B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy (neustále se do ní vrací) periodický kmitavý pohyb: těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou (např. těleso zavěšené na pružině, struna kytarová, kyvadlo hodin, písty motoru, srdce, bungee jumping, ) b) mechanický oscilátor zařízení, které může volně kmitat bez vnějšího působení např. těleso zavěšené těleso zavěšené kulička na pružině na pevném vlákně v prohlubni příčinou kmitání: síla pružnosti pružiny, pohybová složka tíhové síly trajektorie: přímočará i křivočará c) časový diagram závislost okamžité výchylky kmitajícího tělesa na čase těleso ve stejných časových intervalech urazí různé dráhy kmitavý pohyb je pohyb nerovnoměrný d) kmit periodicky se opakující část kmitavého pohybu Rozlišuj! kmit kyv (tam a zpět) (tam) doba kmitu (perioda) T: doba, za kterou proběhne 1 kmit, tj. doba, za kterou se opakuje pohybový stav oscilátoru frekvence (kmitočet) f: počet kmitů za časovou jednotku (převrácená hodnota periody a naopak) f = 1 T T = 1 f [f] = 1 s = s 1 = Hz (hertz) [T] = s v praxi: khz, GHz

f) příklady 1 Určete periodu a frekvenci pružinového oscilátoru, jehož časový diagram je na obr. [2 s; 0,5 Hz] z obr. T = 2 s f = 1 T = 1 2 s 1 = 0,5 Hz 2 Mechanický oscilátor vykonal za minutu 300 kmitů. Určete periodu a frekvenci kmitání. [0,2 s; 5 Hz] 1 za 1 min 300 kmitů f = 300 min = 300 1 60 s = 5 1 s = 5 Hz f =? Hz T = 1 T =? s f = 1 5 s = 0,2 s 3 Nejvyšší tóny, které lze vnímat sluchem, mají frekvenci 16 khz. Určete periodu tohoto kmitání. [62,5 10 6 s] T = 1 f = 16 khz = 16 10 3 Hz f = 1 16 10 3 s = 62,5 10 6 s T =? s 4 Změřte počet tepů svého srdce za minutu a určete periodu a frekvenci srdeční činnosti. 5 Periodické děje (nejen mechanické) Periodický děj http://imagem.casadasciencias.org/online/37751085/37751085.php Perioda T (s) Frekvence f (Hz) kmitání lidského srdce 0,8 1,25 střídavý proud v elektrické síti 0,02 50 zvuk tónu a 1 (tzv. komorní a) 2,27 10 3 440 tón časového signálu v rozhlase 10 3 10 3 kmitání křemenného krystalu v hodinkách (přibližná hodnota) 3 10 5 3,3 10 4 kmitání procesoru počítače (příklad) 2,5 10 9 4 10 8 frekvenční pásmo mobilních telefonů 1,1 10 9 9 10 8 signál družicové televize (řádově) 10 11 10 11

8.2 Kinematika harmonického kmitavého pohybu a) harmonický kmitavý pohyb (harmonické kmitání) kmitavý pohyb, jehož časový diagram má sinusový průběh (případně kosinusový) pohyb periodický, nerovnoměrný, okamžitá výchylka se mění podle funkce sinus základní kinematické veličiny: okamžitá výchylka, rychlost, zrychlení [kinematika popisuje pohyb, aniž zkoumá příčiny] b) graf závislosti okamžité výchylky na čase uvaž. např. pružinový oscilátor (volně kmitající těleso zavěšené na pružině) t 0 = 0 s při pohybu oscilátoru rovnovážnou polohou směrem vzhůru okamžitá výchylka y: okamžitá poloha těžiště tělesa (určena souřadnicí y vzhledem k rovnovážné poloze) amplituda výchylky y m : absolutní hodnota největší (maximální) výchylky (vzhledem k rovnov. poloze) c) při odvozování vztahů využíváme srovnání s rovnoměrným pohybem po kružnici (kmitavému pohybu odpovídá průmět rovnoměrného pohybu po kružnici do svislé roviny) d) vztah pro okamžitou výchylku (základní rovnice harmonického kmitání) y = y m sin φ = y m sin ωt v počát. čase t 0 = 0 s bod M v bodě X v čase t bod M svírá s osou x úhel φ a pohybuje se úhlovou rychlostí ω průmět M bodu M do osy y odpovídá okamžité výchylce y oscilátoru v bodě M z obr. sin φ = y y = r sin φ r protože y m = r y = y m sin φ dále φ = ωt y = y m sin ωt (s = vt) φ fáze určuje jednoznačně výchylku oscilátoru v čase t (více samostatný článek viz dále) φ = ωt ω úhlová frekvence (u kmitání takto nazýváme úhlovou rychlost z rovn. poh. po kružnici) ω = 2π T = 2πf [ω] = 1 s = s 1 [= rad ] jako pro frekvenci s

e) příklady (více praktické cvičení) 1 Rovnice harmonického kmitání má tvar {y} = 5,0 10 3 sin 4π{t}. Určete a) amplitudu výchylky, b) jeho frekvenci. [5,0 10 3 m, 2 s 1 ] 2 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou 1,5 cm a s periodou 0,2 s. Napište rovnici harmonického kmitání. Dále určete výchylku v čase 1 s. [{y} = 1,5 10 2 sin 10π{t}, y = 0 m prochází rovnovážnou polohou] 3 Nejtenčí struna kytary vydává tón e 1 o frekvenci asi 330 Hz. Napište rovnici harmonického kmitání bodu uprostřed struny, jestliže jsme střed struny vychýlili o 2 mm. Za počáteční okamžik volte průchod bodu rovnovážnou polohou. Předpokládejte, že struna kmitá delší dobu se stálou amplitudou. [{y} = 2 10 3 sin 660π{t}] 4 Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice y = 0,05 sin 0,5π{t} m. Za jakou nejkratší dobu se přemístí z rovnovážné polohy do vzdálenosti a) rovné amplitudě [1 s] b) rovné polovině amplitudy [ 1 3 s]

5 Napište rovnici kmitavého pohybu, jehož graf závislosti okamžité výchylky na čase je na obr. a určete okamžitou výchylku v čase t 1 = 0,5 s. [{y} = 2 sin π {t}, y = 2 m 1,4 m] 2 6 Za jak dlouho od počátku pohybu je výchylka z rovnovážné polohy rovna polovině amplitudy, jestliže těleso koná harmonické kmity s dobou periody kmitu T = 6 s. [0,5 s] 7 Harmonický kmitavý pohyb je určen rovnicí y = 7 10 2 sin 0,5π{t} m. Určete nejkratší dobu pohybu z rovnovážné polohy do polohy krajní. [1 s] 8 Určete dobu od počátečního okamžiku, za kterou hmotný bod dosáhne výchylky y = 5 mm, pokud kmitá podle rovnice {y} = 5,0 10 3 sin 4π{t}. [0,375 s]

8.3 Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu a) vztah pro rychlost v využijeme opět souvislostí s rovnoměrným pohybem po kružnici rychlost v odpovídá průmětu vektoru v 0 do osy y (v 0 rychlost rovnoměr. pohybu po kružnici, má směr tečny ke kružnici v daném bodě, v 0 = ωr) cos φ = v v 0 v = v 0 cos φ a protože φ = ωt v = v 0 cos ωt a protože v 0 = ωr v = ωr cos ωt a protože r = y m v = ωy m cos ωt v = ωy m cos ωt velikost okamžité rychlosti se mění periodicky podle funkce kosinus největší, tzv. amplituda rychlosti v m : při průchodu rovnovážnou polohou v m = ωy m v = ω y m cos ωt v m = ω y m =1 ωt = 0 nejmenší, nulová: při průchodu krajními polohami, tj. pro maximální výchylku y = y m v = 0 y = ± y m v = ωy m cos ωt = 0 =0 cos 90 nebo cos 270 b) vztah pro zrychlení a zrychlení a odpovídá průmětu vektoru a 0 do osy y (a 0 zrychlení rovnom. pohybu po kružnici, směřuje do středu kružnice, a 0 = ω 2 r) má opačný směr než výchylka sin φ = a a 0 a = a 0 sin φ φ = ωt a = a 0 sin ωt a protože a 0 = ω 2 r a = ω 2 r sin ωt a protože r = y m a = ω 2 y m sin ωt a = ω 2 y y = y m sin ωt a = ω 2 y m sin ωt a = ω 2 y zrychlení je přímo úměrné výchylce y a v každém okamžiku má opačný směr než výchylka velikost zrychlení se mění [! u rovnom. pohybu po kružnici a = konst.!] největší: při amplitudě výchylky a = ω 2 y m sin ωt = ω 2 y m a m = ω 2 y m sin ωt = sin φ = 1 φ = 90 270 nejmenší, nulové: při průchodu rovnovážnou polohou a = ω 2 y m sin ωt = ω 2 y m a = 0 sin ωt = 0 sin φ = 0 φ = 0 při pohybu z rovnovážné polohy: pohyb zpomalený do rovnovážné polohy: pohyb zrychlený

c) časové diagramy kinematických veličin kmitavého pohybu d) ROZŠIŘUJÍCÍ UČIVO (IV. ROČ. M) diferenciální počet vztahy pro derivování (pouze ty, které budeme potřebovat) dy y = sin x dx y = (sin x) dy = cos x y = cos x dx y = (cos x) = sin x složené funkce y = sin 2x dy dx = y = (sin 2x) = 2 cos 2x y = cos 3x dy dx = y = (cos 3x) = 3 cos 3x mocninné y = cx n dy dx = y = ( cx n ) = c n x n 1 = c n x n 1 y = 3x 2 dy dx = y = ( 3x 2 ) = 3 2 x 2 1 = 6x y = 2x dy dx = y = ( 2x) = 2 x 1 1 = 2x 0 = 2 A nyní můžeme derivovat okamžitá výchylka y = y m sin ωt okamžitá rychlost: derivace dráhy podle času v = dy dt = y m ω cos ωt okamžité zrychlení: derivace rychlosti podle času, a = dv dt = d2 y dt 2 = ω2 y m sin ωt tj. druhá derivace dráhy podle času

e) příklady 1 Napište rovnici pro výchylku, rychlost a zrychlení harmonického kmitání (viz obr.) pro případ, že v počátečním okamžiku je y = 0. 2 Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice y = 5 10 3 sin 4π{t} m. Určete amplitudu rychlosti a zrychlení hmotného bodu. [v m = 20 10 3 π m s 1, a m = 80 10 3 π m s 2 ] 3 Harmonický kmit je určen tabulkou. a) Napište rovnici výchylky a nakreslete časový diagram. b) Vypočítejte hodnoty rychlosti a zrychlení v prvních čtyřech zadaných časech. t/s 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 y/m 1,4 2,0 1,4 0,0-1,4-2,0-1,4 0,0

8.4 Fáze kmitavého pohybu a) fáze kmitavého pohybu okamžitá φ: určuje hodnotu okamžité veličiny (y, v, a) harmonického kmitání v čase t φ = ωt [y = y m sin φ = y m sin ωt ω = 2πf = 2π T ] počáteční φ 0 : určuje hodnotu okamžité veličiny harmonického kmitání v počátečním čase t = 0 s φ 0 = ωt 0 [φ 0 ] = [φ] = rad t 0 doba, která by uplynula od průchodu rovnovážnou polohou do začátku měření času, tj. do polohy s počáteční fází φ 0 je-li kmitající těleso v t = 0 s 1. v rovnovážné poloze 2. v jiné poloze (φ 0 může nabývat kladných i záporných hodnot) y = y m sin φ = y m sin ω(t + t 0 ) = y m sin (ωt + ωt 0 ) = y m sin (ωt + φ 0 ) φ y = y m sin φ = y m sin(ωt + φ 0 ) [obdobně pro v, a stejná počáteční fáze] b) fázový rozdíl φ: slouží k posouzení vzájemných vztahů dvou harmonických veličin (jednoho nebo dvou harmonických pohybů) φ = φ 2 φ 1 pro 2 harmonické veličiny stejných frekvencí (f 1 = f 2 = f ω 1 = ω 2 = ω) je fázový rozdíl φ = φ 02 φ 01 [ φ = φ 2 φ 1 = (ωt + φ 02 ) (ωt + φ 01 ) = φ 02 φ 01 ] veličiny mají (zvl. případy) stejnou fázi φ = 2kπ opačnou fázi φ = (2k+1)π (k Z) sudé násobky π (k Z) liché násobky π

c) fázorový diagram graf znázorňující veličiny kmitavého pohybu pomocí tzv. fázoru (ve významu vektoru) na základě souvislostí kmitavého pohybu s rovnoměrným pohybem po kružnici d) příklady 1 Určete počáteční fázi, jestliže v čase t = 0 s je y = 1 2 y m. [ 5π 6 ] poloha fázoru určena počáteční fází φ 0 veličiny průmět fázoru do svislé osy určuje okamžitou hodnotu veličiny harmonického pohybu (např. y) velikost fázoru odpovídá amplitudě veličiny (např. y m ) 2 Určete fázový rozdíl a) dvou harmonických kmitavých pohybů y 1 = y m sin (ωt + π 6 ) y 2 = y m sin (ωt π 6 ) b) dvou harmonických veličin jednoho kmitavého pohybu y = y m sin ωt y = y m sin ωt v = ωy m cos ωt a = ω 2 y m sin ωt 3 Oscilátor byl v rovnovážné poloze v čase t = T. Určete počáteční fázi kmitání a napište rovnici pro 8 výchylku oscilátoru. [ π 4, y = y m sin (ωt π 4 ), příp. 3π 4, y = y m sin (ωt + 3π 4 ) ]

4 Hmotný bod kmitá harmonicky a za 1 min vykoná 240 kmitů s amplitudou výchylky 5 mm. Počáteční fáze kmitání je 45. Napište rovnici harmonického kmitání. Určete nejmenší dobu t 0 před počátkem měření, v němž byla fáze kmitání nulová. [y = 5 10 3 sin (8π{t} + π ) m, 0,031 s] 4 5 Dva mechanické oscilátory kmitají harmonicky se stejnou frekvencí tak, že v počátečním okamžiku mají výchylku y m, ale pohybují se opačným směrem. Určete počáteční fázi a fázový rozdíl kmitání 2 oscilátorů. [ π 2 ] 6 Harmonické kmitání hmotného bodu je popsáno rovnicí {y} = 0,1 sin (π{t} + π 6 ). Určete a) amplitudu, periodu a počáteční fázi, [ 0,1 m; 2 s; π 6 ] b) dobu od počátku kmitání, za kterou výchylka dosáhne hodnoty amplitudy. [ 1 3 s]

7 Harmonické kmitání hmotného bodu je popsáno rovnicí {y} = 0,05 sin ( π 2 {t} + π 4 ). Určete a) amplitudu, periodu a počáteční fázi, [0,05 m; 4 s; π 4 ] b) výchylku při t 1 = 0 s, t 2 = 1,5 s. [3,5 cm; 0 m] 8 Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 10 cm, s periodou 2 s a s počáteční fází 60. Napište rovnici jeho kmitání a nakreslete časový diagram kmitání. [y = 0,1 sin (π{t} + π 3 ) m] [Návod: kružnici o r např. 1,5 cm ( y m = 0,1 m ~ 1,5 cm) rozdělit na 12 dílků (úhly po π 3, tj. 30 ; osa t: např. 1 s ~ 3 cm, 2 s ~ 6 cm, 4 s ~ 12 cm; periodu T = 2 s rozdělit na 12 dílků, tj. po 0,5 cm]

8.5 Složené kmitání a) složené kmitání vzniká, pokud těleso koná několik kmitajících pohybů současně průběh závisí na směru složek kmitů, jejich počtu, amplitudách, počátečních fázích a frekvencích průběh může být značně složitý [např. bod S koná kmitavý pohyb složený kmitáním oscilátoru 1 a 2] b) princip superpozice koná-li hmotný bod několik harmonických pohybů téhož směru s výchylkami y 1, y 2,, y k, pak okamžitá výchylka složeného kmitání je y = y 1 + y 2 + + y k (výchylky mohou mít v určitém okamžiku kladnou i zápornou hodnotu, proto se při superpozici sčítají a odečítají) graficky: sčítáme, popř. odečteme délky úseček odpovídajících výchylkám v daném čase s přihlédnutím ke znaménku výchylky c) skládání harmonických kmitů v jedné přímce 1. izochronních mají stejnou (úhlovou) frekvenci složek (řecky isos = stejný, chronos = čas) výsledné složené kmitání: harmonické, stejné frekvence, ale jiná amplituda výchylky (závisí na fázovém rozdílu složek)

zvláštní případy α) obě složky mají stejnou počáteční β) obě složky mají opačnou počáteční fázi φ = 2kπ amplituda fázi φ = (2k + 1)π amplituda y m = y m1 + y m2 y m = y m1 y m2 počáteční fáze φ 0 jako u složek počáteční fáze φ 0 jako u složky s větší amplitudou 2. neizochronních mají různé (úhlové) frekvence složek výsledné složené kmitání: neharmonické zvláštní případy α) frekvence složek jsou v poměru celých čísel výsledné kmitání je periodické β) frekvence složek se od sebe liší jen velmi málo (blízké frekvence) amplituda výsledného kmitání se periodicky zvětšuje a zmenšuje výsledné složené kmitání nazýváme rázy amplituda rázů se mění s frekvencí f = f 1 f 2 (při frekvenci f 1 = f 2 rázy zaniknou užití v praxi při měření frekvencí) např. u 2 ladiček, z nichž jedna kmitá s nepatrně odlišnou f sluchem vnímáme periodické zesilování a zeslabování zvuku tzv. zázněje (pokud dosáhneme stejné frekvence zázněje zaniknou a obě ladičky mají stejnou frekvenci)