Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Transkript

1 Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

2 Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

3 Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li nazýváme ji derivací funkce f v bodě 0 lim. Zapisujeme: f 0. f f 0, 0 0 Geometrický význam derivace funkce v bodě: První derivace je směrnicí tečn t ke grafu funkce f v bodě 0. Tečna v bodě T 0 0 má rovnici: 0 f 0 0

4 Platí: - Má-li funkce f v bodě 0 derivaci, je v tomto bodě spojitá. - Jestliže funkce f a g mají v bodě 0 derivaci, má v tomto bodě derivaci i součet, rozdíl, součin a podíl funkcí a platí: a) f g f g b) f g f g f g f g f g g c) f g f g f g d) g 0 e) c f c f cr - Jestliže funkce v = g() má v bodě 0 derivaci a = f(v) má derivaci v bodě 0 g 0 f g f g g v, pak má složená funkce = f(g()) derivaci v bodě 0 a platí :

5 Derivace elementárních funkcí Funkce Derivace funkce Definiční obor funkce c, c R 0 R n, n N k, k Z n n R k k R 0 r, r R r r R e e R a, a 0, a 0 a ln a R ln R log a, a 0, a 0 ln a R

6 = sin = cos R = cos = - sin R = tg = cotg cos sin R k kz R kz k 4

7 Příklad Vpočtěte derivace zadaných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru. a) cos Vužijeme větu o derivaci součinu. sin cos sin cos b) sin Vužijeme větu o derivaci podílu. cos sin 9 cos sin 9 cos sin c) ln 5

8 Vužijeme větu o derivaci složené funkce. d) 5 Funkci přepíšeme do tvaru a vužijeme větu o derivaci mocninné funkce e) log Vužijeme větu o derivaci složené funkce. ln ln 6

9 Užití derivací: - při všetřování průběhu funkcí - výpočtu některých limit funkcí - určování etrémních obvodů a obsahů rovinných útvarů nebo objemů a povrchů těles 7

10 Při všetřování průběhu funkcí platí vět: a) Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. b) Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. c) Má-li funkce f v bodě 0 lokální etrém a eistuje-li v tomto bodě derivace f, pak platí: f. 8

11 d) Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí, že f 0 0 v intervalu (a,b) konvení., pak je funkce f e) Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí, že f 0 0 v intervalu (a,b) konkávní., pak je funkce f f) Nechť funkce f má v bodě 0 derivaci. Mění-li se v tomto bodě znaménko druhé derivace, nazýváme bod 0 inflení bod funkce f. 9

12 Příklad Napište rovnici tečn a normál ke křivce 5 v bodě, T. Vpočteme. derivaci funkce: k. derivace v dotkovém bodě je směrnicí tečn: t. pro směrnici normál platí: k n kn k Tečna t : t Normála n : 0

13 Příklad 4 Určete monotónnost a etrém funkce f :. 4 Vpočteme. derivaci funkce: 4 4. první derivace nabývá nezáporných hodnot pro, proto v tomto intervalu roste. první derivace nabývá záporných hodnot pro, je spojitá v bodě, proto pro funkce klesá. bod podezřelé z etrému jsou 0 a -, ale znaménková změna nastává pouze u bodu - z minus na plus, proto má funkce v bodě 6,75 lokální minimum

14 Příklad ) Vpočtěte hodnotu derivace funkce f : pro = ) Vpočtěte hodnotu derivace funkce f v průsečících jejího graf s osou. a) f : 6 b) c) f f : : 5 6

15 ) Vpočtěte hodnotu derivace funkce f v daných bodech. a) 0 : f b) 4 : f c) 4 sin : f d) cos sin : f

16 4) Najděte rovnici tečn a normál funkce f v bodech, které mají danou souřadnici. a) f : b) f : c) f : sin 4 4

17 5) Vpočtěte úhel, který svírají tečn funkce f v bodech, které mají danou souřadnici. a) f : b) f : 0 c) f : 4 5

18 6) Najděte rovnice tečen funkce f, které s osou svírají úhel. a) f : 4 b) f : 4 7) Vpočtěte derivaci funkce: a) b) c) d) 8) U daných funkcí určete monotónnost a etrém. a) 5 b) 4 6

19 c) 9 d) e) sin 0 f) cos 0 4 7

20 Příklad na procvičení: Vpočtěte derivaci funkce: Př.. Př Př Př. 4. Př. 5. a 8

21 Př Př. 7. Př. 8. a Př. 9. Př. 0. 9

22 0 Př.. Př.. 0, a a Př.. 0, a a Př. 4. Př. 5.

23 Př. 6. e ln Př. 7. ln Př. 8. ln sin Př. 9. ln sin sin Př. 0. ln Př..

24 Př.. Př.. Př. 4. sin Př. 5. Př. 6. cos cos sin sin 6 6 Př. 7. cos sin

25 Př sin sin Př. 9. Př. 0. Př.. Př..

26 4 Př.. Př. 4. Př. 5. Př. 6. Př. 7. 4

27 Př. 8. Př. 9. Př Př Př. 4. 5

28 5 Př Př Př. 45. Př. 46. Př

29 b Př. 48. a a Př. 49. Př. 50. Př. 5. Př. 5. Př. 5. Určete rovnice tečen ke křivce v průsečících křivk s osou. 7

30 Př. 54. Ve kterém bodě má parabola tečnu a) se směrovým úhlem 45 b) rovnoběžnou s přímkou 5 + = 0 c) kolmou na přímku + = 0. Př. 55. Určete definiční obor daných funkcí a. derivaci : a) f : 5 b) c) g : cos h : sin d) k : e) l : sin 8

31 Př. 56. Najděte rovnici tečn elips 4 6 v bodě T. Př. 57. Určete rovnice tečen ke křivce 6 v průsečících křivk s osou. Př. 58. Je dána parabola 4. a) Určete dotkový bod a rovnici tečn parabol, která má směrový úhel 45. b) Pomocí derivace určete vrchol parabol. 9

32 Př. 59. Je dána parabola 0,5. a) Určete rovnici tečn parabol v bodě T?. b) Ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem 60? c) Ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5 = 0? Př. 60. Určete rovnici tečn grafu funkce 4 : f v bodě? T. 0

33 Př. 6. Určete derivaci funkce v libovolném bodě intervalů, z nichž se skládá definiční obor: a) f : b) c) d) g : cos h : cos k : e) l : sin f) m : sin Př. 6. Napište rovnici tečn hperbol 9 9 v bodě 9 T.

34 Př. 6. Určete rovnici tečn křivk v bodě T. Př. 64. Určete rovnici tečn grafu funkce f sin cos : v bodě T sin cos? 4.

35 Výsledk: a a. a e ln 7. a 8.. ln a a cot g 9. cos ln sin cos 5. sin cos cos 5 6. sin cos sin cos

36 4 7. sin sin 5sin sin 8. cos sin a a b

37 : 0 6 : 0 : t t t 54., ), ), ) T c T b T a , ) 5 9 0, ) R Df b R Df a cos,, ), ) cos, ) Df e R Df d k R Df c Z k : t : :5 0 6 : t t t 58., ) :, 4, 5 ) V b t T a 59. a) = 0,,9 ), ) T c T b

38 = 0 6. a) 4, b) sin, c) cos, d), cos e) sin cos, f)

39 Procvičování: Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. 7-, př