24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB
Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci metody PERT podařilo zkrátit vývoj této rakety o 18 měsíců! Poté bouřlivý vývoj desítky metod a modifikací
Metody síťové analýzy tvoří základy současného projektového řízení Projektové řízení dnes s úspěchem využívá dvě základní metody z pohledu časové analýzy: deterministický přístup, reprezentovaný metodou CPM (Critical Path Method) stochastický přístup, reprezentovaný metodou PERT (Programm Evaluation Review Technique)
Síťová analýza soubor modelů a metod pro analýzu termínů, nákladů a zdrojů projektu reprezentovaného grafem Projekt prostorově a časově ohraničení soubor činností, jehož uskutečnění je podmínkou dosažení určitého cíle Činnost projektu transformace vstupů na výstup Síťový graf matematický model projektu, skládá se z uzlů a orientovaných ohodnocených hran
Hranová orientace x uzlová orientace Hrana dílčí činnost projektu Ohodnocení hrany doba trvání činnosti Činnost lze označit uspořádanou dvojicí čísel (i, j) Cesta posloupnost hran, kde koncový uzel každé hrany (mimo poslední) se shoduje s počátečním uzlem následující hrany, hrany ani vrcholy se neopakují Doba trvání cesty součet dob trvání činností na cestě
Metoda CPM byla vymyšlena v 50.letech Založena na reprezentaci projektu ve formě grafu typu síť Týká se plánování termínů činností projektu Jde o deterministický matematický model, který počítá celkové trvání projektu Vychází se z dob trvání činností a určují se tzv. kritické činnosti Kritické činnosti tvoří dohromady kritickou cestu a jde o nejdelší cestu v síti
Kritická cesta je totožná s nejkratší možnou délkou realizace celého projektu Kritická cesta se skládá z kritických činností, které musí bezprostředně na sebe navazovat bez jakýchkoliv časových rezerv Prodloužení kterékoliv činnosti na kritické cestě nebo její opožděné zahájení má bezprostřední vliv na prodloužení doby projektu
Vstupní údaje činnosti a doby trvání
Vstupní údaje činnosti a doby trvání Výpočet vpřed a vzad:
Vstupní údaje činnosti a doby trvání Výpočet vpřed a vzad: určení nejdříve možných a nejpozději přípustných termínů začátků a konců činností, termíny realizací uzlů, stanovení kritické cesty a časových rezerv.
Výpočet vpřed od počátku ke konci nejdříve možné termíny Určíme postupně: nejdříve možný termín zahájení projektu, tj. pro všechny činnosti začínající v uzlu 1: nejdříve možné konce těchto činností: uzel se realizuje, až se realizují všechny činnosti, které do něj vstupují a tedy jeho nejdříve možná realizace: pro další činnosti určíme jejich nejdříve možné začátky: takto postupně určujeme nejdříve možné termíny všech činností a uzlů. Termín nám udává nejdříve možný termín dokončení celého projektu
Výpočet vzad od konce projektu k počátku nejpozději přípustné termíny Určíme postupně: nejpozději přípustný konec projektu,kde hodnotu jsme určili při výpočtu vpřed nejpozději přípustné termíny dalších činností a uzlů určíme postupně podle vztahů: na základě vypočtených termínů můžeme stanovit celkové časové rezervy pro všechny činnosti: hodnoty určují časovou rezervu, kterou je možno čerpat u jednotlivých činností, aniž se prodlouží termín nejdříve možného dokončení celého projektu
Výpočet v grafu: v horní části uzlu je index uzlu, v levé části nejdříve možné termíny, v pravé části uzlu nejpozději přípustné termíny.
Celkové rezervy na hranách jsou uvedeny v rámečcích Kritická cesta je vyznačena dvojitými čárami Doba trvání projektu je 39 časových jednotek
PERT je zobecněním metody CPM Použití pro řízení složitějších projektů majících stochastické časové ohodnocení Doby trvání činností náhodné veličiny s určitým rozložením pravděpodobnosti Beta rozdělení výhodné vlastnosti modelování a dobře vystihuje proměnlivost provozních podmínek
Vlastnosti: unimodální jeden vrchol, který odpovídá nejpravděpodobnější době trvání (modus), konečné variační rozpětí - doby trvání se vyskytují v intervalu mezi nejkratší a nejdelší dobou trvání, symetrie závisí na poloze vrcholu uvnitř intervalu a podle toho lze konstruovat hypotetickou křivku funkce hustoty pravděpodobnosti.
Momenty beta rozdělení na základě odhadů expertů oboru včetně odhadnutí rizik a podmínek realizace Odhady ve třech časových charakteristikách: Optimistický odhad - uvažuje nejkratší dobu trvání činnost Modální odhad - je to nejpravděpodobnější hodnota doby trvání činnosti Pesimistický odhad - předpokládá nejdelší dobu trvání činnosti
Ljapunova centrální limitní věta předpokládá nezávislost náhodných proměnných Při provádění odhadů se uvažují jen ty vlivy, které je možno klasifikovat jako náhodné jevy: vliv počasí u práce venku, vliv organizace práce, vliv kvalifikace, vliv pracovní morálky a disciplíny, výkonnost, poruchovost atd.
Očekávaná dobu trvání činnosti (střední dobu trvání) vypočítáme podle empirického vztahu:, rozptyl vypočítáme podle vztahu: a směrodatnou odchylku doby trvání činnosti vypočítáme podle vztahu:.,
S hodnotami stejný postup jako při CPM a střední hodnotu trvání projektu určíme jako součet ze znalosti středních dob trvání činností na kritické cestě: Směrodatná odchylka: Doba trvání projektu je náhodná veličina, jejíž hodnota je dána součtem náhodných veličin s beta rozděleními CLT součet většího počtu nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením má normální rozdělení tabulkové hodnoty
Metoda PERT pravděpodobnostní analýza projektu Pravděpodobnost splnění projektu v čase, který nepřekročí plán dokončení projektu, je rovna hodnotě distribuční funkce normálního rozdělení v bodě Platí a lze formulovat úlohy: určení prsti realizace na základě předem stanoveného termínu dokončení, nebo na základě prsti lze stanovit termín, ve kterém se bude projekt realizovat.
Viz CPM: Máme určit pravděpodobnost, že projekt bude realizován v čase Dále nás zajímá v jakém termínu bude projekt realizován s pravděpodobností
Pro tuto síť již tedy máme kritickou cestu (1-4-5-6-7) Pro jednoduchost máme zadané odhady tak, aby se shodovali střední doby trvání činností jako v př. CPM
Střední doba trvání projektu:
Střední doba trvání projektu: Celkový rozptyl doby trvání:
Střední doba trvání projektu: Celkový rozptyl doby trvání: Směrodatná odchylka:
Plánovaná délka trvání projektu odpovídá pravděpodobnosti zjištěné pomocí tabulek:
Plánovaná délka trvání projektu odpovídá pravděpodobnosti zjištěné pomocí tabulek:
Plánovaná délka trvání projektu odpovídá pravděpodobnosti zjištěné pomocí tabulek: Naopak s pravděpodobností bude projekt realizován v termínu :
Plánovaná délka trvání projektu odpovídá pravděpodobnosti zjištěné pomocí tabulek: Naopak s pravděpodobností bude projekt realizován v termínu : ten vychází z hodnoty distribuční funkce v bodě: hledanou hodnotu vypočteme po dosazení:
Fiala Petr, Řízení projektů, VŠE 2002 Vítečková Miluše a spol., Výukový modul systémové analýzy VŠB Technické univerzity Ostrava, dostupný na http://www.fs.vsb.cz/books/systanal/index.htm? On-line prezentace http://www.352.vsb.cz/uc_texty/aplinfsyl/aplinf12_s oubory/frame.htm Lacko Branislav, Navrhování systémuů řízení, dostupný na http://www.vns.wz.cz/10.php