Chyby a nejistoty měření

Moderní technologie ve stdi aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 Chyby a nejistoty měření (doplňjící tet k laboratorním cvičení) Připravili: Petr Schovánek, Vítězslav Havránek

Obsah Obsah... Seznam ilstrací... Seznam tablek... 3. Úvod... 4. Měření ve fyzice... 4 3. Chyby měření... 5 3.. Hrbé chyby... 5 3.. Systematické chyby... 5 3.3. Náhodné chyby... 6 3.4. Veličiny a výrazy spojené s chybami... 6 3.5. Zaokrohlování... 8 3.6. Příklad zpracování měření... 8 4. Měřicí přístroje... 0 4.. Analogové... 0 4.. Čtení stpnice... 0 4.3. Příklad chyby analogového měřidla... 4.4. Digitální... 4.5. Příklad s chybo rozsah... 4.6. Příklad s chybo digit... 3 5. Nejistota měření... 3 5.. Veličiny, výrazy a vztahy... 4 5.. Nejistota typ A... 4 5.3. Příklad výpočt standardní nejistoty typ A... 4 5.4. Rozšířená nejistota... 5 5.5. Nejistota typ B... 5 5.6. Příklad sočt nejistot... 5 5.7. Nejistota vypočtené hodnoty... 6 5.8. Příklad výpočt nejistoty z fnkce... 7 Poděkování... 8 Požité zdroje... 8 Seznam ilstrací Obr.. Gassovo rozdělení... 7 Obr.. Intervaly pravděpodobnosti... 7 Obr. 3. Vliv počt měření n na hodnot... 7 Obr. 4. Tlošťka koncové měrky v řez... 6

Seznam tablek Tab.. Přehled vzorců... 6 Tab.. Zaokrohlování... 8 Tab. 3. Naměřené hodnoty... 8 Tab. 4. Analogová měřidla... 0 Tab. 5. Nejistota... 4 Tab. 6. Rozšiřjící koeficienty... 4 Tab. 7. Naměřená data... 4 3

. Úvod Každé měření ve fyzice, ať již etenzivních (např. délka) nebo intenzivních (např. teplota) veličin, je zatíženo rčito nepřesností způsobeno nejrůznějšími negativními vlivy, které se v měřicím proces vyskytjí. To se projeví odchylko mezi naměřeno a sktečno hodnoto sledované veličiny. Výsledek měření se tak vždy pohybje v rčitém pravděpodobném rozsah (tzv. chybovém interval), o který se může sktečná hodnota veličiny odlišovat od naměřené. Účelem tohoto tet je přehledně vést základní teorii a postpy zpracování výsledků měření vzhledem k těmto nepřesnostem. Důraz je kladen na přehlednost a srozmitelnost. Uvedené příklady jso aplikovatelné hlavně v laboratorních cvičeních. Pro ostatní obory jso postpy a příklady požitelné bď přímo na základě fyzikální analogie, případně pomocí vhodného přizpůsobení. Relativně samostatno částí článk je přehled tříd přesnosti samotných měřicích přístrojů. S tím sovisí způsob odečt hodnot ze stpnic přístrojů, zvl. v analogovém provedení. Uvedeny jso také vztahy pro výpočet nejistoty nepřímo měřených veličin, které jso z naměřených hodnot vypočítávány. V vedených vzorových příkladech je kladen důraz i na formálně a věcně správný zápis výsledné hodnoty s rčeno nejistoto (příp. chybo).. Měření ve fyzice K vyhodnocení výsledků ve fyzikálních a technických měřeních můžeme volit různé přístpy. Při rčení nepřesnosti měření eistjí dva základní postpy: starší a jednodšší chybový, novější a komplenější vyhodnocení prostřednictvím nejistot měření. Preferována je drhá metoda. Přírčka vádí oba přístpy odděleně, neboť nejistoty měření vycházejí i z původní chybové koncepce a obsahjí ji, přičemž ve specifických případech je vyjádření samotné chyby postačjící. Chyby se vyjadřjí v absoltních nebo relativních hodnotách. Podle jejich působení lze chyby rozdělit na systematické, náhodné a hrbé. Podle svého zdroje se rozděljí na chyby přístroje, metody, pozorování a vyhodnocení. Nejistota měření charakterizje rozsah naměřených hodnot okolo výsledk měření, který lze zdůvodněně přiřadit k hodnotě měřené veličiny. Nejistota se týká 4

nejen samotného měření, ale zahrnje také nepřesnost měřicích přístrojů, hodnoty požitých konstant, korekcí apod., na kterých celková nejistota výsledk závisí. 3. Chyby měření Tato klasická koncepce stanovení chybového interval byla dříve jedino možností jeho rčení, nyní bývá jedno ze sočástí zpracování nejistoty měření. Vzhledem k její důležitosti je zde vedena samostatně. Podle povahy a účink se dělí na tři kategorie. 3.. Hrbé chyby Hrbé chyby (jiné označení je vybočjící nebo odlehlé hodnoty) jso způsobeny výjimečno příčino, nesprávným zapsáním výsledk, náhlým selháním měřicí aparatry, nesprávným nastavením podmínek měření apod. Naměřená hodnota se značně liší od ostatních hodnot získaných při opakovaném měření. Takové měření je třeba ze zpracování vyločit, aby nezkreslovalo výsledek. 3.. Systematické chyby Systematická chyba se přičítá (násobí apod.) k měřené hodnotě; ovlivňje náměr konstantně jedním směrem, i když se velikost ovlivnění může časem měnit např. v důsledk stárntí měřicího přístroje. Chyb můžeme tedy matematicky z náměr korigovat, pokd ji známe. Problémem je tedy její identifikace a kvantifikace. Po následné korekci naměřených dat ale dostáváme správné výsledky měření. Odhalit přítomnost systematické chyby může být někdy náročné. Nejprve bychom si měli vědomit, zda systematická chyba nevyplývá přímo z metody měření. Zpravidla pak již není problém ji matematicky korigovat. Např. při nepřímém měření odpor voltmetrem a ampérmetrem se kompenzje dle zapojení bď spotřeba ampérmetr nebo voltmetr. Je-li však tato korekce menší než chyby způsobené nepřesností přístrojů, nemsíme kompenzaci započítávat. Další možností identifikace systematické chyby je srovnávací měření jino metodo. V některých případech nás může na systematicko chyb pozornit i nesohlas naměřených hodnot s matematickým modelem příslšného děje, tj. výsledky neodpovídají teoretickém průběh, např. nesohlasí význačné hodnoty jako je nlová apod. 5

3.3. Náhodné chyby Nejčastěji važjeme o sočt velkého množství malých ršivých účinků, které ovlivňjí výsledno hodnot. Statistická rozdělení elementárních zdrojů chyb moho být obecná, ve výsledném sočt se zpravidla přibližjí Gassov průběh rozdělení. Náhodno chyb z jednoho měření nemůžeme stanovit. Náměr msí být vícenásobný a zpracjeme jej statistickými metodami za předpoklad rčitého rozložení náhodných chyb. Minimální počet měření možňjící statistické zpracování je 5-0. Maimální počet měření bývá omezen časem, náklady apod. Více než 00-násobné opakování zpravidla již výrazněji nezpřesňje výsledek, jak vyplývá z obr. 3. 3.4. Veličiny a výrazy spojené s chybami Následjící přehled vádí vzorce pro výpočet veličin požívaných v sovislosti se stanovením chyb: Správná hodnota měřené veličiny X i-tá hodnota veličiny i Absoltní chyba měření i X i i Relativní chyba měření i δi X Pravděpodobná hodnota veličiny při n měřeních i n Rozptyl (variance) ρ ( i) n Střední kvadratická chyba ρ ( i) n Směrodatná chyba ρn ( i) n Chyba aritmetického průměr n měření ρ ( i) n(n ) Pravděpodobná chyba aritmetického průměr θ ( i) 3 n(n ) Krajní chyba měření Tab.. Přehled vzorců κ 3 ( i) n(n ) 6

K rčení chyb se nejčastěji pracje s následjícími veličinami. Směrodatná chyba nám dává interval, v jakém se pro Gassovo rozložení naměřených hodnot každé jednotlivé měření vyskytne s pravděpodobností 68 %, což můžeme zapsat ρn,+ ρ n ; viz obr.. Výsledek měření pak vádíme pomocí chyby měření výrazem ± ρ. Pravděpodobná chyba aritmetického průměr θ definje takový ± θ interval kolem pravděpodobné hodnoty, že správná hodnota X leží s 50% pravděpodobností v tomto interval. Protože poloviční jistota někdy nestačí, zavádíme také krajní chyb měření κ, což je interval, v jehož rozmezí se nachází správná hodnota s pravděpodobností 99.73 %. 7

3.5. Zaokrohlování Údaj z měřícího přístroje nebo výsledek výpočt zpravidla obsahje jiný počet desetinných míst než odpovídá přesnosti měření. Výsledek tedy msíme zaokrohlit a zaokrohljeme také velikost chybového interval. Hodnota výsledk se standardně zaokrohlje podle cifry v nižším řád než je chybový interval, tj. od 0 do 4 poslední platná cifra zůstane a od 5 výše přičteme jedničk. Hodnot chybového interval zaokrohljeme nahor na jedn platno cifr, ale v případě, že interval začíná číslicí nebo, tak na dvě cifry a to rovněž nahor. V desetinné části hodnoty, která nemá dostatečný počte platných cifer, msíme v zápis výsledk doplnit nly podle řád chyby, viz následjící tablka s přehledem zaokrohlování: 0,3456± 0.0003 0,3456± 0.0009 0.3456± 0.000 0.35± 0.0004 0.346± 0.0009 0.346± 0.000.± 0.009.00± 0.009.004± 0.009.00± 0.009.005± 0.009.0± 0.009 3.5± 0.9 3± 3.5± 0.8 3.5± 0.9 Tab.. Zaokrohlování 3.6. Příklad zpracování měření Opakovaným měřením jsme získali deset hodnot s přesností na dvě platné cifry, viz následjící tablka. Určete chyb měření. č. m. i 3 4 5 6 7 8 9 0 hodnot.9.4...8.5.7.8 5.3.3 i Tab. 3. Naměřené hodnoty 8

Rozdíly mezi hodnoto [ 9] 5.3 a ostatními jso výrazně vyšší než vzájemné rozdíly mezi ostatními hodnotami, toto měření proto vyločíme jako zatížené hrbo chybo. Zůstane tedy n 9 hodnot. n i (.9+.4+ +.3).96 () n 9 i ρ ( i) n(n ) (.9.96) 9( 9 ) +(.4.96) + +(.3.96) 0.5455974 ± ρ.97± 0.6 Hodnoty, 6, 7, 8 a 0 jso menší než pravděpodobná hodnota,, 3, 4 a 5 větší, což vytváří přibližně poloviny; pravděpodobná hodnota je tedy mediánem sobor. Směrodatná chyba vytváří interval: ρ n ( i) () n (.9.96) 9 +(.4.96) + +(.3.96) 0.46368094 ρn,+ρn.96 0.46368094,.96 0.46368094.50,.43 V tomto interval neleží hodnoty 5, 7 a 6. je na hranici, tedy 67 % hodnot v něm leží. Můžeme proto předpokládat, že naměřený sobor přibližně vyhovje Gassov rozložení četnosti hodnot a výsledek je platný. Uvedené algoritmy bývají standardní sočástí programového vybavení vědeckých kalklaček a tablkových procesorů. V části statistika nalezneme fnkce 9

AVERAGE pro pravděpodobno hodnot, STDEV pro chyb aritmetického průměr apod. 4. Měřicí přístroje Měřicí přístroje dělíme z hlediska zobrazení údajů na analogové a digitální. Do první skpiny patří přístroje s mechanickým pohybem rčky kazatele (příp. stpnice vůči rysce). Digitální přístroje kazjí přímo číselno hodnot. Do této skpiny zahrnjeme i elektronická měřidla, která rčk nebo slopec jen zobrazjí na displeji. 4.. Analogové Důležité veličiny analogových měřidel jso shrnty v tab. 4. Měřicí rozsah (ma. hodnota, ktero můžeme měřit) M Ma. absoltní chyba Třída přesnosti měřidla T 00 M Normované hodnoty třídy přesnosti.5.5 5 Tab. 4. Analogová měřidla Laboratorně naměřeno tříd přesnosti přístroje výrobci zaokrohljí na normované hodnoty v příslšném dekadickém řád. Ve výpočtech se pak važje kladná i záporná chyba. Fyzikální rozměr % se zpravidla třídy přesnosti nepíše. 4.. Čtení stpnice Při odečt se snažíme získat co nejpřesnější výsledek. Dbáme, aby byl přístroj v předepsané poloze (vodorovně, svisle nebo s předepsaným sklonem, což je zpravidla vyznačeno značko na stpnici). Ukazatel měřené veličiny se na stpnici často nekryje s žádným dílkem, ale leží např. mezi k-to a (k+ ) -ní dělicí čárko. Čtená hodnota tedy leží mezi nimi a 0

její velikost odhadjeme v desetinách dílk. Řídíme se přitom následjícími empirickými zásadami:. Je-li dělení stpnice hsté a má-li dělicí čárky (rysky) tlsté (široké), odhadjeme poloviny dílků a chyba odhad je ± 0.5 velikosti dílk.. Jso-li dělicí čárky dostatečně tenké proti jejich vzdálenostem, můžeme odhadovat desetiny nejmenších dílků stpnice a chyba je ± 0. 0. dílk. 3. Je-li stpnice opatřena noniem, tj. pomocno stpnicí s n-tinovým dělením, čteme přesně n -tiny dílk hlavní stpnice a odhadjeme poloviny n-tin, což je i velikost chyby odhad. Další chyba může vzniknot při odečt hodnoty vlivem paralay. Pokd rčka neleží v rovině stpnice a nepozorjeme ji kolmo, promítá se do nesprávné polohy. Přesnější přístroje mají pod rčko zrcátko; při správném úhl pohled msí rčka zastiňovat svůj obraz. 4.3. Příklad chyby analogového měřidla T.5. Měřidlo naměřilo na rozsah M 30 hodnot 4.5 a má tříd přesnosti MT 30.5 0.75 0.8 (3) 00 00 δ 0.75 0.0574 0.05 4.5 Hodnota 4.5± 0.8, relativní chyba měření je 5 %.

4.4. Digitální Měřidla s digitálním výstpem kazjí přímo číselno hodnot, tdíž odpadají chyby pozorovatele spojené s odečítáním ze stpnice (způsobené např. paralao), přepočítáváním údajů dle rozsah atd. Chyb přístroje dávají výrobci jako sočet dvo členů a to dvěma způsoby: ± ( % chyby čtení + % chyby rozsah), nebo ± ( % chyby čtení + počet digitů s nejmenší váho (LSB)). Zjednodšeně je možno vádět jejich tříd přesnosti jako analogových přístrojů. Displeje jso charakterizovány svojí délko - počtem zobrazených cifer. Je-li za tímto číslem zlomek /, pak je před vedeným počtem normálních číslicovek ještě další s omezeným rozsahem, která může zobrazovat jen hodnoty 0 nebo. Jeli dodatkem zlomek 3/4, pak první číslicovka může zobrazovat čísla od 0 až do případně 8 dle rozsahů měřidla. 4.5. Příklad s chybo rozsah Digitální mltimetr s 4/ místným displejem a přesností ± 0. % ± 0.05 % dává na rozsah M 00 V napětí 75.00 V. Na tomto rozsah tedy může zobrazit nejvyšší hodnot 99.99 V. čtení + rozsah (4) 0. 0.05 75+ 00 0.5 00 00 [V] 75.00± 0.3 [V]

4.6. Příklad s chybo digit Digitální mltimetr s 33/4 místným displejem a přesností ± 0.08 % ± 3 naměřil na rozsah M 60 ma hodnot i 05.09 ma. Nejvyšší zobrazitelná hodnota prod je 59.99 ma. Nejnižší digit (LSB) má velikost 0.0 ma. i i čtení +M LSB (5) 0.08 5.09+ 3 0.0 0.034 00 [ma] i 5.09± 0.04 [ma] 5. Nejistota měření V sočasnosti se při měření vyjadřje převážně jeho nejistota. Na rozdíl od výše vedené chybové koncepce jde o komplenější posození měření, važjeme o nejistotách celého měřicího řetězce. Tento můžeme rozdělit na články: fyzikální jev - etalon - kalibrační postp - měřidlo - ršivé vlivy při měření. článk. Mnohdy se však v řetězci výrazně platňje nepřesnost poze jednoho jeho Nejistoty jso typ A nebo B dle svého charakter, viz dále. Více nejistot v měřicím řetězci se zpravidla sčítá geometricky, někdy provádíme výpočet krajních hodnot interval nejistoty. 3

5.. Veličiny, výrazy a vztahy Výpočt nejistot se týkají následjící parametry, viz tab. 5. Nejistota typ A / B A / B Koeficient nejistoty typ A k A Rozšířená nejistota typ A a koeficient rozšíření SkS A Tab. 5. Nejistota 5.. Nejistota typ A Tato nejistota je, stejně jako výše vedené chyby, způsobena mnoha malými náhodnými vlivy. Je-li počet měření n alespoň 0, rčení nejistoty je stejné jako v případě jednodchého stanovení chyby, viz výše. Při menším počt násobíme chyb koeficientem k A z tablky 6, se zmenšjícím se n totiž klesá věrohodnost nejistoty, což koeficient kompenzje. poč. m. n 0 9 8 7 6 5 4 3 koef. k A...3.3.4.7.3 7.0 Tab. 6. Rozšiřjící koeficient 5.3. Příklad výpočt standardní nejistoty typ A Naměřená data jso v tab. 7 a rčjeme interval standardní nejistoty. č. m. i 3 4 5 6 7 8 9 0 hodnota.9.4...8.5.7.8.0.3 i Tab. 7. Naměřená data n i (.9+.4+ +.3).97 (6) n 0 i 4

A ks ρ ( i) n(n ) 0( 0 ) [(.9.97) +(.4.97) + +(.3.97) ] 0.03883 ± A.0± 0.04 5.4. Rozšířená nejistota O rozšířených nejistotách S mlvíme, pokd interval nejistoty vynásobíme konstanto rozšíření k S. Pro k S do něj spadá 95 % hodnot z n měření a pro k 3 celých 99.7 % (pro k je to 68 %). S S A 5.5. Nejistota typ B Nejistota B typ nemá náhodný charakter. Při opakovaných měřeních na sebe pozorní trvalým výskytem. Tto nejistot stanovíme z charakter měření, bez statistického výpočt, tj. jde o nedokonalosti způsobené měřicími přístroji, techniko, metodami, konstantami, podmínkami, za kterých měření probíhá, popř. vlivem operátora. Při jejím rčení tedy odhadjeme maimální rozsah odchylek od naměřené hodnoty tak, aby v něm sktečná hodnota s velko pravděpodobností ležela. V případě, že máme stanoveno více nejistot v měřicím řetězci, výsledno nejistot dostaneme jejich geometrickým sočtem. Korelace mezi jednotlivými zdroji nejistot typ B se nebere v úvah. 5.6. Příklad sočt nejistot Měříme komparačně středovo tlošťk čočky, tj. porovnáváme její tlošťk s koncovými (Johansonovými) měrkami pomocí číslicového úchylkoměr (hodinek). 5

Jde o přesné (přesnější než posvným měřítkem nebo mikrometrem) komparační měření mechanických sočástí mezi dvěma hroty, z nichž jeden je pevný a drhý, posvný, náleží k úchylkoměr. měrky jso položeny na sebe a mají nepřesnost B ±0.5 µm,, úchylkoměr má B ± µm, a deformaci hrotů během měření odhadneme na B3 ±0.3 µm. B + + 0.5 + + 0.3 B B B3.6095.3 (7) Výsledná nejistota měření B ±.3 µm. Výpočet požijeme pro orientaci před vlastním měřením, případně pokd máme měření jen jedno. Pokd je statistická chyba vícenásobného měření výrazně nižší než výše vypočtená, msíme zvážit, zda nejso hodnoty zatíženy systematicko chybo a dle toho stanovit nejistot výsledk. Tlošťk čočky můžeme měřit také posvným měřítkem nebo mikrometrem. Nejistot stanovíme mechanických měřidel z dělení stpnice, viz výše, případně z údajů o kalibraci. Pro měřidla s digitálním výstpem požijeme standardní zde vedený postp. 5.7. Nejistota vypočtené hodnoty Při nepřímém měření, kdy je výsledek dán výpočtem, nejistot stanovíme dle příslšných matematických operací. 6

za z a zy z y ( ) +( y y ) z± y z + y z y z y ( ) y +( y ) (8) z a z a z U složitějších fnkcí je jednodšší dosadit do vzorce krajní hodnoty a z nich rčit výsledný interval. Konstanty ( π apod.) dosazjeme o řád přesnější, než je předpokládaná nejistota výsledk. 5.8. Příklad výpočt nejistoty z fnkce Změřili jsme úhel α 0'0."+ - 0." a přepon c.00000± 0.0000. Jako má délk protilehlá odvěsna a?. + ac sinα.000000 sin( + 60 ) 0.03549763 60 a +. +.00000 sin( + 60 60 ) 0.035498487 0.035498 (9) a 60 +.999980 sin( + 60 ) 0.035495838 0.035496 a 0.035497± 0.00000 7

Ale naopak pro odvěsn délky a.999695± 0.00000 a přepon c ± 0 dostáváme možno nejistot úhl α 88 59'5"; 89 00' 04" α 88 59'58"+ - 6", což je šedesátinásobek předchozí nejistoty. Poděkování Tento podpůrný stdijní tet vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fond v ČR v rámci projekt CZ..07/..00/07.008 Moderní technologie ve stdi Aplikované fyziky. Požité zdroje []MELOUN M., MILITKÝ J.: Statistické zpracování eperimentálních dat. East Pblishing, Praha, 998. []VÍTOVEC J.: Stanovení nejistot měření. ČMÚ, Praha, 993. [3]HAASZ V.: Elektrická měření. ČVUT, Praha, 003. [4]ANDĚL J.: Statistické metody. MatFyzPress, Praha, 998. 8