Odvození rovnice pro optimální aerodynamické zatížení axiální stupně

Transkript

1 1 Tato Příloha 801 je sočástí článk 19 Návrh axiálních a diagonálních stpňů lopatkových strojů, Odvození rovnice pro optimální aerodynamické zatížení axiální stpně Přibližno rovnici lze odvodit za těchto zjednodšjících předpokladů: (1) Sočinitel odpor lopatkové mříže je velmi malý a blízký nle c x 0 (2) Stpeň pracje při optimální obvodové práci tzn c 2 0 pro trbínové stpně a 0 pro stpně pracovních strojů Optimální zatížení lze vypočítat z rovnice pro hstot lopatkové mříže: σ 2 l c z w st cos ε w st sin(β st + ε) Pro cx 0 bde klozací poměr roven nle: ε0 Odtd lze rovnici (a) zjednodšit: [16 id809] (a) σ 2 l c z w st w st sinβ st w st sinβ st w st, a σ 2 l c z w st (b)

2 2 Sočinitel vztlak při absenci třecích sil: c z c z, iz 2 σ (cotgβ 1 cotgβ 2 )sinβ st [16 id633] Odtd po dosazení do rovnice (b) a úpravě lze získat optimální poměr mezi obvodovo prací stpně, obvodovo rychlostí, axiální rychlostí a zakřivení prod: σ 2 l 2 σ (cotgβ 1 cotgβ 2 )sinβ st w st l 1 (cotgβ 1 cotgβ 2 ) Dále lze rovnici ještě zjednodšit zvlášť pro trbínový stpeň a zvlášť pro stpeň pracovního stroje Tvar rychlostních trojúhelníků pro trbínový stpeň je následjící: (c) α 1 β 1 Optimální rychlostní trojúhelník trbínového stpně Z rychlostního trojúhelník lze odvodit: sinα 1 w 1 cotgβ 1 cos α 1 c a β 2 c 2 w 2

3 3 cotg(β 2 90 ) cotgβ 2 cotg cotg90 cotgβ 2 cotgβ 2 cotgβ 2 Dosazením posledních rovnic do rovnice (c): l 1 ( c cos α 1 1 ) l cos α 1 (d) K poslední rovnici se lze dopracovat i jednodšeji: 1 l l l cos α, ovšem při tomto odvození šlo 1 především o sovislost s aerodynamiko lopatkové mříže Spojení s aerodynamickým zatížením stpně lze vytvořit pomocí zakřivení prod, které je velmi blízké zakřivení střední čáry profil lopatky, ze kterého lze szovat konstrkční požadavky a typ stpně Zakřivení prod je definováno: β 2 β 1 Δβ označení zakřivení podle [15 id315] V trigonometrii je přehlednější pracovat s fnkcí tangent než kotangent, proto předchozí rovnice pro výpočet úhl relativních rychlostí převedeme na tvar: tgβ 1 ( c cos α ) ( cotgα 1 1 sin α 1)

4 β 1 atg[( cotgα 1 sin α 1) 4 1] Úhel β 1 bde při c1 cos α 1 <0 vždy větší jak 90 Při výpočt je ntné tto sktečnost kontrolovat, protože fnkce tangent je opakjící se tgβ 2 sinα 1 β 2 atg( sinα 1) Člen atg ( ) nemůže vyjít větší než 90 přesto úhel β 2 bde vždy větší jak 90, takže je ntné poslední rovnici psát ve tvar: β 2 atg( Δ β90 +atg( sinα 1) +90 sinα 1) atg [( cotgα 1 Poměr / je tzv rychlostní poměr: x 1 [18 id345] Δβ90 +atg( x 1 sinα 1) 1 sinα 1) [( atg cotgα 1 1 x 1 sinα 1) 1] 1] (e) Minimální poměr / pro případ trbínové mříže lze odvodit z nerovnosti:

5 5 w 2 w 1 1 Z tvar optimálního rychlostního trojúhelníka pro axiální trbínové stpně plyne: cos α 1 cosα 1 2 Obdobně lze pro stpeň pracovního stroje přímo odvodit: l 1 l l c 2 (f) Při prodění stpněm pracovního stroje je sledovano veličino rychlost w 1, která přímo ovlivňje aerodynamik profil, a nikoliv c 2, proto bde praktičtější, když poslední rovnice bde pravena jako fnkce rychlosti w 1 : c 2 w 2 tgβ 2 w 2 w 2 tgβ 2 2 w β 2 β 1 +Δβ tgβ 2 tg (β 1 +Δβ ) tgβ 1+tgΔβ 1 tgβ 1 tgδβ tgβ 1

6 6 w 2 c (1 tgβ tgδβ) c a 1 a( 1 ) tgδβ tgβ 1 +tg Δβ +tg Δβ c c 2 a atgδβ + tgδβ c w 2 a 1 tgδβ+ 2 tgδβ + tgδβ c c 2 a a tg Δβ +tg Δβ c 2 c w 2 a 1 tg Δβ+ 2 tgδβ + tgδβ c w 2 a 1 tgδβ+ 2 tg Δβ 2 tg Δβ w 2 1 tgδβ + tg Δβ + tg Δβ l 1 w 2 1 tgδβ + tg Δβ l w 2 1 tgδβ +tgδβ l w 1 2 tg Δβ tgβ 1 +tgδβ Podstatné pro návrh je také to v jakých řádech se bdo měnit otáčky respektive obvodová rychlost: cosβ 1 w 1 w 1 cosβ 1 Podklady pro konstrkci nomogramů Zde popsaná konstrkce nomogram [42] pro aerodynamické zatížení axiálního trbínového stpně je pro α 1 13 (úhel vstpní absoltní rychlosti bývá obvykle větší jak 10 a menší než 20 ), v logaritmických sořadnicích, kde na svislé ose jso velikosti vstpní absoltní rychlosti a na vodorovné obvodové rychlosti

7 7 V tomto diagram jso pak izopléty obvodové práce l a zakřivení prod Δβ jako fnkce a Izopléta obvodové rychlosti bde přímka, protože tvar Rovnice (d) v logaritmických sořadnicích bde přímka: cos α 1 l log+log(0,9743 )logl Tato přímka má záporno směrnici, protože při růst obvodové rychlosti msí klesat vstpní absoltní rychlost při konstantní obvodové práci Izopléta zakřivení prod bde také přímka Toto tvrzení o opřeno o tvar Rovnice (e) pro zakřivení prod, ze které je očividné, že konstantní zakřivení bde při konstantním poměr obvodové a vstpní absoltní rychlosti Tvar této přímky lze odvodit z následjící rovnice:

8 K log log logk 8 kde K je konstanta, které se vypočítá pro požadovano velikost zakřivení prod Δβ

9 9 Tvar nomogram pro aerodynamické zatížení axiálního trbínového stpně Rozsah i navrhji od 1 m s -1 do 1000 m s -1 tj rozdíl tří řádů, jestliže vzdálenost mezi řády bde 1 potom ostatní vzdálenosti na ose a bdo následjící: 1~0,0000 2~0,3010 3~0,4771 4~0,6021 5~0,6990 6~0,7782 7~0,8451 8~0,9031 9~0, ~1 [Tablka 42942] Sořadnice konstrkce izopléty l 10 J kg -1 bdo následjící: Os protíná tato izopléta:

10 10 l 10 cos α 1 cos 13 10,263m s 1 Os rychlosti protíná: l 10 cos α 1 cos 13 10,263 m s 1 Na ose nebo tato hodnota odpovídá vzdálenosti log10,2631,0113 Všechny izopléty l bdo s toto izopléto rovnoběžné Takže izopléta o řád vyšší l 100 J kg -1 bde protínat osy při 102,6304 m s -1 respektive os při 102,6304 m s -1 Na ose nebo tato hodnota odpovídá vzdálenosti log102,63042,0113 Hodnoty mezi l 10 J kg -1 a 100 J kg -1 se vypočítají obdobně viz následjící tablka: l ; log l ; log ,263 1, ,5783 1, ,5261 1, ,8413 1, ,7891 1, ,1043 1, ,0522 1, ,3674 1, ,3152 1, ,6304 2,0113

11 11 zde důkaz že posb o 5 na obě strany dělá chyb přibližně