h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

Transkript

1 .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4.. Funkce je ohraničená shora, jestliže D h R : ( ) h. Funkce je ohraničená zdola, jestliže D d R : ( ) d. Funkce je ohraničená, jestliže je ohraničena shora i zdola, tj. D k R : ( ) k. Řešené úloh Příklad. Funkce h = 0, obr. 7. =, (,0) (0, ) je ohraničená shora, deinici vhovuje např. Řešené úloh Příklad. Funkce např. h = 0, obr. 7. =. (,0) (0, ) je ohraničená shora, deinice vhovuje 04

2 0 =- Obr. 7. Funkce = e, R, je ohraničená zdola, deinici vhovuje např. d = 0, obr. 8. = e 0 Obr. 8. Funkce = sin, (, ) je ohraničená, deinici vhovuje např. k =, obr. 9. = 0 =sin =- Obr. 9 05

3 Deinice.4.. Funkce se na intervalu I D nazývá rostoucí (klesající, neklesající, nerostoucí), jestliže ( ), I : < ( ) < ( ) ( ) > ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). Funkce splňující na I některou z výše uvedených vlastností se nazývají monotónní na intervalu I. Funkce rostoucí a klesající na I se nazývají rze monotónní na I. Řešené úloh Příklad Dokažte, že unkce = je rostoucí na R. Řešení: Dokážeme, že za předpokladu <,, R je <, tj. > 0. Platí: ( )( ) ( )( = + + = ) = 4 4 = ( ) ( + ) + 4 ). Podle předpokladu platí > 0, ( + ) > 0 a > 0. 4 Z toho vplývá > 0. Funkce = je rostoucí na R. Deinice.4.. Funkce se nazývá sudá (lichá), jestliže ( ) D : D ( ) = ( ) ( ) = ( ). 06

4 Poznámka Gra sudé (liché) unkce je souměrný podle os (podle počátku) soustav souřadnic. Deinice.4.4. Funkce se nazývá periodická s periodou p (0, ), jestliže D : ± p D ( ± p) = ( ). Řešené úloh Příklad. Periodické unkce jsou = sin, = cos s periodou p = π a unkce = tg, = cotg s periodou p = π.. Periodickou je také například unkce = ( ), Z, s periodou p =. Gra viz obr Obr. 0 07

5 Deinice.4.5. Funkce se nazývá prostá, jestliže, D : ( ) ( ). Věta.4.. Každá rze monotónní unkce je prostá. Důkaz (přímý): Pro, D, je nebo. < > Z předpokladu vět vplývá, že ( ) < ( ) nebo ( ) > ( ). V každém případě je ( ) ( ). Poznámka Pamatujte si, že unkce prostá nemusí být monotónní! Řešené úloh + pro (0,) Příklad Funkce ( ) = pro <,0 > je prostá, není však monotónní, viz obr Obr. 08

6 Úmluva: Význačné bod grau unkce, v nichž je unkce deinovaná, budeme označovat plnými kroužk, bod, v nichž není deinovaná, pak kroužk prázdnými. Deinice.4.6. Funkce g( ) ( ) ( ), resp. g( ) ( ). ( ), D D resp. součin unkcí,. nazývá podíl unkcí,. = + = se nazývá součet, Funkce ( ) g D D { D } ( ) =, ( \ : ( ) 0 ) ( ) = se Deinice.4.7. Mějme unkce g a h. Je-li u = g( ) Dh pro D g, můžeme k přiřadit hodnotu h( u) h( g( )). = = Říkáme, že unkce ( ) h( g( )), D { Dg : g( ) Dh} = = je unkce složená. Funkci h nazveme vnější složkou a unkci g vnitřní složkou skládání. Řešené úloh Příklad Funkci ( ), D, = =< > můžeme rozložit na složk g ( ) =, Dg = R a hu ( ) = u, Dh =< 0, ). Deinice.4.8. Nechť je ( ) prostá unkce na D a nechť H je její obor unkčních hodnot. Funkce ( ) deinovaná na H předpisem ( ) = = ( ) se nazývá inverzní unkce k unkci ( ). 09

7 Věta.4.. Pro každou prostou unkci a k ní inverzní unkci D : ( ( )) = a D : ( ( )) =. platí, že Důkaz plne přímo z deinice. Řešené úloh Příklad Platí ln e =, R a také ln e =, (0, ). Logaritmické a eponenciální unkce jsou inverzní. Věta.4.. Jestliže je unkce rostoucí (klesající), pak unkce je rostoucí (klesající). Důkaz (sporem): Provedeme pro unkci rostoucí. Předpokládejme, že, D : < ( ) ( ). Funkce je rostoucí a ted dostaneme, což je spor s předpokladem. ( ( ) ( ( ) ). Podle vět.4. je Řešené úloh Příklad K unkci ( ) =, R, H = R je inverzní unkcí unkce ( ),. = R Obě unkce jsou implicitně určen rovnicí = 0 a mají stejný 0

8 gra. Vměníme-li v rovnici = proměnné, dostáváme unkci =, R, jejíž gra je s graem unkce = smetrický podle přímk =. Poznámka Často se používá název inverzní unkce k unkci ( ) nejen pro unkci ( ), ale také pro unkci ( ). S cklometrickými unkcemi ( arcsin, arccos, arctg, arccotg ) se seznámíte v kapitole.5.6. Kontrolní otázk. Která z uvedených možností platí pro unkci reálné proměnné: Funkce je každé zobrazení : M R, M R, které každému M přiřadí a) alespoň jednu hodnotu R, b) právě jednu hodnotu R.. Která z možností platí pro gra unkce liché? a) je souměrný podle os, b) je souměrný podle os, c) je souměrný podle počátku soustav souřadnic.. Je každá unkce prostá monotónní? a) ano; b) ne; c) nemusí. 4. Co platí pro deiniční obor D součinu dvou unkcí () ()? a) D = D D, b) D = D D. 5. Ke které z unkcí lze nalézt inverzní unkci? a) ke každé unkci, b) jen k periodické unkci, c) jen k prosté unkci.

9 6. Funkce sinus je unkcí periodickou. Je i ohraničenou zdola? a) ano, b) ne. Odpovědi na kontrolní otázk. b);. c);. c); 4. b); 5. c); 6. a). Úloh k samostatnému řešení. Zjistěte, zda je daná unkce ohraničená. Pokud není uvedeno jinak, uvažujte všechna, pro něž je unkce deinovaná: a), = b) =, c) = π + arccos( ), + d) =, e) =, (,7), ) = arctg. ( ) +. Nalezněte interval, v nichž je unkce monotónní. Načrtněte gra těchto unkcí: a) = + 4+, b) = + 5, c) = +, d) =, e) = +, ) =. +. Z grau unkce nalezněte maimální hodnotu unkce: a) = 5, b) = +, c) = + a a. 4. Z grau unkce nalezněte maimální a minimální hodnotu unkce na daném intervalu: 4 a) =, <,5 >, b) =, <,4 >, c) =, < 0,4 > Zjistěte, zda je unkce sudá, lichá nebo není ani sudá, ani lichá: a) d) g) j) =, b) =, c) = lo g, + =, e) e + e = cos, ) =, =, + + =, + sin h) =, i) = ( + sin ) cos k) =, cos + sin l), = arctg.

10 6. Rozhodněte, zda jsou dané unkce periodické. Pokud ano, určete periodu p : a) = sin, b) = sin, c) = cos, π π d) = sin, e) = cos +, ) = + tg +, 4 g) = sin + cos, h) = log(sin + cos ), i) = sin(4π + ). 7. Jsou dán unkce () a g(). Vtvořte složené unkce o g a g o, určete jejich deiniční obor: a) : = ln g: =, b) : = g: = ln( + ), c) : = + 5 g: = 5, d) : = g: =. 8. Nalezněte inverzní unkci k dané unkci. Určete deiniční obor a obor hodnot inverzní unkce. Pokud není daná unkce prostá na celém deiničním oboru, proveďte zúžení unkce na množinu, na níž je prostá. 5 a) =, b) =, c) = + + e, 4 ( + ) d) = + 5, e) =, ) =, ln( ) g) = arccos( ), h) = ln( e ), i) =. Výsledk úloh k samostatnému řešení. a) ohraničená, zdola, 0 < ; b) neohraničená; c) ohraničená, π π ; d) ohraničená ; e) ohraničená, 0 < < 0; ) ohraničená, π < < π.. a) klesající v (, ), rostoucí v (, ) ; b) klesající v ( 5, ) ; c) klesající v (, ), rostoucí v (, ) ; d) klesající v (, ) (, ) ; e) klesající v (, ) ; ) rostoucí v (,) (, ).. a) MAX = ( 0) = 5; b) 7 MAX = ( ) = ; 4 c) MAX a 7a 4 = ( ) =. 4. a) MAX = ( ) = 4, MIN = ( 5) = ; 4 8 5

11 b) = = +, unkce je neohraničená; c) = + = +, + MAX = ( 0) =, MIN = ( 4) =. 5. a) sudá; b) ani sudá, ani lichá, 5 c) lichá; d) lichá; e) sudá; ) sudá; g) ani sudá, ani lichá, ( ) = ( ) = ; ( ) ; h) lichá; i) lichá; ( ) j) sudá; k) sudá; l) lichá. 6. a) p = π ; b) není periodická; c) není periodická; d) p = π ; e) p = π ; ) p = π ; g) p = π ; h) p = π ; i) p =. 7. a) o g : = ln, (,) ; g o : = ln, < e, e > ; b) o g: = ln( + ), < 0, ) ; go : = ln( + ), < 0, ) ; c) o g : =, R ; g o : =, < 5, ) g je inverzní k ; d) o g: =, R ; go : =, 0 ; 8. a) + = 5, 5, ; b) = ln( ), (0, ), R ; c) = +, > 0, > ; 4 d) = 5, 0, 5 ; e) = + log, > 0, R ; ) = + e, 0, (,) (, ) ; g) = + cos( ), < π, >, <, 4 > ; h) = ln( e ), < 0, < 0 (totožná s danou unkcí); i) =,, + > 0 <,). Kontrolní test. Určete deiniční obor unkce = a) < 4,0> ; b) < 0,4>.. Rozhodněte, které z uvedených unkcí jsou prosté: a) = { } h (0,), (,), (0, 4), (7, ), (6, 4) ; b) = { } h (,),(0,6),(5,7),(,0) ; c) h = { } (7,5), (8,6), (,0), (8,4). a) h,h ; b) h ; c) h. 4

12 . Sestrojte gra unkce = a určete interval, na kterém je unkce klesající: a) (, ) (,); b) 4. Řešte graick nerovnici: +. (, ). a) = ; b) = 4, = ; c) < 4,>. 5. Určete unkci F() [ g() ] = a její deiniční obor, je-li g() =, (u) = + u, u = g(). a) F( ) =, 0; b) + F( ) =, > 0; c) F( ) =, Určete lineární unkci ( ), pro niž platí ( 0) = 4,() =. Najděte unkci k ní inverzní. a) b) 4 () = 5 4, () = + ; () = 4 + 5, () = Výsledk testu. a);. b);. a); 4. c); 5. a); 6. a). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 5 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitol.. a.4. znovu. 5