SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1 ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc Ing Jaromír Procházka CSc s využitím přednášky doc Ing Martina Štronera PhD prosinec 2015 1
Geodézie 1 přednáška č11 HODNOCENÍ PŘESNOSTI MĚŘENÍ A VYTYČOVÁNÍ ÚVOD O MĚŘENÍ OBECNĚ V geodézii měříme především délky a úhly ale také čas velikost síly tíže apod Výsledek měření je charakterizován číslem závislým též na volbě jednotek Ze zkušenosti platí: opakuje li se měření téže veličiny jsou i při sebevětší pečlivosti získány obecně různé výsledky Je to způsobeno tím že žádné měření nelze izolovat od mnoha rušivých vlivů kterými jsou především: - nedokonalost našich smyslů - nedokonalost přístrojů - vnější vlivy - nedostatečná znalost všech okolností které způsobují chyby měření atd Omezováním rušivých vlivů např využitím přesnějšího přístroje volbou příznivějších podmínek či pečlivým měřením lze snížit jejich působení a tak zvýšit přesnost měření Proměnlivé velmi početné a v podstatě nepostižitelné vlivy určují číselně výsledek měření který je tak v určitých mezích náhodnou (libovolnou a nepředvídatelnou) veličinou Rozdílnost výsledků měření vyplývá z fyzikální podstaty prostředí ve kterém měření probíhá Při měření a jeho zpracování je hledána nejspolehlivější hodnota výsledku měření odhadována její přesnost a meze její spolehlivosti Měřením či zpracováním měření NIKDY nezískáme skutečnou hodnotu veličiny vždy se jedná o odhad CHYBY (ODCHYLKY) MĚŘENÍ A JEJICH DĚLENÍ Výsledek každého měření je nevyhnutelně zatížen skutečnou chybou (náhodnou odchylkou) ε která je souhrnem působení jednotlivých vlivů Skutečnou chybu měření ε i lze vyjádřit pomocí skutečné ( správné ) hodnoty veličiny X a měřené hodnoty l i : Chyby (odchylky) měření se dělí na: - hrubé chyby a omyly - chyby nevyhnutelné a ty dále na: - chyby náhodné - chyby systematické Omyly a hrubé chyby Omyly nejsou způsobeny objektivními podmínkami měření ale nesprávnými úkony měřiče (nepozornost nedbalost špatná manipulace s přístrojem apod) Hrubé chyby mohou vznikat nakupením nepříznivých vlivů nebo jejich neobvyklou velikostí jako např silným větrem nebo vibrací obrazu cíle v dalekohledu Měření s těmito chybami jsou v příkrém rozporu s kontrolními měřeními k jejich vyloučení je nutné dvojí měření nebo 2
měření nadbytečných hodnot Nejsou chybami nevyhnutelnými a dále nejsou uvažovány Systematické chyby (odchylky) Vznikají z jednostranně působících příčin za stejných podmínek ovlivňují měření ve stejném smyslu tj chyba měření má stejné znaménko i velikost Dále je lze dělit na : o konstantní (při každém měření stejné znaménko i velikost např chybná délka pásma) o proměnlivé (jejich vliv se mění v závislosti na podmínkách měření např na teplotě atmosféry apod jejich vliv může mít i různá znaménka) Systematické chyby je možno potlačit či vyloučit seřízením (rektifikací nebo kalibrací) přístrojů a pomůcek před měřením vhodnou metodikou zpracování měření nebo početně tj zavedením korekcí (např pro délku měřenou kalibrovaným pásmem) Náhodné chyby (odchylky) Jsou to takové chyby které při stejné měřené veličině metodě měření podmínkách a pečlivosti náhodně nabývají různé velikosti i znaménka Jednotlivě nemají žádné zákonitosti a jsou vzájemně nezávislé nepředvídatelné a nezdůvodnitelné Ve větších souborech (vícekrát opakované měření) se však již řídí jistými statistickými zákonitostmi Náhodné chyby stejného druhu mají charakter náhodné veličiny s normálním rozdělením pravděpodobnosti Celková náhodná chyba měření je dána součtem velkého množství elementárních na sobě nezávislých náhodných chyb způsobených mnoha různými vlivy Vlastnosti náhodných chyb : o pravděpodobnost vzniku kladné či záporné chyby určité velikosti je stejná o malé chyby jsou pravděpodobnější (četnější) než chyby velké o chyby nad určitou mez se nevyskytují (resp považujeme je za hrubé) Normální rozdělení Hustota pravděpodobnosti φ(x) (také frekvenční funkce) normálního rozdělení N(E(x)σ 2 ) je dána střední hodnotou E(x) a směrodatnou odchylkou σ (obr1): ( ) * ( )+ kde ( ) 3
Pravděpodobnost P že měření bude zatíženo chybou o velikosti padnoucí do intervalu <A;B> je rovna ploše vyšrafované v grafu Několik hodnot pravděpodobností P charakterizujících normální rozdělení jednorozměrných chyb je pro celistvé násobky koeficientu spolehlivosti uvedeno v tab1: Tab1 Hodnoty pravděpodobností pro různé intervaly spolehlivosti A B P E(x) E(x) + σ 0341 E(x) - σ E(x) + σ 0682 E(x) - 2σ E(x) + 2σ 0954 E(x) 25σ E(x) + 25σ 0988 E(x) - 3σ E(x) + 3σ 0997 1000 E(x) - E(x) + Co to je směrodatná odchylka σ? Je to parametr popisující normální rozdělení Ve vztahu k měření je to charakteristika přesnosti Z hlediska chyb měření je třeba vždy tuto charakteristiku interpretovat s ohledem na předchozí tabulku a tedy si uvědomit že např v intervalu < -2σ ; 2σ > od střední hodnoty se vyskytuje hledaná hodnota geometrického parametru s pravděpodobností 95 % (za předpokladu že měření mají normální rozdělení) Výsledkem vlivu náhodných Δi a systematických chyb ci je skutečná chyba měření εi : VÝPOČET CHARAKTERISTIK PŘESNOSTI MĚŘENÍ Směrodatné odchylky σ (s) Jako charakteristika přesnosti měření (rozptylu) se téměř výhradně používá směrodatná odchylka σ Druhy směrodatných odchylek : základní σ : z velkého souboru měření kde n výběrová s : ze souboru menšího zpravidla n < 5 4
Výpočet : - kde ; ; - Mezní odchylka δ Mezní odchylka δ určuje symetrický interval spolehlivosti kde se nachází se zvolenou pravděpodobností skutečná hodnota Hodnoty ležící mimo tento interval se považují za hrubé chyby které se z dosažených výsledků vylučují Mezní odchylka se počítá se vztahu: kde up je hodnota normovaného normálního rozdělení jinak také koeficient spolehlivosti (konfidence) Volí se obvykle 2 až 3 (95% až 997%) s ohledem ke složitosti prací a k předpokládané přítomnosti systematických chyb VYROVNÁNÍ MĚŘENÝCH VELIČIN A HODNOCENÍ JEJICH PŘESNOSTI METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ (MNČ) V geodézii se často vyskytuje nadbytečný počet měření při určení neznámé veličiny Vyrovnáním se hledá její nejpravděpodobnější hodnota K tomu slouží v geodézii nejčastěji MNČ založená na počtu pravděpodobnosti za podmínky normálního rozdělení měřických odchylek Podle teorie pravděpodobnosti je vyrovnaná hodnota nejpravděpodobnější splňují-li opravy měřených veličin podmínku MNČ: kde: Používají se tři základní způsoby vyrovnání: 1 Vyrovnání přímých měření (jedna neznámá veličina přímo měřena n- krát např opakované měření délky či úhlu) 2 Vyrovnání zprostředkujících měření (určují se 2 nebo více nezávislých veličin prostřednictvím jiných přímo měřitelných veličin např určení souřadnic bodu prostřednictvím měřených úhlů a délek) (více předmět TCHVP) 3 Vyrovnání podmínkových měření (přímo měřené veličiny mají splňovat nějakou matematickou či geometrickou podmínku např součet úhlů v rovinném trojúhelníku (více předmět TCHVP) 5
Vyrovnání přímých měření o Vyrovnání přímých měření stejné přesnosti Při praktickém měření kromě několika málo specifických případů skutečnou hodnotu X neznáme a v takovémto případě je jako nejpravděpodobnější odhad skutečné hodnoty možno použít aritmetický průměr Ī Rozdíly průměrné hodnoty a jednotlivých měření jsou pak nazývány opravami vi ze kterých se počítá výběrová směrodatná odchylka s přesněji vyjádřeno její odhad Výpočet platí pro měření stejné přesnosti tedy všechna měření mají stejnou váhu rovnou jedné kde - Směrodatná odchylka je také náhodná veličina pokud provedeme stejně např 2 x 10 měření a vypočteme dvakrát směrodatnou odchylku obecně nebude stejná Jen pro ilustraci je zde uveden vzorec pro výpočet odhadu směrodatné odchylky směrodatné odchylky vyjadřující předpokládanou nepřesnost v určení směrodatné odchylky měřené veličiny: kde n je nadbytečný počet měření zde n = (n-1) Tab2 Závislost směrodatné odchylky σ σ na počtu měření n 2 3 5 10 20 50 100 500 1/(2n ) 071 050 035 024 016 010 007 003 Pokud je známa směrodatná odchylka jednoho měření a bylo měřeno vícekrát směrodatná odchylka průměrné hodnoty se vypočte podle vzorce: kde n je počet měření o Vyrovnání přímých měření nestejné přesnosti Pokud měření nemají stejnou přesnost a tato přesnost je známa je nutno zvolit jiný postup zpracování Hodnota výsledku měření je pak získána váženým průměrem: - - Váhy se určují ze vztahu: kde c je vhodně volená konstanta Výběrová směrodatná odchylka vypočte ze vztahu: kde opravy jsou: -( hodnoty určené váženým průměrem se - ) 6 ( )
o Dvojice měření V geodézii se často měří hledaná veličina pouze dvakrát zpravidla se stejnou přesností Nejpravděpodobnější hodnotou je pak průměr Hodnotí se základní směrodatnou odchylkou ovšem z jedné měřické dvojice je výběrová směrodatná odchylka nespolehlivá Mnohem spolehlivější je její určení ze souboru měřických dvojic stejné přesnosti pokud je k dispozici Soubor měřických dvojic stejné přesnosti Z většího množství měřických dvojic lze určit výběrovou směrodatnou odchylku jednoho měření ze vztahu: Výběrová směrodatná odchylka průměru dvojice je pak: o Příklady na zpracování výsledků přímých měření Příklad 1 : Délka byla měřena opakovaně pětkrát za stejných podmínek a stejnou metodou tedy se stejnou přesností Vypočtěte průměrnou délku přesnost jednoho měření s a přesnost průměru sx charakterizované výběrovými směrodatnými odchylkami i l v vv [m2] 1 5628-00014 196E-6 2 5626 00006 360E-7 3 5627-00004 160E-7 4 5624 00026 676E-6 5 5628-00014 196E-6 Σ 28133 00000 112E-5 Ø 56266 s = 00017 sx = 000075 Příklad 2 : Délka byla měřena opakovaně pětkrát různými metodami tedy s různou přesností Vypočtěte průměrnou délku a přesnost průměru sx i l σ 1 5628 00030 2 5626 00020 3 5627 00025 4 5624 00035 5 5628 00025 Σ c = 000252 Ø 562671 sx = 000062 p lp v pv pvv [m2] 069 3908-00013 -000090 116E-6 156 8791 00007 000110 780E-7 100 5627-00003 -000029 086E-7 051 2869 00027 000138 374E-6 100 5628-00013 -000129 167E-6 477 26823 000000 744E-6 7
ZÁKON HROMADĚNÍ SMĚRODATNÝCH ODCHYLEK V mnoha případech nelze nebo není výhodné přímo měřit určovanou hodnotu a tato se pak určuje zprostředkovaně tedy výpočtem z jiných měřených hodnot Příkladem může být plocha trojúhelníka jsou-li měřeny dvě strany a úhel Potřebujeme nejen vypočítat hledanou hodnotu ale také určit její směrodatnou odchylku Známe li funkční vztah mezi veličinami dokážeme ji vypočítat pomocí zákona hromadění směrodatných odchylek (ZHSO) ZHSO vychází ze zákona hromadění skutečných chyb (náhodných odchylek) který je založen na totálním diferenciálu funkčního vztahu Zákon hromadění skutečných chyb (náhodných odchylek): Funkční vztah lze obecně vyjádřit rovnicí: ( ) Pro hledanou hodnotu y a její skutečnou chybu ε y platí funkční vztah vycházející z měřených veličin x i a jejich skutečných chyb ε xi : ( ) Vzhledem k tomu že skutečné chyby jsou oproti měřeným hodnotám velmi malé lze rozvinout pravou stranu vztahu podle Taylorova rozvoje s omezením pouze na členy prvního řádu kde odpovídající diferenciály jsou nahrazeny skutečnými chybami: ( ) Zákon hromadění směrodatných odchylek (středních chyb) Skutečné chyby měřených veličin zpravidla neznáme ale protože známe jejich směrodatné odchylky σ xi můžeme určit směrodatnou odchylku σ y hledané veličiny y pomocí zákona hromadění směrodatných odchylek který je dán vztahem : / / / Zákon hromadění směrodatných odchylek platí za následujících podmínek: 1 Jednotlivé měřené veličiny a tedy i jejich skutečné chyby musí být vzájemně nezávislé 2 Skutečné chyby mají náhodný charakter jejich znaménko a velikost se řídí normálním rozdělením 3 Skutečné chyby jsou oproti měřeným hodnotám malé parciální derivace musí zůstat prakticky konstantní změní-li se měřené hodnoty o hodnoty chyb 4 Jednotlivé členy musí mít stejný fyzikální rozměr 8
Příklady na aplikaci ZHSO Příklad 1 : Jsou známy dvě délky a = 34352 m b = 28311 m které byly změřeny se směrodatnou odchylkou σ a σ b = 0002m Dále byl změřen vodorovný úhel ω = 523452 se směrodatnou odchylkou σ ω = 00045 Určete směrodatnou odchylku σ P plochy trojúhelníka Funkční vztah pro výpočet plochy trojúhelníka: Rovnice pro skutečné chyby : kde Rovnice pro směrodatné odchylky: / / / ( ) Úprava pro σ a σ b = σ d : ( ) ( ) ( ) Po dosazení a výpočtu: σ P = 0043 m 2 P = 384983 m 2 9
Příklad 2 : Odvoďte vzorec pro směrodatnou odchylku průměru z n stejně přesných měření znáte-li směrodatnou odchylku jednoho měření σ l Funkční vztah pro výpočet prostého aritmetického průměru je: - Vztah pro skutečnou chybu odvodíme použitím Zákona hromadění skutečných chyb : { } Všechny hodnoty jsou zde měřeny se stejnou přesností tedy se stejnou směrodatnou odchylkou To ale nelze říci o skutečných chybách! O nich nevíme nic (je to náhodná veličina neznáme ani jejich velikost ani znaménko) a proto NELZE závorku ve výše uvedené rovnici zjednodušit Obecně platí : Směrodatnou odchylku průměru určíme prostřednictvím Zákona hromadění směrodatných odchylek : { } Ze zadání víme že všechna měření mají stejnou směrodatnou odchylku takže platí: a vzorec lze upravit na tvar: ( ) KRITÉRIA PRO TESTOVÁNÍ OPAKOVANÝCH MĚŘENÍ Hodnocení opakovaných měření se v geodetické praxi nejčastěji provádí porovnáním dosažené a očekávané (teoretické) přesnosti Při dvojici měřených hodnot se hodnotí dosažený rozdíl s rozdílem mezním při větším počtu měřených hodnot se testuje odlehlost měření od průměru s mezní opravou tzv McKay Nairovým testem při známé základní směrodatné odchylce Mezní rozdíl Rozdíl dvou měření se vypočte ze vztahu: Aplikací zákona hromadění skutečných chyb a následně zákona hromadění směrodatných odchylek se obdrží rovnice pro skutečnou chybu rozdílu: a rovnice pro směrodatnou odchylku rozdílu: Za předpokladu stejné přesnosti obou měření platí že: 10
a vzorec lze upravit na tvar : Mezní rozdíl je potom dán vzorcem: a dodržení očekávané přesnosti měření se hodnotí nerovností: Test odlehlosti měření Při větším počtu měření nelze již použít hodnocení mezním rozdílem Nejpoužívanějším hodnocením dodržení očekávané přesnosti je test odlehlosti měření při známé základní směrodatné odchylce σlo jednoho měření Test spočívá v porovnání absolutní hodnoty dosažených oprav vi k průměru s mezní opravou vm vypočtenou ze vztahu: kde uαn je kritická hodnota (tab3) závislá na počtu opakování n a zvolené hladině významnosti (riziku) α (volí se 5% nebo 1%) Odlehlost měření se testuje nerovností: Tab3 Kritické hodnoty pro McKay-Nairův test odlehlých měření G α 5% 1% 2 139 182 P o č e t 3 4 174 194 222 243 m ě ř e n í n 5 6 7 208 218 227 257 268 276 8 233 283 10 244 293 Postup testování je následující: o Vypočte se průměrná hodnota ze všech měření a opravy vi k ní o Pomocí výše uvedeného vztahu se vypočte hodnota vm o Testuje se odlehlost měření výše uvedenou nerovností Platí-li nerovnost je testované měření zatím pouze podezřelé z odlehlosti přičemž v jednom souboru může být takových měření i více o Přiměří se nejméně jedno další měření a rozšířený soubor se znovu testuje tak že se vypočte nová průměrná hodnota nové opravy i mezní oprava pro zvýšený počet opakování Podezřelé měření se může zařadit do rozšířeného souboru a výslednou hodnotou je potom průměr ze všech měření Zůstane-li i v rozšířeném souboru podezřelé měření odlehlé (popř je odlehlé jiné měření) jsme oprávněni jej ze souboru vyloučit o Při vyloučení odlehlého měření je nový soubor nutno opět otestovat pro nový průměr nové opravy i odpovídající mezní opravu o Vždy však musí zůstat minimálně zachován předem určený počet měření Konkrétní použití testu odlehlých měření je uvedeno v přednášce č10 (str7) při testování vodorovných směrů naměřených ve 3 skupinách Tamtéž je (na str8) uvedena i další možnost hodnocení dosažené přesnosti měření reprezentované výběrovou směrodatnou odchylkou sφi s mezní výběrovou směrodatnou odchylkou sφim 11