VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
2
OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1.2 Požadované znalosti...5 1.3 Doba potřebná ke studiu...5 1.4 Klíčová slova...5 2 Mechanika soustavy hmotných bodů...6 2.1 Soustava hmotných bodu...6 2.2 První impulsová věta...6 2.3 Druhá impulsová věta...7 2.4 Autotest...7 2.5 Klíč...8 2.6 Korespondenční úkol...8 2.7 Závěr...9 3 Mechanika tuhého tělesa...9 3.1 Těžiště tuhého tělesa...9 3.2 Síly v tuhém tělese...10 3.3 Pohybové rovnice tuhého tělesa...10 3.4 Moment setrvačnosti tělesa...10 3.5 Kinetická energie tuhého tělesa, práce a výkon...11 3.6 Autotest...12 3.7 Klíč...13 3.8 Korespondeční úkol...14 3.9 Závěr...14 4 Studijní prameny...15 4.1 Seznam použité literatury...15 4.2 Seznam doplňkové studijní literatury...15-3 -
1 Úvod 1.1 Cíle Cílem látky uvedené v tomto modulu je prohloubení znalostí v oblasti mechaniky tuhých těles. Jedná se zejména o problematiku soustavy hmotných bodů, impulsové věty, pohybové rovnice tuhého tělesa, moment setrvačnosti, kinetickou energii, práci a výkon při otáčení tuhého tělesa. 1.2 Požadované znalosti Předpokládají se znalosti látky fyziky z gymnázia, a to jak rozsahem pojmů, tak i řazením jednotlivých částí, z matematiky se předpokládá zvládání derivací a integrálního počtu. 1.3 Doba potřebná ke studiu Modul je rozdělen do dvou základních kapitol. Celková doba na nastudování modulu tak představuje 28 hodin. 1.4 Klíčová slova Soustava hmotných bodů, vnitřní a vnější síly, první impulsová věta, druhá impulsová věta, moment setrvačnosti, kinetická energie, práce a výkon. - 5 -
2 Mechanika soustavy hmotných bodů 2.1 Soustava hmotných bodů Text je uveden na str. 5 12 učebního textu [2]. Příklad 2.1 Viz příklad 3.1 na str. 12 UT [2]. Úkol 2.1 Určete polohu těžiště soustavy složené ze čtyř malých kuliček o hmotnosti 10g, 20g, 40g a 80g, které leží na přímce v uvedeném pořadí ve vzájemné vzdálenosti 5 cm. [11,33 cm od první kuličky]. Kontrolní otázky 1. Kolik stupňů volnosti má soustava tří volných hmotných bodů pohybujících se v rovině? 2. Zdůvodněte, proč je součet vnitřních sil v soustavě těles nulový. 3. Zdůvodněte, proč je součet momentů všech vnitřních sil k libovolnému bodu nulový. 4. Jaký vztah platí mezi hmotným středem soustavy hmotných bodů a těžištěm? 2.2 První impulsová věta Text je uveden na str. 13 14 UT [2]. Příklad 2.2 Viz příklad 3.2 na str. 14 UT [2]. Úkol 2.2 Do jaké výšky se vychýlí z rovnovážné polohy balistické kyvadlo o hmotnosti 10 kg, jestliže v něm uvízne střela o hmotnosti 100 g letící rychlostí 200 m.s -1? [0,2m]. 6
Kontrolní otázky V jakém vztahu jsou první impulsová věta a zákon zachování celkové hybnosti soustavy? 2.3 Druhá impulsová věta Text je uveden na str. 15 16 UT [2]. Kontrolní otázky Viz otázky 1-5 na str. 16 UT [2]. 2.4 Autotest 1. Jak je charakterizováno tuhé těleso? 2. Co je počet stupňů volnosti? 3. Jak vypočteme celkovou hmotnost soustavy hmotných bodů (SHB)? 4. Jak získáme celkovou hybnost SHB? 5. Co je vnější síla? 6. Co jsou vnitřní síly SHB? 7. Jaká je výslednice vnitřních sil SHB? 8. Jaký je výsledný moment všech vnitřních sil SHB? 9. Jaké vlastnosti má hmotný střed? 10. Jak zní první impulsová věta? 11. Co je izolovaná soustava? 12. Jaká je celková hybnost izolované SHB? 13. Jaká je celková mechanická energie izolované SHB? 14. Jaké je znění druhé impulsové věty? 15. Jaký je celkový moment hybnosti izolované soustavy? 7
2.5 Klíč 1. Tuhé těleso je charakterizováno časově neproměnnými vzájemnými vzdálenostmi všech hmotných bodů. 2. Počet stupňů volnosti je počet nezávislých souřadnic, nutných k jednoznačnému určení polohy hmotného bodu. 3. Celková hmotnost SHB je součet hmotností jednotlivých bodů, m = n m k k = 1. 4. Celková hybnost SHB je vektorovým součtem hybností všech hmotných bodů, p = n r r. p k k = 1 5. Okolní tělesa působí na soustavu hmotných bodů vnějšími silami. 6. Vnitřní síly jsou síly, kterými na sebe působí jednotlivé hmotné body soustavy. 7. Výslednice vnitřních sil SHB je rovna nule. 8. Výsledný moment všech vnitřních sil SHB je roven nule 9. Je v něm soustředěna celková hmotnost soustavy, pohybuje se tak, jako by na něj působila výslednice vnějších sil a jeho hybnost je rovna celkové hybnosti soustavy. 10. Časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výsledné vnější síle. 11. Soustava, na kterou nepůsobí vnější síly se nazývá izolovaná soustava. 12. Celková hybnost izolované soustavy SHB je konstantní. 13. Celková mechanická energie izolované SHB je konstantní. 14. Časová změna momentu hybnosti SHB vzhledem k libovolnému pevnému bodu je rovna výslednému momentu všech vnějších sil vzhledem k tomuto bodu. 15. Celkový moment hybnosti izolované soustavy vzhledem k libovolnému pevnému bodu je konstantní. 2.6 Korespondenční úkol 1. Odpovězte písemně na otázky 1 6 na str. 12; 1-5 na str. 16 UT [2] 2. Vypracujte řešení následujícího příkladu: 8
Určete souřadnice těžiště soustavy čtyř hmotných bodů o hmotnostech 5g, 10g, 15g, 20g, jsou-li umístěny v rovině xy v daném pořadí v bodech [2; 6] m, [6; 4] m, [4; 0] m, [-2; -2] m, [1,8 m; 0,6 m]. 3. Vypracujte řešení úkolu 2.2 v podkapitole 2.2. 2.7 Závěr Soustavou hmotných bodů rozumíme množinu dvou a více hmotných bodů, kterou vyšetřujeme jako celek. Hmotné body v soustavě mezi sebou působí vnitřními silami, tělesa mimo soustavu vyvozují vnější síly. Soustavu můžeme nahradit hmotným bodem s celkovou hmotností soustavy, umístěným v hmotném středu soustavy. Pohyb soustavy je popsán první a druhou impulsovou větou. 3 Mechanika tuhého tělesa 3.1 Těžiště tuhého tělesa Text je uveden na str. 17 19 UT [2]. Příklad 3.1 Viz příklad 3.2 na str. 19-20 UT [2]. Úkol 3.1 Vypočtěte souřadnice těžiště ocelového drátu ve tvaru poloviny kružnice o poloměru R a hmotnosti m. 2R π Kontrolní otázky 1. Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso nepodrobené vazbám? 2. Kolik stupňů volnosti má těleso, které rotuje kolem pevné osy? 3. Uveďte obecné vztahy pro souřadnice těžiště homogenního tělesa. 9
3.2 Síly v tuhém tělese Text je uveden na str. 20 25 UT [2]. Příklad 3.2 Viz příklad 3.3 na str. 26 UT [2]. Příklad 3.3 Viz příklad 3.4 na str. 26 UT [2]. Kontrolní otázky 1. Jakým způsobem lze nalézt nositelku výslednice dvou rovnoběžných sil působících na tuhé těleso? 2. Proč nemůžeme posunout rovnoběžně sílu v tuhém tělese mimo její nositelku? 3. Moment dvojice sil můžeme nahradit jakoukoliv jinou dvojicí, která má stejný vektor D r. V jaké rovině bude ležet tato nová dvojice? 4. Jaké jsou podmínky rovnováhy tuhého tělesa? 3.3 Pohybové rovnice tuhého tělesa Text je uveden na str. 27 30 UT [2]. Kontrolní otázky Viz otázka 1-5 na str. 30 UT [2]. 3.4 Moment setrvačnosti tělesa Text je uveden na str. 31 34 UT [2]. 10
Příklad 3.4 Viz příklad 3.5 na str. 35 UT [2]. Příklad 3.5 Viz příklad 3.6 na str. 35-36 UT [2]. Příklad 3.6 Viz příklad 3.7 na str. 36 UT [2]. Úkol 3.2 Brusný kotouč o poloměru 18cm a tloušťce 3cm je zhotoven z materiálu o hustotě 3,8 g.cm -3. Vypočtěte jeho moment setrvačnosti a) k ose rotace, b) k ose splývající s některou povrchovou přímkou. [0,188 kg.m 2 ; 0,564 kg.m 2 ] Kontrolní otázky 1. Jak se pohybuje hmotný střed tělesa, na které působí vnější síly? 2. Jak se pohybuje hmotný střed tělesa, je-li vnější působící síla nulová? 3. Jaký je charakteristický rys posuvného pohybu? 4. Jaký je rozdíl mezi pohybovou rovnicí tuhého tělesa při posuvném a otáčivém pohybu? 5. Na čem závisí časová změna momentu hybnosti tuhého tělesa? 6. Kdy se zachovává moment hybnosti tuhého tělesa? 3.5 Kinetická energie tuhého tělesa, práce a výkon Text je uveden na str. 37 42 UT [2]. Příklad 3.7 Viz příklad 3.8 na str. 39 UT [2]. Příklad 3.8 Viz příklad 3.9 na str. 39-40 UT [2]. 11
Příklad 3.9 Viz příklad 3.11 na str. 42 UT [2]. Úkol 3.3 Vypočtěte celkovou kinetickou energii válce o hmotnosti 100 kg, který se valí po vodorovné rovině rychlostí 0,5 m.s -1. [18,75 J]. Kontrolní otázky 1. Vysvětlete pojem valivý pohyb tělesa. Jak souvisí s výpočtem kinetické energie? 2. V jakém poměru jsou kinetická energie posuvného a otáčivého pohybu při valení válce? 3. Jaká je souvislost práce vnější síly působící na těleso při otáčení kolem pevné osy a momentu síly k této ose? 3.6 Autotest 1. Jak je definována hustota tuhého tělesa? 2. Jak vypočteme pomocí hustoty celkovou hmotnost tuhého tělesa (TT)? 3. Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso v prostoru? 4. Jak je definována dvojice sil? 5. Jak vypočteme moment dvojice sil? 6. Na čem závisí rovnováha tělesa? 7. Z jakých pohybů se skládá obecný pohyb tělesa? 8. Jak je charakterizován posuvný pohyb? 9. Jak je charakterizován otáčivý pohyb? 10. Jak je definován moment setrvačnosti tělesa? 11. Jaký je fyzikální rozměr veličiny momentu setrvačnosti? 12. Co umožňuje vypočítat Steinerova věta? 13. Uveďte vztah pro Steinerovu větu. 14. Uveďte vztah pro Königovu větu. 15. Uveďte vztah pro práci při otáčení tuhého tělesa okolo pevné osy. 16. Uveďte vztah pro výkon při otáčení tuhého tělesa. 12
3.7 Klíč dm 1. Hustotu tuhého tělesa můžeme získat z výrazu ρ =. dv 2. Celkovou hmotnost TT vypočteme: m = ρ dv. 3. TT v prostoru má 6 stupňů volnosti. 4. Dvojice sil jsou dvě rovnoběžné síly, stejně veliké, stejného směru, opačných orientací, které neleží v téže přímce. 5. r r r r Moment dvojice sil je roven D = d x F, kde d je rameno dvojice sil. 6. Rovnováha tělesa závisí na velikosti základny, hmotnosti tělesa a poloze těžiště. 7. Obecný pohyb tělesa se skládá z posuvného pohybu (translace) a otáčivého pohybu (rotace) okolo osy procházející těžištěm. 8. Při posuvném pohybu se všechny body tělesa pohybují po stejných, vzájemně rovnoběžných trajektoriích a mají v určitém okamžiku stejnou rychlost a stejné zrychlení. Posuvný pohyb je popsán pohybem jediného bodu tělesa, kterým může být těžiště tělesa. 9. Při otáčivém pohybu kolem osy všechny body tělesa opisují kruhové oblouky se středy na ose rotace. V daném okamžiku mají všechny body tuhého tělesa stejnou úhlovou rychlost ω = konst. a stejné úhlové zrychlení ε = konst. 10. Moment setrvačnosti je dán pro soustavu hmotných bodů vztahem J = n k = 1 m k r k 2, 2 potom J = r dm. m u tuhého tělesa se spojitým rozdělením hmotnosti 11. Rozměr momentu setrvačnosti je kg.m 2. 12. Steinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti kolem osy rovnoběžné s osou jdoucí těžištěm. 13. 2 J = J T + a m kde JT je moment kolem osy jdoucí těžištěm, a je vzdálenost os. 14. Výraz pro Königovu větu zní 1 1 E k + 2 2 2 2 = mv Jω. 15. Výraz pro práci vnějších sil při otáčení tuhého tělesa okolo pevné osy je W = Θ 0 MdΘ. 16. Výkon při otáčení tuhého tělesa. P = M ω 13
3.8 Korespondeční úkol 1. Vypracujte písemně odpovědi na kontrolní otázky 1-3 v podkapitole 3.1. 2. Vypracujte písemně odpovědi na kontrolní otázky 1-4 v podkapitole 3.2. 3. Vypracujte písemně odpovědi na otázky 1-3 v podkapitole 3.5. 4. Po nakloněné rovině délky 75m a úhlu sklonu 32 se účinkem tíhové síly valí (bez klouzání) homogenní válec průměru 68 cm, délky 120 cm a hustoty 2400 kg.m -3. Určete rychlost válce na konci nakloněné roviny, byla-li počáteční rychlost nulová. [22,8 m.s -1 ]. 5. Homogenní těleso tvaru válce o poloměru 8 cm a o hmotnosti 1,5 kg se otáčí kolem své osy s konstantním úhlovým zrychlením 0,125 s -2. Určete kinetickou energii v čase 5 s, bylo-li těleso na počátku otáčení v klidu. [9,38. 10-4 J]. 6. Na homogenní válec o poloměru 0,4 m a o hmotnosti 200 kg působí silový moment 10 N.m. Jak dlouho bude trvat, než válec získá takovou úhlovou rychlost, aby konal 4 otáčky za sekundu? [40,21 s]. 3.9 Závěr Tuhé těleso je tvořeno velkým počtem hmotných bodů, jejichž vzdálenosti jsou časově neproměnné. Pohyb tuhého tělesa se dá rozložit na posuvný pohyb těžiště a otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm. Je proto popsán první pohybovou rovnicí pro pohyb posuvný a druhou pohybovou rovnicí pro pohyb otáčivý. Toto rozdělení pohybů je třeba uplatnit i při výpočtu kinetické energie. Zatímco v prvním případě se kinetická energie vyhodnotí jako pro hmotný bod, ve druhém případě je třeba určit moment setrvačnosti k ose otáčení a úhlovou rychlost otáčení. Pro výpočet práce je třeba uplatnit obdobný postup, práce síly při otáčení tělesa závisí na momentu dané síly k ose otáčení jako funkci úhlu otočení a je definována obecně integrálem ϕ 2 ϕ 1 ( ) M ϕ dϕ. Výkon je potom dán jako M ( ϕ)ω. 14
4 Studijní prameny 4.1 Seznam použité literatury [1] Šikula, J., Vašina, P.: Mechanika tuhých těles, CERM, Brno, 1995, v Průvodci 03 uváděn jako Učební text [2], UT [2] 4.2 Seznam doplňkové studijní literatury [3] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika, VUTIUM Brno a PROMETHEUS Praha, 2000 [4] Horák, Z.: Fyzika, SNTL Praha, 1976 15