IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 59 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01551-7 POSOUZENÍ A ZVÝŠENÍ BEZPEČNOSTI SKLÁDACÍCH STROPNÍCH SCHODŮ APLIKACE METODY SBRA Abstract Milan Růžička The computational analysis of the loading parameters on the folding staircase arm was made. It was verified using static and dynamic experimental strain-gauge measurement. The shape optimisation using of FEM-analysis was performed. The Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) of the loading cases and material parametrers was applied. It showed, that safety factor of the staircase arm grew up and that the reliability is sufficient. 1. Úvod Při používání výrobků (různých prvků strojních a stavebních konstrukcí) se občas vyskytnou případy jejich porušení. Pokud má takové selhání vážné důsledky (ekonomické a zejména újmy na zdraví uživatele) je potřebné provést analýzu a posouzení příčin, aby bylo možno event. zabránit dalším podobným případům. Pro posuzování bezpečnosti a spolehlivosti provozování stavebních prvků i strojních částí je však důležité získat dostatečně věrohodné vstupní podklady. Jsou to jednak informace o mezních hodnotách, které limitují únosnost dílů vůči všem v provozu možným a kontrolovaným mezním stavům konstrukce, a dále informace o provozních podmínkách, zejména o velikosti statických i dynamických namáhání. Protože zcela konkrétní data tohoto typu nejsou obvykle k dispozici, nezbývá, než provádět jejich kvalifikované odhady. Míra přesnosti jejich odhadu, resp. skutečný rozptyl mezních hodnot a provozních podmínek díla, potom bude určující pro výsledné posouzení a jeho skutečnou spolehlivost. V tomto smyslu lze chápat bezpečnost provozování konstrukce jako pravděpodobnostní veličinu, jejíž hodnota nesmí překročit únosnou míru rizika selhání konstrukce. Jedním z nástrojů takového posouzení je metoda SBRA (Simulation Based Reliability Assessment) [1]. Foto 1. Pohled na rozložené schody 2. Popis problematiky určování bezpečnosti prvků konstrukcí (skládacích schodů) Při určování mezních hodnot únosnosti konstrukcí se ve fázi návrhů (event. výroby prototypů) nejčastěji vychází z dostupných informací o vlastnostech použitých materiálů. Tato materiálová data musí být přizpůsobena reálné konstrukci, resp. uvažovanému kritickému místu. Pokud takový postup nestanoví konkrétní norma, měla by být zohledněna technologie a stav materiálu, vliv absolutní velikosti dílu vůči zkušebnímu Milan Růžička, Doc. Ing. CSc., ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6, tel.: (+420) 22435 2512, e-mail: ruzicka@fsid.cvut.cz.
60 tělesu, odlišnost ve způsobech zatížení (vliv gradientu napětí), případně další vlivy. Podobně by měly být známy kritické oblasti špiček namáhání reálných dílů a vliv provozních podmínek na jejich velikost a změny. I přes rychlý a značný pokrok výpočtových a simulačních metod se ověřování správnosti jejich výsledků neobejde bez praktických zkoušek a experimentálního ověřování únosnosti. Lze však s jistou nadsázkou říci, že (i když abstrahujeme ekonomickou stránku věci) nikdy nezískáme dostatečný počet výsledků zkoušek, aby byla dána absolutní záruka, že nemůže dojít k selhání konstrukce. Proto každé takové posouzení může mít jen pravděpodobnostní charakter. Využití metod SBRA lze demonstrovat na problematice posouzení a zvýšení bezpečnosti skládacích stropních schodů vyrobených z hliníkové slitiny, které bylo prováděno na Ústavu mechaniky strojní fakulty ČVUT v Praze. Součástí komplexního řešení byl analytický výpočet napětí v pákách bočnic schodů, které tvoří základní stavební prvek rozkládacího mechanismu. Dále byla provedena detailní kontrola namáhání páky pomocí metody konečných prvků (MKP) za účelem optimalizace tvaru páky (pro návrh nové licí formy) a zvýšení její bezpečnosti. Ta se u původního výrobku ukázala jako nedostatečná. K ověření a zpřesnění výpočtových modelů a k získání informací o možném rozptylu provozních statických i dynamických účinků byla provedena rozsáhlá experimentální analýza deformací prvků schodů a materiálové zkoušky. Schody se skládaly ze 13 schodnic, horního rámu s víkem a zábradlí (stahovací tyč). Výška montáže do stropu místnosti byla předepsána na H=3200 mm a roztažení schodů v horizontálním směru na délku B=146 cm. Pro dokumentaci slouží pohled na Foto 1.1. Stavební prvky původní varianty schodů (páky) byly vyrobeny z hliníkové slitiny GD- AlSi9Cu3 s mezí pevnosti R m =275 MPa a mezí kluzu R e =190 MPa. Pro početní a experimentální kontrolu byly vybrány dva kritické řezy (A-A 12 mm a B-B 62 mm od středu páky, viz obr. 1). Obr. 1: Schéma umístění tenzometrů a zavedení souřadného systému a veličin 3. Experimentální analýza namáhání pák schodů B Statická měření A Na nejexponovanější páky bylo do kritických řezů instalováno 26 tenzometrů. Z naměřených poměrných deformací ε 1, ε 2, ε 3 a ε 4 na čtyřech tenzometrech instalovaných do daného řezu profilu páky lze spočítat složku napětí σ x od tahové vnitřní síly i ohybové složky napětí σ y a σ z od ohybových momentů M oz a M oy. Měření smykového napětí τ bylo prováděno pomocí dvou tenzometrických křížů zapojených do celého mostu. Měření byla prováděna při různých polohách zatížení i roztažení schodů. Tím bylo možno stanovit možný rozptyl hodnot namáhání, která mohou při užívání schodů (v provozu) nastávat. Ukázalo se, že zejména vnější páky jsou namáhány kombinovaným ohybovým napětím vůči oběma hlavním osám průřezu, podíl napětí od krutu je malý. Stření hodnota redukovaného napětí v kritickém místě byla určena na páce č. XI to 67,6 MPa (vztaženo k max. zatížení schodů 100 kg). Dynamická měření
61 Statická měření nepodchycují dynamický účinek. Proto byla realizována měření, kdy je snímán časový záznam při zatěžování, jenž umožní vyhodnotit největší špičky působícího zatížení při chůzi pokusné osoby po schodech. Vzorkovací frekvence všech dynamických měření byla zvolena 300 Hz, což je dostatečné pro zaznamenání lokálních špiček napětí, které se mohou vyskytnout během chůze po schodech i vlastních frekvencí soustavy. Zatěžování realizovala testovací osoba s hmotností dokalibrovanou na m=100 kg. Bylo měřeno několik režimů (normální chůze, razantní došlapování, poskoky), příklad průběhů ukazuje obr. 2. Z výsledků měření vyplynulo, že dynamický součinitel násobku nominálního napětí činí k dyn =1,2. Při razantní chůzi je tento součinitel k dyn =1,6 při chůzi nahoru a 1,9 až 2,1 při chůzi dolů. Ještě vyššího dynamického koeficientu k dyn =2,3 bylo dosaženo při chůzi směrem dolů s razantním dupnutím, kdy spolupůsobí k silovému účinku nohy i složka vlastní tíhy a navíc se schody dostávaly do rezonance s kroky. Největší dynamický účinek s koeficientem překračujícím hodnotu k dyn =2,9 byl vybuzen skoky na schodnici, viz obr. 2. Při značně extrémních skocích byl namě k dyn 3,9 až 4,1. Pro účely statistické simulace dynamického účinku byl navržen model exponenciálního rozdělení se střední hodnotou 1,2 a hodnotou maxima 5,0. dynamický násobek [1] ohybové napětí [MPa] 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 Poskoky na 6 schodnici (m=100 kg) 0.0 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 140 120 100 80 60 40 20 0-20 čas [s] Razantní chůze (m=100 kg) X LS X PS XI XII -40 0 5 10 15 20 25 30 čas [s] Obr. 2: Časový záznam napětí na měřených pákách v řezu B-B, detail dynamického násobku 4. Analytické výpočty namáhání pák schodů Pro posouzení namáhání pák bočnic schodů byl vypracován počítačový program pro určování silových a momentových účinků, které na ně v místě každého spojení působí. Kromě podmínek globální rovnováhy, z nichž lze určit reakce v uložení schodů, je třeba řešit systém n-lineárních rovnic. Počet rovnic vyplývá z počtu polí schodů, které jsou uvažovány až do místa řezu určování vnitřních silových účinků. Např. pro řez vedený za šestým schodem, je uvažováno 12 pák, na které působí celkem 18 neznámých reakcí. Pro každou páku lze napsat dvě složkové rovnice rovnováhy a jednu rovnici momentovou. Dostáváme tak 36 lineárních rovnic, jejichž řešením určíme hledané silové účinky a napětí v kritických řezech. Z analytických výpočtů vyplývá, že pro původní provedení pák bočnic schodů je namáhání v řezu A-A přibližně stejné jako v řezu B-B. Porovnáme-li naměřené hodnoty s výpočty, vychází výpočet mírně nekonzervativní. Např. z naměřených hodnot vychází redukované napětí v řezu B-B u nejnamáhanější páky č. XI pro počítanou variantu zatížení 52,8 MPa, zatímco výpočet dává 47,4 MPa. Provedeme-li výpočet pro nově navržený tvar páky (viz dále), vychází v
62 analogických řezech pokles napětí na 92 % původní hodnoty v řezu A-A a na 85 % v řezu B-B. 5. Analýza napětí metodou konečných prvků Analýza napětí MKP byla provedena za účelem určení možných lokálních koncentrací v radiusech profilu páky bočnice a pro posouzení stavu napjatosti při kombinovaném namáhání páky v jejím reálném tvaru. Zadavatelem byl dodán výkres upraveného tvaru páky, který byl modelován metodou konečných prvků (MKP), pod označením design 1. Během řešení se ukázalo, že bude potřebné dále upravit příčný průřez páky tak, aby se zvýšila odolnost vůči příčnému zatížení (ohyb kolem osy z). Při tvarové optimalizaci byly generovány další modely MKP označené jako design 2 a design 3. Návrh dalších variant spočíval v optimalizaci tloušťky pásnic a ve vložení žeber, které vyztužují páky proti ohybu v příčné rovině schodů. Pro výpočet byl použit program ABAQUS. Materiál byl uvažován jako ideálně elastický. Model páky byl uložen v otáčivém čepu uprostřed délky páky. Na jednom konci byly zaváděny silové účinky, druhý konec páky byl opřen o pevnou podporu. Model obsahoval cca 110 000 elementů. Obr. 3: Výsledky MKP pro upravenou variantu tvaru páky DESIGN 3 Byly počítány tři zatěžovací stavy, které simulovaly ohyb v obou rovinách i kombinované namáhání s vlivem krutu. Výsledky ukázaly, že tvarovou úpravou profilu páky (bez podstatné změny její hmotnosti) se výrazně zvýšila tuhost v příčném ohybu páky, což vedlo k poklesu složky napětí v ose x a to až o 42 %. Pro kombinovaný zatěžovací stav 3 to představuje pokles redukovaného napětí asi o 27 %. 6. Analýza pravděpodobnosti poruchy metodou SBRA Aby bylo možno odhadnout bezpečnost proti lomu páky skládacích schodů a zvýšení bezpečnosti provedenou úpravou tvaru, byla simulována metodou Monte Carlo pravděpodobnostní analýza vzniku takového lomu. K výpočtu bylo použito programu AntHill for Windows TM [1]. Při modelování se vycházelo z generování náhodných případů chůze po schodech osoby různé (náhodné) hmotnosti při různém (náhodném) ustavení schodů. Dále byly náhodně vybírány možné režimy chůze po schodech, jimž byl přiřazen
63 dynamický součinitel. Podle výsledků statických zkoušek výrobce byly náhodně generovány konkrétní pevnostní vlastnosti použitého materiálu stávající páky a předpokládané vlastnosti materiálu pro nový návrh páky. Pro všechny generované veličiny byla předpokládána platnost Normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti, pro dynamický součinitel bylo použito exponenciálního rozložení. Generované veličiny a odpovídající napětí v kritickém místě pro dvě varianty výpočtu: pro původní páku a pro upravenou páku design 3, udává tab. I. Tab. I: Přehled uvažovaných statistických parametrů náhodné simulace původní výrobek upravený návrh (design 3) veličina střední hodnota směr. odch. střední hodnota směr. odch. hmotnost osoby 80 17,2 80 17,2 pevnost materiálu 275 19 290 12 napětí krit řezu 68,6 21,4 45,5 17,5 dynam.součinitel 1,3 0,3 1,3 0,3 Z náhodně generovaných hodnot pevnosti a okamžitého provozního napětí daného případu použití schodů byl vypočten součinitel bezpečnosti vůči statickému lomu. Bylo vygenerováno celkem 10 6 případů simulací zatížení schodů a tedy stejný počet těchto možných součinitelů. Pro takto získaná data velikosti součinitele pevnosti byla vykreslena absolutní a relativní kumulativní četnost výskytu součinitele dané velikosti. Řešení bylo provedeno pro původní a nově navrženou variantu páky. Toto srovnání ukazuje distribuce zobrazená na obr. 5. Je odtud patrné, že pro původní variantu je medián součinitele bezpečnosti (s pravděpodobností poruchy 50 %) roven k p =2,02. Pro upravený návrh design 3 se součinitel bezpečnosti zvýšil na k p =3,12. Pro pravděpodobnost lomu 1% jsou součinitelé k p =0,84 a k p =1,33. Jedním z výsledků simulace je též možnost určení pravděpodobnost překročení kritéria lomu pro náhodný případ zatížení, viz obr. 6. Obrázek ukazuje v dvojrozměrném grafu mraveniště (ant hill) simulovaných provozních stavů a jejich polohu vůči mezní přímce porušení (definované pro hodnotu součinitele bezpečnosti k p =1). Výpočty ukázaly, že zatímco pro původní řešení páky schodů je hodnota překročení mezní čáry rovna P=4,5 %, klesá pro upravený tvar (design 3) na hodnotu 0,02 %. Znamená to tedy, že pouze u 2 případů z 10 tisícové série výrobků hrozí možnost překročení meze pevnosti při některém režimu provozování takto upravené páky. Tuto pravděpodobnost lze považovat za dostatečně nízkou zejména s ohledem na fakt, že byly uvažovány i extrémní podmínky zatěžování.
64 Obr. 5: Výsledky simulace součinitele bezpečnosti proti porušení pro původní a novou variantu design 3 páky bočnic schodů 7. Závěr Integrace klasických analytických metod výpočtu s aplikací MKP a experimentální analýzou namáhání vedla k efektivnímu vytvoření návrhu nového tvaru páky skládacích stropních schodů, podle něhož bude vyráběna nová forma pro přesné lití. Analytické propočítání řady variant bylo podpořeno určením lokálních napětí na modelech MKP, jež bylo experimentálně verifikováno. Pro experimentálně určené zatěžovací podmínky při různém způsobu zatěžování schodů a s uvážením rozptylů pevnostních vlastností materiálu byly analyzována bezpečnost proti porušení. Došlo k jejímu potřebnému navýšení oproti původní variantě výrobku. Metoda SBRA umožnila navíc kvantifikovat pravděpodobností náplň součinitele tohoto bezpečnosti a tím riziko porušení. Obr. 6: Výsledky simulace pracovních bodů programem AntHill TM a jejich porovnání s mezní čarou pro původní a novou variantu páky bočnic schodů
65 Oznámení Příspěvek byl vypracován v rámci výzkumného záměru Rozvoj metod a prostředků integrovaného strojního inženýrství J04/98 212200008. Literatura [1] MAREK,P.-BROZZETTI,J.-GUŠTAR,M: Probalistic Assessment of Structures using MonteCarlo Simulation. Inst. of Theoret. and. Appl. Mech. AV ČR, Praha 2001, ISBN 80-86246-08-6. [2] MAREK,P.-GUŠTAR,M.,-ANAGNOS,T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida, 1995. [3] VALENTA,F.-RŮŽIČKA,M.-DOUBRAVA,K.: Experimentální a výpočtová analýza namáhání skládacích stropních schodů. [Výzkumná zpráva FS ČVUT 2051/01/10]. Praha: ČVUT, Fakulta strojní, 2001, 66 s. [4] PAPUGA,J. - RŮŽIČKA,M. - ŠPANIEL,M.: Software Solution of Fatigue Damaging Based on the FE Analysis Results Utilization. In: Abstracts of 8th Inter. Conference on Numerical Methods in Continuum Mechanics. Žilina: University of Žilina, Mechanical Engineering Faculty. 2000. p.138-140, ISBN 80-968368-1-1.