Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): Trescova Misesova Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy): Mohrova-Coulombova, Rankinova Druckerova-Pragerova závisejí pouze na deviatorické části napětí závisejí také na hydrostatické části napětí
Trescova podmínka plasticity Inspirace Schmidovým zákonem (viz plasticita krystalu). Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty. Matematický zápis: σ max maximální hodnota smykového napětí σ (vypočtená z daných složek napětí ) kritická hodnota smykového napětí (mez kluzu ve smyku)
Trescova podmínka plasticity 1 max max min 1 max,, min,, 1 3 1 3 největší smykové napětí největší hlavní napětí nejmenší hlavní napětí Možné tvary Trescovy funkce plasticity: max f σ σ nebo σ σ σ f max min
Příklady jednoosý tah x x x
Příklady jednoosý tlak x dvojosý tlak x y x x x x y
Příklady hydrostatický tlak x y z čistý smyk 1 z 1 x 1 x y
Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tahové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku
Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku
Trescova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max max min max nelze plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot
Trescova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk σ x y z xy xz yz 1 3 max min max max plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne meze kluzu ve smyku
Trescova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku
Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 3 x y x y x y x y yx xy xy xy
Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 max min yx xy 1 max max min
smykové napětí Kombinace tahu a smyku pro různé kovy kombinace napětí na mezi kluzu měď hliník měkká ocel Trescova podmínka 4 normálové napětí
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost σ x x y y z xy xy xz yz y yx xy x
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost σ x x y y z xy xy xz yz 1 3 x y x y x y x y xy xy
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost Stavy napětí můžeme znázorňovat jako body v trojrozměrném prostoru, ale jednodušší je použít dvourozměrný prostor (rovinu), hlavních napětí. 1 x, y, xy Podmínka plastické přípustnosti: σ max 1, 1 3, 3
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1 1 1
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1 1 1
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1
Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1
Misesova podmínka plasticity Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud hustota energie pružné deformace souvisící se změnou tvaru dosáhne kritické hodnoty. Tato energie je úměrná invariantu J, proto lze místo kritické hodnoty energie pracovat s kritickou hodnotou odmocniny J, která má rozměr napětí. Matematický zápis: J σ druhý invariant deviatorického napětí σ (vypočtený z daných složek napětí ) mez kluzu ve smyku
Misesova podmínka plasticity Výpočet invariantu J: J s s s 1 x y z xy xz yz 1 6 x y x z y z xy xz yz Možné tvary Misesovy funkce plasticity: f σ J σ f σ J σ f σ 3J σ 3 f σ J σ
Misesova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk σ x y z xy xz yz J J plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne hodnoty ( je tedy skutečně mez kluzu ve smyku)
Misesova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah nebo tlak σ x y z xy xz yz J 1 1 6 3 J 3 plastické přetváření nastává, pokud normálové napětí dosáhne hodnoty 3 3 ( je tedy mez kluzu v tahu)
Misesova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak σ x y z xy xz yz J J nelze plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot
Misesova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak σ x y z xy xz yz J 1 1 6 3 J 3 plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne meze kluzu v jednoosém tlaku
Misesova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 J 6 x y x z y z xy xz yz 1 3 yx xy
smykové napětí Kombinace tahu a smyku pro různé kovy Misesova podmínka 3 měď hliník měkká ocel Trescova podmínka 4 normálové napětí
Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost J 1 J 6 x y x y xy 1 6 x y x z y z xy xz yz 1 3 x y x y xy 1 3 1 1 3J 1 1
Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1
Tresca Trescova a Misesova podmínka (rovinná napjatost) 1 1 rovinná napjatost Mises 1 1 1 1
Tresca Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) 1 1 3 3 1 1 3 Mises 3 přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu přípustná oblast má tvar rotačního válce pevnost v jednoosém tahu je stejná jako v jednoosém tlaku hydrostatická část napětí nehraje roli podmínky vhodné pro materiály bez vnitřního tření, např. kovy
Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) Tresca přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu Mises přípustná oblast má tvar rotačního válce
Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Tresca: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty. Mohr-Coulomb: kritická hodnota smykového napětí není konstanta, ale závisí na normálovém napětí působícím kolmo na příslušnou rovinu. tan c Matematický zápis: smykové napětí normálové napětí soudržnost (koheze) úhel vnitřního tření
Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Zápis funkce plasticity pomocí hlavních napětí: Tresca f σ σ σ max min Mohr-Coulomb f 1sin 1sin σ max σ min σ c cos c (pro a ekvivalentní s Trescovou podmínkou)
Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah 1 3 max min 1 sin f c cos c cos f 1 sin mez kluzu v jednoosém tahu jednoosý tlak 1 3 max min 1 sin f c cos c cos f 1 sin mez kluzu v jednoosém tlaku
Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Příklad: hydrostatická napjatost 1 f 3 max min f sin c cos c tan mez kluzu v hydrostatickém tahu při hydrostatickém tlaku plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot
Příklad: čistý smyk Mohrova-Coulombova podmínka plasticity 1 3 max min f c cos f c cos mez kluzu ve smyku
Mohrova-Coulombova Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost podmínka plasticity fc 1 sin 1 sin max 1,, min 1,, c cos f t 1 c cos 1 sin c cos 1 sin
Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Mises: k plastickému přetváření dojde, pokud odmocnina z invariantu J (který je úměrný hustotě energie pružné deformace souvisící se změnou tvaru) dosáhne kritické hodnoty. Drucker-Prager: kritická hodnota J není konstanta, ale závisí na středním (hydrostatickém) napětí. Matematický zápis: σ J σ 3 m součinitel vnitřního tření střední napětí druhý invariant deviatorického napětí mez kluzu ve smyku
Příklad: jednoosý tah 1 3 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity J m /3 /3 f f 3 J 1/ 3 m 1/ 3 mez kluzu v jednoosém tahu
Příklad: jednoosý tlak 1 3 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity J m /3 /3 f f 3 J 1/ 3 m 1/ 3 mez kluzu v jednoosém tlaku
Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk 1 3 J m f J 3 m f mez kluzu ve smyku
Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost 1 1 1 3 1 f c 1/ 3 f c f t 1 1/ 3
Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb Drucker-Prager rovinná napjatost 1sin 1sin max min c cos σ σ 3 m J
Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu Drucker-Prager přípustná oblast má tvar rotačního kužele obecná napjatost
Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu Drucker-Prager přípustná oblast má tvar rotačního kužele pevnost v jednoosém tahu je menší než v jednoosém tlaku hydrostatická část napětí hraje roli podmínky vhodné pro materiály s vnitřním třením, např. zeminy, horniny nebo beton v podmínce plasticity se objevují dva materiálové parametry
Nejpoužívanější podmínky plasticity Trescova σ σ σ f max min Misesova σ σ f J Mohrova-Coulombova σ σ σ f 1 sin 1 sin max min σ Rankinova σ f max Druckerova-Pragerova σ σ σ f I J 1 zobecněná Ottosenova f σ c I σ c r σ J σ c J σ 1 1 3 1
Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti / fc experimentální data 1 1 xy 1/ fc
Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti Rankine Mohr-Coulomb
Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti Drucker-Prager (tahová oblast) Rankine + Drucker-Prager (tlaková oblast)
Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti / fc Menétrey-Willam vhodná podmínka plasticity pro beton, závisí na všech třech invariantech napětí 1/ fc
Přehled základních rovnic pro ideálně pružnoplastický model víceosá napjatost ε ε ε e p σ D ε e e f σ funkce udávající orientovaný směr přírůstku plastické deformace ε p f g σ σ
Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - jednoosá napjatost f přípustné stavy nepřípustné stavy f nepřípustné stavy funkce plasticity f
Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - jednoosá napjatost přípustné stavy p f směr přírůstků plastické deformace: ven z přípustné oblasti, ve směru nárůstu funkce plasticity p funkce plasticity f df p sgn d
Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost f plastické stavy
Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost nepřípustné stavy f f přípustné stavy f nepřípustné stavy
Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost přípustné stavy p p směr přírůstků plastické deformace: ven z přípustné oblasti, ve směru nejrychlejšího nárůstu funkce plasticity sdružený zákon (pravidlo normality) ε p f σ σ
Sdružený zákon plastického přetváření složkový zápis:... px py pyz f f f,,,,,,,,,, x y z xy xz yz x x y z xy xz yz y yz sdružený zákon (pravidlo normality) p f σ ε x, y, z, xy, xz, yz σ
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: f σ J σ sdružený zákon (pravidlo normality) f σ 1 J σ p f σ ε x J σ x σ J 1 6 x y x z y z xy xz yz J σ x 1 1 6 x y x z 3 x y z x f σ 1 J σ 1 s x px s x x J σ x s
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: px py pz sx s y sz pxy pxz pyz xy xz yz sdružený zákon (pravidlo normality) ε p f σ σ
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: s s,, x y z px py pz : : s : s : s px py pz x y z sx sy sz p V p x p y p z plastické přetváření vede pouze ke změně tvaru, nikoli ke změně objemu s
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: jednoosý tah nebo tlak, s s x y z 1 1 m 3 x y z 3 x x m 3 1 y y m 3 z : : s : s : s : 1 : 1 px py pz x y z s x x
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: dvojosý tah nebo tlak, s x y z s 1 m 3 x y z 3 1 x x m 3 y z z m 3 : : s : s : s 1:1: px py pz x y z s x y x
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: smyk v rovině xy x y z s s s x y z, xy xz yz px py pz pxz pyz pxy sgn
Sdružený zákon plastického přetváření příklad sdružený zákon pro Misesovu podmínku: 3 p jednoosý tlak dvojosý tah p 1 p p smyk p jednoosý tah dvojosý tlak
Nesdružený zákon plastického přetváření sdružený zákon odvozený z funkce plasticity f ε p f σ σ nesdružený zákon odvozený z jiné funkce g zvané plastický potenciál ε p g σ σ σ f ε p ε p σ f σ σ
Nesdružený zákon plastického přetváření J ε p nesdružený zákon odvozený z jiné funkce g zvané plastický potenciál ε p g σ σ příklad Druckerův-Pragerův model s nesdruženým zákonem funkce plasticity I 1 součinitel vnitřního tření f σ 3 σ J σ m plastický potenciál g σ 3 σ J σ m součinitel dilatace