Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Transkript

1 Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný parametr) se rovnají určitým hodnotám Alternativní hypotéza opak nulové hypotézy, často je to právě to, co se snažíme prokázat Podle typu obou hypotéz zvolíme rozhodovací kritérium (test, testové kritériu, které závisí na realizovaném náhodném výběru. Dospějeme k některému z možných rozhodnutí: Zamítáme, data (a tedy i test) svědčí proti této hypotéze Nezamítáme, data (a tedy i test) nedávají dostatek důkazů proti Chyby při rozhodování Při rozhodování mohou nastat dva druhy chyby: chyba 1. druhu platí a my ji zamítneme chyba 2. druhu neplatí a my ji nezamítneme Důležitým pojmem je hladina testu. Označujeme ji a její hodnotu volíme (obvykle 0,05). Hladina testu vyjadřuje nejvyšší přípustnou pravděpodobnost chyby 1. druhu. Možné situace představuje tabulka Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Postup při rozhodování Podle toho, co chceme zjistit, zformulujeme a a zvolíme. Pak zvolíme vhodné rozhodovací kritérium. To uděláme tak, že z testů, jejichž hladina je menší než vybereme obvykle ten s nejmenší pravděpodobností chyby 2. druhu. Testy o výběrových souborech Z-test jednovýběrový test střední hodnoty při známém rozptylu Nechť,, je náhodný výběr z rozdělení,, kde známe. Z dříve odvozeného vztahu dostaneme!"# $ %1 2 () Pro hypotézu : proti alternativní hypotéze :, lze použít testovou statistiku -! Na hladině pak zamítáme hypotézu a přikloníme se k alternativní hypotéze, Hypotézu nezamítáme, - "# $ %1 2 ( -.# $ %1 2 ( 1

2 S tím souvisí závěr testování, že hypotéza může platit. Poznámka pro dost velká! platí tento test dle Centrální limitní věty i pro jiná rozdělení než. t-test jednovýběrový test střední hodnoty při neznámém rozptylu Nechť,, je náhodný výběr z rozdělení,, kde neznáme. Platí, že!~1 / $ Z toho podobně jako u Z-testu plyne /!"1 $ %1 2 () Pro hypotézu : proti alternativní hypotéze :, lze použít testovou statistiku 2! / Na hladině pak zamítáme hypotézu a přikloníme se k alternativní hypotéze, Hypotézu nezamítáme, 2 "1 $ %1 2 ( 2.1 $ %1 2 ( S tím souvisí závěr testování, že hypotéza může platit. Párový t-test Máme-li k dispozici dvě sady dat. Pak se snažíme porovnat jejich střední hodnoty. Označíme vybrané veličiny,3,,,3. Předpokládáme, že hodnoty se stejným indexem nelze považovat za nezávislé (obvykle jsou totiž měřena na jediném objektu). Hodnoty s různými indexy za nezávislé považujeme (obvykle byly měřeny na různých objektech). Tuto situaci nazýváme dvourozměrným náhodným výběrem,3,,,3 takovým, že a 3 tvoří páry, které nelze považovat za nezávislé. Označíme 4 5 6, Dále položme - 3,,- 3 Předpokládejme, že veličiny - se dají považovat za náhodný výběr z rozdělení,, kde 4 7 Chceme-li testovat hypotézu, že obě sady měření pocházejí z rozdělení o stejné střední hodnotě : je totéž, jako test hypotézy :0. Test hypotézy : 0 proti alternativní hypotéze :,0 je úlohou jednovýběrového t-testu. Vypočítáme tedy - 1! 9-6, / ; 1! Na hladině zamítáme hypotézu : 4 7 a přikloníme se k alternativní hypotéze : 4, 7, 2-0 / ;!"1 $ %1 2 ( Dvouvýběrový t-test Mějme náhodný výběr,, ~ 4, a náhodný výběr,, < ~ 7,. Oba tyto výběry jsou nezávislé a mají stejný rozptyl. 2

3 Položme / 4 1!1 9 6, / 7 1 < = / 1!?=2 %!1 / 4?=1 / 7 ( Pro test hypotézy, že obě sady měření pocházejí z rozdělení o stejné střední hodnotě : proti alternativní hypotéze : 4 7,0 je možno použít statistiku 2 30 =!?= Na hladině zamítáme hypotézu : 4 7 a přikloníme se k alternativní hypotéze : 4, 7, 2 "1 A<$ %1 2 ( Znaménkový test V některých případech nejsou k dispozici výběrové soubory, ale jen informace o tom, kolikrát při velkém počtu nezávislých opakování zkoumaná veličina byla vyšší (+) nebo nižší (-) než nějaká zadaná hodnota. Přitom chceme testovat hypotézu, že medián rozdělení je roven právě té zadané hodnotě. Znaménkový test asymptotický pro velké n Mějme náhodný výběr,, ze spojitého rozdělení s mediánem BC. Platí tedy 6.BC 6 DBC 1 2, E1,,! Chceme testovat hypotézu : BCB proti alternativní hypotéze : BC,B, kde B je zadaná hodnota. Utvoříme rozdíly B, B, B. V tomto souboru rozdílů vynecháme nulové hodnoty a příslušně snížíme!. Dostaneme tak zkoumaný soubor 3. Předpokládáme-li platnost hypotézy, pak pro počet rozdílů s kladným znaménkem je 3~FE!,G1 2. Podle Moivrovy-Laplaceovy věty pro velké! platí 3~! 2,! 4. Lze tedy konstatovat, že při platnosti je J 3! 23!! ~0,1 4 Na hladině zamítáme hypotézu : BCB a přikloníme se k alternativní hypotéze : BC,B, Znaménkový test exaktní (přesný) Tento test se používá jen tehdy, je-li! malé a nelze použít Moivrovu-Laplaceovu větu. Vycházíme z předpokladu, že platí-li hypotéza, pak pro počet rozdílů s kladným znaménkem je 3~FE!,G1 2. To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota 3 bude blízko své střední hodnoty! 2. Zvolíme hladinu testu. Nalezneme největší číslo K a nejmenší číslo K, pro která ještě platí 3K 2, 3"K 2 Na hladině zamítáme hypotézu : BCB a přikloníme se k alternativní hypotéze : BC,B, když 3 K,K 3

4 Možná použití znaménkového testu Znaménkový test lze použít jako test o mediánu u náhodného výběru,, ze spojitého rozdělení Znaménkový test lze použít i místo jednovýběrového či párového t-testu. Výhodou znaménkového testu je, že u něj není požadováno normální rozdělení výběru. Nevýhodou znaménkového testu je, že u normálně rozděleného výběru je o něco větší chyba 2. druhu proti stejné chybě v t-testu. Jsme-li si jistí normalitou dat, je tudíž vhodnější použít t-test. Test o parametru p binomického rozdělení V některých případech máme k dispozici jen informaci, kolikrát při velkém počtu nezávislých opakování nastal určitý jev. Zajímá nás pravděpodobnost, že daný jev nastane. Budeme tedy testovat hypotézu o pravděpodobnosti. Test o parametru p binomického rozdělení asymptotický Předpokládejme, že máme k dispozici realizaci náhodné veličiny 3~FE!,G, například počet nějakých událostí v! stejných nezávislých pokusech. Chceme testovat hypotézu o pravděpodobnosti p, že událost nastane : GG proti alternativní hypotéze : G,G. Podle Moivrovy-Laplaceovy věty pro velké! platí 3~M! G,! G 1GN Lze tedy konstatovat, že při platnosti je 3! G J O! G 1G ~0,1 Na hladině zamítáme hypotézu : GG a přikloníme se k alternativní hypotéze : G,G, Poznámka Znaménkový test je speciálním případem testu o parametru binomického rozdělení pro G 1 2. Test o parametru p binomického rozdělení exaktní (přesný) Tento test používáme tehdy, je-li! malé. Předpokládejme, že máme k dispozici realizaci náhodné veličiny 3~FE!,G, například počet nějakých událostí v! stejných nezávislých pokusech. Očekáváme tedy, že zjištěná hodnoty 3 bude blízko své střední hodnoty! G. Zvolíme hladinu testu. Nalezneme největší číslo K a nejmenší číslo K, pro která ještě platí 3K 2, 3"K 2 Na hladině zamítáme hypotézu : GG a přikloníme se k alternativní hypotéze : G,G, 3 K,K Jednovýběrový Wilcoxonův test asymptotický Máme veličiny,, ze spojitého rozdělení se symetrickou hustotou s mediánem BC. Chceme testovat hypotézu : BCB proti alternativní hypotéze : BC,B, kde B je zadaná hodnota. Z dalšího zpracování vyloučíme pozorování, pro která je 6 B a příslušně snížíme!. Určíme průměrná pořadí P 6 A hodnot 6 B. 4

5 Test je založen na součtu pořadí P 6 A, to je těch hodnot 6 B, pro které je 6 B D0, neboli / 9 P 6 A 4 Q $R S T Vypočteme statistiku, která má za platnosti hypotézy : BCB asymptoticky normované normální rozdělení. Takovou statistikou je /!!?1 J 2!?1 24 Na hladině zamítáme hypotézu : BCB a přikloníme se k alternativní hypotéze : BC,B, Poznámka Tento test je založen na pořadí hodnot, nepožaduje se normalita. Jde o takzvaný neparametrický test. Nepředpokládáme u něj nějaké dané rozdělení s parametry, které je nutné odhadovat. Stejnou vlastnost má i znaménkový test. Wilcoxonův test je lepší než znaménkový test, protože má menší chybu 2. druhu. Poznámka k výběru testu Volíme-li mezi t-testem (případně párovým) a znaménkovým testem, pak záleží na situaci. Jsme-li si jisti normalitou, je vhodnější t-test, protože má menší chybu 2. druhu. Nemáme-li k dispozici přesná měření, ale jen počet kladných či záporných odchylek od hypotetického mediánu (znaménka), nezbývá, než použít znaménkový test. Pokud data nepocházejí z normálního rozdělení, ale máme k dispozici přesné hodnoty měření, lze použít jednovýběrový Wilcoxonův test. 5