DSM Cv 6 Zobrazení : X Y, X X Y Y Je dána relace, : Obraz množiny X v relaci, ( X ) = { y Y; x X :[ x, y] }; v říadě, že X = { a}, íšeme ( a) (obraz rvku a), Vzor množiny Y v relaci, ; v říadě, že ( Y ) = { x X; y Y :[ x, y] } Y = { }, íšeme ( b) (vzor rvku b) b Relaci : X Y nazveme zobrazení z množiny X do množiny Y, rávě když obrazem každého rvku x X je rávě jeden rvek y Y ( x X : ( x) = ). Důsledky deinice: Z každého rvku množiny X smí vycházet jen jedna šika, V každém řádku matice sousednosti zobrazení je rávě jedna jednička, Počet všech zobrazení z množiny X do množiny Y je (okud Příklady: X =, Y = q, q ).. Jsou dány množiny X = {,2,3}, Y = { a, b}. a) Nakreslete všechna zobrazení z X do Y. b) Jaká je ravděodobnost že náhodně vybraná relace z X do Y je zobrazení. c) Jaká je ravděodobnost, že náhodně vybraná tříšiková relace z X do Y je zobrazení. Y X
2. Jsou dány množiny X = {,2,3,4}, Y = { a, b, c} a zobrazení 2 3 4 : X Y, kde b c b a {3,4} ( ( )). :. Určete 3. Množina A má 3 rvky a množina B 5 rvků. O kolik rocent se zmenší očet všech zobrazení z B do A, ubereme-li z B jeden rvek. 4. Pět řátel, Petr, Pavel, Jan, Jiří a Olda se odrobilo testu na salmonelózu. Kolik je možných výsledků testu? Kolik je možných výsledků testů, jestliže víme, že Petrův nález byl ozitivní? 5. Množina X má 3 rvky a množina Y má 2 rvky. O kolik rocent se zvýší očet všech zobrazení z X do Y, jestliže k X řidám rvek? 6. V testu z biologie jsou u každé otázky nabídnuty 3 odovědi: A, B, C. Je třeba zaškrtnout vždy jednu z nich. Kolik je zůsobů zaškrtnutí u testu, obsahujícího 6 otázek?
Konstanta: zobrazení oboru mají stejný obraz; ( ) k : X Y, kde všechny rvky deiničního k X =. Matice sousednosti konstanty má jeden slouec, tvořený samými jedničkami. Počet všech konstant z X do Y je roven Y. Injekce: zobrazení : X Y, kde je rosté zobrazení, tedy každé dva různé rvky z X mají dva různé obrazy. Platí ( X ) X =. Matice sousednosti injekce má v každém slouci nejvýše jednu jedničku. Pokud X > Y Y! do Y. Počet všech injekcí z X do Y je ( Y X )!, ak neexistuje injekce z X, okud X Y. Surjekce: zobrazení množiny X na množinu Y; každý rvek z Y má asoň jeden vzor z množiny X. Platí ( X ) Y =. Matice sousednosti surjekce má v každém slouci asoň jednu jedničku. Pokud, ak neexistuje surjekce z X do Y. Počet všech surjekcí z X X < Y do Y je ( X =, Y = q ): q q q q q q + q 2... + q q 2 ( ) ( ) ( ) Bijekce: zobrazení : X Y, které je zároveň injekcí a surjekcí (rosté zobrazení množiny X na množinu Y vzájemně jednoznačné zobrazení). Platí ( X ) = Y X = Y. Matice sousednosti bijekce má v každém řádku a každém slouci rávě jednu jedničku. Pokud, bijekce z X do Y neexistuje. Počet všech bijekcí X Y z X do Y je X!, okud X = Y.
7. Jsou dány množiny X, Y a jejich otenční množiny P ( X ), P( Y ). Platí X = 3, P( Y ) = 4 a) Počet všech zobrazení z X do Y, b) Počet všech injekcí z Y do P(X), c) Počet všech konstant z X do Y, d) Počet všech surjekcí z Y do P(X).. Určete: 8. Určete ravděodobnost, že náhodně vybraná 4-šiková relace z {, 2, 3, 4} do {a, b} je surjekce. 9. Parkoviště má místa s čísly až 8. Kolika zůsoby lze zaarkovat černé, bílé, modré a žluté auto, okud bílé auto nesmí stát na místě číslo? 0. 0 dětí hraje hru, ři jíž se rozdělí na 3 skuiny s tím, že v každé skuině musí být asoň jedno dítě. Kolika zůsoby to lze udělat?. Pět řátel Petr, Pavel, Jan, Jiří a Olda si kouilo 5 lístků do kina (vedle sebe). Kolika zůsoby si mohou sednout a o kolik rocent se tento očet zmenší, musí-li Olda sedět urostřed? 2. Relace u, v jsou dány maticemi sousednosti 0 0 0 A = u, A = v 0 0 0 0 či není injekce a zda v je či není surjekce.. Rozhodněte, zda u je 3. Jsou dány množiny A = {,2,3}, B = { a, b, c}, C = { x, z, y} a zobrazení : A B, g : A C, h : C C těmito ředisy:
= b 2 c 3 2 3 x y z, g =, = a x x z y x z h. U každé z daných rovnic určete všechny relace x, které ji slňují. a) x = g b) x h = c) h x = g d) x g = x h = g e) ) g x = g g) h x = g h) x g = g i) x = g g 4. Je dána množina P = {,2,3 } a zobrazení : P P, g : P P, kde 2 3 2 3 :, : 3 2 2 2 g. Určete relaci h, která je řešením rovnice a) h = g, b) h g h =, c) = g g a určete h(3). 5. Jsou dány množiny M, N a víme, že očet konstant z M do N je 3 a očet konstant z N do M je 4. Označíme-li a očet zobrazení z M do N, b očet surjekcí z N do M, c očet bijekcí z N do N. Usořádejte čísla a, b, c odle velikosti. 6. V čísle 3256 můžeme libovolně měnit ořadí cier. Určete, kolik sudých čísel tak dostaneme.