Základní topologické pojmy:

Transkript

1 Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński (88 969) Sierpińského trojúhelník S = S 4 S = S = S 4 4 S = S = S 4 4. n Sn = S n+ 4 n n S = Sn = S = S = S 4 = S n+ n n= n= n= Nulový obsah a nekonečná délka nutnost precizace pojmu křivka Okolí bodu kruh (v E ), koule (v hraničních bodů, tedy: { ε} = { < ε} O A = X E AX < ; ε O A X E AX ε Otevřená množina M pro každý bod A M eistuje O ( A) O ( A) ε M. Základní topologické pojmy: E ) bez ε tak, že

2 Základní topologické pojmy: Souvislá množina M Pro každé dvě neprázdné otevřené množiny A; B, pro které je M A B, platí A B ε-pokrytí množiny M - je systém ε okolí O ( A ) i i O ( A) ε ε. ε kde M εi i a pro každé i je i i Dimenze množiny M je nejmenší číslo n, pro které platí: Pro každé ε > eistuje ε pokrytí množiny M tak, že každý bod X M je prvkem sjednocení nejvýše n + množin tohoto pokrytí. Křivka topologicky jednorozměrná souvislá množina Plocha topologicky dvojrozměrná souvislá množina Těleso topologicky trojrozměrná ohraničená množina Elementární křivky: přímka a její části (především polopřímka a úsečka. kružnice a její části (kruhový oblouk). Elementární plochy: rovina a její části (především polorovina) základní rovinné geometrické útvary známé ze středoškolské geometrie prostorové plochy hranolovou, jehlanovou, kruhovou válcovou, kruhovou kuželovou a dále plochu kulovou. Elementární tělesa: hranol a jeho speciální případy (především kvádr a krychli), jehlan (kosý, kolmý, pravidelný n -boký, kruhový válec a kužel (kosý a kolmý - rotační) koule. Nutná znalost související terminologie vrchol, strana hrana, plášť atd.

3 podle Rozdělení křivek dimenze prostoru, ve kterém jsou definovány: možnosti analytického popisu rovinné: prostorové analytické grafické = cost y= sint z = t = sin5t y= cost Typy a možnosti vyjádření: Analytické křivky (rovinné) a) graf funkce b) křivky zadané c) křivky zadané implicitně jedné reálné proměnné parametricky { } = [ ; ] = G f y E y f = ϕ y= ψ ( t) () t ; t I f ( ; y ) =

4 Parametrické vyjádření: Příklad: Analytické křivky (rovinné) = 5cos t = 5cos t = 5cos t ; t ; π ) ; t ; π ) ; t ; π ) y= 5sin t y= 5sin t y= 5sin t = 5cos t ; t ; y= 5sin t Převody: Parametrické vyjádření obecná rovnice obecná rovnice parametrické vyjádření (vyloučení parametru): (parametrizace): π ) Příklad: = cost y= sint y = 4cos t = 4sin t + y = 4 ( cos t+ sin t ) + y = 4 subst. Příklad: a y + = b = a cost y = b sint a cos t b sin t + = a b cos t + sin t = parametrické rovnice Analytické křivky Bodová funkce: Bodová funkce v euklidovské rovině resp. prostoru = ; = ; ; Qt f t f t E t t; t Qt f t f t f t E t t; t Bodová funkce v projektivní rovině resp. prostoru () = () ; () ; ω () () ; () ; ; ω (); (); (); Qt k f t k f t k t E Q t = k f t k f t k f t k t E. f t f t f t ω t - souřadnicové funkce Vektorová funkce v euklidovské rovině resp. prostoru ( ) ( ) q ( t) = f ( t) ; f ( t) q () t = f ( t) ; f ( t) ; f ( t) rovinná křivka prostorová křivka v projektivní rovině resp. prostoru reprezentanti: ( ) ( ; ; ; ω) Q () t = f () t ; f () t ; ω E Q () t = f t f t f t E

5 Limita funkce Funkce f ( ) má v bodě = limitu L právě tehdy, když ke každému Oε ( L) eistuje Oδ ( ) takové, že pro každé Oδ ( ) { } je f ( ) Oε ( L). Derivace funkce Derivace funkce: v bodě f( ) f ( ) f '( ) = lim Na intervalu I : pro každé I: f( ) f f '( ) = lim = h; = + h V bodě : f( + h) f ( ) f '( ) = lim h h Na intervalu I : f( + h) f f '( ) = lim h h

6 Derivace funkce n n ( )' = n ;( n ) ( c f ( ) )' = c f '( ) ( f ( ) + g( ) )' = f '( ) + g' ( ) ( ) ( ) sin ' = cos cos ' = sin Tečna t grafu funkce f ( ) v bodě T ; f ( ) T ; f ( ) a má směrnici f ( ). Příklad: f = + ; = Řešení: T ; f ( ) = [ ;] f ' = + ' = + f ' = + = + = n n ( t )' = n ;( n ) ( c f () t )' = c f '() t ( f () t + g() t )' = f '() t + g' () t ( t) ( t) sin ' = cost cos ' = sint t y = f ' + q = + q T t t y = je přímka, která prochází bodem ( f t ; f t ; ω) Bodová funkce Q () t = f() t ; f() t ; ω E bod T = ( ) ( ) Hodnota v bodě Q ( t ); QT ( ) Derivace bodové funkce derivujeme souřadnicové funkce: ( ) ( ' ; ' ;) Q () t = f () t ; f () t ; ω Q' ( t) = f ( t) f ( t) ( ) Regulární bod: bod T = f( t) ; f( t) ; ω je regulární bod křivky Q () = () ; () ; n řádu eistují Q ( k) ( T ) = f ( k) ( t) ; f ( k) ( t) ; ω ( k) ( k ) až do řádu n a Regulární křivka = křivka, jejíž každý bod je regulární Tečna v regulárním bodě: přímka X = T + Q' ( T ) t je tečna křivky určené bodovou funkcí = ; ; v regulárním bodě T = ( f t ; f t ; ω) Q t f t f t ω : Normála v regulárním bodě každá kolmice na tečnu křivky v regulárním bodě ( f ( t ); f ( t ); ω) T = : t f t f t ω Q T ;;.

7 Příklad: Určit tečnu ke křivkám: K () t = cos;sin; t t a) b) S () t = ( cos t;sin t; t;) Je-li Q ( t), která je v bodě T = Q ( t ) regulární. řádu, pak α = + t u+ t v Oskulační rovina: T Q' Q '' Křivost: κ ( t ) ( t) ''( t) Q '( t ) ' = Q Q Hlavní normála: Je normála, která leží v oskulační rovině Oskulační kružnice: - leží v oskulační rovině - poloměr r = κ t ( ) - s polopřímkou ''( t ) X = T + Q t; t má dva společné body Vrcholy regulární křivky body ve kterých má křivka etrémální křivost. Příklad: Oskulační kružnice elipsy v hlavním vrcholu

8 Plochy Plocha jako graf funkce obecná rovnice plochy Parametrické rovnice = cosucosv f ( ; y) = y + y + z = y= sinucosv z = sin v Bodová funkce dvou proměných: obecně: Q ( uv ; ) = f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); např. Q ( uv ; ) = ( cosucos v; sinucos v; sin v; ) Izokřivky: plocha Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) a v = v = konst ( u) = ( f ( u) ; g( u) ; h( u) ; ) = = ( v) = f ( v) ; g( v) ; h( v) ; u u konst Každá u-křivka protíná každou v-křivku a naopak. Q u-křivka Q v-křivka Derivace funkce dvou proměnných: Příklad: 4 Regulární plochy f u; v = u v 4 Derivace podle u : f ' u ( u; v) = u v Derivace podle v f ' v ( u; v) = 6u v Derivace bodové funkce po složkách: Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) Q ' ( uv ; ) = f' ( uv ; ); g' ( uv ; ); h' ( uv ; ); Q ( uv) = f ( uv) g ( uv) h ( uv) u u u u ' ; ' ; ; ' ; ; ' ; ; v v v v Geometrický význam: směrový vektor tečny u-křivky resp. v-křivky Regulární bod: bod = f ( u; v) ; g( u; v) ; h( u; v) ; ω Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) n řádu eistují Q ( k) ( k) ( k) ( k) u u v = fu u v gu u v hu ( u v) Q ( k) ( k) ( k) ( k) v u v = fv u v gv u v hv ( u v) až do řádu n, přičemž ( k ) ( k Q u ; v ; Q ) ( u ; v ) ( ;;;) T je regulární bod plochy u ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; v Regulární plocha = plocha, jejíž každý bod je regulární Tečná rovina v bodě T : X ( ; ) =T ( ; ) +Q' u( ; ) Q ' v( ; ) Normálový vektor plochy: N( u ; v ) = Q' ( u ; v ) Q ' ( u ; v ) uv u v u v u+ u v v u v