Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Transkript

1 Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera

2 Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá se příklad s pohybem po kružnici a příklad s matematickým kyvadlem.

3 Věta o sevření limitami Také známá jako věta o třech limitách. Věta: f 1, f 2, f 3 : x R : f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) lim x x0 f 1 (x) = lim x x0 f 3 (x) lim x x0 f 1 (x) = lim x x0 f 2 (x). Úkol: slovně přeformulujte a zdůvodněte.

4 Definice funkcí sinus a cosinus Definice: Existuje právě jedna dvojice funkcí, která má následující vlastnosti (označíme je sin x a cosx):! (sin x, cosx): 1. x R : sin 2 x + cos 2 x = 1 2. x, y R : sin(x + y) = cosxsin y + sinxcos y

5 3. x, y R : cos(x + y) = cosxcos y sinxsin y 4. 0 < xcosx < sin x < x pro 0 < x < 1 Dá se dokázat, že dané vztahy splňuje právě jedna dvojice funkcí sinx a cosx definovaných tak, jak je známe z jednotkové kružnice.

6 Měření úhlů Úhly se měří v radiánech. Celý úhel (360 ) má velikost 2π: platí totiž, že úhel je vyjadřován délkou oblouku, který vyseknou ramena úhlu na jednotkové kružnici (kružnice s poloměrem 1 jednotka).

7 Jednotková kružnice Na následujícím obrázku jsou zachyceny důležité goniometrické funkce:

8 Toto znázornění využívá toho, že dle obvyklé definice (protilehlá ku přeponě atd.) je ve jmenovateli zlomku jednička. Důkaz derivace sinu Budeme vycházet z definice derivace: d y (x + h) y (x) y (x) = lim dx h 0 h

9 sinx(cosh 1) + cosxsin h = lim = h 0 h d sin (x + h) sin (x) sinx = lim dx h 0 h Součet argumentů rozepíšeme podle vlastnosti funkce sinus z definice: sin xcosh + cosxsin h sin x = lim = h 0 h

10 sinx(cosh 1) cosxsin h = lim + lim = h 0 h h 0 h cosh 1 sin h = sin x lim + cosx lim h 0 h h 0 h Nyní pouze zbývá vyšetřit, k čemu se cos h 1 blíží výrazy h a sin h h pro h jdoucí k nule.

11 Úvaha s trojúhelníky Představme si jednotkovou kružnici na obrázku níže.

12 Zřejmě bude platit pro velikost obsahů: S OCB S OEB S OED Pro jednotlivé obsahy trojúhelníků bude platit (vypočítáme podle vzorce pro obsah trojúhelníku): S OCB = cosxsin x 2 S OED = 1 tanx 2 = sin x 2 cosx

13 U oblouku s výhodou použijeme trojčlenku: úhel 2π znamená celý obsah kruhu, tedy (pro poloměr 1 jednotka) πr 2 = π úhlu x tedy musí připadat obsah x 2 Dosazení: cosxsin x 2 x 2 sin x 2 cosx

14 Upravujme tuto nerovnost ekvivalentními úpravami: cosx x sin x 1 cosx Nyní všechny části nerovnosti převrátíme, musíme tedy otočit znaménka nerovnosti. 1 cosx sin x x cosx

15 Zapíšeme jako limity: lim x 0 1 cosx lim sin x x 0 x lim cosx x 0 Jak známo, má-li funkce v nějakém bodě funkční hodnotu, pak limita v tomto bodě je rovna právě této funkční hodnotě. Protože platí cos0 = 1, zjednoduší se tato nerovnost na: 1 lim x 0 sin x x 1

16 Použijeme-li větu nahoře o třech limitách, dostáváme pro hledanou limitu sin x lim x 0 x = 1. Fyzikální zvyklosti Je zvykem označovat derivaci podle času tečkou nad danou veličinou. Platí vztahy pro běžné veličiny:

17 rychlost je změna polohy za infinitezimální (nekonečně malý) čas, rychlost je tedy derivací času (píšu jako skalár, obecně je vektor): v = ds dt = ṡ zrychlení je změna rychlosti za čas, proto derivace rychlosti (druhá derivace polohy) v = dv dt = d2 s dt = s 2 podobně budeme mít úhlovou rychlost ϕ a úhlové zrychlení ϕ

18 Úkol: Vypočtěte, čemu se rovná dostředivé zrychlení tělesa při pohybu po kružnici. (Využijte lim x 0 sin x x = 1 a diagramu níže.) Nápověda: ω = dϕ dϕ = ωdt, a = dv dt dt, v = ωr.

19 Nyní je třeba zjistit hodnotu druhé limity lim x 0 x cos x 1. Zjistíme ji vhodným roznásobením: cosx 1 cosx 1 cosx + 1 lim = lim x 0 x x 0 x cosx + 1 = cos 2 x 1 = lim x 0 x(cosx + 1) = lim sin 2 x x 0 x(cosx + 1) = sinx = lim x 0 x lim sinx x 0 cosx + 1 = = 0

20 První limitu jsme dosadili z předchozího důkazu a druhou jsme zjistili dosazením. Z toho pro derivaci sinu vyplývá: d sin x = 0 sinx + 1 cosx = cosx dx

21 Derivace cosinu Pokud známe derivaci sinu, jednoduše zjistíme derivaci cosinu: ( π ) cosx = sin 2 x d dx cosx = d ( π ) dx sin 2 x = ( π ) = cos 2 x = sin(x)

22 Vlastnosti matematického kyvadla Hmotný bod na nehmotné tyči. Má pouze jeden stupeň volnosti (k určení polohy závaží nám stačí znalost pouze jedné souřadnice). Používáme souřadnici ϕ, kyvadlo vykonává pouze malé kyvy, má jeden stupeň volnosti.

23 Druhý Newtonův zákon Časová derivace hybnosti se rovná působící síle (derivace hmotnosti v závislosti na čase je v tomto případě nulová). F = dp dt = dmv = v dm dt dt + mdv dt = m s Hmotný bod na kyvadle má konstantní vzdálenost od středu l, pro kterou platí (tzv. vazebná podmínka) s = l ϕ

24 Úkol: Odvod te pohybovou rovnici kuličky na kyvadle. (Odpor prostředí zanedbejte, počítejte jen pro malé úhly, sin ϕ využijte tedy výše vypočtený vztah: lim ϕ 0 = 1 ϕ lim ϕ 0 sin ϕ = ϕ.)

25 Všimněme si, že pokud je výchylka kladná, zrychlení bude záporné - síla totiž působí proti pohybu. Příslušná pohybová rovnice je tedy: mgϕ = ml ϕ ϕ = g l ϕ Otázka tedy zní: Kterou funkci musíme dvakrát zderivovat, abychom dostali minus tu samou funkci?

26 Pochopitelně se jedná o funkci sinus, jejíž první derivace je cosinus a druhá derivace je minus sinus. Zbylé konstanty se dají jednoduše dopočítat. Řešení této rovnice je tedy: g ϕ = ϕ 0 sint l ϕ 0 zde má význam amplitudy (maximální výchylky). Není těžké spočítat odvo-

27 zenými pravidly zrychlení a rychlost v závislosti na čase. Protože perioda funkce sinus jsou 2π, bude perioda matematického kyvadla f = 1 g 2π l T = 1 f = 2π Kontrolní otázka: rychlost i zrychlení si vypočtěte, vše zakreslete do grafu a asi vás nic nepřekvapí... l g

28 Děkujeme za pozornost! Tento dokument si můžete stáhnout z Vytvořeno pomocí L Y Xu, MiKTEXu, Graph4, jež jsou všechny šířeny pod licencí GNU GPL (stejně jako tento dokument).