 ÚVOD Přestože v současné době elektronických zařízení se mnohem častěji setkáváme s označením "digitální", je nutné mít na paměti, že reálný svět, který nás obklopuje, je analogový. I když je pravdou, že velká většina informací v podobě signálů je zpracovávána v digitální podobě, tyto signály je nutné před vlastním převodem do digitální formy nejprve vhodně upravit. Také pro potřeby zpětné reprodukce se digitální signály musí převádět zpět do analogové podoby a v případě nutnosti je také upravujeme využitím vhodných analogových obvodů. V současnosti se před-zpracování nebo po-zpracování analogových signálů omezuje především na využití kmitočtových filtrů. Jejich úkolem je především výběr určitých kmitočtových složek procházejícího signálu. Filtrací se tedy dosahuje vhodné úpravy spektra signálu podle požadavku konkrétní aplikace. Filtry se nejčastěji používají k odstranění rušivých a nežádoucích signálů vyskytujících se mimo kmitočtové pásmo užitečných signálů. Např. dolní propust se používá k omezení kmitočtového spektra, např. při převodu analogového signálu na digitální pro zajištění podmínky vzorkování a opět při zpětném převodu k obnovení původního signálu. Pásmové propusti se používají v přijímačích pro výběr požadovaného vysílače. Pásmové zádrže se využívají pro potlačení rušivého síťového kmitočtu. Kmitočtovými filtry je tedy vhodně omezeno kmitočtové spektrum signálu, na kterém jsou pak digitálními obvody prováděny nutné matematické operace. Ať už se tedy pro běžného uživatele moderních elektrotechnických zařízení pojem "analogový" může zdát být zastaralý, problematika analogových obvodů stále má a i nadále bude mít své místo v oblasti elektrotechniky. V následujícím textu jsou zájemci seznámeni s problematikou analogových kmitočtových filtrů, kdy v úvodní části jsou tyto funkční bloky popsány využitím vhodného matematického aparátu. Jsou tak uvedeny vztahy přenosových funkcí kmitočtových filtrů., 2. a vyšších řádů, které jsou nutné pro správný numerický návrh pasivních prvků realizovaného obvodu. Následně jsou pak diskutovány základní struktury pasivních filtrů. a 2. řádu realizovaných prostřednictvím rezistorů, kapacitorů a induktorů. Diskutovány jsou pak i možnosti realizace pasivních filtrů vyšších řádů, kdy jsou uvedeny i možné požadavky kladené na tyto obvody. Jsou popsány používané aproximace a problematika kmitočtové transformace. Samostatná kapitola je pak věnována popisu kmitočtových filtrů využívající aktivních prvků různých typů. Nejprve jsou samy aktivní prvky využívané v kmitočtových filtrech popsány v potřebném rozsahu, který je nutný k pochopení činnosti diskutovaných struktur. Jsou tak zmíněny standardní operační zesilovače (OZ), transkonduktační zesilovače (OTA) a aktivní prvky ze skupiny proudových (CC) a napěťových konvejorů (VC). Ná-
0 FEKT Vysokého učení technického v Brně sledně jsou pak uvedeny a diskutovány jednotlivé struktury aktivních kmitočtových filtrů pracující nejen ve standardním napěťovém režimu, kdy vstupní a výstupní proměnná je vyjádřena napětím, ale jsou uvedeny i některá zapojení realizující přenosové funkce v proudovém či smíšeném režimu. Jaroslav Koton, Kamil Vrba
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO TEORIE KMITOČTOVÝCH FILTRŮ Velkou skupinou lineárních funkčních bloků využívaných snad ve všech oblastech elektroniky jsou kmitočtové filtry. Jejich úkolem je především výběr určitých kmitočtových složek procházejícího signálu. Filtrací se tedy dosahuje vhodné úpravy spektra signálu podle požadavku konkrétní aplikace. Filtry se nejčastěji používají k odstranění rušivých a nežádoucích signálů vyskytujících se mimo kmitočtové pásmo užitečných signálů. Např. dolní propust (DP, LP - Low-pass) se používá k omezení kmitočtového spektra, např. při převodu analogového signálu na digitální pro zajištění podmínky vzorkování a opět při zpětném převodu k obnovení původního signálu. Pásmové propusti (PP, BP - Band-pass) se používají v přijímačích pro výběr požadovaného vysílače. Pásmové zádrže (PZ, BS - Band-stop) se využívají pro potlačení rušivého síťového kmitočtu. Kmitočtové filtry tedy patří do skupiny lineárních obvodů, které vhodným způsobem mění kmitočtové spektrum amplitud a fází jím procházejícího signálu. Některé kmitočtové složky signálu jsou propuštěny bez či s minimálním útlumem (propustné pásmo filtru) a jiné kmitočtové složky jsou potlačeny (pásmo potlačení, pásmo útlumu či nepropustné pásmo filtru). Zvláštním případem kmitočtového filtru je tzv. fázovací článek (FČ, AP - All-pass), který je charakteristický tím, že modul přenosové charakteristiky je konstantní, kdy tedy nedochází ke změně amplitudy jednotlivých harmonických složek procházejícího signálu, ale dochází jen ke změně jejich fáze.. Typy kmitočtových filtrů Rozdělení kmitočtových filtrů lze provést dle různých hledisek, přičemž primárně se dělí dle přenášeného kmitočtového spektra na []: dolní propust (DP) - propouští nižší kmitočty než mezní f m, vyšší potlačuje (obr..(a)), horní propust (HP) - propouští vyšší kmitočty než mezní f m, nižší potlačuje (obr..(b)), pásmovou propust (PP) - propouští vybranou část spektra mezi dolním mezním f m a horním mezním f m2 kmitočtem, zbývající potlačuje (obr..(c)), pásmovou zádrž (PZ) - potlačuje vybranou část spektra mezi dolním mezním f m a horním mezním f m2 kmitočtem, zbývající propouští (obr..(d)), fázovací článek (FČ) - modulová charakteristika je v celém kmitočtovém pásmu konstantní, ale fázová je kmitočtově závislá Zvláštním typem jsou korekční filtry, které slouží pro úpravu přenosu některých bloků přenosového řetězce tak, aby celkový přenos soustavy byl konstantní. Kmitočtové filtry lze dále dělit dle způsobu jejich realizace do několika skupin. Orientačně lze definovat tři hlavní skupiny, kdy kmitočtové filtry lze obecně realizovat za
2 FEKT Vysokého učení technického v Brně K K 0 f m f (a) 0 f m f (b) K B K B 0 f m f m2 f (c) 0 f m f m2 f (d) Obrázek.: Ideální modulové charakteristiky základních typů kmitočtových filtrů typu (a) dolní propust (DP), (b) horní propust (HP), (c) pásmová propust (PP), (d) pásmová zádrž (PZ) přímého využití diskrétních prvků, v podobě integrovaného bloku (analogového), či realizací v číslicové podobě. Využití číslicových filtrů má svůj význam v okamžiku, kdy řešíme číslicové zpracování signálů a použitý digitální signálový proces disponuje dostatečným výpočetním výkonem. V případě nutnosti předzpracování vysokofrekvenčních signálů, kde rychlost číslicové části by nebyla dostatečná, či slabých a zašuměných signálů je nutné přistoupit k využití analogových filtrů. V této oblasti je možné využít propracované a ověřené řešení v podobě integrovaného obvodu, či v případě specifických požadavků je nutné navrhnout vlastní řešení. Podle požadovaných vlastností kladených na takový analogový filtr je pak lze rozdělit do několika skupin, podle použitých stavebních prvků []: filtry RC - vznikají vhodným propojením rezistorů (R) a kapacitorů (C), vynikají svou jednoduchostí a nízkou cenou. Praktické využití mají jen jednoduché struktury filtrů. a 2. řádů s nízkým činitelem jakosti Q, který je vždy nižší než 0,5. filtry RLC - využitím rezistorů, kapacitorů a induktorů (L) je možné realizovat obecně jakýkoliv typ kmitočtového filtru. Jsou spíše vhodné pro zpracování signálů o vyšších kmitočtech, protože na nízkých kmitočtech realizace induktorů je dosti neefektivní, kdy takové induktory jsou příliš rozměrné, nákladné a ztrátové s malým činitelem jakosti. Přesto se s nimi lze setkat, např. v audiotechnice při realizaci pasivních výhybek určené pro reproduktorové soustavy. filtry ARC - umožňují realizovat přenosové funce jako filtry RLC s využitím vhod-
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 3 ného aktivního prvku, rezistorů a kapacitorů a to bez nutnosti využít induktory. Vzhledem k omezení vlastností aktivních prvků (z pohledu kmitočtových vlastností) se nasazení takto realizovaných kmitočtových filtrů nejčastěji omezuje na kmitočtové pásmo mhz až stovky khz, kdy vývojem v oblasti mikroelektroniky a návrhem nových typů aktivních prvků se horní hranice použitelnosti těchto kmitočtových filtrů posouvá i na desítky až stovky MHz. filtry ASC - jsou obvody využívající principu spínaných kapacitorů. Jde o modifikaci ARC filtrů, kdy klasické rezistory jsou nahrazeny přepínanými kapacitory. Hlavní výhodou je možnost poměrně snadného přeladění filtrů změnou přepínací frekvence a poměrně snadné monolitické integrace. Spínací kmitočet bývá 50x až 00x vyšší než mezní kmitočet filtru, což do určité míry minimalizuje spínáním způsobený vznik diskretizace signálu v časové oblasti a možný aliasingový efekt periodizací spektra zpracovávaného signálu. elektromechanické filtry - vycházejí z principu převodu elektrického signálu na mechanický. Podle typu mechanického rezonátoru je lze dělit na různé skupiny, kdy nejpoužívanější jsou piezokeramické filtry. Zvláštním typem je krystalový filtr, který lze modelovat složeným rezonančním obvodem s vysokým činitelem jakosti a vysokou stabilitou rezonančního kmitočtu. Nejčastěji se využívá ve stabilních oscilátorech, v oblasti realizace kmitočtových filtrů je lze použít pro návrh úzkých pásmových propustí. mikrovlnné filtry - jsou ve své podstatě pasivní RLC filtry, kdy však pro používanou kmitočtovou oblast (nad 300 MHz) nelze uvažovat pasivní prvky se soustředěnými parametry, ale je nutné pracovat prvky s rozprostřenými parametry. filtry PAV (s povrchovou akustickou vlnou) - jsou založeny na principu vyzařování, Filtry: RC RLC ARC ASC Mikrovlnné PAV 0-0 0 0 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 0 f [Hz] Obrázek.2: Kmitočtová pásma použitelnosti vybraných typů realizací analogových kmitočtových filtrů [].
4 FEKT Vysokého učení technického v Brně šíření a fázového, kmitočtově nezávislého skládání povrchových akustických vln. V porovnání s elektromechanickými filtry mohou realizovat více širokopásmovější obvody. Možnost nasazení výše zmíněných typů realizace kmitočtových filtrů s ohledem na kmitočtové pásmo použitelnosti je naznačeno na obr..2..2 Základní matematický popis filtrů Kmitočtový filtr lze chápat jako dvojbran (obr..3), kdy pro potřeby popisu jeho činnosti je vhodné na vstupu uvažovat harmonický vstupní signál: u (t) = U m cos(ωt φ ). (.) Na výstupu kmitočtového filtru je lze pak definovat výstupní napětí u 2 (t) dle vztahu: u 2 (t) = U m2 cos(ωt φ 2 ). (.2) Na základě (.) a (.2) lze tedy konstatovat, že průchodem harmonického signálu kmitočtovým filtrem se na jeho výstupu objeví harmonický signál se stejným úhlovým kmitočtem ω, ale s jinou amplitudou U m2 a fází φ 2 (.2). Důsledkem změny fáze signálu procházejícího filtrem je to, že dochází také k časovému zpoždění signálu. Napěťový přenos K U (ω) harmonického signálu s úhlovým kmitočtem ω lze vyjádřit komplexním výrazem: K U (ω) = U 2(ω) U (ω), (.3) který lze rozdělit na reálnou a imaginární část, kterých se častěji využívá k vyjádření modulové a argumentové charakteristiky: K U (ω) = modk U (ω) = U 2(ω) U (ω), (.4) a φ(ω) = argk U (ω) = φ 2 (ω) φ (ω). (.5) u Kmitočtový u 2 filtr Obrázek.3: Filtr jako dvojbran.
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 5 K db 0 0 00 logω -40-80 n = 2 n = 3 n = 4 n = Obrázek.4: Závislost modulové charakteristiky filtru typu DP na řádu filtru. Modul přenosu K U (ω) dle (.4) je bezrozměrné číslo, který se však častěji vyjadřuje jako zisk v decibelech: K UdB (ω) = 20 log K U (ω). (.6) V praxi se přenosové vlastnosti vyjadřují jako funkce kmitočtu, kdy každému kmitočtu odpovídá vlastní přenos a argument. Závislost přenosu na kmitočtu je komplexní funkcí K(ω), K(f) (ω = 2πf), nebo K U (p), kde p = σ jω (přičemž v případě kmitočtových filtrů σ = 0) je Laplaceův operátor. Na základě teorie lineárních obvodů je pak možné přenosovou funkci vyjádřit jako racionálně lomenou funkci: K(p) = G m(p) H n (p) = mi=0 a i p i ni=0 b i p i = a mp m a m p m...a p a 0 b n p n b n p n...b p b 0, (.7) kde řád polynomu čitatele m je menší nebo roven řádu jmenovatele n (m n). Přenosovou funkci (.7) lze opět rozdělit na reálnou a imaginární část a kmitočtový filtr tak popsat jeho modulovou charakteristikou K(ω) a argumentovou kmitočtovou (zkráceně jen argumentovou) charakteristikou φ(ω). Číslo n udává řád filtru. Strmost (S) přechodu modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma je dána řádem filtru a platí pro ni: S = n 20 db/dek. (.8) Zjednodušeně je vztah strmosti a řádu kmitočtového filtru pro dolní propust naznačena na obr..4, kde jsou jen uvedeny asymptoty přenosových funkcí. Obecnou přenosovou funkci (.7) lze rozdělit na jednotlivé dílčí přenosové funkce, kdy pro technickou praxi se nejčastěji využívá rozkladu kaskádního. Obecnou přenosovou
6 FEKT Vysokého učení technického v Brně funkci ntého řádu K(p) lze tak vyjádřit jako: k K(p) = K i (p), (.9) i= kde K i (p) jsou dílčí přenosové funkce filtrů nejvýše 2. řádu (výjimečně 3. řádu). Je žádoucí, aby počet dílčích funkcí K i (p) byl minimální a současně realizovaný jednoduchými funkčními bloky. Výhodou kaskádní syntézy filtrů vyšších řádů je, že dílčí filtry nižšího řádu jsou méně citlivé na tolerance parametrů použitých obvodových prvků. Často se tak přistupuje k realizaci filtrů požadovaného řádu právě tímto způsobem i za cenu vyššího počtu pasivních a aktivních prvků ve výsledné struktuře než by tomu tam mohlo být v případě přímé syntézy komplexní struktury. Přesto v některých zvláštních případech však je nutné přistoupit na tzv. nekaskádní syntézu filtru. Jde především o aktivní filtry vyššího řádu s několika aktivními prvky, u kterých nelze obvodové řešení rozdělit tak, aby odpovídalo dílčím přenosovým funkcím. Filtr je tak nutné navrhovat komplexně jako jeden celek..2. Přenosové funkce filtrů. řádu Jak bylo naznačeno, obecnou přenosovou funkci (.7) popisující filtr ntého řádu lze dle (.9) rozdělit na součin dílčích přenosových funkcí K i (p), které jsou nejčastěji. nebo 2. řádu. Pro potřeby popisu filtrů. řádu lze využít obecnou přenosovou funkce (.7), která je omezena do tvaru podílu polynomů prvního řádu: K(p) = a p a 0 b p b 0. (.0) Jako filtry. řádu lze realizovat pouze dolní a horní propust a fázovací článek, resp. korekční filtr. V tab.. jsou uvedeny hodnoty koeficientů a a a 0 pro realizaci základních typů kmitočtových filtrů, přičemž pro koeficienty b i platí: b =, b 0 = ω m, (.) kde ω m je úhlový mezní kmitočet filtru, tj. kmitočet, kdy modul přenosu klesne o 3 db od hodnoty v pásmu propustnosti (K 0 )..2.2 Přenosové funkce filtrů 2. řádu Obdobně, pro filtry druhého řádu je obecná přenosová funkce (.7) redukována ve tvaru podílu polynomů druhého řádu: K(p) = a 2p 2 a p a 0 b 2 p 2 b p b 0. (.2)
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 7 Tabulka.: Hodnoty koeficientů a i pro daný typ kmitočtového filtru. řádu Typ filtru a a 0 Dolní propust 0 K 0 ω m Horní propust K 0 0 Fázovací článek K 0 K 0 ω m Tabulka.2: Hodnoty koeficientů a i pro daný typ kmitočtového filtru 2. řádu Typ filtru a 2 a a 0 Dolní propust 0 0 K 0 ω0 2 ω 0 Pásmová propust 0 K 0 0 Q Horní propust K 0 0 0 Pásmová zádrž K 0 0 K 0 ω0 2 ω 0 Fázovací článek K 0 K 0 K 0 ω0 2 Q V tab..2 jsou uvedeny hodnoty koeficientů a 2,a,a 0 pro realizaci daného typu kmitočtového filtru, přičemž pro koeficienty b i platí: b 2 =, b = ω 0 Q, b 0 = ω 2 0, (.3) kde Q je činitel jakosti filtru a ω 0 je jeho charakteristický úhlový kmitočet, a K 0 je zesílení v pásmu propustnosti. Jak již bylo uvedeno, při realizaci kmitočtových filtrů vyšších řádů lze vycházet z kaskádní nebo nekaskádní syntézy. Při kaskádní syntéze se komplexní přenosová funkce (.7) rozkládá na jednotlivé dílčí komplexní přenosové funkce dle (.9), kde dílčí přenosové funkce obecně popisují filtr. řádu (.0) nebo 2. řádu (.2). Nekaskádní syntéza se používá tam, kde obvodové řešení nelze rozdělit tak, aby odpovídalo dílčím komplexním přenosovým funkcím. Filtr se pak navrhuje jako celek. Při zadávání požadavků na modulovou charakteristiku se vychází z tzv. tolerančního pole, v němž charakteristika může vykazovat určité nerovnoměrnosti. Pro nalezení přenosové funkce pro zadané toleranční pole jsou využívány aproximující funkce. Nejčastěji způsoby aproximace jsou podle Butterwortha, Bessela a Čebyševa [2].
8 FEKT Vysokého učení technického v Brně 2 PASIVNÍ FILTRY Pomocí pasivních kmitočtových filtrů je teoreticky možné realizovat libovolný typ filtru. Tyto obvody využívají základní prvky: rezistor R, kapacitor C a induktor L. Na nízkých kmitočtech je však problematické realizovat induktory s velkou indukčností. Induktory jsou rozměrné a mají horší elektrické parametry. V praxi se pasivní filtry realizované pomocí diskrétních součástek nejčastěji využívají v kmitočtovém pásmu 00 khz až 300 MHz, kde realizace induktoru nepředstavuje vážnější problémy []. Lze konstatovat, že základním principiálním obvodem je dělič napětí, jehož napěťový přenos je kmitočtově závislý, bude-li alespoň jedna z impedancí kmitočtově závislá. Matematický popis kmitočtových filtrů uvedený v kap. se věnoval popisu kmitočtových filtrů jen obecně. V této kapitole jsou popsány již konkrétní realizace kmitočtových filtrů, které jsou doplněny bližším matematickým popisem, ze kterých vyplývají závěry uvedené v předešlé části. 2. Dolní propust Jak již bylo uvedeno, dolní propust je charakteristická tím, že kmitočtové složky nižší než mezní kmitočet jsou funkčním blokem propouštěny s minimálním útlumem. Dolní propust je možné realizovat již strukturou. řádu, kdy takové filtry se skládají z rezistoru R a jednoho akumulačního prvku (L nebo C). Častěji se používá kapacitor, protože jeho výroba je jednodušší a méně cenově náročná. Zkráceně takové filtry pak označujeme jako RC. jako: Na obr.2. je uvedeno zapojení dolní propusti. řádu, jejíž napěťový přenos lze vyjádřit K(ω) = U 2(ω) U (ω) = Modulová charakteristika tohoto obvodu je pak: K(ω) = modk(ω) = /jωc R /jωc = jωrc. (2.) [ReK(ω) 2 ] [ImK(ω) 2 ] = ω2 R 2 C 2, (2.2) R u C u 2 Obrázek 2.: Pasivní dolní propust. řádu
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 9 a argumentovou charakteristiku lze pak vyjádřit jako: φ(ω) = argk(ω) = arctan ReK(ω) ImK(ω) = arctan ωrc. (2.3) Pro grafické znázornění v tzv. Bodeově diagramu je modul přenosové funkce vyjádřen jako zisk dle (.6), tzn.: K db (ω) = 20 log K(ω) = 20 log ω2 R 2 C 2. (2.4) Ze vztahu (2.4) vyplývá, že na velmi nízkých kmitočtech se modul přenosové funkce asymptoticky blíží hodnotě 0 db. Naopak na velmi vysokých kmitočtech se modul řídí podle vztahu K db (ω) 20 log a je tedy nepřímo úměrný kmitočtu. Platí tedy, že ωrc zvětšením kmitočtu desetkrát se hodnota modulu sníží o 20 db. Modul přenosové funkce se na vysokých kmitočtech (v nepropustném pásmu) snižuje o 20 db s každou dekádou kmitočtu, z čehož pak vyplývá již dříve uvedený vztah (.8). Mezní kmitočet filtru ω m je definován jako kmitočet, při kterém se modul přenosové funkce sníží na hodnotu / 2, tj. o 3 db. Tento mezní kmitočet je možné určit využitím vztahu (2.2): K(ω m ) = ω 2 m R 2 C =. (2.5) 2 2 Řešením rovnice (2.5) lze mezní kmitočet ω m dolní propusti. řádu vyjádřit jako: ω m = 2πf m = RC. (2.6) Fázové natočení výstupního signálu u 2 (t) vůči vstupnímu signálu u (t) je při tomto kmitočtu podle (2.3) 45. V praxi se při analýze a syntéze filtrů přenosové funkce vyjadřují využitím Laplaceova operátoru p, kdy p = σ jω (v případě kmitočtových filtrů σ = 0). Vztah přenosové funkce filtru dolní propusti prvního řádu (2.) tak přechází na: K(p) = U 2(p) U (p) = prc, (2.7) kde U (p) a U 2 (p) jsou Laplaceovy obrazy vstupního napětí u (t) a výstupního napětí u 2 (t). Z hlediska obecnějšího přístupu je vhodné komplexní proměnnou p dále normovat vzhledem k meznímu kmitočtu ω m, tj.: s = p ω m, (2.8) kde s bývá označován jako normovaný Laplaceův operátor, který lze také vyjádřit jako: s = jω ω m = jf f m = jω, (2.9)
20 FEKT Vysokého učení technického v Brně kde Ω = ω/ω m je označován jako normovaný úhlový kmitočet. Využitím normovaného úhlového kmitočtu lze modulovou a argumentovou charakteristiku filtru dolní propusti určit vztahy: K(ω) =, φ(ω) = arctan Ω. (2.0) Ω 2 Závislost modulu a argumentu přenosové funkce kmitočtového filtru. řádu jsou pak uvedeny na obr. 2.2. Z obr. 2.2(a) je vidět, že při jednotkové hodnotě normovaného úhlového kmitočtu Ω dochází k poklesu modulu o 3 db z hodnoty v pásmu propustnosti (v tomto případě 0 db). Stejně tak z obr. 2.2(b) je vidět, že při hodnotě normovaného úhlového kmitočtu Ω, tedy při kmitočtu vstupního signálu odpovídajícího meznímu kmitočtu ω m dochází fázovému posunu právě 45. Protože mezní kmitočet ω m dolní propusti z obr. 2. je určen vztahem (2.6), bude s = prc a přenosová funkce filtru dolní propusti. řádu vyjádřená pomocí normovaného Laplaceova operátoru má tvar: K(s) = s. (2.) Jak již bylo naznačeno v předešlé části, v případě nutnosti realizovat rychlejší pokles modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma, pak je možné zapojit n dolních propustí dle obr. 2. do kaskády. Přenosovou funkci takovéto soustavy je pak možné zapsat v obecném tvaru: K(s) = ni= ( d i s) = ( d s) ( d 2 s)... ( d n s), (2.2) kde d i pro i =, 2,...n jsou kladné reálné koeficienty. Podobně jako v případě analýzy (2.4) lze dojít k závěru, pro normovaný úhlový kmitočet Ω >> se přenosová funkce bude asymptoticky blížit přímce se sklonem n 20 db/dek (viz (.8)). Soustava vytvořená kaskádním řazením pasivních RC dolních propustí. řádu se stejným mezním kmitočtem ω m bude mít kritické tlumení a koeficienty d i jsou stejné: n d i = 2, (2.3) z čehož je možné dovodit, že jednotlivé dílčí dolní propusti mají (/d)krát vyšší mezní kmitočet než je mezní kmitočet výsledného kmitočtového filtru. Označení "filtr s kritickým tlumením"se týká vlastností filtru z pohledu analýzy jeho přechodové charakteristiky, tj. jeho odezvy na jednotkový skok (viz obr. 2.20(a)), kdy nedochází k překmitu výstupního napětí. Nedostatkem filtru s kritickým tlumením, resp. pasivních RC filtrů je skutečnost, že maximální dosažitelná hodnota činitele jakosti Q je 0,5 a přechod z propustného do nepropustného pásma není dostatečně ostrý. Z tohoto důvodu jsou pro realizaci výhodnější struktury druhého řádu realizované prostřednictvím RLC prvků.
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 2 0-5 -0 mod(k) [db] -5-20 -25-30 -35-40 0-2 0-0 0 0 0 2 0 (a) [-] arg(k) [deg] -45-90 0-2 0-0 0 0 0 2 (b) [-] Obrázek 2.2: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust. řádu Jako příklad pasivní dolní propusti 2. řádu lze uvést zapojení na obr. 2.3. Také toto zapojení lze obecně považovat za napěťový dělič a přenosovou funkci lze psát ve tvaru: K(p) = p 2 LC prc. (2.4) Odpovídající modulová a argumentová charakteristika dolní propusti 2. řádu je uvedena na obr. 2.4.
22 FEKT Vysokého učení technického v Brně L R u C u 2 Obrázek 2.3: Pasivní dolní propust 2. řádu resp. Využitím normované komplexní proměnné s lze vztah (2.4) vyjádřit jako: Zavedením značení ω 0 =, známého z teorie rezonančních obvodů jako Thomso- LC L/C nův vztah, a Q = ω 0L R = (2.3) lze upravit do tvaru: K(s) = K(s) = ω 2 mlcs 2 ω m RCs, (2.5) b 2 s 2 a 2 s. (2.6) R (činitel jakosti rezonančního RLC obvodu), pak výraz K(s) = ωm 2 s ω0 2 2 ω. (2.7) m ω 0 Q s Vzájemným porovnáním členů u sobě si odpovídajících mocnin normovaného komplexního operátoru s ve výrazech (2.6) a (2.7) lze koeficienty a 2 a b 2 vyjádřit jako: a 2 = ω m ω 0 Q, b 2 = ω2 m, (2.8) ω0 2 ze kterých lze naopak vyjádřit vztah mezi charakteristickým kmitočtem (kmitočtem pólů filtru) ω 0 a mezním kmitočtem ω m filtru, resp. vztah pro činitel jakosti: ω 0 = ω m, Q = ω m = b2 ω 0 a 2 b2 a 2. (2.9) Tvar modulové a argumentové charakteristiky je silně ovlivněn hodnotou činitele jakosti. U dolní a horní propusti je hodnota Q malá (0,5 až ). Je-li hodnota Q = 0, 707, pak modulová charakteristika je maximálně plochá (Butterworthova aproximace, viz dále). Pro vyšší hodnoty Q se dolní či horní propust chová jako nesymetrická pásmová propust. S rostoucí hodnotou činitele jakosti také dochází k růstu strmosti modulu z propustného do nepropustného pásma. To způsobuje změnu mezního kmitočtu (tj. poklesu o 3 db).
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 23 0-5 -0 mod(k) [db] -5-20 -25-30 -35-40 0-2 0-0 0 0 0 2 0 (a) [-] -45 arg(k) [deg] -90-35 -80 0-2 0-0 0 0 0 2 (b) Obrázek 2.4: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 2. řádu (Q = 0, 707) [-] Na obr. 2.5 jsou uvedeny dva případy modulové charakteristiky dolní propusti, kdy kmitočtová osa je normována k charakteristickému kmitočtu f 0 (obr. 2.5(a)) a k meznímu kmitočtu f m (obr. 2.5(a)). Kaskádním řazením filtrů 2. řádu popsaných přenosovou funkcí dle (2.8), pak podle
24 FEKT Vysokého učení technického v Brně 20 0 0 Q=0.5 Q= Q=5-0 mod(k) [db] -20-30 -40-50 -60-70 -80 0-2 0-0 0 0 0 2 f/f 0 [-] (a) 20 0 0 Q=0.5 Q= Q=5-0 mod(k) [db] -20-30 -40-50 -60-70 -80 0-2 0-0 0 0 0 2 f/f m [-] (b) Obrázek 2.5: Modulová charakteristika dolní propusti 2. řádu normovaná (a) vzhledem k charakteristickému (f 0 ), (b) vzhledem k meznímu (f m ) kmitočtu (.9) lze obecnou přenosovou funkci ntého řádu psát jako: K(s) = K 0 Ii= b ni s 2 a ni s = K 0 (b n s 2 a n s )... (b ni s 2 a ni s ), (2.20) kde K 0 je přenos filtru v pásmu propustnosti a a ni a b ni jsou kladné koeficienty itého filtru 2. řádu, kdy celý filtru ntého řádu je složen z I dílčích funkčních bloků. Pro lichý řád polynomu je koeficient b n nulový.
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 25 Tvar výrazu (2.20) je vhodný pro kaskádní syntézu, kdy jmenovatel je v tomto případě rozdělen na součin kořenových činitelů. Roznásobením jednotlivých kvadratických výrazů b 2 nis 2 a ni s ve výrazu (2.20) lze tento vztah (resp. podobně také (2.2)) vyjádřit jako: K(s) = K 0 c nn s n... c ni s i... c n2 s 2 c n s, (2.2) kde c n, c n2,...c nn jsou kladné reálné koeficienty u jednotlivých mocnin normované komplexní proměnné. Jak bude ukázáno, vztah (2.2) je využíván pro potřeby nenaskádní syntézy kmitočtových filtrů vyšších řádů. 2.2 Horní propust Zapojení pasivní horní propusti. řádu je uvedeno na obr. 2.6. Podobně, jako při analýze dolní propusti. řádu, přenos zapojení z obr. 2.6 lze určit jako poměr komplexních napětí: K(p) = U 2(p) U (p) = R R /(prc). (2.22) Mezní kmitočet definovaný jako pokles modulu přenosové charakteristiky o 3 db je shodný s mezním kmitočtem dolní propusti. řádu (2.6), tj. ω m = /(RC). Využitím normovaného Laplaceova operátoru s = p/ω m, přenosová funkce (2.22) přechází do tvaru: K(s) = /s. (2.23) Porovnáním přenosové funkce horní propusti. řádu (2.23) a přenosové funkce dolní propusti. řádu (2.) je vidět, že přenosovou funkci horní propusti získáme z dolní propusti jednoduchou transformací s /s. Tato transformace je patrná i logaritmického vyjádření modulové charakteristiky, kdy z dolní propusti (obr. 2.2(a)) lze získat modulovou charakteristiku horní propusti (obr. 2.9(a)) jejím zrcadlením kolem mezního kmitočtu ω m, resp. Ω =, čemuž odpovídá transformace Ω /Ω (resp. s /s). Formálně pak i přenos K 0 v pásmu propustnosti dolní propusti přechází na přenos K v pásmu propust- C u R u 2 Obrázek 2.6: Pasivní horní propust. řádu
26 FEKT Vysokého učení technického v Brně 0-5 -0 mod(k) [db] -5-20 -25-30 -35-40 0-2 0-0 0 0 0 2 90 (a) [-] arg(k) [deg] 45 0 0-2 0-0 0 0 0 2 [-] (b) Obrázek 2.7: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust. řádu nosti horní propusti. V praxi se však pro vyjádření přenosu v pásmu propustnosti horní propusti, resp. i ostatních typů kmitočtových filtrů, využívá označení K 0. Praktická realizace pasivní horní propusti 2. řádu je uvedena na obr. 2.8. Přenosová funkce totoho filtru je dána vztahem: K(p) = p 2 LC p 2 LC prc, (2.24)
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 27 C R u L u 2 Obrázek 2.8: Pasivní horní propust 2. řádu resp. ωm 2 s 2 ω0 K(s) = 2 ωm 2 s ω0 2 2 ω, (2.25) m ω 0 Q s kterou je možné získat z (2.7) využitím zmíněné transformace s /s. Je tedy zřejmé, že popsanou transformaci lze tak zobecnit i pro horní propusti vyšších řádů. Přenosovou funkci horní propusti ntého řádu lze tedy z (2.20) odvodit ve tvaru: K(s) = K 0 Ii= b ni /s 2 a ni /s. (2.26) Pro potřeby aproximace lze tak použít stejných postupů, resp. hodnot koeficientů a ni a b ni jako při návrhu dolní propusti, které jsou popsány v kap. 2.6. 2.3 Pásmová propust Podobně jako při odvození obecné přenosové funkce horní propusti z přenosové funkce dolní propusti využitím vhodné transformace v kap. 2.2, také pro pro matematický aparát popisující kmitočtové filtry typu pásmová propust lze využít podobnou transformaci: s s /s. Touto transformací se původní modulová charakteristika dolní propusti posouvá ve směru osy Ω doprava a levá část pásma propustnosti je v logaritmickém ΔΩ měřítku zrcadlovým obrazem pravé části vzhledem ke střednímu kmitočtu pásmové propustnosti Ω = (viz obr. 2.0) [3]. Normovaná šířka pásma ΔΩ vyjadřuje rozdíl horního mezního kmitočtu Ω 2 a dolního mezního kmitočtu Ω, kdy modulová charakteristika klesne o 3 db vůči hodnotě modulu na kmitočtu Ω =. Mezi hodnotami mezních kmitočtů pak platí: Ω = /Ω 2. Platí, že normovaná šířka pásma pásmové propustnosti ΔΩ může být volena libovolně. Matematický popis přenosové funkce pásmové propusti 2. řádu lze odvodit z přenosové funkce dolní propusti (2.) využitím výše uvedené transformace: K(s) = K 0 (s /s) /ΔΩ = K 0 ΔΩs ΔΩs s 2. (2.27)
28 FEKT Vysokého učení technického v Brně 0-5 -0 mod(k) [db] -5-20 -25-30 -35-40 0-2 0-0 0 0 0 2 80 (a) [-] 35 arg(k) [deg] 90 45 0 0-2 0-0 0 0 0 2 (b) Obrázek 2.9: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 2. řádu (Q = 0, 707) [-] Činitel jakosti pásmové propusti je určen jako poměr rezonančního kmitočtu (kmitočtu pólů) f 0 k šířce pásma B, tedy: Q = f 0 B = f 0 f 2 f = = Ω 2 Ω ΔΩ. (2.28) Po dosazení (2.28) do (2.27) lze přenosovou funkcí pásmové propusti 2. řádu popsat
mod(k) [db] Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 29 0 0 DP. radu PP 2. radu 3 db -0-20 -30 ΔΩ -40 0-2 0 - Ω 0 0 Ω 0 2 0 2 [-] Obrázek 2.0: Princip tranformace dolní propusti na pásmovou propust [3]. jako: (K 0 /Q)s K(s) = (/Q)s s, (2.29) 2 kdy pomocí tohoto výrazu je možné stanovit základní parametry filtru přímo z přenosové funkce. Substitucí s = jω do (2.29) lze pak stanovit modulovou a argumentovou charakteristiku filtru: K(Ω) = (K 0 /Q) Ω ( Ω 2 ) 2 (Ω/Q) 2, φ(ω) = arctan Q ( Ω2 ). (2.30) Ω Možná realizace pásmové propusti 2. řádu využívající pouze rezistory a kapacitory je uvedena na obr. 2.. Jde o strukturu také označovanou jako tzv. Wienův člen. Přenosová charakteristika tohoto zapojení je dána vztahem: K(p) = pc R 2 p 2 C C 2 R R 2 p (C R C R 2 C 2 R 2 ). (2.3) Charakteristický kmitočet pásmové propusti z obr. 2. dle (2.3) je dán vztahem: a pro činitel jakosti Q platí: Q = ω 0 = C C 2 R R 2, (2.32) C C 2 R R 2 C R C R 2 C 2 R 2. (2.33)
30 FEKT Vysokého učení technického v Brně C R C 2 u u 2 R 2 Obrázek 2.: Pasivní RC pásmová propust 2. řádu (Wienův člen) L C R u R u 2 u C L u 2 (a) (b) Obrázek 2.2: Realizace pasivní RLC pásmové propusti (a) se sériovým rezonančním obvodem, (b) s paralelním rezonančním obvodem V případě, že pro hodnoty pasivních prvků platí R = R 2 a C = C 2, pak hodnota činitele jakosti je pouze /3, což zároveň představuje i maximální dosažitelnou hodnotu tohoto parametru filtru. Zesílení v pásmu propustnosti je za právě uvedených podmínek pak také /3. Praktická realizace pásmové propusti 2. řádu použitím RLC prvků je uvedena na obr. 2.2. Přenosová funkce řešení z obr. 2.2(a) je dána vztahem: K(p) = pcr p 2 LC pcr, (2.34) a přenosovou charakteristiku napětí zapojení z obr. 2.2(b) lze určit jako: kde G = /R. K(p) = pcr p 2 LC plg, (2.35) Hodnota charakteristického kmitočtu (kmitočtu pólů) ω 0 je dána již zmíněným Thomsonovým vztahem, tedy: a činitel jakosti Q dle (2.34) je dán vztahem: ω 0 = LC, (2.36) Q = R L C, (2.37)
Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 3 resp. pro zapojení dle obr. 2.2(b) z (2.35) pro činitel jakosti platí: Q = G C L. (2.38) Při návrhu pásmové propusti 2. řádu je tak, podobně jako u dolní či horní propusti 2. řádu, postačující obecně definovat charakteristický kmitočet ω 0 (resp. f 0 ) a činitel jakosti Q. Příklad průběhu modulové a argumentové charakteristiky pásmové propusti 2. řádu s činitelem jakosti Q = a Q = 0 je uveden na obr. 2.3. Z obr. 2.3(a) je zřejmé, že u pásmových propustí 2. řádu je průběh modulové charakteristiky tím ostřejší, čím vyšší je hodnota činitele jakosti. Pásmová propust s vysokou hodnotou činitele jakosti je více selektivní (úzkopásmová). V praxi však může nastat situace, kdy je požadován jak dostatečně strmý přechod z propustného do nepropustného pásma a tak současně i dostatečně široké pásmo propustnosti. Takovou situaci lze řešit transformací dolní propusti vyššího řádu na pásmovou propust. Např. pásmovou propust 4. řádu získáme využitím zmíněné transformace z dolní propusti (2.6): K(s) = = K 0 ( s ) 2 b 2 ( s s ΔΩ ) = a2 2 s ΔΩ (ΔΩ 2 K 0 /b 2 ) s 2 s 4 ΔΩa ( ) 2 ΔΩ 2 s 2 s b 2 b 2 ΔΩa. 2 s 2 b 2 (2.39) Modulové charakteristiky pásmových propustí 4. řádu aproximovaných dle Butterwortha a dle Čebyševa se zvlněním 2 db jsou uvedeny na obr. 2.4. 2.4 Pásmová zádrž Další ze základních filtračních funkcí je pásmová zádrž. Podobně jako pásmová propust je definována až přenosovou funkcí 2. řádu, a dále pak pro vyšší sudé mocniny řádu funkčního bloku. Praktické využití pásmové zádrže spočívá v odfiltrování rušivé složky v užitečném signálu, kdy obecně na rezonančním kmitočtu filtru je jeho přenos nulový a pro nízké a vysoké kmitočty má konstantní hodnotu. Stejně jako tomu je u pásmových propustí, tak i u pásmových zádrží lze hovořit o jejich míře selektivity, kdy se zavádí termín činitel jakosti potlačení signálu Q = f 0 /B, kde B definuje kmitočtové pásmo, na jehož okrajích poklesne modul přenosové funkce o 3 db. Stejně jako u pásmové propusti pak také platí, že čím větší je činitel jakosti, tím strměji se mění modul přenosu při přechodu z propustného do nepropustného pásma. Pro potřeby matematického popisu pásmové zádrže lze opět vycházet z přenosové funkce dolní propusti. řádu, kdy však v tomto případě je využita transformace ve tvaru
32 FEKT Vysokého učení technického v Brně 0 5 Q= Q=0 mod(k) [db] 0-5 -0-5 -20-25 -30-35 -40 0-2 0-0 0 0 0 2 (a) [-] 80 60 Q= Q=0 40 arg(k) [deg] 20 0-20 -40-60 -80 0-2 0-0 0 0 0 2 [-] (b) Obrázek 2.3: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová propust 2. řádu (Q =, Q = 0) s ΔΩ s. Podobně jako v kap. 2.3, v oblasti matematického popisu pásmové zádrže s ΔΩ = /Q označuje normované kmitočtové pásmo zadržení pro pokles o 3 db. Touto transformací se původní modulová charakteristika dolní propusti posune ve směru osy Ω doleva (do oblasti kmitočtů 0 Ω Ω ) a pravá část pásma zadržení je v logaritmickém měřítku zrcadlovým obrazem levé části vzhledem ke střednímu kmitočtu pásmové zádrže
mod(k) [db] Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO 33 0 0 3 db -0-20 -30 ΔΩ -40 PP 2. radu - Butterwotrh PP 4. radu - Butterwotrh PP 4. radu - Cebysev (2dB) -50 0-2 0 - Ω 0 0 Ω 0 2 0 2 [-] Obrázek 2.4: Modulové charakteristiky pásmové propusti 4. řádu aproximované dle Butterwrotha a Čebyševa (zvlnění 2 db) Ω =. Při rezonančním kmitočtu je hodnota přenosové funkce nulová [3]. Jak již bylo naznačeno, stejně jako v případě pásmové propusti, dochází k dvojnásobnému zvýšení řádu výsledné přenosové funkce. Využití výše uvedené transformace na přenosové charakteristice dolní propusti. řádu (2.) tak vede na přenosovou funkci pásmové zádrže 2. řádu ve tvaru: K(s) = K 0 ΔΩ s /s = K 0 ( s 2 ) ΔΩs s 2 = K 0 ( s 2 ) Q s s2. (2.40) Z (2.40) pak modulová a argumentová charakteristika filtru je dána výrazy: K(Ω) = K 0 ( Ω 2 ) Ω ( ), φ(ω) = arctan Q (Ω 2 ). (2.4) Ω 4 Ω 2 Q 2 2 Příklady praktické implementace pasivní zádrže realizované pomocí rezistorů a kapacitorů jsou uvedeny na obr. 2.5. V případě zapojení z obr. 2.5(a) přenosová funkce má tvar: K(p) = p 2 R R 2 C C 2 pr 2 (C C 2 ) p 2 R R 2 C C 2 p (R C 2 R 2 C R 2 C 2 ), (2.42)
34 FEKT Vysokého učení technického v Brně R C C C 2 R R 2 u R 2 u 2 C 2 u u 2 (a) (b) Obrázek 2.5: Realizace pasivní RC pásmové zádrže L C u R u 2 R L u u 2 C (a) (b) Obrázek 2.6: Realizace pasivní RLC pásmové zádrže a v případě zapojeni z obr. 2.5(b) lze přenosovou funkci kmitočtového filtru odvodit jako: platí: K(p) = p 2 R R 2 C C 2 pc (R R 2 ) p 2 R R 2 C C 2 p (R C R C 2 R 2 C ). (2.43) Pro obě varianty řešení pasivní RC pásmové zádrže pro charakteristický kmitočet ω 0 ω 0 = R R 2 C C 2. (2.44) Činitel jakosti filtru z obr. 2.5(a) je dán vztahem: R R 2 C C 2 Q = (2.45) R C 2 R 2 C R 2 C 2 a u řešení z obr. 2.5(b) lze činitel jakosti vyjádřit jako: R R 2 C C 2 Q =. (2.46) R C R C 2 R 2 C V případě, že u obou zapojení z obr. 2.5 bude platit R = R 2 a C = C 2, pak hodnota činitele jakosti bude jen /3, což je maximální hodnota činitele jakosti, které lze v rámci těchto zapojení dosáhnout.