Logaritmické funkcie, rovnice a nerovnice. Riešenia. 2. a) 4 = 16, 2 = log 16, b) 3 = log (t. j. 3 = log, 0,064), , 4 = log

Transkript

1 Logaritmické funkcie, rovnice a nerovnice Riešenia 1. Pre definičný obor a obor hodnôt inverznej funkcie ff platí DD ff = HH ff, HH ff = DD ff a pre exponenciálnu funkciu ff sa DD ff = R, HH ff = 0;. 2. a) 4 = 16, 2 = log 16, b) 3 =, 4 = log, c) =, 3 = log (t. j. 3 = log, 0,064), d) = 16, 4 = log 16 (t. j. 4 = log, 16), e) 9 = 3, = log 3, f) 8 = 4, = log 4, g) =, = log (t. j. 0,4 = log, 0,25), h) =, = log, i) 10 = 1000, 3 = log 1000, j) 10 = 0,000 1, 4 = log 0, a) 2, b), c) 2, d), e) 3, f), g), h) 3, i) 2, j), k) 6, l), m), n), o), p), q) (0,04 = ), r), s) 0, v), w), x), y), z). 4. a) log bb = log bb (rovnosť bb = aa je pre aa, bb > 0 ekvivalentná s rovnosťou bb = aa ), b) log bb = log v úlohe 20). bb (obidva vzťahy možno odvodiť aj z rovnosti log bb =, pozri (2) 5. a) log = log bb (ak bb = aa, tak = = aa ), b) log bb = log bb (ak bb = aa, tak =, preto bb = = ), c) log = log bb (vyplýva to z častí a) a b): log = log = log bb ). 6 a) aa = zz, bb = zz, aa bb = zz zz = zz, log aa bb = log aa + log bb, b) zz : zz = zz, log = log aa log bb (pričom aa, bb > 0, zz 0; 1 ), zz = zz, log aa = rr log aa (pričom aa > 0, rr R, zz 0; 1 ). 7. a) 1, b) 2, c) 1, d) 1, e) 0, f) 2.

2 8. V rámiku má byť číslo a) 80 (= 5 4 ), b) 75 (= ), c) 14 (= 2 7), d) 200 (= 100 2), f) 0,009 (= 9), g) 5/16 (= ), h) 20 (= ), i) 25 (= ), j) 0, (= ). 9. a) log = log aa log bb log cc, b) log = 2 log aa + log bb + log cc, c) log = log 2 + log aa + log bb, d) log = log aa + bb log 2 log cc. 10. a) =,, b) = c) = aa bb 10, d) = = aaaa, e) = f) = h) =, =, =. 11. a) log 6 = log 2 3 = aa + bb, b) log 72 = log 8 9 = 3aa + 2bb, c) log 300 = log = bb + 2, d) log = bb, e) log 5 = log = 1 aa, f) log = 1 + bb 4aa (pretože = = = ). 12. log 122,5 = 2aa + 2bb 1 (pretože 122,5 = ). 13. rr yy = ln aaaa, ln ee = ln aaaa, ee = aaaa, mmmm = mmmmmm (modro vyznačenú rovnosť možno v uvedenom postupe nahradiť rovnosťou ee = ee, pozri tiež poznámku za riešením úlohy 10g); spravidla však každý, kto získal istý cvik v práci s logaritmickými a exponenciálnymi rovnicami, zápis tohto kroku vynechá a priamo napíše z neho vyplývajúcu rovnosť vyznačenú zeleno).

3 14. (C) a (E) ((A) a (B) nemôžu platiť pre < 0, pretože ich pravá strana nie je pre tieto vôbec definovaná, (D) a (F) neplatia napr. pre = aa). 15. a) 0; ( ;0 nemožno dosadiť do pravej strany rovnosti, pre > 0 je uvedená rovnosť ekvivalentná s rovnosťou =, pozri tiež poznámku za riešením úlohy 10g)), b) ; 0, c) = 1, d) 0; e) také neexistuje (neexistuje totiž, ktoré by sa dalo dosadiť súčasne do ľavej a pravej strany uvedenej rovnosti: ľavá strana je definovaná pre > 0, pravá pre < 0), f) R a) (C): daná rovnosť je pre > 0 (tieto možno dosadiť do obidvoch jej strán) ekvivalentná s = 100, táto rovnica má koreň =, b) (C): platí iba pre =, (C): rovnosť je pre > 0 (tieto možno dosadiť do obidvoch jej strán) ekvivalentná s =, z dvoch koreňov tejto rovnice je jeden záporný (ten nemožno dosadiť do rovnosti zo zadania), druhý kladný ten je jediným číslom, ktoré spĺňa rovnosť zo zadania, (A), (B): jediné riešenie rovnice 10 =, t. j. = 0, nemožno dosadiť do rovnosti zo zadania, (D): rovnosti vyhovujú iba dve čísla ± 10., ktoré nájdeme riešením rovnice + 10 = 17. (keďže dané tvrdenia sú všeobecné výroky, stačí na popretie ich pravdivosti uviesť jeden protipríklad, pozri tiež text pred úlohou 103 v kapitole 1 v 1. časti zbierky) a) nepravdivé, pozri úlohu 16a), b) nepravdivé, pozri úlohu 16b), c) pravdivé, d) nepravdivé, napr. log 10 = 1 2 = 2 log 10, e) pravdivé, f) nepravdivé, napr. log = 2 2 = 2 1 log 10 (jedna z možností kontroly platnosti danej rovnosti je upraviť ľavú stranu podľa pravidiel pre počítanie s logaritmami a výsledok porovnať s pravou stranou). 18. a) Z predpokladu log 5 =, kde kk, nn N, vyplýva rovnosť 5 = 5 2, tá však nemôže platiť pre žiadne kk, nn N (číslo na pravej strane je deliteľné 2, číslo na ľavej strane nie je deliteľné 2, teda to nemôžu byť rovnaké čísla). c) Z predpokladu log 72 =, kde kk, nn N, vyplýva rovnosť 2 3 = 2 3, tá však nemôže platiť pre žiadne prirodzené čísla kk, nn (pretože jediné riešenie sústavy 2kk = 3nn kk = 2nn je dvojica kk = 0, nn = 0). d) Z predpokladu log =, kde kk, nn N (číslo leží v 0; 1, preto je jeho logaritmus

4 so základom 15 záporný) vyplýva rovnosť 15 =, odtiaľ po úprave 5 3 = 5. Posledná rovnosť nemôže platiť pre žiadne kk, nn N (číslo na ľavej strane je deliteľné 3, číslo na pravej strane nie je). 19. a) 25, c) 625 (= 25 ), e) 5 (= 25 ), f) 125 (= 25 ), g) 25, h) 5 5 (= 25 ). 20. bb = aa,... aa = AA,... bb = AA = AA,... log bb = log aa log bb. 21. a) log bb = (v (2) zvolíme AA = bb; iná možnosť: log bb aj log aa vyjadríme logaritmami pri nejakom základe AA napr. AA = 10 a obidve vyjadrenia porovnáme), log NN = (v (2) zvolíme AA = aa alebo obidve čísla vyjadríme pomocou logaritmov s rovnakým základom AA a vyjadrenia porovnáme; pozri tiež úlohu 4), b) log NN = = = log NN, pozri tiež úlohu 4, log RR log SS = = log SS log RR. 22. log základ). = = = log bb (namiesto základu aa možno použiť ľubovoľný iný 23. a) log 5 (log 3 log 5 = log 5 = = log 5; toto číslo možno zapísať napr. aj v tvare log 25, log 125 alebo log, 0,2, pozri úlohu 21b)), b) log 13 (toto číslo možno zapísať napr. aj v tvare log 169). 24. a) = log 18 (správnou odpoveďou je každý zápis log 18 ; aby bolo zrejmé, že táto odpoveď vyplýva zo vzťahu log bb =, stačí zlomok rozšíriť číslom kk 0 na tvar ), = = log 80 (vo všeobecnosti log 80 ), b) log 6 = = 1 + = = = = log 6 (vo všeobecnosti log 6 ), =, log 25 = (log 5 = 1 aa, preto log 125 = log 5 = 3 1 aa ). 25. c) podľa osi Oy... podľa osi Ox. = =, log 125 = 26. a) 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2

5 yy = Tabuľku hodnôt funkcie yy = log dostaneme vzájomnou výmenou riadkov v predchádzajúcej tabuľke: yy = log 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1, a) Podiel je konštantný ( = ; modro vyznačená rovnosť vyplýva z (*)), teda funkcia yy = log je kk- násobok funkcie yy = log, kde kk =, = b) 2- násobným zväčšením: = = zväčšením: = = 2, 3- násobným zmenšením = =, - násobným t. j. približne 1,43- násobným = = = 1, ,43, c) áno: môže to byť logaritmus s ľubovoľným základom aa > 1 (ak chceme, aby podiel bola kladná konštanta), resp. s ľubovoľným základom aa 0; 1 (ak pripúšťame možnosť, že podiel môže byť aj záporná konštanta vtedy graf funkcie yy = log dostaneme z grafu yy = log zväčšením/zmenšením a preklopením okolo osi Ox, pričom preklopenie zodpovedá zápornému znamienku, t. j. vynásobeniu každej funkčnej hodnoty číslom 1), d) graf každej exponenciálnej funkcie so základom AA > 1 dostaneme z grafu funkcie yy = 10 rozšírením/zúžením v smere osi Ox (po preklopení okolo priamky yy = sa z grafov yy = log a yy = log stanú grafy yy = AA a yy = 10 a zo zväčšenia/zmenšenia v smere osi Oy sa stane rozšírenie/zúženie v smere Ox). 29. Pozri obr. 31, na intervale 1; leží graf funkcie ff nad grafom funkcie gg, na intervale 0; 1 pod ním, vyplýva to napr. z úlohy 27a): graf ff: yy = log vznikne kk- násobným zväčšením grafu gg: yy = log, kde kk = log 3; platí kk > 1, a z poznatkov o násobení nerovnosti kladným/záporným číslom vyplýva: pre gg > 0, t. j. 1;, sa ff = kk gg > gg a pre gg < 0 sa ff = kk gg < gg, graf funkcie h je súmerný podľa osi Ox s grafom funkcie gg, vyplýva to z rovnosti log = log, resp. zo vzťahu medzi grafmi funkcií yy = 3 a yy =.

6 yy ff: yy = log gg: yy = log h: yy = log obr Pozri obr. 32. yy δδ: yy = log γγ: yy = log ββ: yy = log αα: yy = log obr a), b) Pozri obr. 33.

7 yy yy = log aa aa aa aa aa obr. 33 c) Zodpovedajúce hodnoty sú v poradí od najmenšej po najväčšiu:,,,,,, 1, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa (t. j. aa pre kk = 7 až kk = 12). 32. a) log 2, log, 0,5, ln 3, log 0,5, log,, log, 9, log 0,2, b) ln 3, log,, log, 9, log 0, a) 1, b) 2, c) 4, d) 4893 = (pre čísla = 1 až = 9 platí log = 0, pre = 10 až = 99 sa log = 1, pre = 100 až = 999 sa log = 2, pre = 1000 až = 2000 sa log = 3)., 34. a)... nn je väčšie alebo sa rovná 10 = 100 a je menšie ako 10 = 1000, teda nn je iste trojciferné číslo, b)... tak nn je kk ciferné číslo,

8 c) 5- ciferné. 35. a) 34 (log 10 = 10 log 10 = 10 3, ; pri výpočte log 10 na kalkulačke možno budete potrebovať vzorec (*) pred úlohou 22), b) počet cifier zápisu čísla 4 v sústave so základom 3 (alebo tiež napr. počet cifier čísla 4 v sústave so základom 9, pozri úlohu 21b)). 37. aa 1; 2, ak podmienku medzi priamkami interpretujeme ako ostré nerovnosti 1 < log + aa < 5; pre interpretáciu pomocou neostrých nerovností 1 log + aa 5 je odpoveď aa 1; pp ; 1 1;, t. j. pp > 1 (musí platiť > 1). 39. a) log = 2 log, pozri text pred úlohou 16, b) pozri obr. 34, graf funkcie yy = log dostaneme, ak ku grafu yy = 2 log doplníme čiaru, ktorá je s ním súmerná podľa osi Oy. yy = log yy yy = 2 log obr. 34 Graf funkcie yy = 2 log je prerušovaná čiara (definičný obor je 0; ), graf funkcie yy = log je zelená čiara (definičný obor je R 0 ). 40. Na obrázky 35 až 40 sa vzťahuje obdobná poznámka ako na obrázky v riešení úlohy 40f). a) Pozri obr. 35, DD ff = 0;, HH ff = R, rastúca (t. j. rastúca na celom definičnom obore), zhora aj zdola neohraničená, extrémy ani lokálne extrémy nemá, asymptota = 0,

9 yy yy = log = 0 ff: yy = log 3 obr. 35 Graf funkcie ff: yy = log 3 dostaneme, ak graf yy = log posunieme o 3 v smere Oy. b) pozri obr. 36, DD gg = 2;, HH ff = R, klesajúca, zhora aj zdola neohraničená, extrémy ani lokálne extrémy nemá, asymptota = 2, yy = 2 = 0 gg: yy = log, ( + 2) yy = log, obr. 36 Graf funkcie gg: yy = log, + 2 dostaneme, ak graf yy = log, posunieme o 2 v smere Ox; z asymptoty = 0 grafu funkcie yy = log, tak dostaneme priamku = 2, ktorá je asymptotou grafu funkcie gg. c) pozri obr. 37 a obr. 38 (v tomto prípade možno vzájomné poradie transformácií posunutia o 1 v smere Ox a 2- násobného zmenšenia v smere Oy vzájomne zameniť), DD FF = 1;, HH ff = R, rastúca, zhora aj zdola neohraničená, extrémy ani lokálne extrémy nemá, asymptota = 1,

10 yy = 0 = 1 FF : yy = log FF : yy = log ( 1) FF: yy = log ( 1) obr. 37 Jedna z možností, ako dostaneme graf funkcie FF: yy = log 1 : graf FF : yy = log posunieme o 1 v smere Ox získame tak graf funkcie FF : yy = log 1, ten 2- násobne zmenšíme v smere Oy. yy FF : yy = log = 0 = 1 FF : yy = log FF: yy = log ( 1) obr. 38 Iný možný postup zostrojenia grafu funkcie FF: yy = log 1 : graf FF : yy = log 2- násobne zmenšíme v smere osi Oy získame tak graf funkcie FF : yy = log, ten posunieme o 1 v smere Ox. d) pozri obr. 39, DD GG = 3;, HH ff = R, rastúca, zhora aj zdola neohraničená, extrémy ani lokálne extrémy nemá, asymptota = 3, yy GG: yy = 1,5 log, ( 3) = 0 = 3 GG : yy = log, ( 3) GG : yy = log, GG : yy = log, ( 3) obr. 39 e) pozri obr. 40 (predpis sme najprv upravili: 2 log = 2 log 10 log = 1 + log ), DD μμ = 0;, HH μμ = R, rastúca, zhora aj zdola neohraničená, extrémy ani lokálne

11 extrémy nemá, asymptota = 0. yy = 0 μμ: yy = 2 log yy = log obr Správne odpovede sú (B): najprv dostaneme graf funkcie gg : yy = ff 2 = log 2, t. j. gg = log 2, potom graf h: yy = gg + = log 2 + = log 2 + 1, (C): najprv dostaneme graf funkcie gg : yy = ff + 1 = log + 1, t. j. gg = log + 1, potom graf h: yy = gg 2 = log Postupom opísaným v prípade (A) dostaneme graf funkcie yy = log 2 + 2, v prípade (D) graf funkcie yy = log Správne odpovede sú (B): preklopením grafu ff okolo Oy dostaneme graf gg = log, posunutím grafu gg o 1 v smere Ox dostaneme graf h: yy = gg 1 = log 1 = log 1, (C): posunutím grafu ff o 1 v smere osi Ox dostaneme graf gg = log 1 +, preklopením grafu gg okolo Oy dostaneme graf h: yy = gg = log 1 +. Postupom opísaným v (A) vznikne graf yy = log 1, rovnaký graf dostaneme aj v prípade (D). 43. yy = log, yy = cot, yy = a) Pozri obr. 41; pretože log 2 = (pozri vzorec pred úlohou 22), graf môžeme načrtnúť na základe úvah o grafoch funkcií typu 1 lomeno ff, pozri tiež napr. úlohy 38 a 39 z kapitoly 6 v 1. časti zbierky,

12 yy yy = log 2 obr. 41 b) pozri obr. 42; grafom je polovica paraboly yy = pre > 0, vyplýva to z rovnosti 16 = 4 = 4 = (do predpisu yy = 16 možno dosadiť iba > 0), yy yy = 16 obr. 42 c) pozri obr. 43; funkcia yy = log sin je periodická s periódou 2ππ a jej graf je súmerný podľa každej z priamok = + kkkk, kde kk Z (vyplýva to z vlastností funkcie yy = sin ); priamky yy = kkkk, kde kk Z, sú asymptoty grafu ff: yy = log sin (všeobecnú definíciu tohto pojmu sme síce neuviedli, predpokladáme však, že čitateľovi je jeho význam v tomto prípade prinajmenšom intuitívne jasný). yy yy = log(sin ) obr. 43

13 45. a) DD ff = ;, b) DD gg = ; 0 1 ( musí spĺňať podmienky > 0 log 0, prvá z nich je pritom skryto obsiahnutá v druhej, pretože opisuje jej definičný obor), c) DD h = 4;, d) DD FF = 4;5 ( musí spĺňať podmienky 4 > 0 log 4 0, t. j. 4 > 0 4 1), e) DD GG = ; 1, f) DD KK = 3; 3, g) DD αα = 1; 0, h) DD ββ = Z 2kkkk; 2kk + 1 ππ, j) DD ωω = ; 1 ( musí spĺňať podmienku 1 > 0). 46. a) Funkcia gg = AA + BB aa má obor hodnôt AA;, ak BB > 0, ; AA, ak BB < 0, AA, ak BB = 0. b) Odpoveď je rovnaká ako v prípade a) hodnota CC teda výsledok nijak neovplyvňuje. Môžeme argumentovať grafom: graf GG vznikne posunutím grafu gg v smere osi Ox a táto transformácia nemá vplyv na obor hodnôt, predpisom: predpis yy = AA + BB aa možno zapísať v tvare yy = AA + BB aa aa, pričom BB má rovnaké znamienko ako BB (pretože aa > 0), z časti a) pritom vieme, že obor hodnôt závisí od AA a od znamienka BB. c) BB = 3, AA môže byť ľubovoľné záporné číslo: definičný obor inverznej funkcie ff (funkcia zo zadania je prostá, okrem A = 0, takže inverzná funkcia k nej skutočne existuje) sa zhoduje s oborom hodnôt HH ff ; pri riešení môžeme použiť rovnaké úvahy ako v riešení úlohy 46a), b) alebo sa odvolať na výsledok tejto úlohy (predpis funkcie ff možno zapísať v tvare ff: yy = AA + BB alebo ff: yy = AA tvar ako predpis z úlohy 46a), druhý ako predpis z úlohy 46b)). + BB, prvý zápis má rovnaký 47. Pravdu má iba Petra. Funkcie FF a HH sa obidve zhodujú s funkciou yy 1, 0; 1. Funkcie ff a gg nie sú rovnaké: predpis oboch možno síce upraviť na tvar yy =, majú však rôzne definičné obory: DD ff = 0; 1, DD gg = 0;. 48. a) ff : yy = log 1, DD ff = 1;, HH ff = R, b) gg : yy = 2, DD gg = R, HH gg = 0;, c) inverzná funkcia neexistuje, pretože h nie je prostá (napr. h 1 = h 1 = 0), d) kk : yy = 2, DD kk = R, HH kk = 0;, e) φφ : yy = 4 + 3, DD φφ = R, HH φφ = 4;, f) FF : yy = log FF = 1;, HH FF = R, g) GG : yy = log 1, DD GG = 0;, HH GG = R, h) KK : yy = log + 1, DD KK = 0;, HH KK = 0;. 49. Navzájom inverzné sú iba funkcie ff a h. Inverzná funkcia k funkcii gg je gg : yy = 3 1 (predpis gg možno zapísať napr. aj v tvare yy = 1), inverzná funkcia k funkcii kk

14 je kk : yy = 2 + log + 2 (čo možno zapísať napr. aj v tvare kk : yy = 2 log 50. (B). + 2 ). 51. a) 9- násobné rozšírenie v smere Ox alebo posunutie o 2 v smere Oy (vyplýva to z rovnosti log = log 2), b) funkcia yy = 3 je inverzná k funkcii yy = log (pozri úlohu 50), preto postup, ktorým z grafu yy = 3 vznikne graf funkcie yy = 3 dostaneme, ak preklopíme okolo priamky yy = jednotlivé kroky postupu, ktorým z grafu yy = log vznikne graf yy = log : preklopením rozšírenia v smere Ox je zväčšenie v smere osi Oy, preklopením posunutia v smere osi Oy je posunutie v smere Ox. 52. ff: yy = 3 (z podmienky 2 = log 9 vyplýva aa = 3, graf ff dostaneme, ak graf yy = log preklopíme okolo priamky yy =, a potom okolo osi Ox). 53. Obor hodnôt funkcie ff: yy = log je celá množina R, preto rovnica log = AA (s neznámou ) má riešenie pre každé AA R; podľa definície logaritmu je týmto riešením číslo = aa. Funkcia ff je prostá a jej definičný obor je 0;, preto rovnosť log rr = log ss je pre rr, ss 0; ekvivalentná s rovnosťou rr = ss. 54. a) = 2 = 16, b) = 10 = 0,01, c) = 0,04 = d) = 2 =, = =, 2 = 2, = = 125, e) = 216 = 6 (podľa definície logaritmu je pre 0; 1 rovnosť log 216 = 3 ekvivalentná s rovnosťou = 216), f) = 64 (má platiť =, odtiaľ = ), g) = (má platiť = 10, odtiaľ = 10 ), i) = (má platiť =, t. j. = ), j) = 8 (má platiť =, odtiaľ = ), k) = = 0,08 (log = log 2 2 log 5 = log ), l) = 1000 (log = 1,5 3 log 0,2 = log 4, log 0,2 = log, ). m) = ±25 (rovnicu možno zapísať v tvare log 4 log + 6 = 0, pozri text pred úlohou 16), n) = 2 (log = =, pozri vzorec (*) pred úlohou 22, preto rovnicu možno zapísať v tvare + = log ), o) = 3, = 3 (rovnicu možno zapísať v tvare log = 1, resp. 11 log = 1, pozri text pred úlohou 16), p) = ± 2 = ± 64 (rovnicu možno zapísať v tvare log = 2).

15 55. a) log b) podľa modro podfarbených buniek platí log 3 = 2, t. j. aa = 3, preto aa = 3 (základ logaritmu je kladné číslo rôzne od 1, preto nás druhé riešenie rovnice aa = 3, ktorým je 3, nezaujíma) 3 log =, yy = (rovnosť ln + yy = 0 je ekvivalentná s podmienkou + yy = 1; ak vyjadríme yy = 1 a dosadíme do prvej rovnice, dostaneme po úprave 2 = 2 ). 57. a) = 6, c) = 0,8, d) nemá riešenie (korene rovnice = 9 sú = 0 a = 1, tie ale nepatria do definičného oboru pôvodnej rovnice to možno zistiť napr. skúškou správnosti), e) každé 3;, f) = 2, g) = 2 (číslo = 18, ktoré je druhým koreňom rovnice = 2, nepatrí do definičného oboru pôvodnej rovnice), h) = 3, = 1,5, i) = 2, j) nemá riešenie (koreň = rovnice = 10 nepatrí do definičného oboru pôvodnej rovnice to možno zistiť napr. skúškou správnosti), k) = 3, = 5, l) = 2 (číslo = 3, ktoré je koreňom rovnice = 4, nie je koreňom rovnice = 2 ani pôvodnej rovnice), m) = 16, n) = 2 (číslo = 5, ktoré je druhým koreňom rovnice 2 = 14, nepatrí do definičného oboru pôvodnej rovnice), o) nemá riešenie (rovnica 2 10 = + 1 nemá korene), q) nemá riešenie (číslo 5, ktoré je koreňom rovnice = + 1, nepatrí do definičného oboru pôvodnej rovnice), r) =, s) = 13 (číslo, ktoré je koreňom rovnice 9 oboru pôvodnej rovnice), 2 1 = 100, nepatrí do definičného t) nemá riešenie (číslo, ktoré je koreňom rovnice 1 =, nepatrí do definičného oboru pôvodnej rovnice), u) =, v) x = 1, x = 10000

16 58. = 2 (pre = 1 síce platí rovnosť ff 1 = gg 1, ale čísla ff 1, gg 1 sú záporné, preto = 1 nepatrí do definičného oboru rovnice log ff = log gg, podobné úvahy sa vzťahujú na = 3). 59. Prechod od rovnice (2) k rovnici (3) nie je vo všeobecnosti ekvivalentná, ale iba dôsledková úprava (porovnaj tiež s poznámkou za riešením úlohy 57b)): definičný obor rovníc (1) a (2) je interval ;, definičný obor rovníc (3) až (6) je väčší interval 0; zmenu spôsobilo odčítanie výrazu ln 2 3 (ktorý spoluurčuje definičný obor rovnice (2)) od obidvoch strán v (2). Táto úprava je ekvivalentná na množine ;, teda na definičnom obore pôvodnej rovnice, koreň = rovnice (3) ale nepatrí do ;. (Úloha 59 ukazuje, že odčítanie výrazu od obidvoch strán rovnice nemusí byť vo všeobecnosti ekvivalentná úprava; porovnaj tiež s textom pred úlohou 6 v kapitole 3 v 1. časti zbierky, resp. že treba venovať pozornosť množine, na ktorej je táto úprava ekvivalentná.) 60. Uvedenú podmienku spĺňa a) ľubovoľné aa < 5, b) ľubovoľné aa 5. Riešením rovnice aa = 5 (*) je =, toto je koreňom pôvodnej rovnice práve vtedy, keď platí aa > 0 5 > 0 (stačí overiť splnenie iba jednej z týchto podmienok, pretože splnenie druhej z nich vyplýva z rovnosti (*)). 61. a) = log 3 = = 0, ,, b) = 1 + log 0,1 = 1 +, zapísať aj v tvare log = log 0,0125), c) = 2 + log 65 = 2 + v tvare log = log 4,0625), d) = f) = = = = = = 1 = 2, (číslo 1 + log 0,1 možno = 1, (číslo 2 + log 65 možno zapísať aj,,, = 5, , = 1, g) = log = 1 = 0, (rovnica 9yy + 6yy 8 = 0, ktorú dostaneme substitúciou 3 = yy, má korene yy =, yy = ), h) = log 2 =, = 3, , = log 3 = = 4, (korene v tomto tvare dostaneme, ak rovnicu delíme 5 a použijeme substitúciu tt = ; ak rovnicu delíme 4 a použijeme substitúciu tt = log =,, = log = )., dostaneme korene v tvare = 62. a) = 10, b) =, c) = 100 (použitím pravidiel pre počítanie s logaritmami možno rovnicu upraviť na tvar 3 log + 6 log = 18), e) = 4, = (rovnica je ekvivalentná s rovnicou 2log = 3 +, po substitúcii

17 log = tt a úprave dostaneme kvadratickú rovnicu 2tt 3tt 2 = 0), f) = ( = 2, rovnica je ekvivalentná s rovnicou = 6 (*), tú môžeme dostať logaritmovaním obidvoch strán pri základe 2, alebo odvolaním sa na fakt, že funkcia yy = 2 je prostá, a teda rovnosť 2 = 2 je ekvivalentná s (*)), h) = 10 = , i) = 3 = 3 = , j) = 4, = 4 = 256, k) = 2 (na svojom definičnom obore t. j. pre hodnoty spĺňajúce podmienku 3 8 > 0 (*) je daná rovnica ekvivalentná s rovnicou 3 8 = 3 (**), po substitúcii 3 = tt dostaneme tt 8tt 9 = 0; pre každé riešenie rovnice (**) je podmienka (*) automaticky splnená: vyplýva to z toho, že číslo na pravej strane v (**) je kladné), l) = log 6 = 1, (podobne ako v riešení úlohy 62k) aj tu platí, že hoci pôvodná rovnica a rovnica 1 5 = 5 (*) majú rôzny definičný obor každé riešenie rovnice (*) je už riešením pôvodnej rovnice), m) = log 10 = = 2, , = log = log 28 3 = 0, (po substitúcii log 3 1 = tt dostaneme rovnicu tt + tt 6 = 0 s koreňmi tt = 2 a tt = 3), n) x = , o) x = Rovnica (1) je ekvivalentná s rovnicou 6 log 4 log = 4 (pozri text v rámiku pred úlohou 16), nie s rovnicou 6 log 4 log = 4 (ktorú dostaneme použitím nesprávneho vzorca log = 2 log ). Definičný obor rovnice (1) je ; 0 0;, rovnica (2) má menší definičný obor interval 0;, preto riešením rovnice (2) nájdeme iba tie korene pôvodnej rovnice, ktoré patria do 0;. 64. a) = 10, = tt + 2tt 3 = 0), (po logaritmovaní a substitúcii log = tt dostaneme rovnicu c) = 10 (môžeme použiť logaritmovanie rovnice, iná možnosť je využiť rovnosť 10 =, pozri tiež (**) v texte pred úlohou 1, a rovnicu zapísať v tvare =, t. j. = ), d) = 5, = 25 (po logaritmovaní a substitúcii log = tt dostaneme rovnicu tt 3tt + 2 = 0), e) tt = 1, tt = 10, f) = 1, = 2, prípadne aj = 1; to, či = 1 je riešenie, závisí od toho, či za definičný obor DD rovnice (pozri poznámku za riešením úlohy 64b)) pokladáme iba množinu DD = 0; : vtedy je rovnica ekvivalentná s rovnicou 2 log = 0 (tá je ekvivalentná s podmienkou = 1 ( 2 = 0 > 0) (*)) a = 1 nie je koreň, alebo do DD zahrnieme aj hodnoty zodpovedajúce špeciálnemu prípadu záporné číslo na celočíselný exponent : vtedy = 1 je koreň; pri riešení môžeme využiť ekvivalenciu AA = 1 AA = 1 AA 0 BB = 0, rovnica je v tomto prípade ekvivalentná s podmienkou = 1 2 = 0 0 (porovnaj s (*)), g) = 10, =, prípadne aj = 10, = ; závisí to od toho, či

18 za definičný obor DD rovnice (pozri poznámku za riešením úlohy 64b)) pokladáme DD = 0;, vtedy je rovnica ekvivalentná s rovnicou 4 log log = 1, odtiaľ log = ±, alebo do DD zahrnieme aj hodnoty zodpovedajúce prípadu záporné číslo na celočíselný exponent, vtedy musíme zistiť, či niektorá z týchto hodnôt nie je riešením: číslo log sa rovná celému číslu kk v prípade = 10, t. j. pre = ±10, zaujímajú nás = záporné hodnoty, teda = 10, dosadením do log dostaneme ; pre kk nepárne je toto číslo záporné vtedy nemôže platiť rovnosť zo zadania, pre kk párne dostaneme 10, rovnosť zo zadania 10 = 10 platí pre kk = 4, t. j. kk = ±2, h) x = 10, x = 1/ Jediným priesečníkom je bod 9; 15 (z rovnice ff = gg dostaneme po substitúcii uu = 4 (*) a úprave rovnicu 4uu 15uu 4 = 0 s koreňmi uu, = ±, dosadením uu = 4 do (*) dostaneme postupne log = 1, = 9; pre druhý koreň uu = nemá (*) riešenie; hodnotu 15 dostaneme dosadením = 9 do predpisu ktorejkoľvek z funkcií ff, gg) riešenie 2. riešenie log 3 log 3 = log 3 = = (použili sme vzorce z rámiku pred úlohou 22 ) log = log log = log 2 = log log 1 log log 9 log 3 = log log log 3 2 log 1 = log log 1 2 log log 3 log 3 = log log log 3 log 1 2 log = 0 log log 3 2 log 3 log = 0 log = 1 log = 2 log = log 3 log = log 9 = 3 = 9 dosadením do pôvodnej rovnice zistíme, že = 3 nie je koreň pôvodnej rovnice (1), pretože nepatrí do jej definičného oboru (čísla,, sú základy logaritmu, preto musí platiť > 0, 1, 3), = 9 je koreň rovnice (1) (Na definičnom obore rovnice (1), t. j. pre 0; 1; 3 sú všetky úpravy ekvivalentné, preto stačí skontrolovať, či čísla = 3 a = 9 patria do definičného oboru rovnice (1), teda či ich možno dosadiť do jej obidvoch strán; nie je potrebné kontrolovať, či po dosadení nastane rovnosť ublížiť však takáto kontrola nemôže.) 67. a) = 4 a = 8 (ak použijeme vzorec (*) pred úlohou 22 pre AA = 2 a substitúciu log = tt, dostaneme rovnicu = ), b) = 2 a = 8 (ak použijeme vzťahy log 2 =, log 10 = =, (1)

19 log = = a obidve strany vynásobíme log, dostaneme rovnicu log + log 10 = 4, t. j. log 10 = log 16), c) = 3, = 3 (ak použijeme vzťahy log = 2 log, = 2 a log log 2 = log, pozri tiež úlohu 22, môžeme rovnicu zapísať v tvare uu 5uu + 6 = 0, kde uu = 2 ). 68. a) Uvedené úvahy sú správne iba za predpokladu, že exponenty a čísla alebo 0, tento predpoklad však zo zadania nevyplýva. b) Pre = log 10 platí 5 = = =, = sú prirodzené = = = log 1000, a teda 2 = 2 = 1000, preto 5 2 = 1000 = 100. c) Rovnicu 5 2 = 5 2 najprv upravíme: 5 2 = 1, 5 2 = 1, potom zlogaritmujeme: 2 ln 5 + ln 2 = 0 (namiesto prirodzených logaritmov sme mohli použiť logaritmy pri ľubovoľnom inom základe), odtiaľ postupne ln 5 + ln 2 = 0, čo je ekvivalentné s podmienkou 2 = ln 5 + ln 2 = 0, t. j. = 2 = 1 = = log a) = 9, = 0,99 (po úprave a substitúcii log + 1 = tt dostaneme rovnicu tt + tt 2 = 0), b) = 10, = 0,000 1 (po logaritmovaní rovnice a substitúcii log = uu dostaneme rovnicu uu + 3uu 4 = 0), c) = 10 (vzhľadom na zápis zadania hľadáme iba také, že log je prirodzené číslo väčšie ako 1; porovnaním exponentov, resp. logaritmovaním obidvoch strán a substitúciou log = tt dostaneme po úprave rovnicu 5tt 24tt 5 = 0), d) = 1000, = 10 = 0, (druhý koreň je riešením rovnice 2 = ; ak použijeme substitúciu 2 = tt, dostaneme rovnicu 3tt 25tt + 8 = 0 s koreňmi tt = 8 a tt = ), e) = 10 (vzhľadom na zápis zadania hľadáme iba také, že log je prirodzené číslo väčšie ako 1; po logaritmovaní a substitúcii log = tt dostaneme rovnicu 2tt + 4nn tt 2 = 0, jej korene sú tt, = ± ), f) = 3 (ak využijeme, že 1 log 2,5 = log, = log 4, môžeme rovnicu prepísať na tvar 2 = 4, porovnaním exponentov a substitúciou 2 = tt dostaneme rovnicu 1 + tt tt = 8, tú môžeme riešiť uhádnutím koreňa tt = 8; v takom prípade však musíme zdôvodniť, že iné korene už neexistujú to vyplýva napr. z toho, že funkcia 1 + tt tt je rastúca (ako súčet dvoch rastúcich funkcií), a teda aj prostá, úpravami: umocnením na druhú dostaneme z rovnice 1 + 3tt = tt rovnicu tt = 32 tt, tú môžeme riešiť opätovným umocnením na druhú alebo napr. substitúciou 1 + tt = uu, vzhľadom na použitie neekvivalentných úprav je potrebná

20 skúška správnosti), aa bb 10 (252 je kombinačné číslo 5 =! ; ak rovnicu logaritmujeme!! a použijeme substitúciu log = tt, dostaneme 2 + tt tt 1 = 3 tt tt, pôvodná rovnica má korene = 10 a =, prostredný člen rozvoja aa bb 10 je 5 aa bb, pozri text pred úlohou 27 v kapitole 6 v 1. časti zbierky). 71. Množina všetkých riešení danej nerovnice je a) 4;, b) 0;, c) 0; 1, d) 0;1 000, f) ;, g) 8;, i) 5;, j) 0;0,5, k) ;, l) 0; a) Ak pre základ aa platí aa > 1 aa 0; 1 a rr je dané kladné číslo, tak nerovnica log N log rr je pre 0; (to je definičný obor funkcie ff: yy = log ) ekvivalentná s nerovnicou N rr, N rr, kde N je znak nerovnosti opačný k N (opačný k znaku < je znak > a naopak, opačný k znaku je znak a naopak ), t. j. symbolicky zapísané s nerovnicou N rr, 0; N rr, 0; (toto tvrdenie je rovnocenné s tvrdením funkcia yy = log je pre aa > 1 rastúca ). pre aa 0; 1 klesajúca ). Preto množinou všetkých riešení nerovníc log > log rr, log log rr, log < log rr, log log rr (kde rr > 0) sú v uvedenom poradí intervaly rr;, rr;, 0; rr a 0;rr. 0; rr, 0;rr, rr; a rr;. b) Nerovnicu tvaru log N bb (*) môžeme prepísať na tvar log N log aa, preto tvrdenia o množine všetkých riešení (*) dostaneme, ak v tvrdeniach z časti a) číslo rr nahradíme číslom aa. 73. aa = 10 aa =

21 a) nezmení: v oboch prípadoch je množinou všetkých riešení 0; rr, b) zmení, s výnimkou prípadu RR = 0: množina všetkých riešení nerovnice log < RR, kde aa > 1, je 0; aa, zmení: množina všetkých riešení nerovnice log < log rr je rr;, zmení: množina všetkých riešení nerovnice log < RR, kde aa 0; 1, je aa ;. 74. Množina všetkých riešení je b) ; 10 10; : nerovnica je ekvivalentná so sústavou 9 > 0 9 1, t. j. s nerovnicou 9 1 (pretože z nerovnosti 9 1 už vyplýva nerovnosť 9 > 0), c) 0; 1 : na svojom definičnom obore 7; je nerovnica ekvivalentná s (*), množina všetkých riešení (*) je 0; 1, všetky tieto čísla patria do definičného oboru 7;, d) 3;4 : na svojom definičnom obore 3; je nerovnica ekvivalentná s (*), množina všetkých riešení (*) je 1; 4, preto množina všetkých riešení pôvodnej nerovnice je 3; 1; 4, e) ; 4 : na svojom definičnom obore ; 2 (pre musí platiť > 4 < 0) je nerovnica ekvivalentná s > 0 (*), množina všetkých riešení (*) je ; 4 1;, h) 3; : definičný obor nerovnice je 1; ( musí spĺňať podmienky > > 0), na ňom je daná nerovnica ekvivalentná s < + 1 (*), t. j. s nerovnicou < + 1 (na definičnom obore sú obidve strany v (*) kladné, preto umocnenie na druhú je ekvivalentná úprava), po úprave > 9 (**); množina všetkých riešení (**) je ; 3 3;. i) 0;2 : na svojom definičnom obore 1; 2 je nerovnica ekvivalentná s nerovnicou (základ logaritmu je menší ako 1, preto sa znak nerovnosti zmenil na opačný), t. j. s nerovnicou , po úprave (*), množina všetkých riešení (*) je ; 4 0;. 75. a) Definičný obor nerovnice je interval 1; 3 iba tam nadobúdajú obidve funkcie kladné hodnoty, pozri obr. 44, yy 3 yy = ff() 2 1 yy = gg() obr. 44

22 b) množina všetkých riešení je 1;2 : na svojom definičnom obore je daná nerovnica ekvivalentná s nerovnicou ff gg, pozri obr. 45, yy 3 yy = ff() 2 1 yy = gg() obr. 45 c) množina všetkých riešení je 2;3 : na svojom definičnom obore je daná nerovnica ekvivalentná s nerovnicou ff gg, pozri obr. 46. yy 3 yy = ff() 2 1 yy = gg() obr Správna odpoveď je (E). 77. Riešenie nie je správne, správny výsledok je 0; 1;. Pri prechode od (1) k (2) musíme rozlíšiť dva prípady: číslo log je kladné, t. j. 1; číslo log je záporné, t. j. 0; 1 V tomto prípade nie je potrebné nerovnicu (1) ďalej upravovať: má totiž tvar Po vynásobení oboch strán nerovnice záporným číslom sa znak nerovnosti zmení na opačný, preto pre 0; 1 je nerovnica (1) ekvivalentná s

23 kladné číslo 1. (*) Nerovnosť tvaru (*) zrejme platí, preto riešením (1) na intervale 1; je každé 1;. 1 log, teda s log 1. (**) Riešením (**) je každé 0; teda z definičného oboru funkcie yy = log, pre ktoré platí. Riešením nerovnice (1) na intervale 0; 1 je preto každé, ktoré spĺňa podmienky 0; 1 0;, teda každé 0;. Iná možnosť riešenia, ktorá sa vyhýba násobeniu obidvoch strán nerovnice: 1, + 1 0, 0, posledná nerovnica je (podľa úvahy 0 AA 0 BB > 0 AA 0 BB < 0 ) pre 0; 1 ekvivalentná s podmienkou 1 + log 0 log > log 0 log < 0, t. j. log > 0 log Množina všetkých riešení je a) 0; 1 : rovnicu možno prepísať na tvar > 0, pritom číslo log,, >, t. j. je záporné; iná možnosť je využiť poznatok, že funkcia yy tt = log tt je rastúca, ak pre základ platí > 1; vtedy nerovnosť zo zadania nemôže platiť, klesajúca, ak pre základ platí 0; 1, b) 0; 1 3; 4 : pre 0; 1 je nerovnica ekvivalentná so 4 > 1, pre > 1 je ekvivalentná so sústavou 0 < 4 < 1; nerovnicu možno tiež prepísať na tvar 0, pozri rovnosť (*) pred úlohou 22 a použiť úvahu podiel je záporný práve vtedy, keď..., c) 1; 1,125 : pre 0; 1 je nerovnica ekvivalentná s 5 4,5, pre > 1 je ekvivalentná so sústavou 0 < 5 4,5 < ; nerovnicu možno tiež prepísať na tvar,, 1, t. j. 0 pozri rovnosť (*) pred úlohou 22 a použiť úvahy o znamienku podielu dvoch čísel, d) ; 1 1;2 : pre 0; 1 je nerovnica ekvivalentná so sústavou 0 < 3 2, pre > 1 je ekvivalentná s nerovnicou 3 2 ; nerovnicu možno tiež prepísať na tvar 0, t. j. 0, e) 0; 1 4; : nerovnicu možno zapísať v tvare f) 1; Množina všetkých riešení je a) 3; : použitím substitúcií log = tt a tt = uu (ktoré možno spojiť do jednej substitúcie log = uu) dostaneme nerovnicu uu + uu > 2, t. j. uu + 2 uu 1 > 0, tá je ekvivalentná s podmienkou uu < 2 uu > 1; preto riešením sú tie, pre ktoré platí log < 2 log > 1; prvá nerovnica nemá riešenie, ekvivalentnými úpravami druhej dostaneme postupne log > 1 (ak sú obidve strany nerovnice nezáporné, je umocnenie obidvoch strán na druhú ekvivalentná úprava, to je rovnocenné s tvrdením funkcia tt = uu je rastúca pre uu 0;, resp. s tvrdením funkcia uu = tt je rastúca, porovnaj tiež s poznámkou 1 za riešením úlohy 79c)), > 3 (ekvivalencia vyplýva z toho, že funkcia yy = log je rastúca), 0, <

24 b) ; ee : do ľavej strany možno dosadiť iba 0;, pre tieto je nerovnica ekvivalentná s nerovnicou > 0, tú možno riešiť napr. substitúciou uu = ln a použitím tabuľkovej metódy alebo úvahou z úlohy 85 na s. 154 v 1. časti zbierky, dostaneme tak sústavu nerovníc 1 < ln < 1, d) 2;512 : postupnými ekvivalentnými úpravami dostaneme sústavy 0 < log log 2, 1 < log 9 (prechod k prvej sústave zodpovedá substitúcii uu = log log, prechod k druhej sústave substitúcii tt = log ), 2 < < 2 ; e) 10 ; 10 : logaritmovaním obidvoch strán dostaneme ekvivalentnú nerovnicu log 2 + log (ekvivalencia vyplýva z toho, že funkcia yy = log uu je rastúca), z nej použitím substitúcie tt = log dostaneme po úprave nerovnicu 6tt tt 2 0, ktorá je ekvivalentná s podmienkou tt ; preto riešením pôvodnej nerovnice sú tie, pre ktoré platí log, f) ; : logaritmovaním obidvoch strán a použitím substitúcie tt = log dostaneme po úprave nerovnicu tt 3tt + 2 0, ktorá je ekvivalentná s podmienkou 1 tt 2; preto riešením pôvodnej nerovnice sú tie, pre ktoré platí 1 log , táto sústava je ekvivalentná s (pri zdôvodnení tohto kroku možno použiť substitúciu uu = 2 + 1; ekvivalencia vyplýva z toho, že funkcia yy = log uu je rastúca). 80. a) DD gg ff = ; 2 : pre musí platiť > 0, to je ekvivalentné s podmienkou 2 > 0, b) DD gg ff = 0;9 : pre musí platiť > 0 2 log 0, treba teda nájsť všetky riešenia nerovnice log 2 (*) (v nej je skryto obsiahnutá aj podmienka > 0, ktorá opisuje definičný obor rovnice (*)), d) DD gg ff = ; 1 1; : pre musí platiť 1 > 0, to je ekvivalentné s > 0, pozri napr. postup z úlohy 85 na s. 154 v 1. časti zbierky, e) DD gg ff = ; 5 4; 3 3; 4 5; : pre yy = musí platiť > 0, čo je ekvivalentné s yy < 1 yy > 1 (pozri napr. postup z úlohy 85 na s. 154 v 1. časti zbierky), t. j. < 1 > 1, po úpravách 9 < < 16 > 25 (použili sme substitúciu tt =, nerovnica tt 25tt < 0 je ekvivalentná s podmienkou 9 < tt < 16, postup pre druhú nerovnicu je podobný). 81. a) DD ff = 1; : pre musí platiť log 0 (pretože definičný obor funkcie yy = tt je interval 0; ), b) DD gg = 2; : do predpisu yy = tt možno dosadiť ľubovoľné tt R, preto musí spĺňať iba podmienku patrí do definičného oboru funkcie yy = log, 2, c) DD h = 3; : pre musí platiť + 3 > 0 log , to je ekvivalentné so sústavou 0 < + 3, d) DD FF = 1; : pre musí platiť > 0 ln > 0 (pritom prvá podmienka je skrytá

25 v druhej, pretože opisuje definičný obor funkcie yy = ln, a teda aj definičný obor nerovnice ln > 0), e) DD GG = 1; 3 : musí platiť > 0 log > 0 log log 0 (pritom prvé dve podmienky sú skryté v tretej, pretože opisujú definičný obor funkcie yy = log log, a teda aj definičný obor tretej nerovnice), f) DD HH = Z 0 + kkkk; + kkkk = Z 2kk ; 2kk + 1 : musí platiť + kkkk (kk Z) tan > 0 (prvá podmienka je skrytá v druhej podobne ako v predchádzajúcich úlohách), g) DD φφ = 0; 2 ; kk Z : musí platiť > 0 log 2kk + 1 (kk Z). 82. Máme riešiť nerovnicu log + 12 > log 20 3 : každé riešenie rovnice zo zadania je aj riešením rovnice + + = 20 +, t. j = 0 (*); ak koreňmi kvadratickej rovnice (v ktorej koeficient pri je 1) majú byť 4 a 8, musí mať táto rovnica tvar = 0, t. j = 0 (**), porovnaním (*) a (**) nájdeme hodnoty a (nezabudnite skontrolovať, či 4 a 8 možno dosadiť do rovnice log + 12 = log 20 3 ); iná možnosť: do (*) dosadíme = 4 a = 8, dostaneme tak sústavu dvoch lineárnych rovníc s neznámymi a. Množina všetkých riešení nerovnice je 8; 4 3; 4 : nerovnica je ekvivalentná so sústavou + 12 > > < 20 3, pritom druhú nerovnicu môžeme vypustiť, pretože vyplýva zo zvyšných dvoch, množina všetkých riešení je ; 4 3; 8; aa ; : úpravou podmienky diskriminant je nezáporný dostaneme nerovnicu log aa Nerovnosti log 5 > 1 a log bb > 2 sú ekvivalentné s podmienkou aa 1; 5, bb 0;. Preto a) log bb < log, b) log aa < log (lebo log aa < 1 a log > 2), c) znak nerovnosti sa nedá jednoznačne určiť. 85. Pravdu nemá ani jeden, správny výsledok je 2 2; : namiesto znaku má byť v krokoch opačný znak (pretože logaritmická funkcia yy = log so základom menším ako 1 je klesajúca), všetky uvedené úpravy sú ekvivalentné na definičnom obore rovnice, ktorým je interval 2; ; správnym postupom dospejeme v 6. kroku k nerovnici 8, 2;. Marika sa pomýlila v znaku nerovnosti a nezohľadnila definičný obor nerovnice, otec si pravdepodobne všimol iba druhú z týchto dvoch chýb. 86. a) aa = 2, b) aa = 1, c) také aa neexistuje (nerovnica log aa > 1 je ekvivalentná s podmienkou aa > 0 aa <, t. j. 0 < aa < 2, preto množina všetkých riešení je aa; aa + 2 ; neexistuje aa,

26 pre ktoré by platilo aa; aa + 2 = 2; 5 ), d) aa = 0,7 (pre aa > 1 je množina všetkých riešení 3 + aa;, pre aa 0; 1 je to 3; 3 + aa ; nerovnicu môžeme zapísať aj v tvare > 1), e) ľubovoľné aa 0; 1, f) také aa neexistuje (pre aa 0; 1 je množina všetkých riešení 3; 3 + aa ; pre aa > 1 je to 3 + aa ;, ale podmienku 3 + aa = 3,5 spĺňa iba aa = ). 87. a)... funkčná hodnota... sa zväčší 1,21- násobne, teda o 21 %,... ak zväčšíme o 0,5, zväčší sa funkčná hodnota 1,1- násobne, teda o 10 %, ak zväčšíme o 1,5, zväčší sa funkčná hodnota 1,331- násobne, teda o 33,1 %, b) ak AA > BB > 0, tak počet percent, o ktoré je číslo AA väčšie než BB, je 100, t. j ; v našom prípade je číslo ff + tt = kk aa od čísla ff = kk aa väčšie o = aa percent, platí teda: ak zväčšíme o tt, tak funkčná hodnota sa zväčší nezávisle od toho, ktoré zvolíme vždy o aa percent, c) nech tt je dané kladné číslo; ak zväčšíme o tt, tak hodnota yy = kk aa sa zmenší vždy o rovnaký počet percent nezávisle od toho, ktorú hodnotu zvolíme (z výpočtu ak AA > BB > 0, tak BB je od AA menšie o 100 = percent vyplýva, že tento pevný počet percent pre danú hodnotu tt je číslo 1 aa 100), d) o,,,,,,, 100 = 1 0,8, 100 = 28, ,45 %. 89. a)... po uplynutí času 2TT... po uplynutí rokov zvýši štvrtina pôvodného množstva; po uplynutí času 3TT po uplynutí rokov zvýši osmina pôvodného množstva; po uplynutí času prirodzené číslo) nntt (kde nn > 1 je po uplynutí nn 5730 rokov zvýši - tina pôvodného množstva. Po uplynutí času TT sa pôvodné množstvo MM zmenší na polovicu, t. j. na MM, množstvo MM sa po uplynutí ďalšieho časového úseku dĺžky TT zmenší opäť na polovicu, t. j. na MM = MM, množstvo MM sa po uplynutí času TT zmenší na polovicu, t. j. na MM = MM, atď. c) Pre koeficienty kk, aa platí kk = mm, aa = /, hľadaný predpis je yy tt = mm / (číslo yy tt je množstvo látky, ktoré zostane z pôvodného množstva mm po uplynutí času tt), pozri tiež obr. 24. Hmotnosť yy tt je 100 percent z pôvodnej hmotnosti mm, preto

27 funkcia vyjadrujúca množstvo percent má predpis yy tt = 100 /. d) TT = 3,00 dňa: z rovnosti kk aa = 0,315 kk aa (tvar rovnice zaručuje, že požiadavka, aby táto rovnosť platila pre všetky tt, je splnená, pozri tiež riešenie úlohy 88b)) dostávame aa = 0,315, odtiaľ aa = 0,315, preto predpis opisujúci množstvo látky po tt dňoch je yy = kk 0,315 ; pre hľadaný polčas TT platí yy tt + TT = yy tt, teda kk 0,315 = kk 0,315, odtiaľ 0,315 =, preto TT = = 3, (údaje v zadaní boli uvedené na tri, platné číslice, preto aj výsledok uvádzame s touto presnosťou). 90. a) Približne o 8,26 %: po tt dňoch zostane 100, percent z pôvodného množstva látky (pozri riešenie úlohy 89c) a text k obr. 24), preto po 1 dni zostane ,739 percent, ubudlo teda ,739 percent; 11, = b) za 18, dňa (to je približne 18 dní a 16 hodín): hľadaný čas tt nájdeme riešením rovnice 100,,, = 20, odtiaľ tt =., 91. a) O 64, ,64 percenta, 85, ,13 percenta (po čase kk TT / / zostane 100 /, t. j. 100 percent pôvodného množstva, pôvodné množstvo sa teda zmenší o percent); b) za 3, TT 3,32 TT, 6, TT 6,64 TT, c) doba 99,9%- ného zmenšenia je 3TT, doba 99,99%- ného zmenšenia je 4TT; vyplýva to z vlastnosti za rovnaký čas sa množstvo látky zmenší o rovnaký počet percent : ak sa za čas TT zmenší množstvo o 90 % (teda na jednu desatinu), tak za čas 2TT dostaneme desatinu z tejto desatiny, teda 1 % z pôvodného množstva atď., pozri tiež úlohu 89a). 92. a)... tak funkčná hodnota gg = log sa zväčší vždy o rovnakú hodnotu (teda rozdiel gg ss gg je konštantný), b) gg 1111 gg = log log = log = log 10 = 11, teda pri 10- násobnom zväčšení sa funkčná hodnota zväčší vždy o 1, pri 100- násobnom zväčšení sa funkčná hodnota zväčší vždy o 2, gg 20 gg = log log = log = log 20, teda pri 20- násobnom zväčšení sa funkčná hodnota zväčší vždy o log 20 = 1, , c) gg ss gg = log log = log = llllll aa ss, teda pri ss- násobnom zväčšení sa funkčná hodnota zväčší vždy o llllll aa ss.

28 93. (E) 94. a) hlasitosť LL (B) intenzita zvuku II (W/m 2 ) II 1111 II II II II = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 b) II = II 1111 LL, c) LL = log, hladina intenzity je dekadický logaritmus pomeru danej intenzity a prahu počuteľnosti II, d) LL = 10 log, kde LL je hladina intenzity v decibeloch, II je intenzita vyjadrená v W/m 2 a II = 10 W/m 2 (v skutočnosti stačí, aby II a II boli vyjadrené v rovnakých jednotkách napr. konská sila na stopu štvorcovú; nie je nevyhnutné, aby to boli jednotky W/m 2 ), e) nie, predstavuje to približne 3,16- násobné zväčšenie intenzity: ak II a II sú pôvodná a zvýšená intenzita, tak LL = 10 log a LL = 10 log, teda LL LL = 10 log = 10 log (*), podľa zadania LL LL = 5, teda 10 log = 5, odtiaľ log =, = 10 = 3, ,16, teda II = 10 II 3,16 II (tento postup súčasne potvrdzuje, že výsledok nezávisí od konkrétnych hodnôt II a II, ale iba od ich pomeru), f) o 10 log 3 = 4, decibelu: ak LL = 10 log 10 log = 10 log 3, a LL = 10 log, tak LL LL = g) približne o 26 %: podľa zadania platí 10 log = 1 (porovnaj s (*) v riešení úlohy 94e)), odtiaľ = 10 = 1, , teda II = 1, II 1,26 II. 95. O 10 log 2 = 3, decibelu: z rovnosti 60 = 10 log dostávame II = 10 II = 10, potom 2II = 2 10, zodpovedajúca hlasitosť je LL = 10 log = 10 log 2 10 = 10 log , zvýšenie je preto o 10 log ; iný postup (porovnaj s riešením úlohy 94f)) ak LL = 10 log a LL = 10 log (II je intenzita zodpovedajúca hlasitosti LL = 60 db), tak LL LL = 10 log = 10 log a) o jednotku dĺžky doprava, o jednotku dĺžky doľava, tak dostaneme body, ktoré na číselnej osi s logaritmickou mierkou znázorňujú čísla

29 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. b) Pozri obr. 47: poloha čísel 1, AA, BB na osi s logaritmickou mierkou zodpovedá na štandardnej osi polohe čísel 0, log AA, log BB, preto úsečky 1AA, 1BB majú dĺžky log AA, log BB a ich súčet má teda dĺžku log AA + log BB. Hodnote log AA + log BB na štandardnej osi zodpovedá na logaritmickej osi hodnota AA BB. log BB log AA 1 BB 1 AA log AA + log BB AA BB obr b) Graf bude mať tvar logaritmickej krivky: graf dostaneme, ak v štandardnej súradnicovej sústave OOOOOO znázorníme závislosť hodnoty YY = log yy od hodnoty (teda zostrojíme body ; log 4 ); pre 0; je rovnosť yy = 4 ekvivalentná s log yy = log 4 + log, t. j. YY = log 4 + log, graf bude mať tvar exponenciálnej krivky: graf dostaneme, ak v štandardnej súradnicovej sústave OOOOOO znázorníme závislosť hodnoty yy od hodnoty XX = log (teda zostrojíme body log ; yy ); pre 0; je rovnosť yy = 4 ekvivalentná s log yy = log 4 + log, odtiaľ yy = 10, t. j. yy = c) všetky funkcie, ktorých predpis má tvar yy = aa bb, kde aa, bb 0;, pozri tiež obr. 30b): v štandardnej súradnicovej sústave má platiť YY = kkkk + qq, t. j. log yy = kkkk + qq, odtiaľ yy = 1111 qq 1111 kk, d) na osi : ak označíme XX = log, má rovnica yy = log 5 tvar yy = log 5 + XX, teda yy je lineárna funkcia premennej XX, preto v štandardnej súradnicovej sústave OOOOOO bude grafom priamka. 98. (v nasledujúcich riešeniach používame označenia XX = log, YY = log yy) funkcia yy = ff : Priamka prechádza bodmi ; YY = 5; 1 a ; YY = 5; 4, preto má rovnicu YY = 1 + 5, t. j. YY = = + 3. Z rovnosti log yy = + 3 dostávame yy = 10. funkcia yy = gg : Priamka prechádza bodmi ; YY = 5; 3 a ; YY = 5; 0, preto má rovnicu YY = = 5 =. Z rovnosti log yy = dostávame yy = 10, t. j. yy = 100, (= 4, ,)

30 funkcia yy = h : Priamka prechádza bodmi ; YY = 5; log 2 a ; YY = 5; log 200, preto má rovnicu YY = log = log = log = log 2 = + log 20. Z rovnosti log yy = + log 20 dostávame yy = funkcia yy = FF : Priamka prechádza bodmi XX; YY = log 10 ; log 3 a XX; YY = log 10 ; log 300, preto má rovnicu YY = log 3 + XX log 10 = log 3 + XX 1 dostávame yy = 3 10 = 3 = log XX. Z rovnosti log yy = log(3 10) + log funkcia yy = GG : Priamka prechádza bodmi XX; YY = log 10 ; log a XX; YY = log 10, ; log 0,6, preto má rovnicu YY = log XX log 10 = log yy =., XX + 1 = log XX. Z rovnosti log yy = log 600 log dostávame