Diplomová práce. Heuristické metody pro vícekriteriální analýzu

Transkript

1 Diplomová práce Heuristické metody pro vícekriteriální analýzu vypracoval: Jaroslav Smrž vedoucí práce: doc. RNDr. Jindřich Klapka, CSc. obor: Inženýrská informatika a automatizace specializace: Informatika 2006

2

3 Strana 3 ZADÁNÍ ZÁVĚREČNÉ PRÁCE (na místo tohoto listu vložte originál a nebo kopii zadání Vaš práce)

4

5 Strana 5 ANOTACE Tato diplomová práce se zabývá metodami vícekriteriální analýzy a optimalizace. Metody vícekriteriální analýzy jsou jednou z oblastí rozsáhlého výzkumu v optimalizaci za posledních 20 let. Nejprve si představíme obecně vícekriteriální analýzu, její teorii a vybrané metody. Dále presentujeme metodu pro vícekriteriální výběr projektů J. Klapky, P. Piňose a její speciální případ - metodu T. J. Stewarta. Tento algoritmus potom otestujeme a srovnáme s alternativními způsoby výpočtu. ANNOTATION This thesis deals with the implementation of Multicriteria Decision Support. Multicriteria Decision Support has been one of the most active research areas in optimization for the past 20 years. At first we introduce Multicriteria Decision Support in general, theory and selection of methods. We also present original implementation of method for multicriteria selection of projects by J. Klapka, P. Piňos and special case of this method - method by T. J. Stewart. We test the algorithm and confront it with alternative ways of computation.

6

7 Strana 7 PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu práce, doc. RNDr. Jindřichu Klapkovi, CSc., za cenné rady a připomínky, kterými přispěl k její realizaci.

8

9 Strana 9 Obsah: Zadání závěrečné práce...3 Anotace...5 Poděkování Úvod Základy vícekriteriálního rozhodování Podstata úloh vícekriteriálního rozhodování Prvky vícekriteriálního rozhodovacího procesu Klasifikace rozhodovacích procesů Kritéria Typy škál Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Členění metod podle informací o kritériích Metody s nominální informací o kritériích Metoda stejné důležitosti Metoda aspirační úrovně Metody s ordinální informací o kritériích Lexikografická metoda Metody skalarizace ordinální informace o kritériích Metoda pořadí a bodovací metoda Metody párového porovnání Metoda Fullerova trojúhelníku Saatyho metoda párového porovnání Metoda nejmenších čtverců stanovení vah Metoda logaritmických NČ (Metoda geometrického průmeru) Metody s kardinální informací o kritériích Úvod do metod s kardinální informací o kritériích Standardizace a normalizace Metody založené na funkci užitku Metody založené na párovém porovnání variant Metody vzdálenosti Vícekriteriální programování Metody s informací á posteriori Interaktivní metody Metoda GDF Ziontsova Walleniusova metoda Metoda STEM Steuerova metoda Kombinované metody Vícekriteriální výběr projektů Formulace problému Úprava zadání Implementace hierarchických závislostí do programového systému Optimalizace a dialog Numerický příklad Vliv zdrojových omezení na výběr projektů Algoritmus výpočtu Metoda efektivního gradientu Uvažování zdrojových omezení...48

10 Strana 10 Poděkování 5.1 Numerický příklad Experiment Závěr...59 Seznam použité literatury...61

11 Strana 11 1 ÚVOD Rozvoj výpočetní techniky a zejména rozšíření osobních počítačů, které jsou dnes přístupné prakticky každému, vytváří zcela novou situaci ve využití formalizovaných přístupů v rozhodovacích situacích manažerů malých a středních podniků, běžných zákazníků a vlastně i obyčejných občanů v běžném životě, např. v domácnosti. Osobní počítač vybavený vhodným programem, dovoluje smysluplné využití v oblasti, která byla dříve doménou ústavů a velkých podniků, totiž v oblasti počítačové podpory rozhodování. Aplikační sféra se takto rozšiřuje z rozhodovacích problémů celospolečenského významu na individuální problémy menších rozměrů malých firem i jednotlivců, např. výběr nejvhodnějšího osobního automobilu nebo jiného nákladnějšího přístroje pro firmu i pro domácnost, výběr vhodné rodinné dovolené, školy ke studiu, způsobu uložení peněz apod. Rozhodovací úlohy, v nichž se důsledky rozhodnutí posuzují podle více kritérií, se nazývají úlohami vícekriteriálního rozhodování, někdy se překládá výraz vícekriteriální jako multikriteriální z anglického multicriterion. Vícekriteriální rozhodování je obor lidské činnosti analyzující rozhodování lidí a to v nejrůznějších oblastech lidské činnosti. 1.1 Základy vícekriteriálního rozhodování Vícekriteriálnost představuje podstatný rys rozhodování jak ve sféře ekonomické, tak sociální, politické, vojenské apod. Rozhodovacími procesy se nejčastěji rozumí řešení problémů s více než jednou možností řešení. Řešením vícekriteriální rozhodovací úlohy se rozumí postup, který vede k nalezení optimálního stavu systému vzhledem k více než jednomu uvažovanému kritériu. Takový postup se nazývá rovněž vícekriteriální optimalizace. Vzájemně provázané činnosti tvořící náplň rozhodovacích procesů lze charakterizovat jednotlivými složkami (prvky, fázemi, etapami apod.). 1.2 Podstata úloh vícekriteriálního rozhodování Rozhodnutím zde rozumíme vybrání jedné varianty ze seznamu v dané situaci potenciálně realizovatelných variant na základě většího množství kritérií. Vedle seznamu kritérií nepřímo formulujících cíl rozhodovací analýzy je nutné mít k dispozici i seznam (množinu) variant, z nichž rozhodnutí vybíráme. Případy, kdy je k dispozici jednoznačně definovaný seznam potenciálních variant jsou spíše výjimkou než pravidlem. Tento seznam může být zadán explicitně, jako výčet konečného počtu možností, nebo implicitně specifikací podmínek, které musí rozhodovací varianta splňovat, aby mohla být považována za přípustnou. Ani v této etapě rozhodovacího postupu se zpravidla nelze vyhnout subjektivním vlivům případně i zjišťování mínění expertů či zadavatele úlohy. Je-li k dispozici seznam kritérií i seznam rozhodovacích variant, je nutné podrobněji uvážit, jaku formu by konečné rozhodnutí mělo mít. Trváme-li na tom, že je skutečně nutné vybrat jedinou optimální variantu určenou k realizaci, měli bychom si připustit, že v typických případech chceme z nespolehlivých a nedostatečných informací vytěžit něco, co v nich téměř jistě není obsaženo. Speciálním případem takto formulované úlohy je požadavek, abychom seřadili rozhodovací varianty podle pořadí v souladu s tím, jak se přibližují k představě varianty optimální. 1.3 Prvky vícekriteriálního rozhodovacího procesu Prvky vícekriteriální rozhodovací soustavy jsou zejména : cíl rozhodování, subjekt a objekt rozhodování, kritéria, varianty, stavy světa. Cílem rozhodování rozumíme určitý budoucí stav systému vyplývající z nutnosti uspokojit

12 Strana 12 1Úvod určité potřeby nebo plnit jisté funkce. Cíle se má dosáhnout realizací některé z variant rozhodování. Cíl rozhodování se obvykle hierarchicky rozkládá do dílčích cílů, které se transformují do podoby rozhodovacích kritérií. Rozhodovací kritéria mohou mít různou podobu od fyzikálních, technických nebo technologických měřitelných vlastností, přes ekonomická kritéria vyjadřovaná peněžitými jednotkami až k neměřitelným subjektivním kritériím typu krása, vůně, morálka aj. Někdy u kritérií dále rozlišujeme, zda existují nezávisle na naší vůli v tom případě se jedná o charakteristiky, eventuálně vlastnosti, jindy kritéria úmyslně vytváříme pak hovoříme o atributech. V této kapitole se nebudu podrobnějšímu členění kritérií věnovat, k tomuto tématu se vrátím v pozdějších kapitolách. Prozatím vystačíme s obecným pojmem kritérium, které můžeme interpretovat jako určité hodnotící hledisko, jež bereme v úvahu při rozhodování. Základem pro stanovení souboru kritérií je soubor dílčích cílů řešení rozhodovacího problému. Některé dílčí cíle se však netransformují do podoby kritérií, nýbrž do omezujících podmínek k redukci souboru rozhodovacích variant. Variantami mohou být nejrůznější prvky, které má smysl vzájemně porovnávat, nebo, v užším kontextu, přicházejí v úvahu pro výběr v určitém procesu rozhodování. Například zákazník se rozhoduje při koupi mezi výrobky určitého typu (automobily, počítače aj.), ředitel podniku rozhoduje mezi různými perspektivními výrobními programy, různými variantami marketingových strategií, různými kandidáty na řídicí funkce v podniku apod. Subjektem rozhodování může být jednotlivec nebo skupina jednotlivců (podnik, instituce apod.), která rozhoduje. Protipólem subjektu rozhodování je objekt rozhodování, který představuje systém, v němž je formulován rozhodovací problém, cíl, kritéria i varianty rozhodování. Důsledky variant vyjádřené jako hodnoty kritérií jsou jednoznačné, nebo závisejí na stavech světa. Ty jsou chápány jako vzájemně se vylučující stavy té části okolí rozhodovacího systému, která je mimo kontrolu rozhodovatele. Náhodné faktory okolí se obvykle považují za náhodné veličiny určující stavy světa. Problémem vícekriteriálního rozhodování (za jistoty) zde rozumíme úlohu nalezení optimální varianty, která by v co možná největší míře zohledňovala uvažovaná kritéria (dílčí cíle). Pojmy uvedené v uvozovkách prozatím chápeme intuitivně, jejich význam bude upřesněn na příslušném místě později. Obecný postup při řešení problému vícekriteriálního rozhodování rozdělíme do 4 kroků : 1. Stanovení cíle rozhodování. 2. Vyčlenění množiny variant A={a 1, a 2,,a n } a vyčlenění množiny kritérií C={ f 1, f 2,, f m }. 3. Dílčí vyhodnocení všech variant podle jednotlivých kritérií. 4. Agregace dílčích hodnocení do výsledného celkového hodnocení a výběr optimální varianty. 1.4 Klasifikace rozhodovacích procesů Jedno z nejdůležitějších hledisek při klasifikaci rozhodovacích procesů představuje informace o stavech světa a důsledcích variant vzhledem k jednotlivým kritériím. Tato informace může být buď úplná (deterministická) vzhledem k jednoznačnosti stavů světa a hodnot kritérií jednotlivých variant, nebo neúplná, náhodná (stochastická). V prvním případě hovoříme o rozhodování za jistoty, ve druhém případě o rozhodování za rizika, nebo rozhodování za nejistoty. Přitom rozhodování za rizika odlišujeme od rozhodování za nejistoty podle toho, zda známé příslušné pravděpodobnostní rozdělení, nebo jej alespoň v principu můžeme zjistit. Pokud rozdělení pravděpodobnosti neznáme a nelze jej ani zjistit, jedná se o rozhodování za nejistoty. 1.5 Kritéria Každé vybrané kritérium slouží v rozhodovací úloze k tomu, abychom dané varianty podle něj vyhodnocovali, eventuálně porovnávali či uspořádali. Jakým způsobem budeme toto porovnávání uskutečňovat závisí na povaze každého kritéria. Z čistě formálního hlediska můžeme každé kritérium v našem rozhodovacím problému ztotožnit s určitým zobrazením f množiny variant A do jiné

13 1Úvod Strana 13 množiny S nazývané stupnice (škála), zapsáno matematicky : f : A S. Ohodnocení varianty a A podle kritéria f je obraz varianty a při zobrazení f, označujeme jej symbolem f a, přičemž f a S. Důležitý je v této souvislosti fakt, že jednotlivá ohodnocení různých variant lze mezi sebou porovnávat, což jinak řečeno znamená, že škála S má některé vlastnosti uspořádané množiny. V závislosti na těchto vlastnostech uspořádání rozlišujeme několik typů škál (stupnic). K vysvětlení této problematiky budeme potřebovat si ujasnit, co rozumíme pod pojmem uspořádaná množina, kterýžto pojem je dále založen na pojmu relace. Nechť S je množina, S S je kartézský součin, tj. množina všech dvojic u, v, u S, v S. Podmnožina R S S se nazývá relace na S. Jsou-li dva prvky u, v S spolu v relaci R, označujeme to takto: u, v R nebo urv. Relace R na množině S se nazývá : reflexivní, jestliže platí: uru pro každé u S, symetrická, jestliže platí: u S, v S, urv potom vru, antisymetrická, jestliže platí: u S,v S, urv, vru potom u=v, tranzitivní, jestliže platí: u S, v S, w S, urv, vrw potom urw, úplná, jestliže platí: u S, v S potom urv anebo vru. Relace R na množině S se nazývá částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Relace R na množině S se nazývá uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná. Relace R na množině S se nazývá částečné kvaziuspořádání, jestliže je reflexivní a tranzitivní. Relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, jestliže je reflexivní, tranzitivní a úplná. Nechť R je relace na S. Preferenční relaci P na S k relaci R definujeme takto: upv právě když u R v v R u. Indiferenční relaci I na S k relaci R definujeme takto: uiv právě když u R v v R u. Relaci R lze vyjádřit pomocí preferenční a indiferenční relace: Mějme u S, v S, potom u R v právě když u P v nebo u I v. Tento fakt vyjadřujeme zkráceně zápisem R= P, I. Mějme kritérium f, tj. zobrazení množiny variant A do množiny S, f : A S, a nechť R je relace na S. Relace na A indukovaná kritériem f je definováno takto: Nechť a,b A, potom a b právě když f a R f b. Nechť R je relace na S, f : A S. Jestliže R je (částečné) uspořádání na S, potom relace indukovaná kritériem f je (částečné) kvaziuspořádání na A. Kritérium f a relace uspořádání na škále S umožňují definovat (indukovat) příslušné (částečné) kvaziuspořádání také na množině variant A. Přitom některé varianty mohou být ohodnoceny stejně, a proto pro relaci neplatí podmínka antisymetrie. Jinak řečeno, pomocí kritéria f můžeme varianty z množiny A vyhodnocovat, tj. uspořádat (seřadit), tak jak nám to dovoluje relace na škále S. Provedeme-li rozklad relace na relaci preference P a indiference I, pak různě hodnocené varianty z A jsou v relaci P, zatímco stejně ohodnocené varianty jsou společně v relaci I. 1.6 Typy škál Nominální škála S nemá vlastnost uspořádání, tj. není na ní definována žádná relace. Ohodnocení varianty a A podle kritéria f označuje variantu a pouze jejím jednoznačným jménem f a S, což znamená, že zobrazení f musí být prosté (jednoznačné). Kritérium f : A S nazýváme nominální, jestliže f je prosté a S je nominální škála.

14 Strana 14 1Úvod Ordinální škála S je uspořádanou množinou, tj. je na na ní dána relace R, která je relací uspořádání na S. Ohodnocení všech variant f a j S, j=1,2,,n dovoluje varianty a j úplně uspořádat od nejhorší k nejlepší a toto uspořádání je invariantní vůči rostoucímu monotónnímu zobrazení : S S, tj. složené zobrazení f poskytuje stejné uspořádání variant, jako kritérium f. Jestliže tedy f a 1 S, f a 2 S, f a 1 R f a 2, potom platí: f a 1 R f a 2. Kritérium f : A S nazýváme nominální, jestliže f je prosté a S je nominální škála. Kardinální škála S je podmnožinou množiny reálných čísel, tj. S R, včetně jejího přirozeného uspořádaní menší rovno, tj.. Kritérium f : A S nazýváme kardinální, jestliže S je kardinální škála a f je invariantní vůči lineární transformaci x =ax b, a 0. Častým příkladem kardinální škály je jednotkový číselný interval [0,1] R. Kritérium f : A [0,1] nazýváme váhové kritérium, jestliže pro v i = f a i [0,1] platí: m i =1 v i =1. Čísla v i pak nazýváme váhy. Váhy v i můžeme interpretovat jako relativní důležitosti (významnosti) jednotlivých variant a i A vzhledem ke kritériu f. Součet vah je roven 1, proto hodnoty 100 v i lze také interpretovat jako procentuální významnost varianty a i z celkové významnosti všech variant vzhledem ke kritériu f. Uvažujme problém stanovení optimálního rozhodnutí, neboli výběru optimální varianty na základě uvažovaných kritérií. Máme množinu variant A={a 1, a 2,,a n } a množinu kritérií C={ f 1, f 2,, f m }, každé kritérium je reprezentováno zobrazením f i : A S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, potom je relace i indukovaná kritériem f i, kvaziuspořádáním, i=1,2,, m. Jestliže pro kritérium f i a dvě varianty a, b A platí a i b, nebo f i a i f i b, potom říkáme, že podle i -tého kritéria je varianta a je dominována variantou b, nebo, že varianta b dominuje a podle i -tého kritéria. Varianta, která podle i -tého kritéria dominuje všechny ostatní varianty, se nazývá nejlepší variantou podle i -tého kritéria. Varianta, která je dominována všemi ostatními variantami se nazývá nejhorší varianta. V naší terminologii je pojmenování relací je dominována a dominuje podle i -tého kritéria potřeba brát spíše ve formálním než významovém slova smyslu. Asi by bylo přijatelnější na místo dominuje použít je stejně důležitá, nebo dominuje, neboť podle naší terminologie varianta a dominuje b (reflexivita), což sémanticky nevypadá dobře. Protože jsme pro název naší preferenční relace nenašli vhodnější krátké označení, tak výroku: varianta a dominuje variantu b rozumíme ve významu: varianta a je stejně důležitá, nebo dominuje variantu b. Analogický významový posun lze uplatnit pro termín je dominována podle i -tého kritéria. Následující tvrzení říká, že nejlepší varianta podle jediného kritéria vždy existuje, což je snadným důsledkem toho, že příslušná škála je uspořádanou množinou a také faktu, že množina ohodnocení variant je její konečnou podmnožinou. Nechť A={a 1,a 2,, a n } je množina variant, a nechť kritérium f je reprezentováno zobrazením f : A S, kde S je ordinální nebo kardinální stupnice s relací, která je uspořádáním, dále nechť relace je indukována kritériem f. Potom existuje nejlepší varianta (podle kritéria f). Pro každé kritérium uvažujeme ohodnocení všech variant : y ij = f i a j, i=1,2,, m, j=1,2,, n. Získáme tak kriteriální matici H ={y i, j } typu m n, hodnota y i, j S představuje ohodnocení j -té varianty i -tým kritériem. Pokud je S i R pro všechna i=1,2,, m, například jsou li všechna kritéria kardinální, potom matice H je obvyklou maticí s reálnými prvky. Kriteriální matice H představuje základní vstupní informace (data) nezbytná k učinění rozhodnutí, tj. výběru optimální varianty. Další postup vedoucí k výběru optimální varianty pak závisí především na tom, zda máme k dispozici ještě nějaké další informace o rozhodovacím problému, například informace o významnosti jednotlivých kritérií. Doposud jsme výraz optimální uváděli v uvozovkách, neboť jsme ještě neupřesnili, v jakém smyslu máme optimalitu našeho

15 1Úvod Strana 15 rozhodnutí (varianty) chápat. Nejprve budeme analyzovat situaci, kdy nemáme kromě materiální matice o rozhodovacím problému žádné další informace. Konkrétně informace o důležitosti jednotlivých kritérií pro rozhodování nejsou k dispozici, ani je nelze získat, nebo nemá smysl o nich uvažovat. Potom lze ovšem od optimálního rozhodnutí (optimální varianty) očekávat, že bude podle všech kritérií nabývat nejlepších hodnot. V reálných rozhodovacích situacích je takové očekávání značně iluzorní, neboť uvažovaná kritéria jsou obvykle protichůdná, a to znamená, že zlepšení ohodnocení jednoho kritéria způsobí zhoršení jiného. Zavádíme proto pojem dominovanosti (podle všech kritérií současně) a pojem nedominované varianty. Nechť a, a A jsou dvě varianty, pro každé kritérium f i : A S i, kde S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, i=1,2,, m. Říkáme, že varianta a dominuje variantu a a píšeme a D a, jestliže platí: f i a i f i a pro každé i=1,2,, m. Varianta se nazývá nedominovaná, jestliže v množině rozhodovacích variant neexistuje varianta, která ji dominuje. Symbolem A N označujeme množinu všech nedominovaných variant, A N A. Relace D je částečným kvaziuspořádáním na množině A. Nedominované varianty, tedy prvky z množiny A N nejsou pomocí relace D porovnatelné. Varianta je nedominovaná, když neexistuje jiná varianta, která ji dominuje podle všech kritérií. Každá jiná varianta musí být dominována alespoň podle jednoho kritéria. Povšimněte si rozdílu mezi pojmy dominovaná podle určitého kritéria a dominovaná (rozuměj podle všech kritérií). Pojem nedominované varianty se zdá být racionálním kandidátem na optimální variantu. V praxi však často nevyhovuje, a to z toho důvodu, že nedominovaných variant bývá relativně k počtu všech uvažovaných variant příliš mnoho. Z definice dominance je jasné, že dominované varianty nemají pro optimální rozhodnutí praktický význam, můžeme je proto z dalších úvah vypustit. Vskutku, je li varianta dominována jinou variantou, pak tato jiná varianta je lepší podle všech kritérií, a proto můžeme dominovanou variantu z dalších úvah vyloučit. Pro následný, nyní již zúžený výběr optimální varianty, zůstávají pouze nedominované varianty. Budeme předpokládat, že všechny uvažované varianty v Ajsou nedominované, jinými slovy, že v prvním kroku, jak byl popsán dříve, jsme vypustilivšechny dominované varianty. Abychom počet variant dále zredukovali, v ideálním případě až na jeden prvek optimální variantu, potřebujeme doplňující informace a na ně navazující metody. Výběr konkrétní optimální varianty pak závisí na použité metodě. Někdy se namísto pojmu optimální varianta používí název kompromisní varianta. Nejlepší představitelná varianta je varianta, která podle všech kritérií nabývá nejlepšího hodnocení všech variant. Taková varianta se nazývá ideální varianta (někdy též zenit). Na druhou stranu můeme definovat variantu s nejhorším ohodnocením podle všech kritérií, takovou variantu nazýváme bazální varianta (někdy též nadir). V reálných rozhodovacích situacích, tj. v množině varianta, se s ideální, resp. bazální variantou, jako variantami, které přicházejí v úvahu pro výběr optimální varianty, prakticky nesetkáváme. Jedná se tudíž o varianty uměle vytvořené, které však mohou být užitečné při stanovení optimální varianty, například tak, že optimální varianta bude od ideální varianty nejméně vzdálena, nebo naopak nejvíce vzdálena od bazální varianty, což nemusí být vždy totéž. Ke stanovení vzdálenosti dvou variant však potřebujeme nástroj, kterým bychom tuto vzdálenost měřili, tzv. metriku.

16 Strana 16 1Úvod

17 Strana 17 2 METODY MODELOVÁNÍ PREFERENCÍ MEZI KRITÉRII A VARIANTAMI Problém vícekriteriálního rozhodování vychází z těchto východisek: Je dána množina variant A, množina kritérií C, každé kritérium je reprezentováno zobrazením f i : A S i, přitom S i i je ordinální nebo kardinální škála s relací, která je uspořádáním. Relace indukovaná kritériem f i je kvaziuspořádáním. Předpokládáme dále, že množina A obsahuje pouze nedominované varianty. Mezi těmito variantami se má vybrat optimální varianta. Vzhledem k tomu, že optimální varianta je zároveň nedominovaná, potom jestliže ji zaměníme za jinou nedominovanou variantou, pak tato nová varianta bude mít podle některých kritérií ohodnocení lepší, podle jiných kritérií bude mít ohodnocení horší, než původní varianta. Proto takovou variantu budeme nazývat kompromisní varianta. Postup při výběru kompromisní varianty pak závisí na tom, jakou další informaci máme o charakteru, resp. důležitosti jednotlivých kritérií. Intuitivně se zdá oprávněné, aby optimální varianta nabývala co možná nejlepších ohodnocení podle nejdůležitějších kritérií. V této kapitole se budete zabývat metodami vícekriteriálního rozhodování, které budou rozčleněny do 3 hlavních skupin podle typu informací, které o kritériích jsou známy. Jsou to nominální informace, kdy znáte pouze názvy kritérií, dále ordinální informace, kdy jsou kritéria vzájemně uspořádána (podle důležitosti) a konečně kardinální informace, kdy je znám i relativní podíl z celkové důležitosti každého kritéria. Tato informace je dána ve formě tzv. vah. Rozdělení metod do jednotlivých skupin není samoúčelné. Dává totiž možnost pochopit rozdílné typy rozhodovacích úloh z pohledu různé kvality informací, které jsou pro ně k dispozici a na základě ní zvolit správnou metodu na podporu rozhodnutí. Nesprávná volba metody může totiž způsobit nesprávnou interpretaci výsledného řešení a tudíž neadekvátní rozhodnutí 2.1 Členění metod podle informací o kritériích Na množinu kritérií C={ f 1, f 2,, f m } budeme nyní pohlížet, jako by to byla množina variant v novém rozhodovacím problému s jediným kritériem G, jímž je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému, tj. výběr optimální varianty z A. Další informace o kritériích budeme dále formulovat jako informace o typu kritéria G, které podobně jako dříve ztotožňujeme se zobrazením množiny C do nějaké škály S, tj. G :C S. Opět rozlišujeme 3 typy kritéria G, tj. 3 druhy informací o variantách z množiny C, jinak řečeno 3 typy informací o kritériích f 1, f 2,, f m, což vede k vyšetřování 3 skupin metod vícekriteriálního rozhodování: metody s nominální informací o kritériích, metody s ordinální informací o kritériích, metody s kardinální informací o kritériích. 2.2 Metody s nominální informací o kritériích Metoda stejné důležitosti Nominální informace neříká o kritériích nic víc, kromě jejich jména, nemáme kromě kriteriální matice o rozhodovacím problému žádné další informace. Konkrétně nejsou k dispozici informace o důležitosti jednotlivých kritérií, ani je nelze získat, nebo nemá smysl o nich uvažovat, kritéria nelze uspořádat podle důležitosti, natož jim přidělit číselné váhy, které by vyjadřovaly jejich relativní významnost pro rozhodování. V této situaci se nejčastěji používá technika stejné důležitosti, kdy kritéria při nedostatku informace považujeme za stejně důležitá (to se týká ordinálních kritérií), eventuálně jim přiřadíme stejné váhy (u kardinálních kritérií). Další postup spočívá v použití některé metody s ordinální, resp. kardinální informací o kritériích.

18 Strana 18 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Metoda aspirační úrovně Aspirační úroveň pro kritérium f je hodnota, kterou musí kritérium f pro danou variantu minimálně dosáhnout, aby ta mohla být považována za optimální. Metoda aspirační úrovně při neznalosti informací o důležitosti kritérií vyžaduje alespoň znalost aspirační úrovně i S i pro každé kritérium f i C. Za optimální variantu se vybere ta varianta a A, pro niž platí: i i f i a pro všechna i=1,2,, m. Pokud variant splňujících předchozí podmínku je příliš mnoho, je aspirační úroveň nastavena příliš nízko, můžeme proto některé, případně všechny aspirační úrovně zvýšit a opět hledat optimální variantu, která splňuje uvedenou podmínku, tentokrát se zvýšenými hodnotami i. Na druhou stranu, pokud pro danou aspirační úroveň neexistuje žádná varianta splňující podmínku, pak je zapotřebí některé, případně všechny, aspirační úrovně snížit a opět hledat optimální variantu. Tento postup můžeme opakovat tak dlouho, dokud není dosaženo přijatelně malého počtu optimálních variant, v ideálním případě varianty jediné. Nalezení všech optimálních variant splňujících podmínku není v praxi algoritmický problém, neboť se jedná o prověření platnosti jednoduché podmínky na konečné množině variant pro konečný počet kritérií. Při použití běžného počítače řešení takové úlohy není ani numerickým problémem, pokud snad počty variant n a kritérií m nejsou astronomicky velká čísla. 2.3 Metody s ordinální informací o kritériích Připomeňme, že na množinu kritérií C={ f 1, f 2,, f m } nyní pohlížíme, jako by byla množinou variant v novém rozhodovacím problému s jediným kritériem G, kterým je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému, tj. výběr optimální varianty z A. Další informace o kritériích budeme nyní formulovat jako informace o typu kritéria G, které podobně jako dříve ztotožňujeme se zobrazením množiny C do škály S, tj. G :C S, jež je však ordinální škálou. V souladu s předchozím výkladem to znamená, že ohodnocení G f i S lze seřadit podle velikosti a indukovaná relace G je kvaziuspořádáním. Kritéria f i dokážeme pod relace G seřadit od nejdůležitějšího (nejvýše hodnoceného) k nejméně důležitému, přitom některá kritéria mohou být ohodnocena stejně. Samotná kritéria f i jsou typu ordinálního nebo kardinálního, f i : A S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, i=1,2,, m Lexikografická metoda Lexikografická metoda vychází z principu, že největší vliv na výběr optimální varianty má nejdůležitější kritérium. Teprve v případě, kdy existuje více variant, které jsou podle nejdůležitějšího kritéria ohodnocena stejně, přichází v úvahu druhé v pořadí nejdůležitější kritérium, atd. Algoritmus se zastaví buď když je v některém kroku vybraná jediná varianta, ta je potom variantou optimální, anebo se zastaví po vyčerpání všech uvažovaných kritérií. Optimální varianty jsou pak ty, které zůstaly stejně ohodnoceny po zařazení posledního kritéria. Ordinální informace o kritériích dovolují, jak bylo uvedeno výše, aby kritéria f i C byla podle relace G seřazena od nejdůležitějšího (nejvýše hodnoceného) k nejméně důležitému. Přitom je možné, že některá kritéria jsou ohodnocena stejně, proto seřazení podle relace G nemusí být jednoznačné. To je určitý nedostatek lexikografické metody, která může tak poskytovat při různých seřazeních stejně ohodnocených kritérií různé výsledné optimální varianty. To je jedním z důvodů k používání jiných metod, nejčastěji metod skalarizace (někdy též kardinalizace) ordinální informace o kritériích. 2.4 Metody skalarizace ordinální informace o kritériích Metody skalarizace patří k velmi často používaným metodám a představují různé přístupy, pomocí nichž se z ordinální informace o kritériích stane informace kardinální, umožňující nejen seřazení kritérií podle významnosti, ale i stanovení relativních významností jednotlivých kritérií podle

19 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Strana 19 vah. Vstupem pro metodu skalarizace ordinální informace o kritériích jsou seřazená kritéria f i podle relace G, nebo-li podle relace uspořádání G aplikované na ohodnocení G f i S. Výstupem metody skalarizace jsou váhy v i jednotlivých kritérií f i [0,1], pro něž platí v i =1. Získané váhy umožňují použití metod s kardinální informací o kritériích. Mezi metody skalarizace se zařazují metody párového porovnání, z nichž metoda vlastního vektoru známá jako Saatyho metoda je jedním ze základních stavebních kamenů metod APH Metoda pořadí a bodovací metoda Metoda pořadí je všeobecně známý postup, kterým se nejprve podle relace G kritéria f i, i=1,2,,m, seřadí od nejhoršího k nejlepšímu. Nejhoršímu kritériu, označme jej f 1, se přiřadí ohodnocení w 1 =1, tedy pořadí daného kritéria. Druhému nejhoršímu kritériu, označíme jej f 2, se přiřadí ohodnocení pořadí w 2 =2, atd., až nejlepšímu kritériu, označíme jej f ḿ, kterému se přiřadí ohodnocení w m =m. V případě stejně hodnocených kritérií se všem stejně ohodnoceným kritériím přiřadí ohodnocení, které je aritmetickým průměrem příslušných pořadí. Součet nových ohodnocení dává s= w i =m m 1 /2. Váhu v i kritéria f í pak definujeme takto: v i =w i / s. Snadno se lze přesvědčit, že pro váhy v i platí podmínka v i =1. Konstrukce vah pomocí v i =w i / s odpovídá intuici v tom smyslu, že důležitější kritéria mají větší váhu. Na druhou stranu metoda pořadí nepostihuje eventuální rozdílnost v intenzitě důležitosti jednotlivých kritérií. To je v definici vah v i =w i / s vyjádřeno skutečností lineárního růstu vah spolu se vzrůstající významností kritérií. Tento přístup připomíná techniku stejné důležitosti popsanou již dříve. Nemáte-li informace o intenzitě přírůstku významností kritérií, aplikujte vždy stejný přírůstek. V případě, že jste schopni kromě pořadí kritérií přinést i informaci o intenzitách významností jednotlivých kritérií, např. pomocí bodů, může výše zmíněnou vlastnost lineárně rostoucích vah zreálnit následující bodovací metoda. Bodovací metoda se v zásadě liší od metody pořadí v tom, že se seřazeným kritériím f í přiřazují bodová ohodnocení w i na předem zvolené stupnici škále (např. intervalu 0 až 10). Bodová hodnocení musí splňovat podmínku 0 w 1 w 2 w m. Součet všech ohodnocení označíme s = w i. Váhu v i kritéria f í potom definujeme takto: v i =w i / s. Bodovací metoda má na rozdíl od metody pořadí určitou nevýhodu v tom, že do ní vnášíme novou informaci kardinálního typu. Tento fakt ji zařazuje spíše mezi metody s kardinální informací o kritériích Metody párového porovnání Metody párového porovnání jsou založeny na principu využití ordinální informace uložené v párovém porovnání dvojic kritérií ke stanovení vah kritérií. Ve své klasické podobě využívají metody párového porovnání, např. metoda Fullerova trojúhelníku, pouze ordinální informaci ve tvaru, ve kterém pro každou dvojici kritérií f, f C platí f G f anebo f G f. Počet všech párových porovnání je roven číslu: N = m m 1 =m. 2 2 Další metody párového porovnání, např. Saatyho metoda, již vnášejí do procesu dodatečnou informaci kardinální povahy, kterou vyjadřují stupeň intenzity platnosti relace G mezi porovnávanými kritérii na předem zvolené škále (např. Saatyho metoda používá škálu 1 až 9). Tím se tyto metody spíše zařazují k metodám s kardinální informací o kritériích Metoda Fullerova trojúhelníku Fullerův trojúhelník je schéma trojúhelníkového tvaru, viz níže, ve kterém jsou pod sebou ve

20 Strana 20 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami dvou řádcích uvedeny postupně dvojice porovnávaných kritérií pro jednoduchost očíslovaných 1 ažm. Nevyžaduje se, aby kritéria byla uspořádána podle významnosti. V prvním ze dvojice řádků je uvedeno opakovaně vždy stejné číslo kritéria, ve druhém jsou uvedena postupně všechna kritéria s vyššími čísly označení. Tímto způsobem jsou ve schématu zachyceny všechny porovnávané dvojice kritérií. V každé porovnávané dvojici f, f se označí (např. rámečkem) významnější kritérium, např. f. Pro toto kritérium platí f G f. Konstrukce výsledných vah probíhá následovně: Pro každé kritérium f i C se stanoví počet preferencí tohoto kritéria nad ostatními kritérií (tj. počet označených i ), tento počet označíme n i. Celkový počet porovnávaných dvojic (tedy celkový počet orámovaných kritérií) je roven N =m m 1 /2. Výsledná váha v i kritéria f i je definována vztahem: v i =n i / N. Výše uvedená konstrukce vah je v souladu s intuicí: Čím je kritérium f i významnější, tím je preferováno před větším počtem jiných kritérií, a tím větší má výslednou významnost vyjádřenou vahou v i, což je plně ve shodě se vztahem v i =n i / N. Fullerův trojúhelník můžeme nahradit ekvivalentním schématem ve formě tzv. matice párových porovnání. Matice párových porovnání S je čtvercová matice typu m m m m m m 1 m Obr. 1 Fullerův trojúhelník Prvek s ij v i -tém řádku a j -tém sloupci je definován následujícím způsobem: s ij =1, právě když platí f i G f j, s ij =0, jinak. Předpokládáme, že relace G je reflexivní, proto pro prvky na hlavní diagonále matice S platí s ii =1. Fullerův trojúhelník pak odpovídá horní trojúhelníkové submatici v matici párových porovnání nad hlavní diagonálou. Zavedeme následující označení: Symbolem S i označíme součet prvků i -tého řádku matice

21 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Strana 21 S, symbolem S j označíme součet prvků j -tého sloupce matice S. Platí tedy : S i = s ij, S j = s ij. Podle konstrukce Fullerova trojúhelníku je zřejmé, že počet preferencí i -tého kritéria, který jsme označili symbolem n i splňuje následující vztah : n i =S i 1, neboť mezi kritéria, která jsou preferována i -tým kritériem se samotné i -té kritérium nezahrnuje Saatyho metoda párového porovnání Základním východiskem pro konstrukci vah uvažovaných kritérií f i C je matice párových porovnání S. Prvky s ij jsou však odlišné od prvků matice párových porovnání v metodě Fullerova trojúhelníku. Podobně jako tam se prvky stanoví na základě ordinální informace z relace G, avšak dodatečná informace umožňuje zohlednit intenzitu významností v příslušném porovnávaném páru kritérií, např. f i A f j. Pokud platí f i G f j, pak prvek s ij vyjadřuje poměr významností kritéria f i k významnosti kritéria f j, tj. poměr vah v i a v j : s ij = v i v j ; i, j=1,2,, m. (2.1) Protože však váhy v i nejsou předem známy, (naším cílem je právě váhy stanovit), využívá se k jejich stanovení dodatečná informace o číslech s ij, které jsou prvky zvolené škály 1 až 9, tj.: s ij ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, (2.2) jestliže f i G f j. V opačném případě, tj. Když f j G f i, platí : s ij =1/ s ji. (2.3) Jestliže kritérium f j je s ji -krát významnější než kritérium f i, potom významnost kritéria f i tvoří1/ s ji -tou část významnosti kritéria f j. Jestliže pro prvky s ij platí (2.3), potom říkáme, že matice S je reciproká. Motivaci pro výběr škály (2.2) i podrobné zdůvodnění bude uvedeno později, v kapitole zabývající se Saatyho metodou konstrukce vah uvažovaných kritérií a spočívá ve výpočtu vlastního vektoru odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu matice párových porovnání S. Řešením soustavy m rovnic o m neznámých x = x 1, x 2,, x m vyjádřené ve vektorovém tvaru : S max I x=0, (2.4) nebo jinak vyjádřeno : Sx= max x, (2.4 ) kde max je maximální vlastní číslo matice S a I je jednotková matice, získáme vlastní vektor, z něhož pak sestavíme hledané váhy takto : v i = x i, i=1,2,,m. (2.5) x Symbol x označuje velikost vektoru x, tj. x = x=1 m 1/ 2 x i Metoda nejmenších čtverců stanovení vah Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je obecně známá metoda používaná všude tam, kde chceme empirická data zatížená chybami aproximovat nějakým zvoleným modelem systému závislého na neznámých parametrech. MNČ umožňuje optimální nastavení těchto parametrů. V úloze stanovení vah kritérií úlohy vícekriteriálního rozhodování jsou těmito neznámými parametry právě hledané váhy a empirická data představují získané odhady podílů významností jednotlivých kritérií. Metoda nejmenších čtverců stanovení vah má podobná východiska a předpoklady, jako předchozí Saatyho metoda z předchozí kapitoly. V souladu s obecným postupem MNČ se hledají takové váhy v i, které minimalizují součet kvadrátů odchylek prvků matice párových porovnání od

22 Strana 22 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami příslušných podílů vah jednotlivých kritérií. Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování : i s v 2 i ij j v j min ; (2.6) za podmínky : m v j =1, v i 0,i=1,2,, m. (2.7) j =1 Numerické řešení úlohy (2.6), (2.7) je poměrně náročné, avšak dnes již existuje celá řada SW produktů, které umožňují řešit podobné úlohy i na počítačích PC. Pro úlohy malých rozměrů (např. m 20) lze úlohu řešit pomocí Řešitele v programu Excel, pro větší úlohy lze použít např. programů LINGO, XA aj Metoda logaritmických NČ (Metoda geometrického průmeru) Metoda logaritmických nejmenších čtverců (Metoda geometrického průměru) založena na stejných předpokladech, jako metoda nejmenších čtverců. Na rozdíl od MNČ však neměří přímo odchylky odhadnutých dat od teoretických podílů vah v i /v j, avšak měří logaritmy odchylek těchto dvou veličin. Tato změna přináší 2 výhody : logaritmickou transformací se rovnoměrně rozdělí odchylky podílových hodnot na obě strany od 1, optimální řešení úlohy nelineárního programování je možné vyjádřit v explicitním tvaru a není zapotřebí využívat speciální SW. V souladu s obecným postupem MNČ se hledají takové váhy v i, které minimalizují součet kvadrátů logaritmů odchylek prvků matice párových porovnání od příslušných logaritmů podílů vah jednotlivých kritérií. Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování : za podmínky : k j =1 F v 1, v 2,,v m = i ln s ij ln v i ln v j 2 min (2.8) j v j =1, v i 0,i=1,2,,m. (2.9) Optimální řešení úlohy lze nalézt v explicitním tvaru: Váha i -tého kritéria se vypočte jako geometrický průměr odhadů s ij poměrů významností všech kritérií k i -tému kritériu, normovaný součtem geometrických průměrů stejně vypočtených pro všechna kritéria. Podle tohoto výsledku získala metoda své jméno. Optimální řešení úlohy (2.8), (2.9), tj. Váhy v i, které minimalizují účelovou funkci F z (2.8) mají následující tvar : m j =1 v i = m m i=1 j=1 1 /m s ij, i=1,2,, m. 1/ m (2.10) s ij Důkaz plyne z následující úvahy: Protože s ij 0 pro všechna i, j=1,2,,m, je také v i 0 pro i=1,2,,m. Snadno lze ukázat, že funkce F v 1, v 2,, v m je ryze konvexní pro v i 0, i=1,2,, m, a že pro v i definované vztahem (2.10) se všechny parciální derivace anulují.

23 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Strana Metody s kardinální informací o kritériích Vzhledem k tomu, že optimální varianta je zároveň nedominovaná, potom jestliže ji zaměníme za jinou nedominovanou variantou, pak tato nová varianta bude mít podle některých kritérií ohodnocení lepší, podle jiných kritérií bude mít ohodnocení horší, než původní varianta. Proto takovou variantu budeme nazývat kompromisní varianta. Postup při výběru kompromisní varianty pak závisí na tom, jakou další informaci máme o charakteru, resp. důležitosti jednotlivých kritérií. Intuitivně se zdá oprávněné, aby optimální varianta nabývala co možná nejlepších ohodnocení podle nejdůležitějších kritérií Úvod do metod s kardinální informací o kritériích Zopakujme fakt, že na množinu kritérií C={ f 1, f 2,, f m } pohlížíme, jako na množinu variant v (jiném) rozhodovacím problému s jediným kritériem G, kterým je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému výběr optimální varianty z množiny variant A. Přitom G, podobně jako dříve, ztotožňujeme se zobrazením množiny C do škály S, tj. G :C S, jež je však nyní kardinální škálou. V souladu s předchozím výkladem to znamená, že ohodnocení G f i každého kritéria je reálné číslo, takže kritéria lze seřadit nejen podle velikosti jejich ohodnocení, tj. významnosti, přičemž indukovaná relace G je kvaziuspořádáním, ale známe i vzájemný poměr významnosti kritérií f i. Číselné ohodnocení jednotlivých kritérií můžeme normalizací, tj. vydělením každého ohodnocení součtem všech ohodnocení, získat váhy v i jednotlivých kritérií f i, pro i=1,2,, m. Máme-li k dispozici váhy v i které interpretujeme jako relativní významnosti kritérií, potom další postup vedoucí k výběru optimální varianty z množiny variant A, závisí na typu jednotlivých kritérií, konkrétně na tom, zda jsou kritéria ordinálního nebo kardinálního typu. Vhodnými transformacemi je pak převedeme na kritéria se stejnou škálou hodnot, obvykle to je interval [0,1], a celkové ohodnocení varianty získáme jako vážený součet ohodnocení podle jednotlivých kritérií. Podívejme se na tento problém podrobněji matematicky Standardizace a normalizace Nechť f i C je kardinální kritérium, f i : A S i, přitom S i R je kardinální škála. Pro transformaci škály S i na škálu S =[0,1], totožnou pro všechna kritéria, používáme obvykle dvou postupů. Prvnímu budeme v této práci říkat standardizace, druhému normalizace. Standardizace : Pro každé i=1,2,,m označíme : f min 1 =min { f i a j j=1,2,,n}, (2.11) f max 1 =max{ f i a j j=1,2,,n}. (2.12) Dále budeme předpokládat, že všechna kritéria nabývají nezáporných hodnot, tj. f i a j 0 pro všechna i=1,2,,m, j=1,2,, n, a že platí f max 1 f min 1. Pro maximalizační kritérium, kdy větší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci i : S i [0,1],i=1,2,,m, následovně : i x = x f min i f max i f, x S. min i (2.13) i Pro minimalizační kritérium, kdy menší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci i : S i [0,1] : i x = f max i x f max i f, x S. min i (2.14) i Pomocí zobrazení i definujeme nyní namísto kritéria f i nové kritérium : F i a = f i a, a A. (2.15) Kritérium (2.5) má tu vlastnost, že pro nejhůře hodnocenou variantu nabývá hodnoty 0 a pro

24 Strana 24 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami nejlépe hodnocenou variantu nabývá hodnoty 1, pro všechna kritéria i=1,2,, m. Normalizace : Budeme dále předpokládat, že všechna kritéria nabývají kladných hodnot, to znamená, že f i a j 0 pro všechna i=1,2,,m, j=1,2,, n. (Pokud by tomu tak pro některé kritérium nebylo, připočítali bychom ke všem hodnocením tohoto kritéria dostatečně velkou kladnou hodnotu, čímž bychom obdrželi kritérium s požadovanou vlastností.) Pro maximalizační kritérium, kdy větší hodnota kritéria je považována za lepší, definujme transformaci i : S i R, i=1,2,,m, následovně: i x = x, x S i. ( identická transformace ) Pro minimalizační kritérium, kdy menší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci : S i R : i x = 1 x, x S i. ( inverzní transformace ) Pro každé i=1,2,,m definujeme namísto původního kritéria f i nové kritérium G i : G i a = i f i a, a A n, (2.16) i f i a j j=1 kde i je buď identická nebo inverzní transformace, podle toho, zda f i je maximalizační nebo minimalizační kritérium. Kritéria (2.16) podobně jako kritéria (2.15) transformují hodnoty původních kritérií do jednotkové škály [0,1]. Pro G i platí základní vztah normalizace : n j =1 Základní odlišnosti obou přístupů : G i a j =1. (2.17) Standardizací se u daného kritéria mění původní poměr ohodnocení dvou variant, jestliže např. původní směr ohodnocení variant a, a A je f i a / f i a, pak nový poměr po transformaci je f i a f min i / f i a f min i. V případě, že f min i =0, jsou oba poměry stejné. Při normalizaci zůstává poměr ohodnocených variant stejný (v případě maximalizačního kritéria), nebo je převrácený (v případě minimalizačního kritéria). Standardizace způsobí, že nové kritérium pro nejhůře ohodnocenou variantu nabývá hodnoty 0, pro nejlépe hodnocenou variantu nabývá hodnoty 1. Tuto vlastnost normalizace nemá, naproti tomu normalizované kritérium má vlastnost (2.17), kterou zase nemá standardizované kritérium. Jsou-li kritéria f i standardizována, tj. máme k dispozici nová kritéria F i, nebo jsou normalizována, tj. máme k dispozici nová kritéria G i, a dále známe váhy kritérií v i, potom můžeme provést výsledné ohodnocení variant a na jeho základě vybrat optimální variantu, která dosáhla nejlepšího ohodnocení. Pro standardizovaná kritéria F i stanovíme výsledné ohodnocení jako vážený součet dílčích ohodnocení podle jednotlivých kritérií : m H s a j = v i F i a j. (2.18) i=1 Pro normalizovaná kritéria G i stanovíme obdobně výsledné ohodnocení jako vážený součet dílčích ohodnocení podle jednotlivých kritérií : m H n a j = v i G i a j. (2.19) i =1 Přirozeně je na místě otázka, kdy použít pro kardinální kritéria standardizaci a ve kterých případech normalizaci. Odpověď není jednoznačná a závisí do značné míry na věcné povaze rozhodovacího problému.

25 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Strana 25 Standardizace má blízko k teorii užitku, standardizované kritérium je vlastně lineární funkcí užitku a vzorec (2.19) představuje aditivní tvar vícekriteriální funkce užitku. Přístup normalizace s využitím (2.18) a (2.19) je použit v metodě analytického hierarchického procesu (AHP) Metody založené na funkci užitku Funkce užitku pro i -té kritérium: f i : A S i je neklesající funkce u i :S i [0,, kde S i R, i=1,2,,m. Ve vícekriteriálním rozhodování se v tomto případě hovoří o i -té dílčí funkci užitku. Varianta a A má podle i -tého kritéria ohodnocení h= f i a a toto ohodnocení přináší užitek u i h =u i f i a. Tento užitek roste, nebo alespoň neklesá, s rostoucím ohodnocením h. Speciálním případem i -té dílčí funkce užitku je funkce : u i :[ D i, H i ] [0,1], (2.20) kde D i je nejméně preferovaná hodnota z S i vzhledem k f i, taková, že platí u i D i =0, H i je nejvíce preferovaná hodnota vzhledem k f i, přičemž platí u i H i =1. Konkrétním příkladem uvedené funkce užitku je zobrazení (2.14). V ekonomii více činitelů se setkáváme s agregovanou (vícekriteriální) funkcí užitku, která podle toho, zda lze celkový užitek skládat z dílčích užitků jednotlivých činitelů (kritérií), má aditivní tvar : U a = i v i u i f i a,a A, (2.21) kde v i jsou váhy, i v i =1, v i 0, nebo, pokud vzniká celkový užitek násobením dílčích užitků, má agregovaná funkce užitku multiplikativní tvar : U a = i u i f i a,a A. (2.22) Je možné uvažovat i s jinými nelineárními tvary, které však z praktického hlediska mají jen omezený význam. Agregovaná funkce užitku indukuje na množině variant A relaci R, která je, jak známo, kvaziuspořádáním a kterou lze rozložit na relaci preference P a relaci indiference I, tj. R= P, I takto: Pro a, b A je: A P b právě když U a U b, (2.23) A I b právě když U a =U b. (2.24) V podmínkách neurčitosti, resp. při neznalosti přesného tvaru funkce užitku U lze relace (2.23), (2.24) zeslabit. Pro zadané prahy citlivosti 0, 0 definujeme novou relaci R, = P,, I, takto : Pro a,b A je : a P, b právě když U a U b, (2.25) a I, b právě když U a U b. (2.26) V závislosti na velikosti citlivosti 0, 0 mohou být některé varianty a, b A vzájemně neporovnatelné. Relace R, = P,, I, je pak relací částečného kvaziuspořádání. Tato relace definuje na množině variant A rozklad, na skupiny variant, kde jsou dvojice variant vzájemně -indiferentní, dvojice variant patřící do různých skupin jsou -preferovány a varianty mimo tyto skupiny jsou s jinými variantami neporovnatelné. Analýzou citlivosti prahů lze získat hlubší informaci o preferenční struktuře množiny variant Metody založené na párovém porovnání variant Doposud jsme řešili případ kardinálních kritérií f i C, nyní se obrátíme k případu, kdy jsou kritéria f i : A S i ordinální, S i jsou přitom ordinální škály s relacemi uspořádání i. Navíc jsou k dispozici váhy v i vyjadřující relativní významnosti kritérií. V této situaci v souladu s předchozím výkladem to znamená, že pro dané kritérium f i lze ohodnocení variant f i a j S i seřadit podle velikosti a indukovaná relace i je kvaziuspořádáním. Varianty a j A můžeme podle relace i

26 Strana 26 2Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami seřadit od nejméně důležité (nejníže hodnocené) k nejdůležitější, přitom některé varianty mohou být podle kritéria f i ohodnoceny stejně. Podobně jako pro kritéria využijeme nyní analogicky pro varianty metody skalarizace, s jejíž pomocí se z ordinální informace o variantách stane informace kardinální, umožňující nejen seřazení variant podle důležitosti, ale i stanovení relativních důležitostí jednotlivých variant vzhledem ke zvolenému kritériu, a to v podobě vah. Vstupem pro metodu skalarizace ordinální informace o variantách jsou seřazené varianty a j A podle relace uspořádání i. Výstupem metody skalarizace jsou váhy v ij, které představují kardinální a normované hodnocení jednotlivých varian ta j A podle kritéria f i C, neboť platí i v ij =1. Získané váhy umožňují použití metod s kardinální informací o kritériích, jimiž byly věnovány předchozí části. Principiálně lze použít všechny metody uvedené v těchto kapitolách, konkrétně metodu pořadí, bodovací metodu a metody párového porovnání, pouze s tím rozdílem, že namísto s kritérií se pracuje s variantami. Připomínáme, že mezi metody skalarizace se zařazují metody párového porovnání, z nichž metoda vlastního vektoru známá jako Saatyho metoda je jedním ze základních stavebních kamenů metod AHP Metody vzdálenosti Předpokládáme, že všechna kritéria f i C jsou kardinální, buď všechna standardizovaná nebo normalizovaná. Pro výsledné ohodnocení varianty a A existují dvě základní metody vzdálenosti : metoda nejmenší vzdálenosti od ideální varianty, metoda největší vzdálenosti od bazální varianty. Mějme varianty a,b A, kardinální kritéria f i C nechť jsou všechna maximalizační. Položme a= F 1 a,f 2 a,, F m a,b= F 1 b, F 2 b,, F m b, kde F i jsou kritéria f i, standardizovaná podle (2.14), tj. F i a = i f i a, a A a i jsou definovány vztahem i x = x f min i f max i f, x S. min i i Potom a, b jsou vektory z R m. Pro každé dva vektory x, y R m definujme jejich vzdálenost pomocí funkce vzdálenosti (metriky) : Funkci d : R m R m R nazýváme funkcí vzdálenosti v R m (metriky v R m ), splňuje-li následující 3 podmínky : d x, y 0 pro všechny x, y R m, ( nezápornost ), d x, x =0 pro všechny x R m, ( jednoznačnost ), d x, y d y, z d x, z pro všechny x, y, z R m, ( trojúhelníková nerovnost ). Speciálně nás bude zajímat funkce vzdálenosti, která má následující tvar : d x, y = x i y i p 1 / p, (2.27) kde vektory, jsou ve tvaru : x = x 1, x 2,, x m R m, y= y 1, y 2,, y m R m a p 0. Pro některé hodnoty parametru p jsou funkce vzdálenosti (metriky, normy) (2.27) známy pod speciálními názvy : Pro p=2 se funkce vzdálenosti nazývá Euklidovská metrika a má tvar : d x, y = i x i y i 2 1 /2. (2.28) Pro p 0 se funkce vzdálenosti nazývá Čebyševova metrika a má tvar :