3.8. Elektromagnetká nduke 1. mět defnovat velčnu magnetký ndukční tok a matematky vyjádřt harakterstkou vlastnost magnetkého pole, nezřídlovost, užtím této velčny.. Popsat základní expermenty, které demonstrují jev elektromagnetká nduke. 3. Znát podmínky, za nhž jev elektromagnetká nduke nastává. 4. mět vyslovt a aplkovat Faradayův zákon elektromagnetké nduke a Lenzův zákon. 5. Seznámt se s jevy vlastní a vzájemná nduke. 6. Pohopt odvození vztahu pro ndukované elektromotorké napětí ve smyče rovnoměrně se otáčejíí v homogenním magnetkém pol. 3.8.1. Faradayův zákon elektromagnetké nduke, vzájemná a vlastní ndukčnost Zaveďme nejprve velčnu magnetký ndukční tok Φ podobně jako tok ntenzty elektrkého pole jako míru magnetkého pole proházejíího plohou P uzavřenou orentovanou křvkou C. Magnetký ndukční tok se též nterpretuje tak, že je číselně roven počtu sločar protínajííh plohu P. V homogenním pol s magnetkou ndukí B prohází malou rovnnou a lbovolně orentovanou ploškou s jednotkovým normálovým vektorem n, která má obsah ds, nfntezmální magnetký ndukční tok : = Bn ds = (B ds) osα. 3.8.-1 Odhylkou vektorů B a n je úhel α. Jestlže přložíme pravou ruku k orentované uzavřené křve tak, aby zahnuté prsty kromě pale ukazovaly její orenta, vzpřímený pale ukáže orenta vektoru n. V případě z Obr. 3.8.-1 je Φ > 0. Abyhom získal magnetký ndukční tok plohou, která není rovnná a má obsah S, rozdělme j na nfntezmální plošky ds, které lze považovat za rovnné. Všem bodům konkrétní plošky ds náleží stejný vektor magnetké nduke. Celkový magnetký ndukční tok plohou o obsahu S získáme algebrakým součtem příspěvků od všeh plošek, tzn počítáme ntegrál: Bn ds B osα ds. 3.8.- Obr. 3.8.-1 Φ = = S S ( ) Ve speálním případě, kdy je ploha rovnná, orentae normálového vektoru n shodná s orentaí magnetkýh ndukčníh čar homogenního magnetkého pole, redukuje se (3.8.-) na rovnost: Φ = BS. 3.8.-3 V případě obené polohy rovnné plohy pak Φ = BS = BS os α.. 3.8.-4 Jednotka magnetkého ndukčního toku se nazývá weber (Wb) a platí: [Φ ] = T m = Wb. 471
Pro uzavřenou plohu obsahu S platí, že počet sločar do ní vházejííh je roven počtu sločar z ní vyházejííh, neboť magnetké pole je nezřídlové, tzn. magnetké ndukční čáry jsou uzavřené křvky (neexstuje magnetký monopól). Jestlže normálové vektory nfntezmálníh plošek například míří ven z objemu, který je plohou uzavřen, je možné nezřídlovost pole vyjádřt matematky takto: Φ = Bn ds = 0. 3.8.-5 S Jestlže s představíme v magnetkém pol uzavřenou křvku, vyplývá z platnost (3.8.-5), že magnetký ndukční tok plohou lbovolného tvaru, která je ohrančena křvkou, je stejný. Poté, kdy byla prokázána souvslost elektrkýh a magnetkýh jevů (Oersted, 180), badatelé prováděl pokusy za účelem vybudt ve vodč elektrký proud pomoí magnetkého pole. Patřl k nm M. Faraday, který v roe 1831 objevl jev elektromagnetká nduke. Jev samotný může být pozorován na těhto pokuseh: 1. Spojme solenod s galvanometrem a přblžujme k jednomu jeho kon severní pól permanentního magnetu Obr. 3.8.-a). Tím vznká v solenodu elektrký proud, který způsobí vyhýlení ruččky galvanometru. Protože hustota sločar pole permanentního magnetu je největší v blízkost pólů, bude zjevně růst počet sločar protínajííh plohu uzavřenou obvodem. V okolí obvodu se tedy mění magnetké pole. Jestlže se magnet zastaví, zankne ndukovaný proud (3.8.-b). Jestlže začneme magnet vzdalovat, vznká v solenodu proud, avšak ve směru, který je opačný k původnímu (Obr. 3.8.-). Podobně vznkne ndukovaný proud, jestlže se bude vůč magnetu pohybovat samotný obvod.. Vezměme dva kruhové závty 1 a. Závt 1 je spojen se zdrojem proudu přes reostat, obvod se závtem obsahuje galvanometr (Obr. 3.8.- 3). Jestlže zapneme zdroj proudu, vznkne ve Obr. 3.8.- smyče krátkodobý proud. Jestlže smyčkou 1 prohází stálý stejnosměrný proud, proud ve druhém obvodu se nendukuje. Př vypínání proudu vznká opět krátkodobě ndukovaný proud, avšak v opačném směru než původně. Př vzájemném pohybu smyčky 1, kterou prohází proud, a sekundární smyčky (s galvanometrem) vznká ndukovaný proud ve smyče. Jev se projeví výrazněj, jestlže závty nahradíme solenody. Faraday zobeněním výsledků svýh expermentů došel k závěru, že ndukovaný proud vznká tehdy, jestlže vodč př svém pohybu protíná magnetké ndukční čáry (jev krátkodobý) nebo se mění počet magnetkýh ndukčníh čar proházejííh plohou ohrančenou uzavřeným obvodem, tedy se mění magnetký ndukční tok touto plohou. Důležté je, že velkost ndukovaného elektromotorkého napětí a proudu nezávsí na počtu ndukčníh čar proházejííh plohou obvodu, nýbrž na ryhlost změny tohoto počtu. Práe přpadajíí na jednotkový elektrký náboj př vytváření ndukovaného proudu se 47
nazývá ndukované elektromotorké napětí. Jev samotný vůbe nezávsí na příčně změny magnetkého ndukčního toku. Nejen Faraday př svýh pokuseh pečlvě zaznamenával směr ndukovaného proudu. Obené pravdlo pro směr ndukovaného proudu stanovl E. Ch. Lenz: Indukovaný proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že vytváří vlastní magnetký ndukční tok kompenzujíí změnu magnetkého ndukčního toku, která proud ndukovala. Obr. 3.8.-3 Jestlže v pokusu 1 se přblžuje k solenodu severní pól permanentního magnetu, ndukuje se proud tak, aby magnetké ndukční čáry generovaného magnetkého pole byly namířeny prot ndukčním čarám, jež přházejí ze severního pólu magnetu. Solenodu přtom přísluší magnetký dpólový moment, který je orentován k severnímu magnetkému pólu solenodu (vz pozn. na kon kaptoly 3.6.3). Magnet a solenod se odpuzují, tj. vznká mez nm síla, působíí prot tomu pohybu magnetu, který vede ke vznku ndukovaného proudu. Popsané odpuzování je analogké stua, kdy k sobě přléhají souhlasné póly permanentníh magnetů (např. severní). Př vzdalování magnetu od solenodu se magnet a solenod naopak přtahují. Výsledky pokusu též svědčí o platnost Lenzova zákona. Př zapnutí proudu v závtu 1 vznká v závtu proud obráeného směru, př přerušení proudu v závtu 1 proud téhož směru. Pokud se závty k sobě přblžují, ndukuje se v závtu proud tak, aby vyvolal magnetké pole orentované prot magnetkému pol smyčky 1. Takto vznkne odpudvá magnetká síla, neboť k sobě přléhají souhlasné póly. Síla přtažlvá naopak vznkne, jestlže se budou závty od sebe vzdalovat. Pomoí magnetkého ndukčního toku můžeme formulovat Faradayův zákon takto: Indukované elektromotorké napětí je rovno záporně vzaté časové změně elkového magnetkého ndukčního toku Φ smyčkou. Matematky zapsáno: =. 3.8.-6 d t Znaménko mnus vyjadřuje platnost Lenzova zákona. Př používání vztahu (3.8.-6) je důležté s uvědomt, o znamená pojem elkový magnetký ndukční tok. Jestlže bude mít smyčka složtý tvar (např. solenod), je nutné sečíst toky přes všehny uzavřené plohy. Hodnota ndukovaného napětí nezávsí na způsobu změny magnetkého ndukčního toku v čase. Z Faradayova zákona také plyne, že časové změny magnetkého pole vyvolávají změny v rozložení elektrkýh nábojů, a tedy změny elektrkého pole. Elektrké a magnetké pole jsou proto navzájem závslé. Indukované elektrké proudy nevznkají pouze ve vodčíh tvaru drátu, ale ve vodvýh materáleh ve tvaru plehů, desek, hranolů apod. Vodvostní elektrony tvoříí ndukovaný proud krouží ve vodč podobně jako voda ve víru, ož vede ke vznku vířvého proudu (Fouaultův proud). Vodč se současně zahřívá, neboť se elektrká energe přeměňuje na 473
vntřní energ vodče. Aby se zabránlo vznku vířvýh proudů v jádreh transformátorů nebo elektromotorů na střídavý proud, vyrábějí se jádra z navzájem zolovanýh plehů. Vířvé proudy využívají ndukční kamna, v nhž je ívka pod varnou plohou napájená vysokofrekvenčním střídavým proudem. zavřený obvod protékaný proudem I je zdrojem magnetkého pole. Jestlže bude proud konstantní, magnetké pole vlastní obvodu je staonární, tj. jeho harakterstky v okolí obvodu jsou na čase nezávslé. Plohou, která je obvodem ohrančena, teče stálý magnetký ndukční tok. Dojde-l ke změně proudu v obvodu, změní se magnetká nduke B obvodem vytvořená a tím magnetký ndukční tok Φ. Jakákol změna ndukčního toku vede podle Faradayova zákona elektromagnetké nduke ke vznku elektromotorkého napětí, ož se týká našeho obvodu. Ke stejnému závěru vedou, když proud zůstane konstantní, deformae obvodu majíí za následek změnu obsahu plohy obvodem uzavřené. Popsané zpětné působení na vlastní proudový obvod se nazývá vlastní nduke nebo samonduke. Jak plyne z (3.7.-1), je magnetká nduke, v daném bodě vybuzená proudem v obvodu, lneární funkí proudu I. Pokud se nemění tvar obvodu, zůstává orentae a směr vektoru B konstantní, se změnou proudu se mění pouze velkost vektoru B. Magnetký ndukční tok plohou obvodu je tedy také s přhlédnutím k (3.8.-3) lneární funkí proudu (s výjmkou okolí obvodů z feromagnetkýh látek): Φ = L I. 3.8.-7 Konstanta úměrnost L se nazývá vlastní ndukčnost a závsí pouze na permeabltě prostředí v okolí obvodu a geometrkém tvaru obvodu. Jednotkou L je henry (H). Vlastní ndukčnost se zavádí nejen pro uzavřenou smyčku, ale smyčku nebo lbovolný vodč č jeho úsek. Jev vlastní nduke lze dobře pozorovat př zapnutí nebo vypnutí proudu v obvodu (tzv. přehodové jevy). Pokud byhom měl obvod s rezstorem, Obr. 3.8.-4 průběh časové závslost proudu př náhlém zapnutí č vypnutí proudu klíčem je na Obr. 3.8.- 4. Jestlže k témuž dojde v obvodu s ívkou, časová závslost se změní (Obr. 3.8.-5). Obr. 3.8.-5 važujme dlouhý solenod poloměru R, délky l >> R, na němž je navnuto N závtů. Zaveďme velčnu n ve významu počet závtů na jednotku délky. Jestlže zanedbáme okrajové efekty, můžeme magnetké pole uvntř solenodu považovat za homogenní s hodnotou magnetké nduke danou vztahem (3.7.-11). Celkový magnetký ndukční tok solenodu je součtem toků ve všeh závteh, takže je roven: Φ = NBS = nlbs. 3.8.-8 Z defnčního vztahu vlastní ndukčnost dostaneme Φ nlµ 0nIS L = = = 0n ls I I µ. 3.8.-9 474
Pomoí ndukčnost a Faradayova zákona můžeme vyjádřt ndukované elektromotorké napětí takto: I d = = L. 3.8.-10 Je vdět, že velkost proudu na ndukované elektromotorké napětí nemá vlv, narozdíl od ryhlost změny proudu. Mějme v prostoru víe smyček. Celkový magnetký ndukční tok v jedné smyče bude obeně závset na proudeh ve všeh smyčkáh. Změna proudu v jedné vyvolá změnu magnetkého ndukčního toku ve všeh smyčkáh tzv. jev vzájemné nduke. važujme dvě smyčky. V prvním teče proud I 1. Označme symbolem Φ 1 tu část toku smyčky 1, která prohází smyčkou. Toku Φ 1 samozřejmě odpovídají magnetké ndukční čáry, které proházejí oběma smyčkam. Indukční provázanost smyček 1 a vyjadřuje koefent vzájemné ndukčnost smyčky vzhledem ke smyče 1, který se značí M 1, a platí: Φ 1 = M 1 I 1. 3.8.-11 Změna proudu v první smyče ndukuje napětí e ve smyče, jehož hodnota se určí ze vztahu (3.8.-10): di M 1 e = 1. 3.8.-1 Rovněž změna proudu ve smyče generuje ndukované napětí ve smyče 1: di M e1 = 1. 3.8.-13 Pozděj dokážeme, že: M 1 = M 1 = M. 3.8.-14 M se nazývá koefent vzájemné ndukčnost dvou smyček. Vztahy (3.8.-1) a (3.8.-13) sdělují, že koefent vzájemné ndukčnost je číselně roven ndukovanému elektromotorkému napětí v jedné smyče př změně proudu o jeden ampér ve smyče druhé, jež proběhne za jednu sekundu. Kontrolní otázky KO 3.8.-1 Jak získáte elkový magnetký ndukční tok plohou obsahu S? KO 3.8.- Napšte nejjednodušší vztah pro magnetký ndukční tok a za jakýh podmínek platí? KO 3.8.-3 Jak se nazývá jednotka magnetkého ndukčního toku? KO 3.8.-4 Vyjádřete jednotku magnetkého ndukčního toku pomoí základníh jednotek soustavy SI. KO 3.8.-5 Jak je možné matematky formulovat nezřídlovost magnetkého pole? Jak souvsí nezřídlovost s tvarem magnetkýh ndukčníh čar? KO 3.8.-6 Popšte dva expermenty, na nhž byl pozorován jev elektromagnetké nduke. Čím se onen jev ve výsledíh expermentů projevoval? KO 3.8.-7 Zobeněte výsledky expermentů z otázky č. 6! KO 3.8.-8 Vyslovte Lenzův zákon. KO 3.8.-9 Formulujte Faradayův zákon. KO 3.8.-10 Popšte jev vlastní nduke. KO 3.8.-11 Za jakýh podmínek je magnetký ndukční tok plohou obvodu přímo úměrný proudu v obvodu? Jak se nazývá příslušná konstanta úměrnost a jakou má jednotku? KO 3.8.-1 Vyjádřete ndukované elektromotorké napětí pomoí Faradayova zákona a ndukčnost. 475
KO 3.8.-13 Navrhněte jednoduhý obvod, na němž je možné demonstrovat jev vzájemná nduke. Tento jev popšte. KO 3.8.-14 Čemu je číselně roven koefent vzájemné ndukčnost? Indukčnost hustě navnuté ívky je taková, že př změně proudu 5 A s -1 se ndukuje elektromotorké napětí 3 mv. Stálý proud 8 A vytváří magnetký ndukční tok 40 µwb každým závtem. Vypočtěte ndukčnost ívky. Kolk závtů má ívka? di -1 = 5 A s ; = 3 mv ; I = 8 A ; Φ = 40 µwb Z Faradayova zákona vyjádřeme ndukčnost ívky: d t L = = 0,6 mh d I. Celkový magnetký ndukční tok solenodu je Φ C = N Φ = LI a z toho N = LI =10. Φ 3.8.. Otáčejíí se smyčka v magnetkém pol Jž víe než 140 let se v tehnké prax vyžívá převod mehanké energe na elektrkou (dynamoelektrký generátor, r. 1867, W. Semens; 1. elektrárna, 188, New York, T. A. Edson),který umožňuje jev elektromagnetké nduke. Abyhom pohopl prnp čnnost generátorů proudů, budeme se zabývat důsledky rotae jednoduhé smyčky v homogenním magnetkém pol (Obr. 3.8.-6), která uzavírá plohu obsahu S. Osa smyčky v okamžku t je kolmá k magnetkým ndukčním čarám, vektor normály n svírá s vektorem magnetké nduke úhel α. Protože se mění v čase počet sločar, které protínají plohu ohrančenou smyčkou, je magnetký ndukční tok funkčně závslý na čase. Jsou splněny podmínky platnost vztahu (3.8.-4) a z velčn na jeho pravé straně jsou všehny konstantní, kromě úhlu α, jehož hodnotu můžeme hápat jako úhlovou dráhu se smyčkou rotujíího konového bodu vektoru n. Jestlže se závt otáčí rovnoměrně úhlovou ryhlostí ω a v okamžku 0 s je normálový vektor orentován souhlasně s ndukčním čaram (tzn. α (0) = 0), je α = ω t. Magnetký ndukční tok se v čase také mění, takže s přhlédnutím k Faradayovu zákonu elektromagnetké nduke získáme ndukované elektromotorké napětí: d( BSosωt) = = = BSω snωt =,maxsnωt. 3.8.-15 Velčny a magnetký ndukční tok smyčkou Φ mají harmonký průběh s ampltudam,max = BSω, Φ max = BS a perodou T = π /ω (Obr. 3.8.-7) právě v zapojení podle Obr. 3.8.- 6. Všmněte s, na čem závsí ampltuda napětí. 476
Obr. 3.8.-6 Jednoduhá rovnná smyčka, která se rovnoměrně otáčí v homogenním magnetkém pol. Osa smyčky je kolmá k magnetkým ndukčním čarám. Vodč obvodu s voltmetrem je napětí snímáno prostředntvím kovovýh kartáčků, které se třou se sběraím kroužky pevně spojeným se smyčkou. Obr. 3.8.-7 (Obr. 3.8.-6)? KO 3.8..-15 Kde byla postavena první elektrárna a kdo j navrhnul? Ve kterém roe bylo spuštěna do provozu? KO 3.8..-16 Jak závsí na čase ndukované elektromotorké napětí v jednoduhé smyče rovnoměrně se otáčejíí v homogenním magnetkém pol, jestlže se závt otáčí rovnoměrně úhlovou ryhlostí ω a v okamžku 0 s je normálový vektor plohy závtu orentován souhlasně s ndukčním čaram 477
Pevný drát ohnutý do polokružne s poloměrem r rotuje úhlovou ryhlostí ω v homogenním magnetkém pol o nduk B (Obr. 3.8.-8). Čemu jsou rovny ampltudy napětí a proudu ndukovaného ve vodč, je-l vntřní odpor voltmetru roven R a odpor ostatníh částí obvodu lze zanedbat? Předpokládejte, že magnetké pole vyvolané proudem je zanedbatelné ve srovnání s homogenním polem nduke B. Obr. 3.8.-8 Počet ndukčníh čar protínajííh vodč se mění v důsledku rotae oblouku, proto nastává jev elektromagnetké nduke, jehož kvanttatvním vyjádřením je Faradayův zákon elektromagnetké nduke: =. 3.8.-6 d t Jelkož je ohnutý drát pouze jeden, vyházeje ze vztahu (3.8.-4) můžeme pro elkový magnetký ndukční tok vymezený ohnutým vodčem psát: Φ C = BS = BS os α. Dosaďme do (3.8.-6) a dervujme s přhlédnutím ke skutečnost, že všehny velčny jsou konstantní kromě úhlu α (α = ωt) a ohnutý vodč vymezuje polovnu kruhu: πr = + BSω snωt = B ω snωt. Konečně z posledního vztahu plyne, že ampltuda napětí je πr m = B ω. Z podmínek úlohy a Ohmova zákona získáme ampltudu proudu: m I m =. R Magnetký ndukční tok Φ plohou obsahu S uzavřenou orentovanou křvkou C v magnetkém pol je defnován vztahem Φ = ds = S S ( osα ) Bn B ds. 3.8.- Odhylkou vektorů B a n je úhel α. Jestlže přložíme pravou ruku k orentované uzavřené křve tak, aby zahnuté prsty kromě pale ukazovaly její orenta, vzpřímený pale ukáže orenta vektoru n jednotkového normálového vektoru plošky ds. Ve speálním případě, kdy je ploha rovnná, orentae normálového vektoru n shodná s orentaí magnetkýh ndukčníh čar homogenního magnetkého pole, redukuje se (3.8.-) na rovnost: Φ = BS. 3.8.-3 478
V případě obené polohy rovnné plohy pak Φ = BS = BS os α. 3.8.-4 Jednotka magnetkého ndukčního toku se nazývá weber (Wb) a platí: [Φ ] = T m = Wb. Faradayův zákon elektromagnetké nduke Faraday došel k závěru, že ndukovaný proud vznká tehdy, jestlže vodč př svém pohybu protíná magnetké ndukční čáry (jev krátkodobý) nebo se mění počet magnetkýh ndukčníh čar proházejííh plohou ohrančenou uzavřeným obvodem, tedy se mění magnetký ndukční tok touto plohou. Důležté je, že velkost ndukovaného elektromotorkého napětí a proudu nezávsí na počtu ndukčníh čar proházejííh plohou obvodu, nýbrž na ryhlost změny tohoto počtu. Práe přpadajíí na jednotkový elektrký náboj př vytváření ndukovaného proudu se nazývá ndukované elektromotorké napětí. Jev samotný vůbe nezávsí na příčně změny magnetkého ndukčního toku. Pomoí magnetkého ndukčního toku můžeme formulovat Faradayův zákon takto: Indukované elektromotorké napětí je rovno záporně vzaté časové změně elkového magnetkého ndukčního toku Φ smyčkou. Matematky zapsáno: =. 3.8.-6 d t Lenzův zákon Obené pravdlo pro směr ndukovaného proudu stanovl E. Ch. Lenz: Indukovaný proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že vytváří vlastní magnetký ndukční tok kompenzujíí změnu magnetkého ndukčního toku, která proud ndukovala. Jev vlastní nduke a velčna vlastní ndukčnost Dojde-l ke změně proudu v obvodu, změní se magnetká nduke B obvodem vytvořená a tím magnetký ndukční tok Φ. Jakákol změna ndukčního toku vede podle Faradayova zákona elektromagnetké nduke ke vznku elektromotorkého napětí, ož se týká našeho obvodu. Ke stejnému závěru vede, když proud zůstane konstantní, deformae obvodu majíí za následek změnu obsahu plohy obvodem uzavřené. Popsané zpětné působení na vlastní proudový obvod se nazývá vlastní nduke nebo samonduke. Magnetký ndukční tok plohou obvodu je tedy také s přhlédnutím k (3.8.-3) lneární funkí proudu (s výjmkou okolí obvodů z feromagnetkýh látek): Φ = L I. 3.8.-7 Konstanta úměrnost L se nazývá vlastní ndukčnost a závsí pouze na permeabltě prostředí v okolí obvodu a geometrkém tvaru obvodu. Jednotkou L je henry (H). Vlastní nduke solenodu Z defnčního vztahu vlastní ndukčnost dostaneme pro elkový magnetký ndukční tok solenodu: Φ nlµ 0nIS L = = = 0n ls I I µ. 3.8.-9 479
Pomoí ndukčnost a Faradayova zákona můžeme vyjádřt ndukované elektromotorké napětí takto: I d = = L. 3.8.-10 Vzájemná ndukčnost Indukční provázanost smyček 1 a vyjadřuje koefent vzájemné ndukčnost smyčky vzhledem ke smyče 1, který se značí M 1, a platí: Φ 1 = M 1 I 1. 3.8.-11 Změna proudu v první smyče ndukuje napětí e ve smyče, jehož hodnota se určí ze vztahu (3.8.-10): di M 1 e = 1. 3.8.-1 Rovněž změna proudu ve smyče generuje ndukované napětí ve smyče 1: di M e1 = 1. 3.8.-13 Platí: M 1 = M 1 = M. 3.8.-14 M se nazývá koefent vzájemné ndukčnost dvou smyček. Rovnoměrná rotae rovnné smyčky v homogenním magnetkém pol V rovnné smyče se ndukuje elektromotorké napětí: d( BSosωt) = = = BSω snωt =,maxsnωt. 3.8.-15 Klíč KO 3.8.-4 kg s -1 C -1 KO 3.8..-16 = d( BSosωt) = = BSω snωt =,max snωt 480