Úvod. zájem lidstva užu

Podobné dokumenty
Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016

7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky

Kinematická geometrie

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Maturitní témata z matematiky

Těleso racionálních funkcí

Co vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika Obor reálných čísel

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Matematika - Historie - 1

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Základní vlastnosti křivek

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

0. Pak existuje n tak, že Bµ APn

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Lenka Lomtatidze Katedra matematiky, Př F MU Brno

CZ 1.07/1.1.32/

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

Maturitní témata od 2013

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata profilová část

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Historický vývoj pojmu křivka

P L A N I M E T R I E

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

Elementární křivky a plochy

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Historický přehled vývoje geometrie

Další plochy technické praxe

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

Obsah a průběh zkoušky 1PG

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

Základní topologické pojmy:

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

5. Konstrukční planimetrické úlohy

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

17 Kuželosečky a přímky

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

Syntetická geometrie I

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Eudoxovy modely. Apollónios (225 př. Kr.) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní. Deferent, epicykl a excentr

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

Michal Zamboj. January 4, 2018

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

Základní geometrické tvary

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Michal Zamboj. December 23, 2016

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Transkript:

Křivky v proměnách věků

Úvod křivka je vícemv ceměně intuituvní pojem zájem lidstva užu od počátku první zkoumaná křivka přímka, později kružnice

Přímka zprvu chápána jako úsečka, která lze neomezeně prodlužovat ovat délka bez šířky ky využit ití provazce, měřm ěřidla

Kružnice inspirace sluncem a měsícemm jednoduché kreslení x 2 + y 2 = r 2 znázorn zornění cyklu, zvěrokruh Eukleidova definice: Kruh jest rovinný útvar, jež se nazývá obvodem, k nížn od jednoho bodu uvnitř útvaru všecky sobě rovny jsou. Středem kruhu se pak zove tento bod.

Křivky v antice 1 antika 14.stol. př. p. Kr. 476 po Kr. velký význam geometrie (Eukleidés, Pythagoras, Appolonius, Pappos, Thales, Hippokrates) odlišný pohled od dneška (jiné chápání objektů, problém m s pohybem a nekonečnem, nem, geometrické chápání veličin, in, např.. násobky) n pojetí pohybu nutnost znát t přesnou p polohu v každém m okamžiku (překon ekonáno no aža v 17. stol.)

Křivky v antice 2 Eukleidovy základy z (kolem r. 300 př. p. Kr.) lomené čáry používan vané v měřm ěřičství (úsečky) kružnice a její rektifikace tři i starověké úlohy: kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu

Křivky v antice 3 Hippiova kvadratrix: první křivka studovaná po kružnici a přímcep definice křivky: k Uvažme čtverec ABCD. Nechť se úsečka AB otáčí kolem bodu A a úsečka BC se posouvá ve směru polopřímky CD a nechť jsou oba tyto pohyby rovnoměrn rné,, ve stejný okamžik začínaj nají i končí.. Pak bod X, který je průse sečíkem pohybujících ch se úseček ek opíš íše e křivku, k kterou nazýváme Hippiova kvadratrix.

Křivky v antice 4 Hippiova kvadratrix: rovnice: y = x cotg(πx/2a) Hippiova kvadratrix tvoří pouze jednu část (větev této) t to) křivkyk dá se pomocí ní řešit trisekce úhlu

Křivky v antice 5 - Kuželose elosečky Elipsa Množina bodů,, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný součet vzdálenost leností rovný 2a. 2 2 rovnice: ( x m) ( y n) + = 1 a b

Křivky v antice 6 - Kuželose elosečky Parabola Množina bodů,, které mají od pevného bodu (ohniska) a přímky p stejnou vzdálenost. lenost. 2 rovnice: ( x m) = 2 p( y n)

Křivky v antice 7-7 Kuželose elosečky Hyperbola Množina bodů,, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný rozdíl l vzdálenost leností rovný 2a. 2 2 rovnice: ( x m) ( y n) = 1 a b

Křivky v antice 8 - Kuželose elosečky pravděpodobn podobné objevení díky úloze o zdvojení krychle Hippokrates (5. stol. př. p. Kr) problém m nalezení dvou středn edních geometrických proměnných: Nechť a je hrana krychle, najděte x a y tak, aby platilo: a : x = x : y = y : 2a Menaichmos (4. stol. př. p. Kr) řeší průse sečík k dvou parabol a průse sečík k paraboly s rovnosou hyperbolou

Křivky v antice 9 - Kuželose elosečky Apollónius (3.stol. př. p. Kr.) osmidílný spis O kuželose elosečkách ; ; vychází z libovolného kruhového kužele, řeší řezy na podobných a shodných kužel elích, sdruženými průměry, ry, středy křivosti jednotlivých křivek k množina všech v střed edů křivosti se nazývá evoluta

Dioklova kisoida Křivky v antice 10 Diokles současn asník k Apollónia Nechť k je kružnice nad průměrem rem o délce d OP. Veďme bodem P tečnu t ke kružnici k. Z bodu O veďme libovolnou polopřímku p protínaj nající kružnici k. Označme po řadě M, N průse sečíky polopřímky p s kružnic nicí k, resp. tečnou t. Kisoidou potom nazýváme množinu bodů X polopřímky p, jejichž vzdálenost od O je rovna MN

Křivky v antice 11 Dioklova kisoida rovnice: 2 y 3 x = 2 a x ( 0 x 2a) konstruvána na jako řešení problému dvou středn edních geometrických úměrných

Křivky v antice 12 Nikomedova konchoida: Nikomedes (2. stol. př. p. Kr.) dvě středn ední geometrické úměrné definice: Nechť p, q jsou dvě navzájem kolmé přímky a bod P nálen leží přímce p.veďme bodem P přímku p k. Od průse sečíku přímky p k s přímkou p q nanesme vzdálenost b na přímku p q. Takto vzniklé body budou body Nikomedovy konchoidy.

Křivky v antice 13 Nikomedova konchoida: prodloužen ená,, zkrácen cená 2 2 2 2 2 rovnice: ( x a ) ( x + y ) b x = konchoida obecně: : místo m přímky q se použije libovolná křivka 0

Křivky v antice 14 Archimédova spirála: Archimédes za Syrakus (3. stol. př. p. Kr.) O spirálách ch 28 vět, v ukazuje například i výpočet plochy vyznačen ené spirálou definice: Křivka opisovaná bodem rovnoměrn rně pohybujícím m se po přímce, p zatímco se tato přímka otáčí v rovině okolo jednoho bodu.

Křivky v antice 15 Archimédova spirála: rovnice: r = a t r - délka průvodi vodiče, t - příslušný úhel využit ití spirál l na iónských i sloupech - křivka nahrazena částmi kruhových oblouků

Středov edověk 6. - 15. stol. po Kr. v Evropě úpadek zájmu z o geometrii (oživen ivení v renesanci) v Indii, Číně a Arábii se žádné nové poznatky neobjevují (v Arabských přepisech p se zachovává spousta významných děl), d křivky k používn vné ke konkrétn tním m příkladp kladům m (řešeí( rovnic) gotická architektura (klentby, kružby, )

Renesance 1 v malířstv ství se objevuje lineárn rní perspektiva (z pokusů o intuitivní zachycovní křivek se začíná pomalu rozvíjet nutnost o křivkk ivkách něco n vědět) v první významnější práce: Albrecht Dürer D ( Příspěvek k měřm ěření s kružítkem a pravítkem v přímkách, rovinách a tělesecht lesech ), Daniel Barbaro ( Praktická perspektiva ) znovuobjevování křivek (řez( kužele)

Renesance 2 - Projektivní geometrie Girard Desargues - zakladatel projektivní geometrie, poprvé použil pro popsání bodu pravoúhl hlé souřadnice, doplnění roviny o nevlastní přímku (jiné chápání paraboly a hyperboly) Balise Pascal - Esej o kuželose elosečkách, nejdůle ležitější tzv. Pascalova věta. v

Renesance 3 - Projektivní geometrie Pascalova věta: v Průsečíky prodloužených stran šestiúhelníka kuželose elosečce vepsaného leží na jedné přímce. mce. pět t bodů pěvně určuje uje kuželose elosečku! (další body sestrojíme pomocí Pascalovy věty) v

Renesance 4 - René Descartes francouzský filosof největší objevy v teorii křivek k od dob antiky La GéomG ométrie (dodatek k fil. dílu d Rozprava o metodě ) - považov ována za počátek analytické geometrie kartézsk zské souřadnice

Renesance 5 - Descartova La Géom G ométrie Část první: : O úlohách, které je možno sestrojit pouhým užitím m kružnic a přímekp Pappův v problém: Nalezení geometrického místa m bodů majících ch určitý poměr r vzdálenost leností ke čtyřem daným přímkp mkám m (Pappos - pro čtyři i je to kuželose elosečka) Descartes to řeší i pro více v než 4 přímkyp

Renesance 6 - Descartova La Géom G ométrie Část druhá: : O charakteru křivekk zabývá se klasifikací křivek opět řešení Pappova problému (kompletní analýza) konstrukce tečny a normály křivkyk rozdělen lení křivek na algebraické a transcendentní

Renesance 6 - Descartovy křivky k Descartův v list: 3 3 rovnice: x + y = 3axy pouze v korespondenci Descartova (kubická) ) parabola: 3 rovnice: y = x její vlastnosti jsou zkoumané až později (Bernoulli)

Století křivek 1 1649 (latinské vydání La GéomG ométrie) - 1748 (vydání Úvodu do mat. analýzy nekonečně malých) objevu je spoustu komentovaných překlad p a vydání La GéometrieG Fermat, Euler, De Witt, Bernoulli, Cassini, l Hospital, Hospital, určena rovnice přímky, p paraboly

Století křivek 2 vyšet etřování křivek určit itého typu (skupiny), v celém m rozsahu (v celém m def. oboru), nové metody (diferenciáln lní počet)

Století křivek 3 - Johann Bernoulli spolupracoval s l Hospitalem l - první spis diferenciáln lní geometrie bod vratu analytický traktát t o kuželose elosečkách - odvozuje jejich vlastnosti pomocí rovnic, algebry a elemetnárn rní geometrie

Století křivek 4 - Johann Bernoulli Cykloida: vzniká kotálen lením m kružnice po přímcep rovnice: x = at - h sin t y = a - h cos t

Století křivek 5 - Johann Bernoulli Semikubická parabola: narazil na ni při p i studiu kubických parabol 3 2 rovnice: y = ax Bernoulliho lemniskata: specielní případ pad Cassiniho oválu 2 2 2 2 rovnice: ( x + y ) = a ( x 2 y 2 )

Století křivek 6 - G.D.Cassini Giovanni Domenic Cassini - francouzský astronom (objev 4 měsícům Saturna) Cassiniho ovál: domníval se, že e je to tvar oběž ěžné dráhy Země definice: Nechť F a G jsou dva pevně dané body (ohniska) v rovině.. Množina bodů X, pro které platí, že e součin vzdálenost leností FX a GX je konstatní a je a 2, se nazývá Cassiniho ovál

Století křivek 7 - G.D.Cassini rovnice (umíst stíme body F, G souměrn rně ve vzdálenosti b od počátku) : ( x 2 2 2 2 2 2 4 + y ) + 2b ( y x ) + b a a=b: lemniskata a>b: : souvislá křivka a<b: : dvě disjunktní větve 4 = 0

Století křivek 8 - Isaac Newton rozší šíření poznatků o kuželose elosečkách na křivky k třetího stupně Výčet křivek k třett etího řádu : : sedm částí 1. Řády křivekk ivek: řídí se stupněm m rovnice křivky!, k křivky nekonečného řádu (cykloida, kvadratrix, ) 2. Vlastnosti kuželose eloseček : analogie kuželose eloseček ek s kubikami, definuje uzel, bod vratu a izolovaný bod

Století křivek 9 - Isaac Newton 3. Redukce všech v křivek k : Ukázal, že e pomocí transformací můžeme všechny v kubiky zapsat jedním m ze čtyř typů rovnic 4. Výčet křivekk ivek : : nové rozdělen lení kubických křivek, k nákresy, možnosti izolovaných bodů, zavedení pojmů jako redudantní,, defektní, parabolická hyperbola, trojzubec, divergentní parabola, kubická parabola (celkem 72 křivek) k

Století křivek 10 - Isaac Newton kubická parabola: trojzubec: divergentní parabola:

Století křivek 11 - Isaac Newton 5. Generování křivek stíny ny : rozvíjen jení myšlenek projektivní geometrie 6. O O metodickém m opisování křivek : křivky tvořen ené pomocí pohybu, projektivní vytvářen ení kuželose elosečekek 7. Konstrukce rovnic popisováním m křivekk ivek : využit ití křivek třett etího stupně s sestrojení kořen enů rovnic

Století křivek 12 Maupertius a Bragelone zkoumají křivky 4. stupně,, vícenv cenásobné body, inflexní body Jean Paul de Gua de Malves zkoumal algebraické křivky (přev evážně užíval metod analytické geometrie) Colin Maclaurin dokázal spoustu Newtonových konstrukcí,, zkoumal generování křivek, projektivní geometrie,

Století křivek 13 James Stirling: doplnil další důkazy k Newtonovi, analogie mezi křivkami k druhého ho a třett etího stupně, n( Věta: Křivka K n-tého n stupně je určena n + 3) body. 2 Alexis Clairaut: důkazy d k Newtonovi, hodně se zabýval diferenciáln lní geometrií (Pojednání o křivkých s dvojí křivostí), vyjadřov ování křivek soustavami rovnic, rovnice kužele

Křivky a funkce zpočátku používal pojem fce je v souvislosti k křivkou a řešení úloh (sestrojení tečny, normály..) - Leibnitz rozvoj matematické analýzy (Lagrange, Euler) - funkce se začíná vnímat jako předpisp

Diferenciáln lní geometrie 1 - Leonhard Euler funkce se stává ústředním m pojmem analýzy rozdělen lení fcí na spojité a nespojité ale v jiném významu než dnes hledání násobných bodů a tečen en v nich transcendentní křivky: epicykloida, hypocykloida, goniometrické křivky

Diferenciáln lní geometrie 2-2 Leonhard Euler Hypocykloida: Epicykloida:

Diferenciáln lní geometrie 3 Gaspard Monge: zabývá se dif. geometrií, prostorovými křivkami k a jejich evolutami, jednoduchými a dvojnými body Carl Friedrich Gauss: definuje plochy v euklidovských prostorech, křivost k plochy, nomálov lové řezy, geodetické křivky mimo jiné se dáléd rozvíjí projektivní geometrie (Poncelet, Brianchon)

Přelom 19. a 20. století zkoumání fraktáln lních křivekk n-rozměrné prostory