VaFu6-T List Kvadratická funkcia RNDr. Beáta Varinčíková U: Vieme, že funkcia predstavuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. V prípade, že jedna veličina závisí od druhej mocnin druhej veličin, hovoríme o kvadratickej závislosti. Jednoduchým príkladom je závislosť obsahu štvorca od stran štvorca S = a, alebo závislosť dráh rovnomerne zrýchleného pohbu od času Ž: Teda musí tam bť vžd niečo na druhú. s = s + v t + at. U: Ak použijeme obvklé označenie premenných a, tak najjednoduchším prípadom kvadratickej funkcie je funkcia s rovnicou =. V predpise funkcie však môže vstupovať okrem kvadratického člena aj lineárn a absolútn, preto všeobecný predpis pre kvadratickú funkciu bude Ž: Koeficient a, b, c sú ľubovoľné reálne čísla? = a + b + c. U: Áno, až na jednu podmienku. Skús porozmýšľať. Ž: Už to vidím, nemôže bť a =, pretože b to už nebola kvadratická, ale len lineárna funkcia. U: Výborne. A aký bude definičný obor tejto funkcie? Ž: Za môžem dosadiť hocijaké číslo, teda D = R. U: Presne tak, môžeme teda zhrnúť: Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = a + b + c, kde a, b, c R, a. Je definovaná na R. Ž: Mslím, že s grafom kvadratickej funkcie som sa už stretol, nie je to priamka. U: Máš pravdu, je to krivka, ktorá sa nazýva parabola a m sa teraz pozrieme na to, od čoho závisí jej tvar a poloha. Začneme tým, že do jedného obrázku zostrojíme graf funkcií f : =, f : =, f : =. Ž: Keďže graf nie sú priamk, potrebujem si v súradnicovej sústave zostrojiť viac bodov, napísané sú v tabuľke v rámčeku.
VaFu6-T List = = 8 8 =,5,5 U: Dobre. Na nasledujúcom obrázku sú zakreslené graf funkcií f, f a f. Sú to parabol. = = = Ž: Tieto parabol však nie sú rovnaké, dve sú otočené dohora a jedna nadol. Dohora sú otočené červená a modrá, ktoré majú rovnice Nadol je otočená zelená parabola s rovnicou =, =. =. Mslím, že vidím súvislosť nahor obrátené majú kladný koeficient a, ale tá so záporným koeficientom je obrátená naopak. U: Máš pravdu. Platí: Pre a > je grafom kvadratickej funkcie parabola obrátená nahor, pre a < parabola obrátená nadol. Ž: Všimol som si ešte jednu vec parabol nie sú rovnako široké. Zelená parabola s rovnicou = je najužšia a modrá parabola s rovnicou = zas najširšia. Zrejme to opäť nejako súvisí s koeficientami, len mi to uniká. U: Ak ťa zaujíma šírka parabol, nevšímaj si na chvíľu znamienko koeficientu, pretože to ako sme pred chvíľou povedali len obráti parabolu. Potom už ľahko zistíš, že platí: Čím je absolútna hodnota koeficienta a väčšia, tým je parabola užšia.
VaFu6-T List U: Ak chceme zostrojiť graf kvadratickej funkcie, je dobré poznať niektoré význačné bod na grafe. Ž: Zrejme máte na msli priesečník s osami. U: Áno, a ešte k tomu aj vrchol parabol. Ukážeme si to na funkcii Vieš určiť priesečník jej grafu s osami? f : =. Ž: Priesečník grafu s osou sa hľadá ľahko, je to bod, ktorý má -ovú súradnicu nulovú. Preto dosadím do predpisu funkcie za nulu a dostanem = =. Teda priesečník parabol s osou je bod Y [; ]. U: Môžeme to skúsiť aj zovšeobecniť. Ak do predpisu kvadratickej funkcie dosadíme za nulu, dostaneme f : = a + b + c = c. Ž: Aha, takže koeficient c vlastne určuje druhú súradnicu hľadaného priesečníka! U: Máš pravdu, zopakujem ešte raz: Graf kvadratickej funkcie f : = a + b + c pretína os -ovú v bode Y [; c]. Môžeš prejsť na priesečník grafu funkcie s osou. Ž: Priesečník grafu s osou sú také bod, ktoré majú -ovú súradnicu nulovú. To znamená, že v rovnici funkcie dosadím za nulu. V mojom prípade vznikne =. To je občajná kvadratická rovnica, ktorú viem spamäti rozložiť na súčin = ( ) ( + ). Jej koreňmi sú čísla a. U: Hovorí sa im tiež nulové bod kvadratickej funkcie. Graf našej funkcie teda pretína os -ovú v dvoch bodoch: X [; ] a X [; ]. Tvoj postup opäť zovšeobecním: Prvé súradnice priesečníkov grafu kvadratickej funkcie s osou určíme riešením rovnice a + b + c =. Skús rozdiskutovať, koľko takýchto priesečníkov môže vzniknúť. Ž: Ak riešim kvadratickú rovnicu, môže vjsť kladný diskriminant, vted má rovnica dva korene. To znamená, že graf funkcie pretne os -ovú dvakrát. Ale rovnica môže mať aj jeden koreň, ak je diskriminant nulový. Vted b sa parabola asi iba dotkla osi. No a napokon sú aj také kvadratické rovnice, ktoré nemajú žiadn reáln koreň, pretože ich diskriminant je záporný. A to b znamenalo, že parabola nemá s osou spoločný ani jediný bod.
VaFu6-T List U: Výborne. Zvládli sme priesečník grafu s oboma osami. Skúsme teraz nájsť vrchol parabol. Ž: Mám nájsť vrchol parabol =. Priznávam, že neviem, odkiaľ začať. U: Začni úpravou na štvorec. Prvé dva člen potrebuješ doplniť do štvorca, teda do druhej mocnin vhodného dvojčlena. Ž: Takže tam doplním jednotku, lebo platí, že + = ( ). Jednotku ale nemôžem len tak pridať, musím ju hneď aj odobrať. Celý zápis bude takýto: = = + = ( ). U: Pozrime sa teraz na výsledný zápis = ( ). Keďže druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je číslo nezáporné, tak platí Potom však ( ). = ( ). Preto najmenšia hodnota, ktorú môže naša funkcia nadobudnúť, je číslo. A to nastane vted, keď je ( ) =, teda keď =. Tak sme našli minimum tejto funkcie a vlastne aj vrchol parabol, ktorým je bod V [; ]. Ž: Mslím, že teraz už viem nakresliť graf tejto funkcie. Bude to parabola obrátená nahor, s vrcholom v bode V [; ]. A vznačím aj všetk priesečník s osami. Tu je to: = X X Y V
VaFu6-T List 5 U: Dobre. Graf našej funkcie môžeme zostrojiť aj pomocou transformácií grafov funkcií. Stačí si uvedomiť, že rovnica funkcie v tvare = ( ) hovorí o tom, že graf funkcie = posunieme o jeden dielik doprava v smere osi -ovej a o štri dielik nadol v smere osi -ovej. U: Postup, ktorým sme našli vrchol parabol, teraz zovšeobecníme. Ž: Takže vezmem predpis kvadratickej funkcie v tvare = a +b+c a idem dopĺňať úpravou na štvorec. No, asi som skončil... U: Najprv vber koeficient a pred zátvorku, ab si dostal normovaný kvadratický trojčlen. To je taký, ktorý má pri koeficient jedna. Ž: Vberám: ( = a + b + c = a + b a + c ). a U: Dobre. A teraz vezmime zo zátvork prvé dva člen + b a a skúsme ich doplniť do štvorca. Použijeme znám vzorec A + AB + B = (A + B). Ak ho porovnáš s našimi členmi, tak vidíš, že A =, AB = b a. Odtiaľ dostaneme Ďalej môžeš pokračovať aj sám. B = b a. Ž: Skúsim to. Potrebujem ešte doplniť B. Preto tam pridám a hneď aj odoberiem Teda ( = a + b a + c ) [ = a + b ( ) ( ) ] b b a a + + c. a a a ( ) b. a U: Zatiaľ veľmi dobre, pokračuj. Ž: V ďalšom kroku už prvé tri modré člen nahradím podľa vzorca druhou mocninou a zvšok skúsim upraviť takto: [ ( = a + b ) ] b a a + c. a
VaFu6-T List 6 U: Ešte odstráň hranatú zátvorku. Ž: Dostanem tvar ( = a + b ) b a a + c. U: Výborne, teraz urobíme podobnú úvahu ako pred chvíľou v príklade. Ak je a >, tak platí teda ( a + b ), a ( a + b ) b a a + c b a + c. Preto najmenšia hodnota funkcie je b b +c a to vted, ak =. Takže vrchol parabol a a je bod [ V b ] a ; b a + c. K rovnakému výsledku b sme prišli aj pre a <, vted pre = b dostávame maimum a funkcie. Ž: Tie súradnice vrchola sa mi vôbec nepáčia, sú také komplikované a vôbec, celé je to také zložité... U: Nemusíš sa ich učiť naspamäť. Ak dobre ovládaš dopĺňanie do štvorca, zvládneš každú úlohu. U: Teraz, keď už vieme určiť súradnice vrcholu parabol, môžeme sa zaoberať vlastnosťami kvadratickej funkcie. Začnime najprv situáciou, keď koeficient a je kladný. Ž: Vted je grafom funkcie parabola obrátená nahor. U: Presne tak, na nasledujúcom obrázku je parabola znázornená aj s vrcholom: = a + b + c a > b a b a + c V
VaFu6-T List 7 Popíš čo najviac vlastností tejto funkcie. Ž: Už sme povedali, že definičným oborom je množina R, oborom hodnôt je len interval ) H = b a + c;. Funkcia je zdola ohraničená, je rastúca na intervale ( ; b. V bode = b má ostré minimum. a a b ) a ; a klesajúca na intervale U: Ide ti to vnikajúco, ešte mi skús niečo povedať o troch pé prostosti, párnosti a periodickosti. Ž: Tak prostá nie je, periodická už dupľom nie. Nie je ani nepárna a nad tou párnosťou ešte rozmýšľam... Mohla b bť párna, ak b bola parabola súmerná podľa osi. U: Presne tak. Vted b vrchol ležal na osi, z čoho vplýva, že jeho prvá súradnica b bola nula. A to môže bť len vted, ak koeficient b je rovný nule. U: Pozrime sa ešte na vlastnosti kvadratickej funkcie so záporným koeficientom a. Tu je jej graf: b a + c = a + b + c a < V b a Ž: Tak vidím, že grafom je parabola je obrátená nadol, definičný obor D = R, ( obor hodnôt H = ( ; b a + c. Funkcia je zhora ohraničená, rastúca na intervale ; b a a klesajúca na intervale b ) a ;. Má maimum v bode = b. Ak b =, tak je párna. a Nikd nie je nepárna, ani prostá, ani periodická. U: Vnikajúco. Na záver zhrnieme do tabuľk všetk vlastnosti kvadratickej funkcie, ktoré si vmenoval:
VaFu6-T List 8 Vlastnosti kvadratickej funkcie = a + b + c, a, b, c R, a : = a + b + c a > = a + b + c a < b a + c V b a b a b a + c V. grafom je parabola obrátená nahor;. definičný obor D = R;. obor hodnôt H = ); b + c; a. ak b =, tak je párna; 5. je rastúca na intervale b ; ), klesajúca na intervale ( ; a b a ; 6. má minimum v bode = b a ; 7. je zdola ohraničená; 8. nie je prostá.. grafom je parabola obrátená nadol;. definičný obor D = R; (. obor hodnôt H = ; ; b + c a. ak b =, tak je párna; 5. je rastúca na intervale ( ; b klesajúca na intervale b ; ) ; a 6. má maimum v bode = b a ; 7. je zhora ohraničená; 8. nie je prostá. a,
VaFu6- List 9 Príklad : Dané sú kvadratické funkcie: a) f : = 6 +, b) g : =. Nájdite súradnice vrcholov parabol, načrtnite graf a na základe grafov určte vlastnosti daných kvadratických funkcií. Ž: Začnem prvou funkciou f : = 6 +. Mám najprv určiť vrchol parabol? U: Áno, nájdeš ho pomocou úprav na štvorec. Ž: Tak to celkom dobre ovládam. Platí: = 6 + = 6 + 9 9 + = ( ) 8. Z toho už viem určiť vrchol, bude to bod so súradnicami [; 8]. U: Výborne. Pustíš sa hneď aj do grafu? Ž: Samozrejme. Keďže koeficient a v rovnici funkcie je jednotka, teda číslo kladné, tak grafom je parabola obrátená nahor. A má normálnu šírku, teda takú, ako má aj parabola =. U: Navrhujem vpočítať aj nulové bod funkcie, t.j. priesečník jej grafu s osou. Ž: To znamená, že chcete po mne, ab som vriešil kvadratickú rovnicu Nič ťažké, pomôžem si diskriminantom: To teda nevšlo veľmi pekne. 6 + =. D = 6 = 6 =. U: To neprekáža, môžeme čiastočne odmocniť, = 6 =. Ž: Korene rovnice sú potom čísla, = 6 ± = ±. U: Keďže ich budeme nanášať na číselnú os, bude dobré ich včísliť. Teda = +. = 5,8 a =. =,. Ž: Mslím, že už môžem nakresliť graf, vzerá takto:
VaFu6- List 5 6 5 6 f : = 6 + 7 8 V U: A teraz pomocou grafu urč všetk vlastnosti funkcie f, ktoré poznáš. Ž: Začnem obormi, D = R, H = 8; ). Ďalej prejdem na monotónnosť, funkcia je klesajúca na intervale ( ; a rastúca na intervale ; ). V bode = má ostré globálne minimum a je zdola ohraničená. U: Výborne, ja ešte dodám, že nie je ani párna, ani nepárna, ani prostá, ani periodická. Ž: Prejdem na funkciu g : =. Opäť začnem hľadaním vrchola. Najprv budem upravovať doplnením do úplného štvorca. Asi b som mal najprv vbrať mínusko pred zátvorku. U: Presne tak, ak koeficient a v rovnici funkcie nie je rovný jednej, je vhodné vbrať ho pred zátvorku.
VaFu6- List Ž: Tak idem na to: = = ( + ) = [ + + ( ) Prvé tri člen až napíšem v tvare druhej mocnin, teda [ ( = + ) ] 9 ( = + ) + 9. A mám to, vrchol parabol má súradnice [ ; 9 ]. U: Veľmi dobre, nájdi ešte nulové bod funkcie g. Ž: To bude ľahké, lebo riešiť rovnicu budem vnímaním pred zátvorku: = ( + ) =. ( ) ]. A hneď vidím, že nulové bod sú = a =. A už môžem aj zostrojiť graf. Bude ním parabola obrátená nadol a prechádzajúca nulovými bodmi aj vrcholom: V 9 g : = U: Tak sa ešte pozrime na vlastnosti funkcie g.
VaFu6- List Ž: Rovnako ako pri funkcii f platí, že definičným oborom je množina všetkých reálnch čísel. Oborom hodnôt je ale iný interval, ( H = ; 9. Funkcia je rastúca na intervale ( ; a klesajúca na intervale ) ;. Má maimum v bode = ani periodická. a je zhora ohraničená. Nie je ani párna, ani nepárna, ani prostá, Úloha : Nájdite súradnice vrcholu parabol: a) = 6, b) = + 6. Výsledok: a) V [; 6], b) V [ ; ]
VaFu6- List Príklad : Výpočtom nájdite súradnice priesečníkov grafu danej kvadratickej funkcie so súradnicovými osami: a) = 5 + 5, b) = ( + ). Ž: Najľahšie sa hľadajú priesečník grafov funkcií s osou, pretože vted stačí do predpisu funkcie dosadiť za nulu. Začnem teda prvou funkciou = 5 + 5. Za dosadím nulu a dostanem = 5. To znamená, že graf prvej funkcie pretne -ovú os v bode Y [; 5]. U: V poriadku, prejdi na priesečník grafu funkcie s osou -ovou. Ž: Pre tie zase platí, že ich -ová súradnica je nula, preto dosadím za nulu. Dostal som rovnicu = 5 + 5. U: Je to občajná kvadratická rovnica, teda... Ž:... ju vriešim pomocou diskriminantu: D = ( 5) 5 = 5 6 = 5. Ejha, diskriminant všiel záporný. Tak táto rovnica nemá korene. U: A to znamená, že graf našej funkcie nepretína os -ovú. Ž: Pustím sa do druhej funkcie = ( + ). Najprv za dosadím nulu, vjde mi = ( + ) = =. Priesečník grafu funkcie s osou je teda bod Y [; ]. Priesečník s osou nájdem riešením rovnice Zase použijem diskriminant. = ( + ). U: To samozrejme môžeš, išlo b to však rozložiť na súčin aj šikovnejšie. Nepripomína ti niečo tvar rovnice ( + ) =?
VaFu6- List Ž: No jasné, vzorec Takže ho použijem a dostanem A B = (A + B) (A B). ( + ) = ( + ) = ( + + )( + ) = ( + )( ). A to bude rovné nule práve vted, ak = alebo ak =. Mám to, priesečník grafu funkcie s osou sú bod X [ ; ], X [; ]. U: Výborne. Úloha : Výpočtom nájdite súradnice priesečníkov grafu kvadratickej funkcie so súradnicovými osami: a) = + +, b) = ( + 5). Výsledok: a) Y [; ], priesečník s osou nemá; b) Y [; ], X [ 6; ], X [ ; ]
VaFu6- List 5 Príklad : Určte rovnicu kvadratickej funkcie, ktorej graf prechádza bodmi K [; ], L [; 9], M [5; 6]. U: Máš určiť rovnicu kvadratickej funkcie, tak si najprv pripomeňme, aký je jej tvar. Ž: Vo všeobecnosti má kvadratická funkcia rovnicu kde koeficient a, b, c sú reálne čísla, a. = a + b + c, U: Dobre, tvojou úlohou je určiť práve tieto koeficient. Ž: Tak si vezmem na pomoc tie tri bod, ktoré sú dané v zadaní. Ak graf funkcie prechádza bodom K [; ], tak to znamená, že ak do rovnice funkcie dosadím za jednotku, vjde mi rovné. To môžem zapísať aj takto: = a + b + c. Tú istú úvahu zopakujem pre bod L [; 9], dostanem zápis a ešte aj pre bod M [5; 6], odkiaľ 9 = a + b + c, 6 = a 5 + b 5 + c. U: Ak to trochu upravíme, dostaneme takúto sústavu troch lineárnch rovníc s tromi neznámmi: = a + b + c Akú metódu si vberieš na jej vriešenie? 9 = a + b + c 6 = 5a + 5b + c. Ž: Najradšej mám dosadzovaciu metódu. Tu si napríklad z prvej rovnice vjadrím céčko: c = a b a dosadím to do druhej aj tretej rovnice. Vznikne A to ešte zjednoduším na sústavu 9 = a + b a b 6 = 5a + 5b a b. = a + b 8 = a + b. U: Navrhujem ti druhú rovnicu ešte zjednodušiť vdelením oboch strán rovnice číslom.
VaFu6- List 6 Ž: Aha, máte pravdu, to som si nevšimol. Takže mám = a + b = 6a + b. To je jednoduchá sústava dvoch rovničiek s dvoma neznámmi, budem pokračovať stále dosadzovacou metódou. Teraz si z prvej rovnice vjadrím béčko: a dosadím to do druhej rovnice. Vznikne odkiaľ čiže U: Veľmi dobre. Ž: Teraz ešte vjadrím béčko: A napokon aj céčko: b = a = 6a + a, 9 = a, a =. b = a = 9 = 6. c = a b = + 6 = 9. A mám to, rovnica kvadratickej funkcie, ktorej graf prechádza bodmi K, L, M je = 6 9. Úloha : Nájdite rovnicu kvadratickej funkcie f, pre ktorú platí: f() = 6, f() = a f() =. Výsledok: = 5 + 8
VaFu6- List 7 Príklad : Zostrojte graf funkcií: a) f : =, f : = +, f : = ( ), f : = ( + ), b) g : = +. U: Pri riešení tejto úloh môžeme výhodne vužiť transformácie grafov funkcií. Vchádzať budeme z grafu funkcie f : =. Ž: Tak ten poznám, je to občajná parabola s vrcholom v bode [; ], obrátená nahor. U: Dobre, tak sa teraz zamsli nad tým, ako bude vzerať graf funkcie f : =. Ž: V každom bode definičného oboru bude mať funkcia f hodnotu o dva menšiu ako mala funkcia f. Preto bude celý graf posunutý o dva dielik nadol v smere osi -ovej. U: Výborne, vidím, že nebude pre teba problém ani funkcia f : = +. Ž: Veru nie, je to to isté, len teraz sú všetk hodnot funkcie o dva väčšie ako pri funkcii f, preto bude celý graf posunutý o dva dielik nahor v smere osi -ovej. Tu je k tomu obrázok, sú na ňom graf všetkých troch funkcií, f : =, f : =, f : = +. = + 5 = = U: Prejdime teraz na funkciu f : = ( ).
VaFu6- List 8 Ž: Tu, ak dosadím za akékoľvek číslo, dostanem takú hodnotu, akú má funkcia f v bode o dva menšom. Preto vrchol nebude v bode [; ], ale v bode [; ]. Z toho vplýva, že graf posuniem doprava o dva dielik pozdĺž osi -ovej. U: Veľmi dobre, podobne si uvedomíme, že vrchol ďalšej parabol bude v bode [ ; ]. f : = ( + ) Ž: Preto bude táto parabola posunutá o dva dielik doľava v smere osi -ovej. Na nasledujúcom obrázku sú všetk tri graf, teda pre funkcie f : =, f : = ( ), f : = (+). = ( + ) = = ( ) 5 U: Ostala nám posledná funkcia g : = +. Skúsme jej graf zostrojiť podobne, vužitím transformácií grafov. Ž: Tak to musím najprv zistiť, o koľko a ktorým smerom treba tento graf posunúť. Preto si najprv predpis musím nejako šikovne upraviť. Vari dopĺňaním do úplného štvorca? U: Presne tak, úprava na štvorec je pri kvadratických funkciách veľmi často používaná. Ž: Tak idem na to: = + = + + = ( ). Už je to jasné, mínus dva v zátvorke hovorí o posunutí grafu funkcie f : = o dva dielik doprava v smere osi -ovej. A mínus tri na konci zase znamená posunutie grafu o tri dielik nadol v smere osi -ovej. Ak urobím obe posunutia, dostanem takýto výsledok:
VaFu6- List 9 = = + U: Výborne. Môžeš si overiť, že vrcholom parabol je bod [; ], čo sa dá zistiť z predpisu funkcie, upraveného na tvoj tvar g : = ( ).
VaFu6- List Úloha : Zostrojte graf funkcií: a) =, =, = +, b) = ( ). Výsledok: 5 = + = = = 5 = ( )
VaFu6-5 List Príklad 5: Dokážte vet:. Graf kvadratickej funkcie f : = a + b + c zostrojený v karteziánskej súradnicovej sústave je súmerný podľa osi práve vted, keď je b =.. Graf kvadratickej funkcie f : = a + b + c obsahuje začiatok karteziánskej súradnicovej sústav práve vted, keď je c =. Ž: V prvej časti sa hovorí o grafe kvadratickej funkcie, ktorý je súmerný podľa osi. To však znamená, že funkcia je párna! U: Presne tak, len mi teraz ešte vsvetli, čo rozumieš pod párnou funkciou. Ž: Veď som to už povedal, graf takej funkcie je súmerný podľa osi. U: To je len dôsledok, definícia znie trochu inak, tak ti ju pripomeniem: Funkciu f s definičným oborom D nazývame párnou práve vted, ak platí. D aj D. D platí f( ) = f(). Ž: Mslím, že prvá podmienka je v našom prípade splnená, pretože definičným oborom kvadratickej funkcie je celá množina reálnch čísel. U: Máš pravdu, a práve druhá podmienka, ktorá vstihuje podstatu párnej funkcie, nám pomôže pri riešení úloh. Ak teda chceme, ab naša funkcia bola párna, musí platiť, že pre všetk R platí f( ) = f(). To v našom prípade znamená, že a( ) + b( ) + c = a + b + c. Pokračuj. Ž: Upravím to na tvar odkiaľ a b + c = a + b + c, b =. No a toto bude pre všetk platiť len vted, ak b =. U: Podarilo sa nám teda ukázať, že ak je kvadratická funkcia párna, tak musí bť b =. Platí to však aj naopak, ak vjdeme z predpokladu, že b =, tak rovnakými úpravami, len v opačnom poradí, dôjdeme k záveru, že potom je funkcia párna. Ž: Ostala mi ešte druhá časť, ukázať, že graf kvadratickej funkcie obsahuje začiatok súradnicovej sústav práve vted, keď je c =. To bude ľahké, lebo ak graf prechádza bodom [; ], tak po dosadení do rovnice funkcie dostanem = a + b + c. Z toho však hneď vidno, že c =. A platí to aj obrátene, ak c =, tak graf kvadratickej funkcie prechádza bodom [; ].
VaFu6-6 List Príklad 6: Daná je kvadratická funkcia f : =,5. Zostrojte graf a nájdite rovnicu funkcie a) f, ktorej graf je s grafom funkcie f osovo súmerný podľa priamk = ; b) f, ktorej graf je s grafom funkcie f osovo súmerný podľa priamk = ; c) f, ktorej graf je s grafom funkcie f stredovo súmerný podľa bodu S [; ]. Ž: Najprv si zostrojím graf funkcie f : =,5. Je to červená parabola otočená nahor, s vrcholom v bode [; ]. Prikreslím priamku = a podľa nej osovo súmerne zobrazím parabolu. f f = U: Nakreslil si to dobre, teraz potrebujeme nájsť rovnicu tejto funkcie. Ž: Vidím, že sa parabola obrátila nadol, teda koeficient a pri bude záporný. U: Zmenila sa šírka parabol? Ž: Nezmenila, teda koeficient a bude,5. Ďalej vidím, že sa vrchol parabol presunul do bodu [; ]. Preto funkcia f má rovnicu =,5( ) +, čo ešte upravím na tvar f : =,5 +. U: Dobre, skúsme ďalšiu časť.
VaFu6-6 List Ž: Opäť najprv zostrojím červenú parabolu - graf pôvodnej funkcie f : =,5. Prikreslím priamku = a parabolu podľa nej osovo súmerne zobrazím. f f 6 5 = Na obrázku vidím, že teraz sa parabola posunula. Preto koeficient a zostane rovnaký, a = =,5. Vrchol parabol sa posunul z bodu [; ] do bodu [ ; ]. Čiže došlo k posunutiu grafu o dielik doľava v smere osi, preto rovnica funkcie f je =,5( + ). U: Úpravou posledného vzťahu dostávame rovnicu funkcie v tvare f : =,5 + + 6. Ž: Do tretice mám graf funkcie f zobraziť stredovo súmerne podľa bodu S [; ]. Tu sa mi to kreslilo trochu ťažšie, vzerá to takto:
VaFu6-6 List f f S 5 U: Obrázok máš dobre, poďme na rovnicu. Ž: Parabola sa opäť obrátila nadol, preto koeficient a bude záporný. Vrchol sa z bodu [; ] dostal do bodu [; ]. Takže sa vlastne posunul o dva dielik doprava v smere osi a o šesť dielikov nahor v smere osi. Zapísať to môžem takto: Po úprave je konečný tvar rovnice f : =,5( ) + 6. f : =,5 + +. Úloha 6: Daná je kvadratická funkcia f : =. Nájdite rovnicu funkcie a) f, ktorej graf je s grafom funkcie f osovo súmerný podľa priamk = ; b) f, ktorej graf je s grafom funkcie f osovo súmerný podľa priamk = ; c) f, ktorej graf je s grafom funkcie f stredovo súmerný podľa bodu S [ ; ]. Výsledok: f : = +, f : = + 8 5, f : = + 8 + 7