1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

Transkript

1 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

2 Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice: Bod X se nazývá vnitřní bod množiny M právě, když O ε (X) takové, že O ε (X) M. Bod Y se nazývá hraniční bod množiny M právě, když O ε (Y ) platí O ε (Y ) M a O ε (Y ) (R n \ M) Poznámka: Každý vnitřní bod množniny M nutně náleží M. Hraniční body mohou, ale nemusejí náležet M. Podle toho budeme rozlišovat množiny otevřené a uzavřené.

3 Vlastnosti množin - množiny otevřené a uzavřené Definice: vnitřek množiny M... int(m) = množina všech vnitřních bodů M hranice množiny M... H(M) = množina všech hraničních bodů M Definice: Množina G R n se nazývá otevřená, jestliže X G, platí že X je vnitřní bod množiny G. Množina F R n se nazývá uzavřená, jestliže doplněk R n \ F je množina otevřená. Platí: Množina F R n je uzavřená H(F) F. Množina G R n je otevřená H(G) G =. uzavřená otevřená ani uzavřená ani otevřená 3/15

4 Vlastnosti množin - konvexní a omezené 4/15 Definice: Množina M se nazývá konvexní 2 body A, B M celá úsečka AB leží v M. konvexní Definice: M se nazývá omezená existuje k > 0 takové, že X M platí ρ(x, O) k. nekonvexní omezená neomezená

5 Množiny (obloukově) souvislé 5/15 Pozn. Definice souvislosti je složitá (pomocí tzv. obojetných množin) zavedeme tzv. obloukovou souvislost. Pro otevřené množiny: M je souvislá je obloukově souvislá. Definice: Množina M se nazývá obloukově souvislá 2 body A, B M existuje křivka K, která vede z A do B a celá leží v M. je obloukově souvislá není obloukově souvislá Každá konvexní množina je nutně obloukově souvislá (protože úsečka je také křivka). Oblast = množina otevřená a obloukově souvislá. Uzavřená oblast = oblast + její hranice

6 Funkce více reálných proměnných Definice: Reálná funkce n reálných proměnných je předpis f, který každé uspořádané n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ) D(f ) přiřazuje právě jedno reálné číslo y R. f : R n R, f : (x 1,... x n ) y neboli y = f (x 1,... x n ) n = 1 f : R R, f : x y neboli y = f (x) (známe z MI) n = 2 f : R 2 R, f : (x 1, x 2 ) y neboli y = f (x 1, x 2 ) f : (x, y) z neboli z = f (x, y) Např.: f (x, y) = 3x 2 xy + y f (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 x 2 + x 3 x 4 Definice: Grafem funkce n proměnných je množina graf(f ) = {(x 1, x 2,..., x n, f (x 1,... x n )) R n+1 (x 1,... x n ) D(f )} n = 2: graf f = {(x, y, f (x, y)) R 3 (x, y) D(f )} tj. grafem fce 2 proměnných je plocha v R 3. Značení: (x 1, x 2,..., x n) = x, f (x 1, x 2,..., x n) = f (x) 6/15

7 Graf funkce dvou proměnných - ilustrace 7/15

8 Graf funkce dvou proměnných 8/15 f : R 2 R... funkce 2 proměnných f je zadaná předpisem z = f (x, y) graf f = {(x, y, f (x, y)) R 3 (x, y) D(f )} (plocha v R 3 ) = {(x, y, z)) R 3 (x, y) D(f ), z = f (x, y)} Jak si představit graf f? Pomocí tzv. vrstevnic. Stejně jako při čtení z geografické mapy. Definice: Necht K je křivka, která vznikne jako řez (průnik) grafu funkce z = f (x, y) rovinou z = z 0. Kolmý průmět této křivky do roviny xy nazýváme z 0 - vrstevnicí grafu funkce f. z 0 - vrstevnice = {(x, y) D(f ) f (x, y) = z 0 } Pozn.: z 0 - vrstevnice je tedy křivka v rovině xy tvořená všemi body (x, y) D(f ), které mají stejnou funkční hodnotu f (x, y) = z 0.

9 Graf funkce f (x, y) = x 2 + y 2 z y x 9/15

10 Graf funkce f (x, y) = 4 x 2 y 2 10/15

11 Graf funkce f (x, y) = xy 11/15

12 12/15 Spojitost funkcí více proměnných Definice: Necht a = (a 1, a 2,..., a n ) D(f ). Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě a = (a 1, a 2,..., a n ), jestliže platí ε δ takové, že x O δ (a) D(f ) platí f (x) O ε (f (a)). Stručně: V bodech x D(f ) "blízko" a jsou hodnoty f (x) "blízko" f (a). Definice: Funkce f se nazývá spojitá, je-li spojitá v každém bodě x D(f ). Platí podobné věty o spojitých fcích jako v MI: Věta: Jsou-li fce f a g spojité, potom jsou spojité i funkce f ± g, f g, Složení spojitých fcí je spojitá fce. f g. Věta: Fce f : R n R definovaná předpisem f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ) = x i je spojitá na R n (pro všechna i = 1,..., n).

13 13/15 Limita funkcí více proměnných Definice: Necht a D(f ) a necht pro všechna prstencová okolí P δ (a) platí P δ (a) D(f ). Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu L a píšeme lim x a f (x) = L jestliže ε δ takové, že x (P δ (a) D(f )) platí f (x) O ε (L). Stručně: V bodech "blízko" a má f hodnoty "blízko" L. Podmínka P δ (a) D(f ) zajišt uje, že v D(f ) jsou body lib. blízko a. Věta: Funkce f : R n R má v bodě a nejvýše jednu limitu. Věta: Necht a je vnitřní bod D(f ). Funkce f je spojitá v bodě a lim x a f (x) = f (a)

14 Vsuvka - Polární souřadnice 14/15 Transformační rovnice pro polární souřadnice jsou Platí: x 2 + y 2 = r 2. (x, y) (0, 0) r 0... využijeme pro výpočet limit

15 Zobrazení z R n do R k Definice: Zobrazení F z R n do R k je předpis, který každé uspořádané n-tici (x 1, x 2,..., x n ) D(F ) přiřazuje právě jednu uspořádanou k-tici y = (y 1, y 2,..., y k ). Zapisujeme: y = (y1, y 2,..., y k ) = F (x 1, x 2,..., x n ) = = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f k (x 1, x 2,..., x n )) Pozn.: Pro def. obor F = (f 1, f 2,..., f k ), platí D(F ) = k D(f i ). funkce 1 proměnné, f : R R, f : x y, např. f (x) = x 3 parametrizace rovinné křivky spojité zobrazení z I R do R 2, ϕ : I R 2, ϕ : t (x, y) např. ϕ(t) = (2 cos t, 2 sin t), t 0, 2π funkce n proměnných, f : R n R, f : (x 1,... x n ) y např. n = 2: f (x 1, x 2 ) = x1 2 + x 2 2 zobrazení z R n do R k, F : R n R k, F : (x 1,... x n ) (y 1,..., y k ) např. n = 3, k = 2: F(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 3, x 1 x 2 x 3 ) i=1 15/15