2.4. Výpočty vedení obecně Při výpočtech silových vedení elektřiny neuvažujeme vždy všechny parametry vedení. Výpočty se dají zjednodušit tím, že se některé parametry v daném případě se zanedbatelným vlivem neuvažují. Vliv činného odporu (rezistance) musíme uvažovat vždy. Induktivní reaktanci uvažujeme v případě střídavých venkovních vedení vysokého a velmi vysokého napětí. U vedení nízkého napětí a kabelů jsou vodiče tak blízko u sebe, že je indukčnost zanedbatelná. Pouze u delších vedení nn, kterými Motto: Z projevu Ing. Maliny, zástupce Elektrických podniků: "Vážení přátelé, milí hosté! S elektřinou je to prosté: od pantáty vedou dráty do žárovky nade vraty. Dále proud se rozlévá, do stodoly, do chléva..." procházejí velké proudy je nutno s indukčností počítat, protože se v magnetickém poli okolo vodiče nashromáždí příliš velké množství elektromagnetické energie úměrné čtverci proudu (W = 0,5 LI 2 ) Vliv kapacitní admitance uvažujeme jednak u kabelových vedení vn, jednak u vedení vvn, neboť 2 množství elektrostatické energie je úměrné čtverci napětí (W = 0,5 CU ). Svod uvažujeme pouze v přesných výpočtech vedení vvn. Vedení lze z hlediska zanedbávání parametrů při výpočtech rozlišit především podle napětí a délky: 1/ stejnosměrná vedení nízkého napětí - počítáme pouze s činným odporem, 2/ krátká střídavá vedení nízkého napětí - opět pouze činný odpor, 3/ dlouhá venkovní střídavá vedení nízkého napětí - činný odpor a induktivní reaktance, 4/ krátká vedení vysokého napětí - činný odpor a induktivní reaktance, 5/ dlouhá kabelová vedení vysokého napětí - uvažujeme činný odpor, induktivní reaktanci a kapacitní admitanci, 6/ krátká vedení velmi vysokého napětí - činný odpor, induktivní reaktanci a kapacitní admitanci, 7/ dlouhá vedení velmi vysokého napětí u přesných výpočtů - uvažujeme kromě všech tří předchozích parametrů i svod a koronu, 8/ stejnosměrná vedení zvláště vysokého napětí - uvažujeme činný odpor a svod (tato vedení se však na území ČR nepoužívají). 2.5. Stejnosměrná vedení 2.5.1. Základní pravidla Z parametrů uvedených v předchozím textu zde přichází v úvahu pouze činný odpor vedení. Při výpočtech stejnosměrných vedení používáme jednak Ohmův zákon v integrálním tvaru: kde U je napětí [V] I proud [A] R činný odpor [Ω] a jednak Kirchhoffovy zákony. První Kirchhoffův zákon vyjadřuje proudové vztahy v obvodu a vztahuje se na uzly do kterých vede n vedení. Při ustáleném stavu se nemůže proud v uzlu hromadit ani vznikat, a proto platí: 33 (44)
(45) tj. v uzlu je algebraický součet proudů roven 0, neboť součet proudů přitékajících se rovná součtu proudů vytékajících. Druhý Kirchhoffův zákon vyjadřuje napěťové vztahy v uzavřeném obvodu a je vlastně obecnějším tvarem Ohmova zákona pro uzavřenou smyčku vedení. Sečteme-li napětí zdrojů (elektromotorické síly) v obvodu, musí se rovnat součtu úbytků napětí na odporech v daném obvodu neboť jimi prochází proud vyvolaný elektromotorickými silami zdrojů: (46) Obr. 18 - Seriové řazení odporů neboli součet napětí v uzavřené smyčce se rovná nule. U seriového řazení odporů protéká všemi odpory v obvodu stejný proud. Na jednotlivých odporech vzniknou úbytky napětí přímo úměrné velikosti odporu a proudu, který jím protéká. Celkové napětí je pak součtem jednotlivých úbytků a tento obvod se dá nahradit jediným odporem rovnajícím se součtu jednotlivých odporů: (47) tedy (48) kde R v je v ý s l e d n ý o d p o r obvodu [Ω] Při paralelním spojení odporů je na svorkách každého odporu stejné napětí U. Jednotlivými odpory protékají obecně různé proudy, které jsou nepřímo úměrné velikosti odporu. Obr. 19 - Paralelní zapojení odporů 34
(49) (50) Celkový proud přitékající do uzlu musí být podle 1.Kirchhoffova zákona roven součtu proudů z uzlu odtékajících, tedy (51) nebo jinak (52) výsledný odpor je tedy: (53) a výsledná vodivost: (54) Výsledná vodivost paralelně spojených vodičů se tedy rovná součtu vodivostí těchto vodičů. 35
2.5.2. Jednoduché vedení napájené z jedné strany Pro jednoduché vedení s jedním odběrem na konci platí, že (55) kde U 1 je napětí na začátku vedení [V] U 2 napětí na konci vedení (u spotřebiče) [V] U úbytek napětí ve vedení [V] R odpor vedení [Ω] I proud tekoucí vedením [A] Odpor vedení lze vypočítat na základě znalosti materiálu, průřezu a délky vedení podle vzorce (1). U stejnosměrných vedení nesmíme zapomenout, že vedení je dvoudrátové, čili musíme takto vypočtený odpor vynásobit dvěma. Obr. 20 - Vedení s jedním odběrem na konci Pokud je na vedení n odběrů, je třeba počítat s proudovým momentem, který vynásobíme měrným odporem vedení a vydělíme průřezem vedení, jenž je po celé délce konstantní (viz Obr. 21): (56) kde U je maximální úbytek napětí (na konci vedení u posledního odběru) [V] 2 ρ měrný odpor vodiče [Ωmm /m] s průřez vodiče [mm 2 ] l i délka i-tého úseku vedení (mezi odběry) [m] I j j-tý odběr [A] Ztráty výkonu Joulovým teplem se vypočítají analogicky, pouze úsekové proudy se umocní na druhou: (57) Pokud chceme zvolit průřez pouze na základě zadaného dovoleného úbytku napětí počítáme podle upraveného vzorce (56): (58) 36
Vybereme průřez z normalizované 6/ řady průřezů, a to nejbližší vyšší od vypočteného, abychom zaručili, že úbytek napětí nepřekročí dovolenou mez U. dov Obr. 21 - Stejnosměrné vedení s n odběry napájené z jedné strany Jednoduché vedení zatížené rovnoměrně, tj. stejným odběrem proudu na jednotku délky (viz Obr. 22), lze řešit pomocí integrace diferenciálu úbytku napětí po délce vedení. Příkladem rovnoměrně zatíženého vedení může být např. zemnicí vodič, nebo vedení s mnoha malými odběry rozmístěnými ve stejných vzdálenostech od sebe po délce vedení, příkladem je pouliční osvětlení apod. Obr. 22 - Rovnoměrně zatížené vedení Jestliže proud ubývá ve vedení o délce l rovnoměrně z hodnoty I 1 na začátku vedení na I 2 na jeho konci, platí, že úbytek napětí v libovolném elementu vedení o délce dx ve vzdálenosti x od začátku vedení bude dán vztahem: (59) kde I x je proud ve vedení ve vzdálenosti x od počátku [A] Jeho velikost lze vyjádřit podle podobnosti trojúhelníků: (60) a z toho pak Obr. 23 - Velikost proudu ve vedení v závislosti na jeho délce po dosazení do (59) za I x obdržíme (61) (62) 6/ 2 Normalizovaná řada průřezů vypadá následovně (v mm ): 0,5; 0,75; 1; 1,5; 2,5; 4; 6; 10; 16; 25; 35; 50; 70; 95; 120; 150; 185; 240; 320; 440; 630 37
a celkový úbytek je (63) Ztráty výkonu v témže elementu vedení budou (64) a po dosazení za I x budou ztráty v celém vedení (65) Pokud bude I 2 = 0 platí, že U = 1/2 RI 1 a P z = 1/3 RI 12, což znamená, že úbytek napětí je poloviční a ztráty výkonu jsou třetinové, než by byly, kdyby proud vtékající do vedení i ve stejné velikosti na konci vedení vytékal. 2.5.3. Jednoduché vedení napájené ze dvou stran Obr. 24 - Stejnosměrné vedení napájené ze dvou stran U = U Ak Bk a po dosazení momentové věty: Zatímco u vedení napájeného z jedné strany bylo možné snadno určit proudy v jednotlivých úsecích, u vedení napájeného ze dvou stran je třeba nejdříve stanovit rozdělení proudů do jednotlivých úseků vedení. K tomu postačí stanovit velikost jednoho z napájecích proudů I A nebo I B. Vyjděme z předpokladu, že v odběrovém uzlu k je nejnižší napětí, tzn. že se tam proudy zprava i zleva stékají. Jsou-li obě napájecí napětí stejná, musí být i úbytky napětí od obou napájecích bodů k uzlu k stejná. Platí tedy 38
(66) přičemž proudy i i jsou proudy v jednotlivých úsecích vedení. To znamená, že proud i 1 je se rovná napájecímu proudu zleva, tj. I a proud i je roven napájecímu proudu zprava tedy I. Úpravou rovnice (66) lze získat následující formuli pro výpočet I : A n+1 B B (67) a také pro I A: (68) Obr. 25 - Proudové rozdělení v ss vedení napájené ze dvou stran Lze tedy říci, že napájecí proud z jedné strany je možné vypočítat jako proudový moment z druhé strany, lomeno celkovou délkou vedení. Počítat lze pouze s délkou úseků vedení místo s odpory úseků vedení z toho důvodu, že předpokládáme konstantní průřez a stejný materiál vedení ve všech úsecích. Pokud známe napájecí proudy z obou stran, můžeme určit postupným odečítáním proudy v jednotlivých úsecích vedení a zjistit tak místo největšího úbytku napětí. Je to u k-tého odběru, tedy tam, kde se proudy zprava a zleva stékají do tohoto odběru. Velikost úbytku napětí v tomto bodě pak stanovíme jako u vedení napájeného z jedné strany (vedeme tudy virtuální řez vedením). Je-li napětí napájecích bodů různé, poteče navíc vedením ve směru od vyššího k nižšímu napětí vyrovnávací proud. Tento proud lze stanovit jako podíl rozdílu napětí mezi napájecími body a celkovým odporem vedení je třeba ho přičíst (resp. odečíst) k jednotlivým úsekovým proudům. Tím se může stát, že se místo největšího úbytku napětí posune o jeden či více odběrů k napájecímu bodu s nižším napětím. [A] (69) Na závěr odstavce shrneme postup výpočtu úbytku napětí na vedení napájeném ze dvou stran různým napětím: 1/ výpočet napájecích proudů jako u vedení se stejným (nižším) napětím 2/ stanovení proudového rozdělení 3/ výpočet vyrovnávacího proudu 4/ úprava proudového rozdělení v jednotlivých úsecích připočtením vyrovnávacího proudu 5/ zjištění místa nejvyššího úbytku napětí Obr. 26 - Vedení napájené ze dvou stran různým napětím 6/ jeho stanovení pomocí "virtuálního rozříznutí" vedení na dvě části. Pro výpočet si kvůli zjednodušení vybereme tu část, která má méně odběrů. Kontrola správného výsledku může být provedena výpočtem z druhé strany. Úbytky napětí z obou stran se totiž musí rovnat. 39
2.5.4. Paprskově rozvětvené sítě napájené z jednoho bodu 2.5.4.1. Redukce zátěže Při výpočtech složitějších sítí dosáhneme značného zjednodušení výpočtu pomocí tzv. "redukce zátěže", tzn. přemístěním odběrů do vybraných uzlů sítě. Musíme to ovšem provést tak, aby v jiných místech vedení zůstaly proudové a napěťové poměry nezměněné. Obr. 27 - Rozptýlené odběry Obr. 28 - Přenesené (redukované) zátěže do krajních bodů Jako příklad řešme vedení zatížené v každé větvi vícenásobným odběrem viz Obr. 27. Odběry rozptýlené po větvích hvězdy lze přenést do krajních uzlů sítě. Využijeme pro to vzorec určený k výpočtu napájecích proudů u vedení napájeného z obou stran viz (67). Znamená to vlastně, že každý z odběrů bude rozdělen na dvě části, část se umístí do jednoho krajního uzlu větve a druhá část do druhého krajního uzlu. Při pohledu zvenčí zůstanou napěťové a proudové poměry sítě zachovány. Odběry rozptýlené po větvích tedy budou nahrazeny proudy I` A v uzlu A, I` B v uzlu B a I` C v uzlu C. Ve středním uzlu hvězdy O se protějšky náhradních zátěží sečtou I = I`` A + I`` B + + I`` viz Obr. 28. C Je-li napájecí napětí u krajních bodů stejné, můžeme dva z nich sloučit (např. B a C) a vypočítat náhradní odpor R BC (délku l BC) větví OA a OC jako paralelní kombinaci odporů. Tím obdržíme vedení napájené ze dvou stran a už můžeme způsobem uvedeným v předchozí kapitole vypočítat napájecí proud I A v bodě A vedení. Po té můžeme stanovit rozdělení proudů v síti, stanovit bod největšího úbytku napětí a vypočítat jej. Jsou-li napětí krajních napájecích bodů různá, je třeba opět stanovit vyrovnávací proudy pomocí podílu rozdílu napětí krajního a středního bodu děleného odporem větve. (70) Dosadíme-li do rovnice (73) z předchozích tří, obdržíme: 40
(74) Z toho lze vypočítat neznámé napětí ve středu hvězdy U o (75) Nyní už lze vypočítat I 1, I 2, I3 i napájecí proudy I A = I` A + I 1 I B = I` B + I 2 I C = I` C + I 3 a pak určit rozdělení proudů ve vedení a úbytky napětí. Obr. 29 - Hvězda napájená různým napětím 2.5.4.2. Odlehčení uzlu Odlehčením uzlu se také zjednoduší výpočet sítě. Odlehčením uzlu rozumíme přenesení uzlové zátěže do jiných bodů (např. napájecích) tak, že se jejich napětí nezmění. Kdybychom chtěli v našem příkladu ještě odlehčit O přeložením proudu I do napájecích bodů A, B a C: kde R je výsledný odpor vedení. Tyto proudy se připojují k náhradním proudům I` A, I` B a I` C a k vyrovnávacím proudům I 1, I 2 a I 3, vypočteným za předpokladu, že uzel O je bez zátěže. Proudy vtékající v napájecích bodech (napájecí proudy) se pak rovnají součtu příslušných počátečních náhradních proudů, přeložených zátěžných proudů a vyrovnávacích proudů. Např. I A = I` A + I Ao + I 1o. 41
2.5.4.3. Metoda průběžně stálého průřezu Obr. 30 - Rozvětvené vedení napájené z jedné strany Při řešení rozvětveného vedení napájeného z jedné strany, v prvním kroku přeneseme zátěže do krajních uzlů větví. Při návrhu průřezu jednotlivých větví musíme dodržet podmínku, že úbytek napětí na koncích větví nesmí nikde převýšit dovolený úbytek. Lze postupovat např. pomocí metody průběžně stálého průřezu, jejíž princip spočívá v tom, že při každém větvení se součet průřezů před rozvětvením rovná součtu průřezu vodičů po rozvětvení. Platí, že: (77) (78) kde I o je proud v kmenovém vedení [A] s o průřez kmenového vedení [mm 2 ] lo délka kmenového vedení [m] σo proudová hustota kmenového vedení [m] Hustota proudu je konstantní. Celkový úbytek napětí se skládá z úbytku napětí na kmenovém vedení a úbytku napětí na odbočkách resp. na náhradní délce vedení λ, která vyjde jako délka sloučených větví do jednoho vedení. Výpočet probíhá tak, že postupně zjednodušujeme vedení slučováním větví do vedení o náhradní délce λ až nakonec dostáváme jednoduché vedení skládající se z počátečního kmenového vedení a úseku o náhradní délce λ. Toto vedení je zatíženo na konci celkovým proudem tekoucím z napájecího bodu na začátku vedení, jenž je roven součtu všech odběrů. Náhradní délku vedení vzniklého sloučením odboček vycházejících z jednoho uzlu vypočteme podle vzorce Obr. 31 - Sloučení větví do náhradní délky λ [m] (79) Nyní lze stanovit průřez kmenového vedení o délce l o tak že vypočteme průřez pro celé vedení o délce l + λ, přičemž nesmí být překročen dovolený úbytek napětí na konci tohoto vedení: o 42
2 [mm ] (80) Pro průřez kmenového vedení vybereme z řady normalizovaných průřezů nejbližší vyšší a vypočteme skutečný úbytek napětí na kmenovém vedení: [V] (81) kde s on je zvolený průřez kmenového vedení (vybraný z normalizované řady) [mm 2 ] Průřez kmenového vedení se bude v bodě A "větvit" do menších průřezů jednotlivých větví z tohoto uzlu vycházejících. Velikost průřezů jednotlivých větví bude záležet na "zbytku" z dovoleného úbytku napětí U dov - U o, který je pro větve dříve sloučené do náhradní délky λ ještě k dispozici. Průřezy větví vycházejících z A tedy můžeme vypočítat podle vzorce: 2 [mm ] (82) Volbu skutečných průřezů jednotlivých větví provedeme opět výběrem z normalizované řady průřezů tak, že vybereme nejbližší vyšší normalizovaný k vypočtenému průřezu. Tím je zaručeno, že skutečný úbytek napětí na koncích větví nepřekročí dovolenou mez. 43