Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos Bakalářská práce Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Lukáš Halouzka Brno 2014

Děkuji vedoucímu práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc., za cenné rady a připomínky, dále děkuji panu Stanislavu Kalovi, majiteli firmy Devos, za ochotu při konzultacích.

Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci: Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos vypracoval/a samostatně a veškeré použité prameny a informace jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Souhlasím, aby moje práce byla zveřejněna v souladu s 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách ve znění pozdějších předpisů, a v souladu s platnou Směrnicí o zveřejňování vysokoškolských závěrečných prací. Jsem si vědom/a, že se na moji práci vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., autorský zákon, a že Mendelova univerzita v Brně má právo na uzavření licenční smlouvy a užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 Autorského zákona. Dále se zavazuji, že před sepsáním licenční smlouvy o využití díla jinou osobou (subjektem) si vyžádám písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity, a zavazuji se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla, a to až do jejich skutečné výše. V Brně dne 23. prosince 2013

Abstract Halouzka, L. Optimalization plan of production mix in Devos. Bachelor thesis. Brno, 2013. This bachelor thesis is focused on finding the optimal structure of production while maximizing profits of the company Devos. To achieve this goal it is necessary to mathematically describe ongoing production processes using linear programming. Created mathematical model was made in the Lindo program. Next step is that the obtained draft of the optimal structure of production is a subject to the analysis of optimal solution sensitivity and results are being commented. Keywords Linear programming, optimalization plan of production mix, sensitivity analysis, Lindo. Abstrakt Halouzka, L. Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos. Bakalářská práce. Brno, 2013. Bakalářská práce se zabývá nalezením optimální struktury výroby při maximalizaci zisku ve firmě Devos. K tomuto vytyčenému cíli je zapotřebí matematicky popsat probíhající výrobní procesy pomocí lineárního programování. Vytvořený matematický model je vyřešen v programu Lindo. Následně je získaný návrh optimální struktury výroby podroben analýze citlivosti optimálního řešení a výsledky jsou komentovány. Klíčová slova Lineární programování, návrh optimalizace struktury výroby, analýza citlivosti, Lindo.

Obsah 6 Obsah 1 Úvod 9 2 Cíl práce a metodika 11 2.1 Cíl práce... 11 2.2 Metodika... 11 2.2.1 Identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace úlohy... 11 2.2.2 Sběr a zpracování informací... 12 2.2.3 Konstrukce matematického modelu... 12 2.2.4 Řešení a testování modelu... 12 2.2.5 Interpretace výsledků... 13 2.2.6 Analýza citlivosti optimálního řešení... 13 2.2.7 Návrhy na řešení... 13 3 Literární rešerše 14 3.1 Operační analýza... 14 3.2 Matematické programování... 15 3.3 Lineární programování... 15 3.4 Základní pojmy systémových věd... 17 3.5 Tvar zápisu modelu lineárního programování... 17 3.5.1 Účelová funkce... 18 3.5.2 Vlastní omezující podmínky... 18 3.5.3 Podmínky nezápornosti... 20 3.5.4 Vstupy v matematickém modelu... 20 3.6 Řešení modelu lineárního programování... 21 3.6.1 Cíl řešení... 21 3.7 Matematické modelování... 22 3.7.1 Matematický model... 22 3.8 Typy matematických modelů... 23 3.9 Postup tvorby matematického modelu LP... 23

Obsah 7 3.9.1 Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy... 24 3.9.2 Sběr a zpracování informací... 24 3.9.3 Konstrukce matematického modelu... 25 3.9.4 Řešení a testování modelu... 25 3.9.5 Interpretace výsledků... 26 3.9.6 Analýza citlivosti optimálního řešení... 27 3.9.7 Návrhy na řešení... 28 3.10 Ekonomické pojmy, postupy a metody... 28 4 Vlastní práce 31 4.1 Charakteristika zkoumaného podniku... 31 4.2 Tvorba ekonomicko-matematického modelu... 33 4.2.1 Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy... 33 4.2.2 Sběr a zpracování informací... 35 4.2.3 Konstrukce matematického modelu... 43 4.2.4 Řešení a testování modelu... 48 4.2.5 Interpretace výsledků... 48 4.2.6 Analýza citlivosti optimálního řešení... 49 4.2.7 Návrhy na řešení... 53 5 Závěr 55 6 Použitá literatura 57

Seznam tabulek 8 Seznam tabulek Tab. 1 Přehled celkové nabídky výrobků 32 Tab. 2 Průměrný objem a rozložení týdenní produkce za srpen 2013 34 Tab. 3 Celkové nepřímé měsíční náklady 37 Tab. 4 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 1 37 Tab. 5 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 2 38 Tab. 6 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 3 38 Tab. 7 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 6 38 Tab. 8 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 7 39 Tab. 9 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 9 39 Tab. 10 Suroviny na výrobu 40 Tab. 11 Spotřeba času jednotlivých výrobků 41 Tab. 12 Množství obalů na skladě 42 Tab. 13 Intervaly přípustnosti změn koeficientů účelové funkce 50 Tab. 14 Změna cen nezákladních proměnných 51 Tab. 15 Intervaly přípustnosti změn vektorů pravých stran 52

Úvod 9 1 Úvod V následujícím textu bakalářské práce se budu zabývat návrhem optimálního rozložení výrobní struktury ve firmě Devos. Hlavním cílem návrhu je maximalizovat zisk. Jedná se o problematiku řešenou v rámci vědecké disciplíny, která se nazývá operační analýzou, a přesněji její propracované části zvané lineární programování. Operační analýza se zrodila ve 30. letech 20. stol. a velký rozvoj nastal již v průběhu druhé světové války a v poválečném průmyslovém rozvoji. Zásadním milníkem ve vývoji oboru bylo představení prvního modelu úlohy lineárního programování v roce 1947 americkým vědcem G. B. Dantzigem a krátce na to zveřejněním algoritmu simplexovy metody, jednoho z dosud nejpoužívanějších postupů řešení úloh lineárního programování. Dnešní vývoj tohoto oboru je především závislý na rychlém rozvoji výpočetní techniky a optimalizačního softwaru a jejich snadné dostupnosti. K tématu lineárního programování jsem se dostal při studiu předmětu ekonomicko matematické metody, zde mě především zaujala možnost matematicky popsat probíhající výrobní procesy ve firmě. Tyto procesy lze dále analyzovat a optimalizovat. Dané problematice jsem se proto rozhodl věnovat v bakalářské práci a lineární programování podrobněji rozebrat a ověřit si svoje teoretické poznatky na praktickém příkladu. Pro dosažení vytyčeného cíle je třeba vytvořit matematický model pomocí metod a myšlenkových postupů lineárního programování. Model bude sloužit jako zjednodušené zobrazení sledovaného reálného objektu, v tomto případě firmy Devos. Závěrem úvodní části bych jen dodal, že v dnešní době odeznívající globální hospodářské recese, šetření a snižování nákladů, stojí často řídicí pracovníci před rozhodnutími, která by neměli řešit pouze pomocí vlastních zkušeností nebo intuicí. Lineární programování mohou podnikatelské subjekty všech velikostí využít jako jeden z dostupných prostředků pro racionální řešení

Úvod 10 problému a mohou být určitou konkurenční výhodou v náročném tržním prostředí. Získané výsledky nejsou jedinou možností řešení, je to pouze jedna z možných variant řešení.

Cíl práce a metodika 11 2 Cíl práce a metodika 2.1 Cíl práce Cílem bakalářské práce je návrh optimalizace struktury výroby z hlediska maximalizace zisku. Za objekt, který bude sloužit jako reálná předloha pro tvorbu modelu jsem si zvolil firmu Devos, jež vyrábí omítkové stěrky. Probíhající výrobní procesy popíši pomocí matematických výrazů, ze kterých vytvořím vhodný ekonomicko-matematický model, který bude úlohou lineárního programování. Optimální řešení matematického modelu získám prostřednictvím vhodného algoritmu počítačového programu Lindo. Získané matematické výsledky interpretuji do ekonomické roviny daného problému a optimální řešení podrobím analýze citlivosti. 2.2 Metodika V praktické části práce budu postupovat dle definicí a myšlenkových postupů získaných a nastudovaných z odborné literatury. Všechny potřebné poznatky a materiály, ze kterých byly získány, jsou uvedeny v kapitole Literární rešerše. Při řešení daného problému budu postupovat následujícími 7 kroky: identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace úlohy, sběr a zpracování informací, konstrukce matematického modelu, řešení a testování modelu, interpretace výsledků, analýza citlivosti optimálního řešení, návrhy na řešení. 2.2.1 Identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace úlohy Na začátku práce si nejdříve jasně identifikuji a definuji problém. Po analýze současného stavu firmy Devos zjistím, co problém vyvolává, ovlivňuje nebo omezuje. Vyberu vnější a vnitřní faktory, které budou na vytvářený model

Cíl práce a metodika 12 působit, zbylé označím za nadbytečné a vyloučím. Dále si jasně stanovím, za jakým účelem chci úlohu řešit. Tedy to, co má být výsledkem práce a na co mám zaměřit tvorbu výsledného ekonomicko-matematického modelu. Nakonec v této části práce zformuluji, pro snadnější tvorbu výsledného modelu, ekonomický (slovní) model úlohy. 2.2.2 Sběr a zpracování informací V této fázi budu získávat potřebná vstupní data pro naplnění modelu. Z předešlé části práce jsou vybrané podstatné faktory a vlivy působící na zkoumaný objekt a dle toho získám kvalitní a odpovídající informace. Data jsem se rozhodl zpracovat do přehledných tabulek. Připravené tabulky naplním vhodnými vstupními údaji. Potřebné údaje získám z dat, která firma vede a uchovává. Získané a zpracované vstupní údaje následně použiji pro tvorbu konečného ekonomicko-matematického modelu v další etapě práce. 2.2.3 Konstrukce matematického modelu Třetí etapa je částí práce, v níž budu konstruovat vlastní model. Z první fáze práce mám již sestavenou slovní podobu úlohy. Tuto předlohu pro finální model převedu do podoby matematických výrazů (soustavy lineárních rovnic a nerovnic). Matematický model vytvořím z několika částí: definuji hledané proměnné, zapíši účelovou funkci a omezující podmínky. Část modelu omezující podmínky vytvořím z těchto částí: spotřeba surovin, výrobní pracnost, omezení výrobní kapacity firmy Devos a počty obalů na balení výrobků. Třetí etapa bývá často propojena s druhou etapou, protože mohu při tvorbě samotného modelu zjistit, že získané a zpracované informace nebudou stačit, a proto bude třeba vstupní data rozšířit a doplnit o další chybějící a potřebné údaje. 2.2.4 Řešení a testování modelu Vlastní řešení již zkonstruovaného ekonomicko-matematického modelu provedu v programu Lindo ve verzi 6.1. Do programu vložím sesbírané vstupní údaje a vytvořím z nich model s definovanými proměnnými, účelovou funkcí

Cíl práce a metodika 13 a vlastními omezujícími podmínkami. Takto připravený model v programu Lindo vypočítám pomocí funkce Solve. 2.2.5 Interpretace výsledků V páté etapě uvedu vlastní vypočítané řešení, které se bude skládat z optimálního množství výroby jednotlivých výrobků, z vypočítané hodnoty účelové funkce a z hodnot potřebných pro následnou analýzu citlivosti optimálního řešení. 2.2.6 Analýza citlivosti optimálního řešení Následně získané optimální rozložení výroby podrobím analýze citlivosti, která se bude skládat z analýzy citlivosti cenových koeficientů účelové funkce a analýzy citlivosti pravých stran omezujících podmínek. 2.2.7 Návrhy na řešení V poslední části bych měl dané výsledky implementovat do reálného objektu, který je předlohou vytvořeného matematického modelu. Svou práci však považuji pouze za teoretický návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos, a proto v této etapě provedu různé experimenty s vytvořeným modelem, abych ukázal jejich vliv na výsledné řešení.

Literární rešerše 14 3 Literární rešerše V následující kapitole bakalářské práce jsou uvedeny potřebné pojmy, definice a poznatky nezbytné pro teoretické pochopení řešeného problému pomocí matematického modelování a lineárního programování. 3.1 Operační analýza Za počátek samostatné vědní disciplíny jsou považována 30. léta 20. století. U zrodu a vývoje operační analýzy lze najít jména takových vědců a matematiků, jako jsou G. B. Dantzig, L. V. Kantorovič, John von Neumann nebo Ralph E. Gomory. Velký rozvoj prodělala operační analýza v průběhu druhé světové války, kdy její metody pomáhaly řešit rozsáhlé vojenské operace, především v oblasti logistiky a zásobování. Dále se rychle vyvíjela v době poválečného průmyslového rozvoje 50. let 20. století, kdy vyzkoušené poznatky získané z válečného období byly využity především v ekonomických oblastech potravinářského, ocelářského a ropného průmyslu. Často se v odborné literatuře uvádí jiné názvy operační analýzy, jako jsou operační výzkum, kvantitativní metody nebo ekonomicko-matematické metody. Mezinárodní společnost Society of Operational Research sdružující odborníky z oboru, zformulovala oficiální charakteristiku operační analýzy, která zní:,,operační analýza je aplikace vědeckých metod na komplex problémů vznikajících při řízení složitých systémů lidí, strojů, materiálních a finančních prostředků ve výrobě, obchodu a vojenství. Zvláštností přístupu je sestavení vědeckého modelu systému, zahrnujícího měření takových faktorů, jako jsou šance a riziko, pomocí kterého je možno předvídat a srovnávat výsledky alternativního rozhodnutí, strategií nebo řízení. Účelem je pomoci vedoucím pracovníkům určit jejich rozhodnutí vědecky. 1 Operační analýza je soubor samostatných vědních disciplín, který je velmi obsáhlý a má mnoho odvětví. Její rozsah je dán především širokou rozmanitostí 1 GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. 1.vyd. Praha: Grada, 2003. s. 12.

Literární rešerše 15 řešených ekonomických problémů a rozděluje se na tyto vědní disciplíny (údaje v závorkách jsou letopočty vzniku vědních disciplín): matematické programování (1947), síťová analýza (1957), strukturní analýza (1939), modely řízení zásob (1951), nelineární programování (1951), modely hromadné obsluhy (1951), teorie her (1944). Cílem je propočítat operace tak, aby bylo v rámci daných omezení dosaženo optimálního nebo alespoň optimu blízkého výsledku. 2 Ve své bakalářské práci se soustředím na část oboru operační analýzy nazvanou lineární programování. 3.2 Matematické programování Matematické programování je nejpropracovanější disciplína v operační analýze. Do oblasti matematického programování patří lineární, nelineární, vícekriteriální a cílové programování. Společným charakteristickým znakem všech uvedených oblastí je hledání extrémů funkcí na nekonečné či konečné množině řešení splňující zadané podmínky. 3 3.3 Lineární programování Lineární programování je považováno za základ operační analýzy a vzniklo v roce 1947, kdy Američan G. B. Dantzig uveřejnil první model úlohy lineárního programování. Krátce na to byla zveřejněna i simplexová metoda, která je jednou z nejpoužívanějších metod pro řešení úloh lineárního programování. Je to nejrozsáhlejší skupina matematických modelů pro řešení rozhodovacích situací v ekonomických oblastech života. 2 TYC, O. Operační výzkum. 1.vyd. Brno: MZLU, 2003. s. 4. 3 FÁBRY, J. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE nakladatelství Oeconomica, 2007. s. 15.

Literární rešerše 16 Ve srovnání s modely ostatních disciplín operačního výzkumu patří lineární optimalizační model k těm jednodušším. Uvažujeme v něm existenci pouze lineárních vztahů mezi sledovanými veličinami, neuvažujeme vývoj v závislosti na čase a rovněž neuvažujeme vliv náhodných jevů na sledované veličiny. 4 Typové úlohy s ekonomickým zaměřením, které jsou řešeny v rámci lineárního programování: výrobního plánování (problém alokace zdrojů), finančního plánování (optimalizace portfolia), plánování reklamy, směšovací úlohy, nutriční problém (úloha o výživě), úlohy o dělení materiálu, distribuční úlohy, rozvrhování pracovníků. V úlohách výrobního plánování se jedná o určení struktury výrobního programu při respektování celé řady často velmi rozmanitých podmínek. 5,,Danou úlohu označíme za úlohu lineárního programovaní, jsou-li kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy. 6 To znamená, že všechny proměnné se vyskytují v první mocnině. Pokud se nacházejí proměnné v druhé a vyšší mocnině, jedná se o úlohu nelineárního programování, která má ovšem daleko těžší řešení, proto se úlohy nelineárního programování rozkládají na více jednodušších úloh lineárního programování. 4 LAGOVÁ, M. Lineární modely v ekonomii. 1. vyd. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyně, 1994. s. 10. 5 JABLONSKÝ, J. Modely operačního výzkumu. 1. vyd. Hradec Králové: GAUDEAMUS, 2002. s. 63. 6 PLEVNÝ, M. ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 14.

Literární rešerše 17 3.4 Základní pojmy systémových věd Následující výrazy jsou zavedené základní pojmy v teorii modelování a v teorii systémů, bez kterých se při studiu problematiky matematického modelování a lineárního programování nelze obejít, a proto je nutné je zde uvést.,,objekt můžeme chápat jako skutečné předměty našeho zájmu a cíle našeho snažení. Systémem budeme označovat uspořádaný soubor vzájemně propojených částí prvků tvořících celek se společnou funkcí, chováním. Systém je také považován za obraz reálného objektu, který je cíleně zjednodušen. Prvek sytému je základní a relativně samostatná část systému, na dané rozlišovací úrovni nedělitelná. Prvek systému má jisté vlastnosti důležité pro existenci a fungování celého systému. Vazby v systému propojují prvky v systému do jednoho celku a dále spojují s jeho okolím. Struktura systému je tvořena prvky a mezi nimi existujícími vazbami. Okolí systému tvoří všechno, co systém obklopuje a má s ním společné vazby. Okolí systému jednak ovlivňuje systém, ale je také systémem ovlivňováno. 7 3.5 Tvar zápisu modelu lineárního programování V této části práce se zabývám tvaru zápisu úlohy lineárního programování. Nejdříve uvedu jeho obecný zápis. Dále bude následovat detailní popis všech jeho vztahů. Obecný tvar lineárního matematického modelu (v rozepsané formě) má tuto podobu: z =c x + c x +... + c x (1) extr 1 1 2 2 n n a x + a x +... + a x 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x +... + a x b.. 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x +... + a x b (2) m1 1 m2 2 mn n m x, x,...,x 0 1 2 n b (3) vztah (1) lineární mnohočlen, zvaný účelová funkce, 7 HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 7 8.

Literární rešerše 18 vztah (2) vlastní omezující podmínky, vztah (3) soustava nerovnic tzv. podmínky nezápornosti. 8 Výše rozepsaný matematický model je složen ze 3 hlavních části, které jsou detailně rozebrány níže: účelová funkce, vlastní omezující podmínky, podmínky nezápornosti. 3.5.1 Účelová funkce Je matematické vyjádření slovně stanoveného cíle řešení daného problému. Jedná se o lineární mnohočlen, který má všechny proměnné v první mocnině. Účelová funkce je kritériem pro zvolení optimálního řešení. Nejčastěji se pro tuto funkci používá označení účelová, užitková nebo kriteriální funkce. V úlohách lineárního programování se hledá extrém této funkce při splnění zadaných omezujících podmínek. Jsou dva typy účelové funkce: maximalizační, minimalizační. Jakoukoliv maximalizační úlohu lineárního programování je možné převést na minimalizační změnou znaménka u koeficientů účelové funkce.,,označíme-li f (x) účelovou funkci maximalizační a f * ( x ) minimalizační úlohy, potom * pro jejich extrémní hodnoty platí f x ) f ( ). 9 ( 0 x0 Důležité je také uvést správné jednotky výsledku účelové funkce. 3.5.2 Vlastní omezující podmínky Omezující podmínky jsou matematickým vyjadřením všech omezujících faktorů podstatných pro danou úlohu. Mají podobu soustavy linearních rovnic a/nebo nerovnic. Podle vazeb ke zkoumanému systému se rozdělují na dva typy: exogenní (vnější) vazby systému, 8 HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 11. 9 LINDA, B. VOLEK, J. Lineární programování. 4. vyd. Univerzita Pardubice, 2011. s. 52.

Literární rešerše 19 endogenní (vnitřní) vazby systému. Omezující podmínky v modelech LP můžeme rozdělit do čtyř skupin: Kapacitní omezení typu, spotřeba nesmí přesáhnout kapacitu, Garanční (požadovaná) omezení typu, produkce musí být alespoň tak velká jako spotřeba, Bilanční podmínka omezení typu nebo menší než zdroj,,,, spotřeba musí být větší, stejná Omezení ve formě rovnice produkce je rovna požadavku, spotřeba využije celý zdroj. 10 Obsah omezujících podmínek je dán podle typu úlohy lineárního programování. Omezení se nejčastěji týkají: Spotřeby materiálových a energetických vstupů. Omezení vyjadřuje jednotlivé spotřeby surovin, materiálů a energií potřebných pro výrobu daných výrobků. Pravé strany těchto lineárních výrazů vyjadřují množství surovin, energií a jiných vstupů, které jsou k dispozici pro dané účely. Pracnost znázorňuje čas potřebný pro výrobu. Pravá strana vyjadřuje disponibilní časový pracovní fond, který je k dispozici. Výrobní kapacity podniku. Výrobní kapacita podniku je maximální objem produkce, který lze vyrobit při dané technologické a organizační úrovni výroby za dané období. 11 Podle publikace Plevného a Žižky (2007) se omezující podmínky definují takto:,,omezující podmínky vyjadřují omezení a závazky, které jsme nuceni při řešení splnit. Je to obvykle soustava rovnic či nerovnic, z nichž každá vyjadřuje jedno konkrétní omezení. 12 10 ZÍSKAL, J. HAVLÍČEK, J. Ekonomicko-matematické metody I. Studijní texty pro distanční studium. 2. vyd. Česká zemědělská univerzita v Praze, 2001. s. 110. 11 LUŇÁČEK, J. HERALECKÝ, T. Optimalizace podnikových aktivit. 1. vyd. Ostrava: KEY Publishing, 2009. s. 75. 12 PLEVNÝ, M. ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 18.

Literární rešerše 20 Většinou vyjadřují např.: spotřebu surovin, kapacitní omezení skladů, kapacitní omezení výrobních kapacit, časovou náročnost výroby, atd. V omezujících podmínkách jsou dva typy parametrů.,,jsou to jednak strukturní koeficienty, které popisují vztah mezi činiteli a procesy, a jednak pravé strany, které definují absolutní úroveň činitelů. 13 Důležité je vždy uvádět u všech rovnic či nerovnic, v jakých jednotkách jsou zapsány. 3.5.3 Podmínky nezápornosti Součástí omezujících podmínek jsou i podmínky nezápornosti. Jsou nazývány jako obligátní podmínky a zaručují to, že proměnné obsažené v modelu nemohou nabývat záporných hodnot. Jde o podmínky, které vymezují definiční obor jednotlivých proměnných. 14 3.5.4 Vstupy v matematickém modelu Vstupy v modelu se rozdělují na: řiditelné vstupy (rozhodovací proměnné), neřiditelné vstupy (faktory prostředí). Řiditelné vstupy jsou takové proměnné, jejichž číselné hodnoty se vypočítávají. Pomocí těchto proměnných se optimalizují probíhající procesy a pro každý ze sledovaných procesů se přiřadí jedna proměnná. V úlohách výrobního plánování lineárního programování se především jedná o procesy, které vyjadřují počet vyráběných výrobků. Například ve firmě, kde se vyrábí 3 druhy výrobků, se označí jednotlivé výrobní procesy jako x 1, x2, x3.,,správné určení rozhodovacích proměnných matematického modelu je výrazným krokem k úspěchu při jeho konstrukci. Jednotlivé rozhodovací 13 JABLONSKÝ, J. Operační výzkum kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional publishing, 2007. s. 22. 14 PLEVNÝ, M. ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 18.

Literární rešerše 21 proměnné popisují číselnou hodnotou procesy, které v systému probíhají a které mají vliv na definovaný cíl prováděné analýzy. 15 Neřiditelné vstupy se nacházejí v modelu jako konstanty, a proto je nelze jakkoliv ovlivňovat (nejsou to proměnné). Vystupují zde jako kapacitní omezení výroby, spotřeba surovin pro výrobu, ceny nákupu surovin, spotřeba strojového času a další omezení. Tyto vstupy v modelu tvoří vlastní omezující podmínky. 3.6 Řešení modelu lineárního programování Úlohy lineárního programovaní jsou nejčastěji řešeny pomocí simplexové metody a jejího primárního algoritmu. Tento algoritmus byl vytvořen americkým vědcem a matematikem G. B. Dantzigem v roce 1947. 3.6.1 Cíl řešení Cílem řešení úloh lineárního programování je nalezení optimálního řešení. Optimální řešení je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce (s nejvyšší hodnotou v případě maximalizace a s nejnižší hodnotou v případě minimalizace účelové funkce). 16 Při předpokladu, že řešená úloha má optimální řešení, mohou nastat dvě rozdílné situace: úloha má 1 optimální řešení, úloha má více optimálních řešení. Úloha, která má více optimálních řešení se pozná podle výstupních dat v analýze citlivosti, kde hodnoty změn cen (koeficientů účelové funkce) nezákladních proměnných (tj. proměnné nezařazené do optimálního řešení) jsou rovny nule. 15 PLEVNÝ, M. ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 32. 16 JABLONSKÝ, J. Operační výzkum kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional publishing, 2007. s. 41.

Literární rešerše 22 3.7 Matematické modelování Při dnešním rychlém rozvoji výpočetní techniky je tento obor velmi rozsáhlý a zahrnuje mnoho disciplín jako např.: modelování fyzikálních či chemických jevů, klimatických nebo biologických procesů. Ve své práci se soustředím na modelování, které souvisí s ekonomickým chováním a rozhodováním. Modelováním rozumíme postup od objektivní reality k modelu. 17 Snahou matematického modelování je zjednodušeně popsat reálný objekt, který je předmětem našeho zájmu. Častým důvodem pro vytváření modelu je vznik důležité rozhodovací situace. Většinou jde o situace, kterými se zabývá vyšší management firmy či podniku. Jedním z podpůrných prostředků pro racionální rozhodování vedoucích pracovníků v často životně důležitých situacích podniku je použití matematického modelu. 3.7.1 Matematický model Cílem matematického modelování je vytvořit vhodný matematický model. S myšlenkou, že lze matematicky popsat probíhající výrobní procesy, přišel jako první sovětský matematik L. V. Kantorovič 18 ve své studii s názvem Matematické metody organizace a plánování výroby. Matematické modely se používají zejména v přírodních vědách a technických disciplínách (např.: fyzika, biologie a elektrotechnika), ale i ve společenských vědách (např.: ekonomie, sociologie a politologie). 19 Můj matematický model znázorňuje používané průmyslové procesy ve firmě Devos. Průmyslové procesy jsou takové procesy, jejichž vstupem jsou hmotné věci, tj. suroviny a materiál. Výstupem z průmyslových procesů může být surovina nebo polotovar pro další průmyslový proces, a zejména výsledný produkt. 20 17 RAIS, K. Základy optimalizace a rozhodování. 10. vyd. Brno: MSD, 2005. s. 19. 18 Zakladatel lineárního programování, laureát Nobelovy ceny za ekonomii (1975). 19 Science Daily [online]. c2013, poslední revize 2013 [cit.2013-18-11]. Dostupné z: <http://www.sciencedaily.com/articles/m/mathematical_model.htm>. 20 BASL, J. a spol. Modelování a optimalizace podnikových procesů. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2002. s. 32.

Literární rešerše 23 Dle Plevného a Žižky (2007) lze model definovat takto:,,ekonomickomatematický model je zjednodušené zobrazení, resp. matematický popis reálného systému, který obsahuje pouze prvky a vazby mezi těmito prvky podstatné pro zkoumaný ekonomický problém. 21 Z výše uvedené definice vyplývá důležitost použití právě těch prvků a vazeb reálného systému, které bezprostředně souvisejí s daným problémem. V praxi je velmi důležité tuto zásadu dodržovat. V opačném případě, kdy se do modelu zahrnou i nepodstatné prvky sledovaného objektu, bude model velmi složitý a obsáhlý. Může se také stát, že takový model bude až zcela neřešitelný dostupnými prostředky nebo jeho výsledky nebudou požadovaným řešením problému. Naopak při nezahrnutí podstatného prvku do modelu bude výsledný model dávat nepřesné a špatné výsledky. Proto je nutné při vytváření modelů najít určitý kompromis mezi věrnou kopií skutečnosti a snadnou řešitelností úlohy vyjádřené daným modelem. 22 3.8 Typy matematických modelů V operační analýze je mnoho typů matematických modelů a dle Dudorkina (1997) je lze rozdělovat na: Modely stochastické (obsahují náhodné veličiny) a deterministické (neobsahují náhodné veličiny), dynamické (zobrazují časové změny) a statické (nezobrazují časové změny), rozhodovací (mají tzv. kriteriální funkci, jejíž extrém se hledá) a technologické (bez kriteriální funkce). 23 Tvar a typ modelu je dán cílem jeho vytváření. 3.9 Postup tvorby matematického modelu LP V odborné literatuře popisují různí autoři etapy, myšlenkové postupy a zásady při tvorbě modelu často odlišným způsobem. Někteří uvádějí např.: nejdříve 21 PLEVNÝ, M. ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 14. 22 FÁBRY, J. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE nakladatelství Oeconomica, 2007. s. 7. 23 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 6.

Literární rešerše 24 matematický model vytvoří a až poté shromáždí potřebné vstupní údaje, naopak jiní nejdříve shromáždí vstupní údaje a až následně poté vytvářejí vlastní model. Tyto odlišné myšlenkové postupy jsou dány širokou rozmanitostí typů řešených úloh a často se přistupuje k řešení každé úlohy rozdílným způsobem. Je na tvůrci matematického modelu jaký postup tvorby vybere, ale vždy by ho měl dovést ke stejnému závěru. Tedy k úspěšnému vytvoření a vyřešení modelu. Při tvorbě mého modelu jsem se rozhodl rozdělit práci na 7 etap (viz. str. 11). Jednotlivé etapy nejsou uzavřené, ba naopak jsou vzájemně propojené, doplňují se a ovlivňují mezi sebou. 3.9.1 Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy Obsah první etapy řešení daného problému je rozdělen na čtyři základní kroky, kterými jsou identifikace a definice problému, definování cíle a následné vytvoření slovní formulace úlohy. Slovní model slouží jako zjednodušená předloha pro tvorbu finálního matematického modelu. Splněním uvedených čtyř kroků se předejde jedné z nejčastějších chyb. Tato chyba je určení neúplné množiny prvků a faktorů, které vytvářený model ovlivňují, nebo naopak zahrnutí i nepodstatných faktorů do výsledného modelu, což může způsobit přílišnou rozsáhlost úlohy.,,tato část vyúsťuje v definici problému a stanovení alternativ jeho řešení. Na základě výsledků této analýzy se též stanoví přesná kritéria pro hodnocení alternativ. Již ve fázi formulace úlohy se předběžně určuje rozměr úlohy, popř.: její rozklad na úlohy jednoduší, uvažují se možné přístupy k jejímu řešení a stanoví se doba předpokládané životnosti modelu. 24 3.9.2 Sběr a zpracování informací Druhá etapa je velmi časově náročná. Jedná se o sběr a zpracování potřebných vstupních údajů pro matematický model. V první řadě je nejdůležitější dbát 24 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 8.

Literární rešerše 25 na věrohodnost a správnost vstupních dat. Toto pravidlo je nutné bezpodmínečně dodržovat, protože správný model se špatnými daty dává nesprávný nebo neúplný výsledek. Vytvořená informační základna je základem ke konstrukci matematického modelu zkoumané operace. K upřesnění informačních potřeb dochází po sestavení matematického modelu, v němž mohou být respektovány vlivy, pro jejichž kvantifikaci je třeba získat další údaje. 25 3.9.3 Konstrukce matematického modelu Vlastní konstrukce matematického modelu se vytváří na základě ekonomického (slovního) tvaru úlohy z předchozí části. Pro model se použijí již nalezené a určené vstupy (viz. str. 20). Pomocí lineárního mnohočlenu se zapisuje účelová funkce, která matematicky vyjadřuje slovně definovaný cíl. Následně se soustavou lineárních rovnic a nerovnic vyjádří všechny faktory, které v modelu vystupují jako omezující podmínky. Nakonec se zapisují podmínky nezápornosti. Důležité je u všech uvedených výrazů vyjasnit použité měrné jednotky. Tvorbu matematického modelu lze popsat takto: Definujeme proměnné (prvky systému), jejichž žádoucí velikost hledáme, matematickými prostředky popisujeme vztahy mezi proměnnými (struktura systému a vztahy k okolí) a požadovaná či existenční omezení, matematicky vyjádříme i cíl chování systému jako funkci proměnných. Jde o to, aby model zůstal co možná nejjednodušší, ale aby zároveň co nejvěrněji popisoval realitu mezi těmito protichůdnými požadavky hledá kompromis. 26 3.9.4 Řešení a testování modelu V dnešní době je na trhu široké spektrum nabízeného optimalizačního softwaru pro řešení úloh matematického programování. Na výběr je od jednodušších programů jako jsou STORM, Lingo, What sbest!, Lindo až po profesionální 25 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 9. 26 HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 9.

Literární rešerše 26 systémy (XA, OSL, XPRESS). Pro začínající a mírně pokročilé tvůrce matematických modelů je nejlepší zvolit program méně náročný na ovládání např.: STORM, What sbest!, Lindo, který lze většinou stáhnout a používat v omezené verzi zdarma. Vhodný program se vybere dle požadovaných vlastností jako je rychlost řešení, ovládání, podporované funkce programu a v neposlední řadě hraje důležitou roli cena. V mojí práci používám program Lindo ve verzi 6.1, jenž vytváří firma Lindo system inc. 27 a je primárně určen pro řešení úloh lineárního programování. Modely vytvořené v této verzi programu mohou obsahovat až 300 proměnných a až 150 vlastních omezujících podmínek. Optimalizační systém Lindo je jedním z nejpoužívanějších a výpočetně nejspolehlivějších komerčně šířených optimalizačních systémů. Dodává se od studentských verzí vhodných pro řešení úloh relativně malých rozměrů až po profesionální verze schopné řešit úlohy o několika desítkách tisíc proměnných a omezení. 28 3.9.5 Interpretace výsledků V páté etapě práce se získané matematické výsledky převádějí do ekonomické roviny. Zde se analyzují výsledky, které nesou informace o optimálním rozložení výroby jednotlivých typů výrobků, velikosti hodnoty účelové funkce a hodnotách výstupních dat potřebných pro analýzu citlivosti v následující části práce. Interpretace výsledků je překlad výsledků řešení matematického modelu ze světa symbolického do světa reálných pojmů, vysvětlení paradoxních výsledků, provedení postoptimalizačních rozborů apod. V této fázi tvůrčím způsobem analyzujeme a hodnotíme konkrétní smysl řešení, srovnáváme řešení s našimi dosavadními zkušenostmi, konfrontujeme jej se zavedenými hypotézami o předmětu modelování. 29 27 Firma se zabývá např.: tvorbou a prodejem softwaru pro optimalizační výpočty pro úlohy lineárního programování, nelineárního programování a stochastického programování, atd. 28 LAUBER, J. JABLONSKÝ, J. Programy pro matematické modelování I. 1. vyd. Praha: VŠE, 1997. s. 149. 29 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 11.

Literární rešerše 27 3.9.6 Analýza citlivosti optimálního řešení Po získání optimálního řešení matematického modelu následuje analýza citlivosti. Tato část přináší odpovědi na otázky: jak stabilní je dané optimální řešení, za jakých podmínek ještě platí a kdy již dochází ke změně řešení, v jakém smyslu se mění výsledky optimálního řešení, při jakých změnách výchozích dat, jak široké jsou tyto přípustné intervaly, na která data je model citlivý a na která naopak bere jen nepatrný zřetel i při jejich dosti rozsáhlých změnách apod. 30 částí: Analýza citlivosti cenových koeficientů účelové funkce je složená ze dvou Změna cen nezákladních proměnných se neprojeví v hodnotě účelové funkce, zjišťujeme, jak velká změna ceny zvolené nezákladní proměnné musí být, aby se stala základní proměnnou. Změna cen základních proměnných ovlivní hodnotu účelové funkce, změna cen musí být v určitém intervalu, aby nenastala změna báze. 31 V analýze citlivosti pravých stran omezujících podmínek se vypočítávají intervaly, ve kterých se hodnoty pravých stran mohou pohybovat. Změní-li se hodnota pravé strany b m, tak získané základní proměnné zůstanou stejné a změní se pouze hodnoty, kterých nabývají. Hodnota účelové funkce je změněna také. Úpravy v hodnotách pravých stran je možné provádět pouze za předpokladu, že se mění pouze jen v jedné omezující podmínce. Je-li změněno více hodnot pravých stran zároveň, tak jsou následně získány zcela nové proměnné zařazené do optimálního řešení. 30 KRACÍK, J. Aplikace metod postoptimalizační analýzy ve strukturních modelech. Praha: VÚSTE, 1970. s. 10. 31 FRIEBELOVÁ, J. Lineární programování [online]. Poslední revize 2006 [cit 2013-11-1]. s.16. Dostupné z: <http://www2.ef.jcu.cz/~jfrieb/rmp/data/teorie_oa/linearni_programova NI.pdf>.

Literární rešerše 28 Such analysis can often be more important in practice than finding the optimal solution. It is a very important part of solving linear programs in practice. 32 3.9.7 Návrhy na řešení Poslední etapu mé práce jsem nazval návrhy na řešení, ale obvykle bývá nazývána jako implementace. Tento název volím z toho důvodu, že v mé práci se pohybuji jen v rovině teoretické práce s modelem, a proto moje výsledky nebudou pravděpodobně v reálném systému uplatněny. Návrhy na řešení vyplývají ze srovnání získaného optimálního rozložení výroby a stávající podoby struktury výroby. Ve vytvořeném matematickém modelu lze provádět experimenty se změnou vstupních údajů. Výhodou těchto experimentů je, že je lze provádět s minimálními náklady a jsou méně časově náročné oproti zavedení těchto změn přímo v reálném systému.,,tyto změny mohou být způsobeny technickým rozvojem, novou organizací, změnou dodavatelsko-odběratelských vztahů, úpravou ukazatelů plánu, cenovými úpravami plánu apod. V modelu se to projeví změnou některých parametrů nebo změnou rozměrů modelů. 33 3.10 Ekonomické pojmy, postupy a metody Při řešení hospodářských problémů pomocí lineárního programovaní se vždy používají poznatky a metody získané v ekonomických předmětech. Především znalosti z podnikové ekonomiky jsou nezbytné k získání kvalitních vstupních dat pro model a také při následné interpretaci získaných výsledků. Jedná se zejména o zjištění a vypočítání cenových koeficientů účelové funkce, které v modelu vystupují jako zisk. V ekonomickém prostředí je mnoho druhů zisku, a proto se jasně formuluje co představuje. Pro potřeby modelu 32 DANTZIG, G. THAPA, M. Linear Programming 1: Introduction. 3. vyd. New York: Springer, 1997. s. 171. 33 BECK, J. a kolektiv. Lineární modely v ekonomii. 1.vyd. Praha: SNTL, 1982. s. 116.

Literární rešerše 29 jsem zvolil ukazatele zisku před započtením úroků, daní a odpisu (EBITDA). Samozřejmě při tvorbě matematických modelů lze použít i jiné typy zisku, ale musí být přesně vymezeny. Zkratka EBITDA pochází z anglického názvu Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization. Ukazatel EBITDA vypočítám jako rozdíl tržeb z prodeje jednotlivých výrobků a úplných vlastních nákladů. EBITDA = Tržby Úplné vlastní náklady Úplné vlastní náklady se rozpočítávají na kalkulační jednici. Kalkulační jednice je dělení nákladů na určitý výkon např.: výrobek či polotovar a je vymezena jednotkou, např.: délka (m), čas (h), hmotnost (kg, tuna). Pro model jsem zvolil určení úplných vlastních nákladů na 1 tunu jednotlivých výrobků. Úplné vlastní náklady lze rozdělit dle možného kalkulačního vzorce na 2 skupiny: přímé náklady a nepřímé náklady. Přímé náklady je možné jednotlivým výkonům (kalkulačním jednicím) přiřadit přímo při jejich vzniku. 34 Do skupiny přímých nákladů se zařazují následující položky: přímý materiál, přímé mzdy a ostatní přímé náklady. Je potřebné dodržet, aby se co nejvíce nákladů stanovovalo přímo. Nepřímé náklady jsou náklady společně vynakládané na celé kalkulované množství, více druhů výrobků nebo zajištění chodu celého podniku, které není možné stanovit na kalkulační jednici přímo, nebo jejichž přímé určování by bylo nehospodárné. 35 Do této skupiny nákladů patří následující položky: výrobní (provozní) režie, správní režie, odbytová režie. 34 MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 67. 35 MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 67.

Literární rešerše 30 K rozvrhování nepřímých nákladů na kalkulační jednici se velmi často používá tzv. rozvrhová sazba. 36 Rozvrhová sazbu má následující podobu: rozvrhová sazba= =nepřímé náklady za období/rozvrhová základna za dané období Pro rozpočítání nepřímých nákladů jsem jako rozvrhovou základnu zvolil počet vyrobených jednotek v tunách. 36 MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 69.

Vlastní práce 31 4 Vlastní práce V úvodu této kapitoly bude stručně představena firma Devos. Dále zde uvedu oblast výrobní činnosti firmy a detailní popis nabízených výrobků včetně používaných postupů a surovin potřebných k výrobě. Následovat bude část formulace a řešení úlohy zjištěného problému v rámci lineárního programování. 4.1 Charakteristika zkoumaného podniku Název: Stanislav Kala Sídlo: Táborské návrší 563, Bílovice nad Svitavou 664 01 IČO: 14666341 Den zápisu: 14. 12. 1992 Právní forma: fyzická osoba OSVČ Za objekt zkoumání jsem v bakalářské práci zvolil firmu Devos. Jelikož se jedná o fyzickou osobu, tak používaný název Devos je obchodní označení pro podnikatelské aktivity pana Kaly. Firma Devos byla založena v roce 1992 a působí na trhu jako výrobce omítkových směsí pro interiéry. Hlavním impulsem pro založení firmy byl velmi rychlý rozvoj na poli soukromého podnikání v České republice a také raketový růst v oborech stavebnictví a průmyslové výroby. Na samém počátku výroby se firma nacházela v provizorních prostorách staré stodoly. Odtud se po roce přestěhovala do menšího areálu v Brně. Nová poloha firmy měla řadu výhod. Především lepší výrobní a nevýrobní prostory a nacházela se také na lepším místě z pohledu logistiky. Na začátcích své existence vyráběla pouze jeden typ výrobku. Neměla žádného stálého zaměstnance a všechno dělal sám zakladatel a majitel firmy pan Stanislav Kala. Výrobní kapacita se pohybovala na hranici 2 a půl tuny výrobku za den a firma hospodařila na ploše 150 m 2.

Vlastní práce 32 V roce 2005 se firma přestěhovala do nových prostorů v Brně, kde se nachází veškeré výrobní prostory a kapacity. Tyto prostory mají celkovou rozlohu 450 m 2. Firma také investovala do svého rozvoje a nakoupila nová moderní výrobní zařízení. Nyní zde pracují 3 stálí zaměstnanci a výrobní kapacity vzrostly na produkci 10 tun výrobků za den. Ve výjimečných případech až na maximálně možných 12 tun. Výrobní postupy byly více automatizovány a sortiment výrobků se rozšířil na 6 stálých typů výrobků. Názvy těchto výrobků jsou následující: Devoskyt 1, Devoskyt 2, Devoskyt 3, Devoskyt 6, Devoskyt 7 a Devoskyt 9. Výrobky jsou baleny do různých obalů podle váhy dle objednávky odběratele. Tab. 1 Přehled celkové nabídky výrobků Výrobky Druh balení 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg Devoskyt 1 Devoskyt 2 Devoskyt 3 Devoskyt 6 Devoskyt 7 Devoskyt 9 Zdroj: Devos V tabulce č. 1 jsou vypsány všechny omítkové směsi, které firma Devos vyrábí. Hlavními rozdíly mezi jednotlivými druhy výrobků jsou jejich vlastnosti, jimiž jsou hustota a hrubost. Tyto vlastnosti jsou získány použitím různých druhů vápence, který je hlavní složkou všech výrobků. Použití jiného druhu vápence znamená rozdílnou hustotu a jemnost výsledných výrobků. Některé výrobky se tedy používají na finální úpravy stěn a jiné jako základní podklad pro další úpravy. Ve výrobním procesů se používají suroviny: dva druhy vápence, dále jsou použita různá technická vlákna, záhustky, lepidla, protiplísňová složka a voda. Mezi stále odběratele firmy patří velkoobchody s barvami a nátěrovými hmotami Triga color, a. s., Panter, a. s., AAA barvy. Firma nemá vlastní obchody. Podstatná skupina odběratelů je tvořena pouze velkoobchody,

Vlastní práce 33 které výrobky dále prodávají. Objednávky tedy firma Devos dostává a vyřizuje v tunách, ale výrobky dodává v dohodnutých baleních. V roce 2012 činila celková produkce firmy Devos 1190 tun. 4.2 Tvorba ekonomicko-matematického modelu V této části mé práce řeším pomocí nástrojů operačního výzkumu zjištěný rozhodovací problém ve firmě Devos. Pro návrh optimalizace struktury výroby vytvářím lineární ekonomicko-matematický model, který je deterministický a statický. Konstruovaný model má za cíl zobrazit optimální rozložení výroby na týden. Týdenní produkci volím záměrně z důvodu výše disponibilních zásob surovin, které stačí pokrýt týdenní spotřebu surovin při maximálním vytížení výroby. Tvorba modelu postupuje dle následujících sedmi etap (viz. str. 11). 4.2.1 Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy Pro identifikaci a definici problému ve firmě jsem vytvořil analýzu současného stavu firmy. Analýza byla zaměřena na tyto sledované prvky a procesy probíhající ve firmě Devos: zjištění kompletního sortimentu firmy, skladovací kapacity surovin, výrobní kapacity, spotřeba surovin potřebných pro výrobu, tvorba a výše zisku u jednotlivých výrobků, zjištění úzkých míst ve výrobě. Z výsledné analýzy stavu firmy v následujícím textu definuji problém, stanovuji cíl práce, určuji faktory ovlivňující zkoumané procesy a nakonec vytvářím ekonomický (slovní) model úlohy. Definice problémů Firma vyrábí v současnosti 6 výrobků v 5 různých baleních (viz. tabulka č. 1. na str. 32). Při analýze současného stavu firmy jsem zjistil, že mezi baleními stejného typu výrobku, ale rozdílné hmotnosti jsou velké rozdíly v zisku

Vlastní práce 34 při prodeji, a také velké rozdíly v čase potřebného k výrobě. Jako problém tedy definuji zjištění a určení návrhu optimálního rozložení výroby pro všechny výrobky firmy Devos. V tabulce č. 2. jsou uvedeny údaje (v tunách) průměrné týdenní produkce, jenž slouží k porovnání s vytvářeným návrhem optimální struktury výroby. Zisk (EBITDA) má hodnotu 87 820 Kč. Tab. 2 Průměrný objem a rozložení týdenní produkce za srpen 2013 Výrobky Druh balení 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg Devoskyt 1 5 2,3 - - 1,2 Devoskyt 2 3,7 4 - - 2 Devoskyt 3 3,4 0,8 - - 2,75 Devoskyt 6-3 - 2 - Devoskyt 7 - - 1,5 - - Devoskyt 9 2,1 - - - - Zdroj: Devos Cíl Maximalizovat zisk a zjistit, při jaké optimální týdenní struktuře produkce jednotlivých výrobků nastane. Tento cíl vyjádřím matematicky jako funkci z = f (x). K dosažení vytyčeného cíle je zapotřebí matematicky popsat probíhající procesy při výrobě. Díky vytvořenému modelu se také snažím o formalizaci probíhajících výrobních procesů. Tedy o přenesení firemního know-how z hlavy řídicího pracovníka do matematické podoby. Faktory Faktory, které mají vliv na zkoumané procesy a jsou zahrnuty do matematického modelu: omezení plynoucí ze spotřeby surovin potřebných při výrobě a z omezeného množství výrobních surovin na skladě, časová náročnost pro vlastní výrobní proces jednotlivých výrobků a omezení časového fondu,

Vlastní práce 35 omezení maximální výrobní kapacity firmy, disponibilní množství obalů na skladě. Poslední část etapy 1 představuje slovní model úlohy, který je předlohou pro jednodušší vytváření matematického modelu v dalších fázích práce. Slovní model úlohy: Firma Devos vyrábí omítkové stěrky. Její nabídka produktů je složena ze 6 vyráběných typů výrobků, které jsou však baleny do 5 různých balení podle hmotnosti. Kompletní sortiment firmy je uveden na str. 32 v tabulce číslo 1. Současně v této tabulce je i obchodní označení výrobků, pod kterými jsou prodávány. K procesu výroby je používáno 11 rozdílných surovin, které označím S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10, S 11.Tabulka č. 10 na str. 40 vyjadřuje spotřebu surovin potřebných na výrobu 1 tuny jednotlivých výrobků, v posledním sloupci je množství surovin, které lze uskladnit. Časová náročnost výroby 1 tuny jednotlivých výrobků je značně rozdílná a všechny potřebné hodnoty jsou uvedeny v tabulce číslo 11 na str. 41-42. Časový fond pracovní doby zaměstnanců je 8 hodin denně. Při tomto časovém fondu je maximální výrobní kapacita stanovena na 10 tun výrobků denně. Produkce je ještě omezena množstvím obalů, které jsou k dispozici. Počty obalů na skladě pro jednotlivé výrobky jsou v tabulce číslo 12 na str. 42. 4.2.2 Sběr a zpracování informací V této části vytváření ekonomicko-matematického modelu jsou uvedeny všechny zjištěné a potřebné vstupní údaje. V případě řešení problému firmy Devos byl sběr informací značně obtížný. Jelikož se jedná o malou firmu se třemi zaměstnanci, tak většina probíhajících procesů výroby není nijak zanesena na papír či zpracovávána pomocí výpočetní techniky. Z pohledu mé potřeby dat pro řešení daného problému vede firma pouze informace o výrobních sestavách výrobků, spotřebě materiálu a tržbách z prodeje výrobků. Zbylé údaje, jako je časová náročnost výroby jednotlivých

Vlastní práce 36 výrobku, jsem musel změřit při samotných výrobních procesech. Veškeré údaje byly získány díky ochotné spolupráci zaměstnanců a majitele firmy Devos. Údaje jsou pro přehlednost zapsány v níže uvedených tabulkách č. 3-12, které obsahují údaje o: nepřímých nákladech, celkových nákladech, tržbách a zisku, surovinách pro výrobu, pracnosti, obalech. Z těchto zjištěných a zpracovaných informací jsem získal potřebná vstupní data, kterými naplním vytvářený matematický model. Zisk Údaje o výši zisku z prodeje jednotlivých výrobků tvoří jednu z nejdůležitějších částí matematického modelu, protože zde určují koeficienty účelové funkce, a proto výpočet jejich hodnot musí být co nejpřesnější. V mém modelu vystupují údaje o zisku v podobě zisku před zdaněním, úroky a odpisy (EBITDA) a je vypočítán jako rozdíl tržeb z prodeje vlastních výrobků a úplných vlastních nákladů. EBITDA = Tržby z prodeje výrobků Úplné vlastní náklady Pro rozpočítání nepřímých nákladů na kalkulační jednici (1 tuna) je za rozvrhovou základnu dosazený průměrný měsíční objem výroby v roce 2012 a výsledný vzorec má následující podobu: Nepřímé náklady na 1 tunu = = Celkové měsíční nepřímé náklady/průměrný měsíční objem výroby v roce 2012 Určení celkových nepřímých nákladu je v tabulce č. 3 a má následující formu: