Vícekriteriální hodnocení variant úvod Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010
Vícekriteriální hodnocení variant (VHV) VHV je kapitola z vícekriteriální optimalizace. Vícerkriteriální optimalizace metody, pomocí nichž hledáme optimální volbu z hlediska více kritérií při daných omezeních mluvíme o kompromisní variantě. VHV máme předem dán výčet všech možných (přípustných) variant. A jsme schopni vytvořit rozhodovací matici R, v níž řádky jsou tvořeny variantami a sloupce jednotlivými kritérii. Hodnota prvku r ij udává ohodnocení i. varianty podle j. kritéria.
Příklad VHV Uvažujeme o koupi stanu. Vybrali jsme si tedy čtyři typy stanů, které se nám líbili a o těch jsme si zjistili následující údaje: Produkt váha V. sloupec Experta cena Typ 1 2,4 kg 1200mm 3 3990 Kč Typ 2 2,5 kg 1600mm 2 4500 Kč Typ 3 2,7 kg 1500mm 2 4700 Kč Typ 4 3,5 kg 400mm 5 1990 Kč Typ 5 3 kg 1000mm 4 2500 Kč Na základě této tabulky tedy sestavíme následující kriteriální matici.
Kriteriální matice R = 2,4 1200 3 3990 2,5 1600 2 4500 2,7 1500 2 4700 3,5 400 5 1990 3 1000 4 2500 (1) Tato kriteriální matice má pět řádků a pět sloupců (obecně se samozřejmě počet sloupců a počet řádků liší počet řádků udává počet hodnocených variant, počet sloupců počet hodnotících kritérií). Prvek r ij nám vždy udává ohodnocení i. stanu podle j. kritéria.
Existence kompromisního řešení Existence přípustného řešení Stejně jako v případě jakékoliv optimalizace, zde je první otázkou, zda existuje tzv. přípustné řešení. Přípustné řešení je takové, které splňuje zadané podmínky. Poněvadž u VHV ve většině případů rovnou dostáváme (neprázdný) seznam přípustných variant, tyto varianty jsou přípustným řešením. Existence kompromisního řešení Existuje-li přípustné řešení, potom již existuje kompromisního řešení VHV.
Neexistuje jedno jediné správné řešení Narozdíl od většiny ostatních matematických metod používaných v ekonomii, v této problematice (až na výjimky) neexistuje jednoznačné řešení. Jednoznačné řešení v tom slova smyslu, že neexistuje jediná varianta, která je nejlepší. Výsledek volba kompromisní varianty je zde velmi ovlivněna například volbou metody, volbou případného normování a volbou vah.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Přesto, že obecně neexistuje jednoznačné řešení VHV a použití různých metod a různých vah může vést k různým výsledkům, přesto není každá přípustná varianta možným výsledkem. Aby námi zvolená metoda poskytovala správné výsledky klademe na používané metody následující požadavky.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Nedominovanost Výsledná varianta musí být nedominovaná. Řekneme, že varianta A je dominovaná (variantou B), pokud k ní existuje nějaká jiná varianta B, která je ve všech kriteriích lepší nebo stejná než varianta A a v alespoň jednom kritériu je varianta A lepší naž varianta B. Varianta A je nedominovaná, pokud neexistuje varianta, která by ji dominovala, tedy varianta A není dominovaná žádnou jinou variantou.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Poznámka Z popsaného je zřejmé, že nelze nikdy zvolit dominovanou variantu jako kompromisní. Poněvadž, kdybychom ji zaměnili za její dominující variantu, potom dostaneme z hlediska všech kritérií řešení stejné nebo dokonce lepší než v případě dominované varianty.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Determinovanost Požadujeme, aby metoda při jakémkoliv zadání našla nějaké řešení. Jednoznačnost Metoda by měla být taková, aby po nastavení parametrů (vah) dávala jednoznačné řešení.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Invariance vůči pořadí kritérií a variant. Volba výsledné kompromisní varianty by neměla záviset na původním seřazení variant ani na seřazení kriterií tzv. invariance vůči pořadí. Poznámka Tato velmi jednoduchá podmínka nám vlastně říká, že například výsledek konkurzu nesmí záviset na tom, zda si pro hodnocení seřadíme nabídky podle abecedy (názvy dodavatelů) nebo podle data přijaté nabídky, apod. Také, že musíme dostat stejný výsledek, ať kritéria, která uvažujeme seřadíme například podle abecedy či náhodně.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Invariance vůči jednotkám, ve kterých uvádíme hodnoty kritérií. Volba výsledné varianty by neměla záviset na jednotkách, ve kterých jsou zadány hodnoty jednotlivých kritérií invariance vůči zvolenému měřítku. Budeme-li například zadávat cenu jednotlivých variant, výsledek mého rozhodování nesmí ovlivnit, zda tuto cenu zadáváme v korunách, eurech či tisících liber.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Invariance vůči přidaným neoptimálním hodnotám. Volbu výsledné varianty by nemělo ovlivnit ani přidání nějaké dominované (nebo obecněji neoptimální) varianty do výběru. Tedy metoda by měla mít stejný výsledek bez ohledu na to, zda se mezi původními vyskytují jakékoliv dominované varianty či z jak širokého výběru volím.
Základní vlastnosti řešení vícekriteriální optimalizace Spravedlivost. Metoda by měla být taková, aby bylo možné nastavením jejích parametrů (například nastavením vah) zvolit jako kompromisní řešení každé z nedominovaných řešení. Až budeme v dalším textu popisovat jednotlivé metody vícekriteriální optimalizace, vždy zmíníme, které z těchto podmínek splňují, či naopak, které nesplňují. Nyní si uveďme pouze příklad dominované varianty.
Příklad dominovanost zadání Uvažujme, že mladá rodina se rozhoduje, do kterého z jihočeských měst se nastěhuje. Jako kritéria si zvolila kulturu, šanci získat zaměstnání, vzdělání a zdravotnictví. Na internetu si našla informace k následujícím třem městům: Soběslav KULTURA Společenské centrum, Knihovna, Kino, Kostel. ZAMĚSTNÁNÍ Šance získat zaměstnání přímo ve městě, popřípadě v Táboře dobrá dopravní dostupnost. VZDĚLÁNÍ MŠ 2, ZŠ 3, SOU 3, SŠ. ZDRAVOTNICTVÍ Poliklinika, lékárny 3.
Příklad dominovanost zadání udějovice Chýnov KULTURA Divadelní scény 9, Kina 3, Galerie 27, Muzea 5, KD 4, Hudební scény 7, Výstaviště 1, Knihovny 5, Vzdělávací centra 7, Kostely 16, Hvězdárna a planetárium. ZAMĚSTNÁNÍ Přímo ve městě. VZDĚLÁNÍ MŠ 22, ZŠ 14, SŠ 10, VOŠ 6, VŠ 3, školní jídelny 2, Dům dětí (volný čas) 10. ZDRAVOTNICTVÍ Nemocnice, Poliklinika 6, Lékárny. KULTURA Kostel, Jeskyně, Knihovna. ZAMĚSTNÁNÍ V Táboře dobrá dopravní dostupnost. VZDĚLÁNÍ MŠ, ZŠ. ZDRAVOTNICTVÍ Zdravotní středisko, lékárna.
Příklad dominovanost závěr České Budějovice dominují Soběslav Hodnotíme pouze podle čtyř zadaných kritérií, přičemž se uvažujeme, že čím více kulturního vyžití, čím více možností vzdělávání a čím dostupnější zdravotní péče, tím lépe. Zároveň čím větší šance získat zaměstnání přímo ve městě, tím lépe. V takovém případě je Soběslav dominována Českými Budějovicemi. Nebo-li České Budějovice dominují Soběslav. V Českých Budějovicích je totiž vše, co je v Soběslavi a v každém bodě ještě něco navíc. Přičemž v Českých Budějovicích je jistota práce v místě, v Soběslavi, pouze vysoká pravděpodobnost.
Příklad dominovanost závěr Je Chýnov dominovaný? A tedy za daných podmínek se již budeme rozhodovat pouze mezi Chýnovem a Českými Budějovicemi. Zda budeme považovat i Chýnov za dominovaný Českými Budějovicemi, závisí na konzultaci se zadavatelem. Zda preferuje nabízené kulturní možnosti Chýnova nebo nabízené kulturní možnosti Českých Budějovic (České Budějovice nenabízejí jeskyně). Ve všech ostatních kritériích, opět vítězí České Budějovice nad Chýnovem (podle zadaných parametrů).
Ideální a bazální varianta Ve VHV se velmi často používá pojem ideální, resp. bazální varianta. Jedná se o hypotetické varianty, které nabývají nejlepších, resp. nejhorších hodnot z nabízených. To znamená, že ideální variantou je hypotetická varianta, která v každém kritériu nabývá nejlepší možné hodnoty, podobně bazická varianta je varianta, která má v každém kritériu nejhorší možnou hodnotu.
Ideální a bazální varianta příklad Ideální a bazální variantu můžeme snadno ilustrovat na příkladu koupě stanu. Máme-li zadanou kriteriální matici, a víme-li, která kritéria jsou minimalizační a která maximalizační, potom ideální varianta má v minimalizačním kritériu hodnotu minima ze sloupce a v maximalizačním hodnotu maxima ze sloupce (nejlepší hodnotu ze sloupce), u bazické varianty je to naopak (nejhorší varianta ze sloupce).
Ideální a bazální varianta příklad Produkt váha VS Expert cena Typ 1 2,4 kg 1200mm 3 3990 Kč Typ 2 2,5 kg 1600mm 2 4500 Kč Typ 3 2,7 kg 1500mm 2 4700 Kč Typ 4 3,5 kg 400mm 5 1990 Kč Typ 5 3 kg 1000mm 4 2500 Kč ideální 2,4 1600mm 2 1990 bazální 3,5 400mm 5 4700
Ideální a bazální varianta příklad Všimněme si, že ideální a bazální varianta jsou skutečně pouze hypotetické, ve skutečnosti (ve většině případů) neexistují. Kdybychom náhodou měli analýzu, v níž by se nám stalo, že ideální varianta existuje, potom již nemusíme nic analyzovat, neboť v takovém případě tato ideální varianta dominuje všechny ostatní varianty a je tedy jediným možným řešením úlohy. Naopak, pokud by existovala bazální varianta, potom bychom tuto variantu mohli vyřadit z analýzy neboť by byla všemi ostatními variantami dominovaná.
Ideální a bazální varianta příklad s rodinou Poznámka Pokud bychom chtěli stanovit ideální a bazální variantu v příkladu s rodinou, která hledá bydlení, museli bychom s touto rodinou prokonzultovat, která z nabízených možností v jednotlivých kritériích je pro ně nejlepší a která nejhorší a na tomto základě bychom určili ideální a bazální variantu.