Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled vzorců (dostupné na internetové stránce předmětu). Celkový čas: cca 160 minut. Čas 85 minut, max. 34 bodů. Část 1 - Test Tato část sestává ze 7-10 otázek a menších příkladů, které pokrývají celý rozsah látky předmětu PRPE (přednášek, cvičení i domácích úkolů). Některé úlohy vyžadují kreativní myšlení a schopnost kombinovat znalosti z různých probraných kapitol. Níže je uvedeno několik vzorových otázek a příkladů. 1. Co vyjadřují geometrické rovnice v teorii pružnosti? Kolik je těchto rovnic definováno pro pružné kontinuum ve 3 dimenzích a jaké veličiny se v nich vyskytují. Napište aspoň jednu z těchto rovnic. 2. Jaké typy namáhání působí na pruty na obrázku? Načrtněte průběhy všech nenulových vnitřních sil a průběhy všech nenulových složek napětí ve vetknutí. Pozn.: Průřez je dvojose symetrický. 3. Vypočtěte, o kolik stupňů se musí rovnoměrně ohřát nebo ochladit oboustranně vetknutá ocelová tyč, aby v ní vzniklo tahové napětí 252 MPa? Jaká v této tyči pak působí normálová síla? Délka tyče je 1 m její průřez má tvar čtverce s délkou strany 2 cm. E=210 GPa, α=12 10-6 K -1. 4. Jaký je základní předpoklad teorie ohybu prutů s malým poměrem výšky ku délce (Bernoulliova- Navierova, Bernoulliova-Eulerova hypotéza)? Která složka deformace je v důsledku této hypotézy významná a jaké je její rozdělení po průřezu. Odpověď doplňte vhodným obrázkem. 5. a) Vypočítejte extrémní průhyb prostě podepřeného nosníku, jestliže se teplota na jeho horním povrchu zvýší o 50 K, zatímco teplota spodního povrchu se nezmění. Prohne se nosník směrem vzhůru nebo dolu?
b) O kolik se změní délka střednice tohoto nosníku? Dojde k jejímu protažení nebo zkrácení? V obou případech předpokládejte lineární rozdělení teploty po výšce nosníku. Rozpětí nosníku je 4 m, průřez má tvar obdélníka o šířce 15 cm a výšce 30 cm. E=10 GPa, α=3 10-6 K -1. 6. Aniž byste počítali konkrétní hodnoty, načrtněte průběhy významných složek smykových napětí v průřezu prutu, na který působí posouvající síla. Pomocí indexů xy nebo xz popište, o kterou složku napětí se jedná. Do obrázku zapište vždy stupeň polynomu, který průběh napětí vystihuje. 7. Aniž byste počítali konkrétní hodnoty, načrtněte průběhy smykových napětí ve všech stěnách zobrazených tenkostěnných průřezů při volném kroucení prutu. Přibližně dodržte proporce velikostí těchto napětí. Průřez je namáhán kladným krouticím momentem M x. 8. Pro zobrazený průřez vykreslete rozdělení normálového napětí od ohybu v rovině x-z, jestliže došlo k úplnému zplastizování pásnic, zatímco stojina je v elastickém stavu. Pro tento stav průřezu vypočítejte ohybový moment, který je průřezem přenášen. 9. V příhradové konstrukci vyznačte všechny pruty, u kterých je třeba posoudit možnost ztráty stability vybočením. Předpokládejte, že všechny pruty mají stejný průřez a mohou vybočit pouze
v rovině konstrukce. Identifikujte prut, který by vybočil jako první. Při jaké hodnotě F by k vybočení došlo? 10. Napětí v bodě stěny má složky σ x =10 MPa, σ z =-20 MPa, τ xz =-5 MPa. Určete v tomto bodě velikost extrémního smykového napětí a úhel normály plošky, na kterou toto napětí působí, vzhledem k ose x. Jaké normálové napětí působí na této plošce? Výsledek načrtněte. K výpočtu můžete použít Mohrovu kružnici.
Čas 75 minut, max. 32 bodů. Část 2 - Příklady Tato část sestává ze 2-3 příkladů většího rozsahu. Tematicky jsou úlohy zaměřeny především na: určení nejvíce namáhaného průřezu prutu a následnou analýzu rozdělení napětí v tomto průřezu (pro různé typy namáhání tah/tlak, ohyb, kroucení i jejich kombinace); pro různé typy namáhání (tah/tlak, ohyb, kroucení) výpočet a vykreslení průběhů, hodnot a/nebo extrémů posunutí (průhybů, pootočení ap.) a vnitřních sil po délce prutu řešením diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami; mezní pružnoplastická analýza prutu (určení mezního elastického a plastického momentu nebo normálové síly prutu, výpočet mezního zatížení při vzniku plastického mechanismu, vykreselaní průběhu ohybového momentu). Níže jsou uvedeny vzorové příklady. Příklad 1: Pro zobrazený nosník vykreslete průběhy vnitřních sil, určete velikost extrémního ohybového momentu a polohu průřezu, ve kterém tento extrém nastává. V tomto průřezu vykreslete rozdělení normálového napětí. Určete a v obrázku vyznačte polohu neutrální osy a extrémní hodnoty normálového napětí. Příklad 2: Pro zobrazený nosník vykreslete průběhy všech nenulových vnitřních sil. Pro průřez ve vetknutí: a) Zapište hodnoty všech nenulových vnitřních sil. b) Zapište funkci normálového napětí σ x (y, z) a vykreslete jeho rozložení po průřezu. Do obrázku zakreslete neutrální osu. Určete úhel, který svírá neutrální osa s osou y, a tento úhel v obrázku vyznačte. Spojité zatížení f působí svisle v rovině střednice prutu. Paprsek síly F je se střednicí rovnoběžný. Osy y a z jsou těžišťovými osami průřezu, osa z je svislá, y vodorovná. Osa x má počátek ve vetknutí a je orientovaná doprava.
Příklad 3: a) Řešením diferenciální rovnice ohybové čáry (diferenciální rovnice pro průhyb) pro daný nosník určete funkce průhybu w(x), pootočení průřezů φ y (x), posouvající síly V z (x) a ohybového momentu M y (x). b) Vypočtěte hodnoty w, φ y, V z, M y uprostřed rozpětí nosníku. c) Přibližně načrtněte tvar ohybové čáry a průběhy V z (x) a M y (x). Příklad 4: Pro daný nosník vykreslete průběhy vnitřních sil, určete velikost extrémní posouvající síly a polohu průřezu, ve kterém tento extrém nastává. V tomto průřezu vyšetřete rozdělení smykových napětí τ xz a τ xy. Určete velikost smykového napětí ve významných řezech a načrtněte rozdělení obou složek napětí po celém průřezu. V obrázku vyznačte vypočtené významné hodnoty a stupeň polynomu, který průběh napětí vystihuje.