jednoduché složené anuitní Úročení vkladů Úrok = cena půjčených peněz, kterou platí ten, kdo peníze dočasně užívá, je vyjádřen v peněžních jednotkách (v Kč) (míra) = v %, vyjadřuje v procentech jakou část z uložené nebo půjčené částky bude úrok činit. Může být vyjádřen i ročně, pololetně, čtvrtletně nebo měsíčně. p. a. p. s. p. q. p. m. Když bude roční úroková sazba 12 %, pak pololetní bude 6 %, p. q. = 3 %, p. m. = 1 %. Na první pohled výhodná nabídka úvěru za 3 % p. m. se v přepočtu na roční p. a. jeví zcela nevýhodnou. Srážková daň = představuje daňovou povinnost FO vůči státu, která se sráží přímo u zdroje, tzn. V bance. Vkladatel tak dostane vždy pouze čistý úrok, který je snížen právě o srážkovou daň. Aktuální sazba této daně je 15 %. Výpočet čistého úroku (v Kč) = úrok * 0,85 Čistá úroková sazba (v %) = úroková sazba * 0,85 Počáteční jistina 100 000. úroková sazba 10 % p. a., doba úložky = 1 rok (360 dní). Srážková daň = 15 %. Spočítejte úrok, čistý úrok a čistou úrokovou sazbu. Úrok = počáteční jistina/100 * úroková sazba * počet dní/rok = 100 000/100 * 10 * 360/360 = 10 000 Kč. Čistý úrok = 10 000 * 0,85 = 8 500 Kč Čistá úroková sazba = 10 * 0,85 = 8,5 % Srážková daň = 10 000-8 500 = 1 500 Kč (tato částka se sráží v bance, jde o příjem do státního rozpočtu) Počáteční jistina = náš vklad Konečná jistina = PJ + úrok Období = určí nám jakým způsobem budeme vklady úročit = doba po kterou dochází k úročení = úročení může být jednoduché, složené a anuitní Př. Uložíme peníze na 1 rok do banky, je stanovena roční úroková sazba. Na konci období se mi připíší úroky. Počáteční jistina se navýšila o úrok. Jde o jednoduché úročení, protože počáteční jistina se mi během období vůbec nezměnila, zůstala stejná. Obdobím je nejčastěji 1 rok, může být kratší i delší. Př. Uložím peníze na 1 rok do banky, k účtu mám stanovenou pololetní úrokovou sazbu. Po skončení prvního období, které trvá půl roku se mi připíší k počáteční jistině úroky. Do druhého období dochází ke změně počáteční jistiny, právě o připsané úroky, které se společně s jistinou úročí. Vznikají tak úroky z úroků. Díky pololetní úrokové sazbě jsem měla v jednom roce 2 období. Tzn. Vždy musím složeně úročit.
Počáteční jistina je 100 000 Kč. Pololetní úroková sazba = 5 %. Peníze jsou v bance uloženy na 1 rok. Spočítejte konečnou jistinu po uplynutí roku. Úrok 1 (za 1. pololetí) = 100 000/100 * 5 * 180/360 = 2500 Kč KJ 1 = 100 000 + 2500 = 102 500 Kč Úrok 2 = 102 500/100 * 5 * 180/360 = 2 563 Kč KJ 2 = 102 500 + 2 563 = 105 063 Kč - Pokud pravidelně spoříme stále stejnou částku, mluvíme o anuitním spoření a vložené peníze se mi zúročí anuitně. Jak se stanoví úrokové sazby - Banky při stanovení svých úrokových sazeb berou v potaz nabídku a poptávku, sazby konkurence, sazby centrální banky i své náklady. - Důležitým faktorem při stanovení výše úrokových sazeb je inflace. Víme, že inflace znehodnocuje vklady a úvěry. Banky proto při růstu inflace zvyšují úroky z úvěrů a zároveň i úroky z vkladů, aby se hodnota úspor nesnižovala a nedocházelo tak k jejich vybírání. - Vzhledem k těmto faktorům jsou úrokové sazby stanoveny jako: Pevné - sazba z vkladu (nebo úvěru) je stejná po celou dobu - např. 10 % p. a. Pohyblivé - úrokové sazby platí pro určitou dobu a banka si ponechává právo je v době trvání vkladu (nebo poskytnutí úvěru) změnit. Jestliže se změní situace (např. vzroste inflace, zesílí konkurence), banka sazby upraví. - Pro zjednodušení úprav pohyblivých sazeb banky někdy navážou úrokové sazby na určitou proměnnou sazbu - např. základní sazba nebo referenční sazba. V tom případě mají vklady a úvěry úrokovou sazbu stanovenou jako základní sazbu, k níž se přičítá nebo odečítá určité %. Jestliže se proměněná sazba změní, jednorázově dojde ke změně v úročení těch vkladů (a úvěrů), kterou jsou na ni navázány. Banka vyhlásí 1. 3. tyto podmínky: základní sazba 5 % p. a., sazba pro sedmidenní vklad ZS - 3 %, sazba pro roční úvěr ZS + 4, 5 %. Znamená to, že od 1. 3. zákazník za svůj sedmidenní vklad obdrží úrokovou sazbu 2 % a za úvěr bude považována sazba 9,5 %. V důsledku růstu inflace banka zvýší od 1. 11. základní sazbu na 7 %. Náš sedmidenní vklad bude rázem od tohoto dne úročen 4 % a za úvěr budeme platit 11,5 %. 1. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ Výpočty úroků z vkladů Počáteční jistina úroková počet dní Úrok = 100 * sazba * 360 Počet dnů = (měsíc ukončení vkladu - měsíc uložení peněž) * 30 + (den v měsíci ukončení vkladu - - den v měsíci uložení peněz) Uložili jsme 100 000 Kč 6. 4. při úrokové sazbě 1 % a vybrali jsme je 15. 11. včetně úroku. Počet dnů = (11-4) * 30 + (15-6) = 219 dnů Úrok = 100 000/100 * 1 * 219/360 = 608 Kč Celková částka = 100 000 + 608 = 100 608 Kč
Z našeho vypočteného úroku tedy srazíme 15 % daň. Výpočet provedeme odečtením daně. 608-608 * 0,15 = 517 Kč. Ke stejnému výsledku dojdeme i výpočtem čistého úroku 608 * 0,85 = 517 Kč. Pan Malíř prodal automobil za 125 000 Kč. Nové auto bude k dispozici až za 3 měsíce, a tak na tuto dobu peníze uloží při úroku 2,5 % p. a. vypočtěte, jakou částku obdrží při výběru - tj. po zdanění. Úrok = 125 000/100 * 2,5 * 90/360 = 781,25 Kč Srážková daň = 781 * 0,15 = 664 > 125 000 + 664 = 125 664 Kč. Závěr k jednoduchému úročení 1. Díváme se z přítomnosti do budoucnosti 2. Známe PJ a hledáme konečnou 3. Jedná se o jednorázový vklad 4. Tento vklad se úročí pouze 1 období 5. Velikost PJ se nemění 6. Úročí se pouze jistina 2. SLOŽENÉ ÚROČENÍ KJ = počáteční jistina * úročitel Úročitel = 1 + 100 - Použijeme ho v případě, že máme prostředky na více období - Vzniklé úroky nevybíráme, ty se stávají součástí vkladu, mění nám tak počáteční jistinu a úročí se vznikají tak úroky z úroků Spočítejte, kolik si odnesete z banky peněz po třech letech, při úrokové sazbě 2 % p. a. s PJ 100 000 Kč. Úroky se připisují ročně. Včetně i bez srážkové daně. Úročitel = (1 + 2/100) 3 = 1,061208 KJ = 100 * 1,061208 = 106 120,8 Kč Čistá úroková sazba = 2 * 0,85 = 1,7 Úročitel = (1 + 1,7/100) 3 = 1,051871913 KJ = 105 187,19 s daní ( pro podnikatele) bez daně (pro domácnosti) Paní Skálová vyhrála v televizní soutěži 320 000 Kč. Tyto peníze chce věnovat vnoučatům, až jim bude 18 let. Uloží proto tyto peníze na 4 roky při úrokové sazbě 3 % p. a. Vypočítejte, jakou částku budou mít vnoučata poté k dispozici. a) se zahrnutím daně úročitel = (1 + 3/100) 4 = 1,12550881 KJ = 320 000 * 1,12550881 = 360 163 Kč b) bez zahrnuté daně čistá úroková sazba = 3 * 0,85 = 2,55 % KJ = 353 910 Kč Úročitel = (1 + 2,55/100) 4 = 1,105968
Závěr k složenému úročení 1. Díváme se z přítomnosti do budoucnosti 2. Známe PJ a hledáme KJ 3. Jedná se o jednorázový vklad 4. Máme více období, ve kterých dochází k úročení 5. Velikost PJ se mění o připsané úroky 6. Úročí se PJ i připsané úroky 2. ANUITNÍ ÚROČENÍ KJ = anuita * střadatel Střadatel = 1 + 100-1 100 Na konci roku Ukládání na začátku roku Střadatel = 1 + 100-1 1 + 100 * 100 Předpokládejme, že chceme po 3 roky každoročně na začátku roku ukládat 20 000 Kč ode Komerční banky. Když použijeme výňatek z podmínek KB, pak bychom měli vybrat spořící účet, který nám umožní průběžně přikládat peníze. Zvolíme si vhodnou výpovědní lhůtu, nejvýše roční, protože ukládáme ročně. Při roční výpovědní lhůtě činí úroková sazba 2,3 % p. a. Po 3 letech tedy budeme mít 20 000 * 1,023 * (1,07059917-1)/0,023 = 62 803 Kč. Zdanění úroku - Výpočet bude stejný jako v případě složeného úročení. To znamená, že úrokovou sazbu snížíme o daň. Když v předchozím příkladu započteme daň, pak po 3 letech budeme mít 20 000 * 1,01955 * (1,05980408-1)/0,01955 = 62 377 Kč. Jak snadno posoudit, zda naše vklady neukrajuje inflace - Už dříve jsme si řekli, že naše vklady ukrajuje i inflace. Snížíme-li úrokovou sazbu, kterou nabízí banka, o míru inflace, dostaneme tzv. reálnou úrokovou sazbu. Ta nám zjednodušeně ukáže, zda se naše vklady zhodnotily nebo znehodnotily. V roce 2009 činila srážková daň z úroků 15 %, úroková sazba 1 % p. a. a míra inflace 2,8 %. Hrubá úroková sazba je 1 %, čistá úroková sazba 0,85 % a reálná úroková sazba pak 0,85-2,8 = - 1,95 %. Dopadli jsme tedy špatně, reálná hodnota našich úspor se snížila Závěr k anuitnímu úročení 1. Díváme se z přítomnosti do budoucnosti 2. Známe PJ a hledáme KJ
3. PJ není jednorázovým vkladem, ale pravidelně a postupně ukládáme tzv. anuity 4. PJ se mění o vloženou anuitu a o připsané úroky 5. K úročení dochází ve více obdobích 6. Úročí se i úroky z úroků - Obecně při úročení vždy hledáme budoucí hodnotu peněz (konečnou jistinu). Nezapomeneme uplatnit srážkovou daň, pokud se jedná o FO (domácnost). 1. Jak velký počáteční vklad vzroste při 2 % úrokové sazbě p. a. od 12.4. do 24.6. o 1500 Kč. Jedná se o jednoduché úročení, budeme hledat počáteční jistinu (otočení operací) Počet dnů = (6-4)*30+(24-12)=60+12=72 Úrok = počáteční jistina/100 * 2 * 72/360 1500 = p. j./100 * 0,4 /*100 1500 * 100 = p. j. * 0,4 (1500*100)/0,4 = p. j. 375 000 = PJ 2. Po jakou dobu byl uložen vklad 3960 Kč, jestliže vzrost při úrokové sazbě 2 % p. a. připsáním úroků na konci období na 4000 Kč? Úrok = PJ/100 * 2 * počet dní/360 40 = 3960/100 * 2 * počet dní/360 /*360 360*40 = 79,2 * počet dní /:79,2 14400/79,2 = počet dní 182 = počet dní 3. Pan Vlček pronajal na 4 roky byt a vždy na začátku roku obdrží nájemné 60 000 Kč. Toto nájemné ukládá do banky, kde se úročí sazbou 2 % p. a. Vypočtěte, kolik bude mít pan Vlček po 4 letech uloženo. A je to fyzická osoba, takže započtěte daň. pozn. anuitní spoření, musíme se rozhodnout pro střadatele střadatel = (1 + 1,7/100) * (1+1,7/100) 4-1/1,7/100 = (1+0,017)* (1+0,017) 4-1/0,017 = 1,017 * 1,06973736 + 1/0,017 = 1,017 * 0,0069753736/0,017 = 1,017 * 4,103160941 = 4,172914677 KJ = 60 000 * 4,172914677 = 250 375 Kč 4. Navážeme na uvedenou úlohu s paní Skálovou. Ta vyhrála v televizní soutěži 320 000 Kč a uložila je na 4 roky při úrokové sazbě 3 % p. a. Roční průměrná míra inflace byla 2,2 %. Zjistěte s pomocí reálné úrokové sazby, zda učinila dobře. Hrubá úroková sazba = 3 % Čistá úroková sazba = 2,25 % Reálná úroková sazba = 2,55-2,2 = 0,35 % Diskontování (= odúročení) - Hledáme současnou hodnotu peněz, tedy počáteční jistinu, budoucí hodnotu peněz už známe. Ptáme se, co musím udělat dnes, abych v budoucnu dosáhla požadovaného cíle hodnoty. (Konečné jistiny) - Díváme se tak z budoucnosti do přítomnosti - Konečnou jistinu musíme snižovat o připsané úroky - Nebereme v úvahu ani inflaci ani zdanění - Typickým příkladem diskontování je eskont směnky
1. JEDNODUCHÉ (= v jednom období) DISKONT = KJ/100 * ú. s. * počet dní/360 Počet dní = viz sešit PJ = KJ - diskont (součastná hodnota = budoucí hodnota - diskont - Vracíme se z budoucnosti do současnosti. Hledáme počáteční jistinu ve formě jednorázového vkladu. - K odúročení dojde pouze v jednom období. - Odúročíme pouze konečnou jistinu. 2. SLOŽENÉ (= ve více obdobích) - Při tomto typu musíme odúročit i úroky z úroků, které byly postupně připisovány ve více obdobích 1 ODÚROČITEL = 1 + 100 Součastná hodnota = konečná částka (jistina) * odúročitel Za 5 let chceme mít k dispozici 1 000 000 Kč. Tyto prostředky můžeme vložit do podílových listů s odhadovaným ročním výnosem 4 %. Chceme vědět, za jakou částku máme takové podílové listy koupit. K tomu využijeme výpočet současné hodnoty. Současná hodnota = 1000 000 * 1/(1+ 4/100) 5 = 821 927 Kč Závěr k diskontování 1. Díváme se z budoucnosti do přítomnosti, hledáme tak počáteční jistinu (současnou hodnotu peněz) 2. Jistina má podobu jednorázového vkladu 3. Budeme muset odúročit nejen jistinu, ale i připsané úroky Umořování (= postupné splácení) - Jedná se o situaci, kdy nám banka poskytla úvěr a my se ptáme jak velkou pravidelně splácenou částkou ho vyrovnáme - splatíme - Hledáme tedy výši anuity. Anuita v sobě obsahuje nejen splátku úvěru ale i úroky. Roční splátka = velikost úvěru * umořovatel ÚS 100 Umořovatel = 1 0 1 - ÚS 1+ 100
Podnikatel si vypůjčil 800 000 na 4 roky. Úvěr bude splácen pravidelnými měsíčními splátkami. úroková sazba je 15 % p. a. 1) roční splátka = 800 000 * 0,3502653 = 280 212,24 2) měsíční splátka = 280 212,24 : 12 = 23351 3) celkem zaplaceno včetně úroku = 280 212,24 * 4 = 1 120 848,96 4) úrok za 4 roky = 1120848-800 000 = 320 848 umořovatel = 0,15/1-1/1,7490 = 0,15/1-0,57176 = 0,15/0,42824755 = 0,3502653 Podnikatel si vypůjčil 500 000 Kč na 3 roky při úrokové sazbě 12 %. Vypočtěte, nejlépe s pomocí internetu: a) výši měsíční splátky b) celkovou částku, kterou podnikatel vrátí, c) celkovou výši úroků za dobu úvěrování roční splátka 500 000 * 0,41638 = 208190 měsíční = 208190/12 = 17 349,1 celkem zaplaceno = 208190 * 3 = 624 570 Chci koupit nové auto za 405 000 Kč. K dispozici mám svých 90 000 Kč, které jsem získala za prodej starého auta. Banka mi nabízí úvěr se splatností 5 let a úrokovou sazbou 15 % p. a. Mám úvěr přijmout, když vím, že mohu měsíčně maximálně splácet 7000 Kč? 405 000-90 000 Roční splátka = 93 969,54 7830,8 měsíčně Umořovatel = 15/100 / 1-1/(1+15/10) 5 = 0,15 / 1-1/2,011357 = 0,15 / 1-0,497177 = 0,15/0,502823 = 0,298136 Mohu splatit = 84 000 ročně Úvěr nepřijímat! Půjčku si vzít nemohu, chybí mi 831 Kč. Jak velkou částku je třeba uložit na účet s úrokovou sazbou 0,5 % p. a., aby na něm po třech letech bylo 100 000 Kč. Odúročitel = 1/ (1+ 0,5/100) 3 = 1/1,01508 = 0,985144 Součastná hodnota = KJ * odúročitel = 100 000 * 0,985144 = 98514,4 Chceme uložit 450 000 na dobu 2 let na termínovaný účet s úrokovou sazbou 2,3 % p. a. Kolik si vybereme po uplynutí doby? (složené úročení, musíme znát srážkovou daň) Úročitel = (1 + 2,3/100) 2 Čistá úroková sazba = 2,3 * 0,85 = 1,955 % Úročitel = (1 + 1,955/100) 2 = 1,01955 2 = 1,039482203 KJ = 450 000 * úročitel = 467 767 Kč