Vícekriteriální hodnocení variant VHV
|
|
- Sabina Brožová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vícekriteriální hodnocení variant VHV V lineárním programování jsme se naučili hledat optimální řešení pro úlohy s jedním (maximalizačním nebo minimalizačním) kritériem za předpokladu, že podmínky i účelová funkce byly dány lineárními funkcemi. (V případě, že by funkce byly např. kvadratické, mluvili bychom o kvadratickém programování.) Pro úlohy, v nichž není účelová funkce jediná, ale je jich více, je nutné použít trochu jiné postupy. V takovém případě mluvíme o vícekriteriálním rozhodování. Na první pohled se nabízí možnost nějak vhodně kritéria sečíst, abychom dostali jen jediné kritérium. Pokud bychom však jen tak bohapustě kritéria sečetli, jistě bychom udělali chybu, nemůžeme přeci sčítat jen tak např. milióny korun a známky ze školy. Navíc některá kritéria mohou být důležitější (např. čistý trestní rejstřík pro výběr osoby na post generálního ředitele nejmenované firmy) než jiná (např. výška postavy nebo známka z kreslení) a na tyto skutečnosti je třeba brát zřetel. 3 Metody odhadu vah Důležité pravidlo pro volbu vah: Váhy vždy volíme tak, aby součet vah přes všechna kritéria dával jedničku. Pokud tedy váhy pro i-té kritérium označíme symbolem v i, pro i = 1,..., k, kde k je počet kritérií, pak váhy volíme tak, aby k v i = 1, v i 0. Dalším důležitým pravidlem je, že čím důležitější je kritérium, tím větší váhu musíme kritériu přidělit. Co se týče volby vah, existují dvě možnosti. První, že váhy prostě stanovíme natvrdo tzn. že si řekneme, jak důležitá jsou pro nás jednotlivá kritéria a že např. první kritérium bude mít váhu 0%, druhé 30% a třetí 50%. Zapsáno v matematických symbolech v = (v 1, v, v 3 ) = (0., 0.3, 0.5). Druhou možností je stanovit váhy pomocí některé z následujících čtyř metod. Jednotlivé metody si předvedeme na následujícím příkladu: Příklad Upír Je hluboká noc a vy se právě probouzíte ve své vyhřáté postýlce. Je šero, jen světlo z ulice matně osvětluje místnost. Máte dojem, že se nad vámi sklání postava v temném plášti s nezvykle dlouhými špičáky. Špatný sen, pomyslíte 1
2 si, otočíte se na druhý bok a v klidu usnínáte, když v tom na krku ucítíte ostrou bolest. Omdlíte. Probouzíte se a přemýšlíte o tom, že takhle blbej sen se vám už léta nezdál. Copak ještě někdo věří na upíry? Ale moment. Něco není v pořádku. Tohle není vaše postel. Ježíši, tohle je přece rakev. Přemýšlíte, co se děje. Na mrtvolu se cítíte docela živě. A pak vám to dojde. To nebyl sen, je ze vás UPÍR. Zazmatkujete a propadnete panice. Opět omdlíte. Když se proberete, vidíte všechno z té lepší stránky. Můj život stejně za moc nestál, pomyslíte si. Teď budu žít navěky. Ale... začínám mít hlad. Čím se živí upíři? Krev, potřebuji krev. Zakousnete psa, který měl právě v úmyslu proběhnout kolem, ale to vás neuspokojí. Chce to něco kvalitnějšího. Chce to výbornou lidskou krev. Do místnosti vstoupí jakýsi shrbený stařík a představí se jako váš sluha. Jste trochu v šoku, ale za chvíli začnete mít jasno. Zatímco stařík uklízí spoušť, kterou způsobila vaše chuť po krvi a na kousky rozcupovaný mrtvý pes, vysvětluje vám pravidla, která platí v říši upírů. Každý upír ovládá území do vzdálenosti 10 km od hradu, na němž sídlí. Zde může vysávat kohokoliv, kdo se mu bude líbit. Okruhy se ale překrývají a pro mladé upíry není vhodné lovit v blízkosti hradů jiných upírů, sic by je to mohlo stát jejich dlouhověký život. Není vhodné se přibližovat k česneku, kostelům, dřevěným kolíkům a stříbrným kulkám. To vše rozhodně upírův zdravotní stav nevylepší. No a co se tak povídá, je lepší si vybírat lidi s kvalitní krví, protože jinak upír ráno pozná, co je to krevní kocovina. Achych ouvej, to bylo informací. Až se mi z toho hlava točí, pomyslíte si. Nu což, chce to udělat dobrý plán. Začnete tím, že si sestavíte seznam kritérií, podle kterého si pak vyberete nejlepší oběť. Nakonec jich vymyslíte devět: 1. Vzdálenost od česnekového pole (ČES) je udávána v metrech a jedná se o vzdálenost obydlí případné oběti od nejbližšího většího zdroje česneku. Čím větší vzdálenost, tím lépe.. Vzdálenost nejbližšího upíra (VUP) je udávána v kilometrech a označuje, jak daleko od místa oběti se nachází nejbližší další upírský hrad. Čím bude dále, tím lépe. 3. Kvalita prostředí (KPR) je hodnocena body na stupnici bodů
3 a označuje, jak kvalitní je životní prostředí oběti, aby byla zajištěna co nejlepší kvalita krve, cílem je co nejvyšší dosažené hodnocení. 4. Vzdálenost od kostela (KOS) je udávána v kilometrech a jedná se o vzdálenost obydlí oběti od nejbližšího kostela nebo jiného svatého místa, kde by hrozilo nebezpečí. Čím dále od takového místa, tím lépe. 5. Krevní skupina (KS) každý upír preferuje jinou krevní skupinu a vybírá si pochopitelně tu nejlepší. Krevní skupina je hodnocena jako ve škole známkou v rozsahu 1 5, čím lepší (nižší hodnota) známka, tím lépe. 6. Obranyschopnost (OS) muži jsou lepšími bojovníky a nejednou byl upír zastrašen silným mužem. Proto je obranyschopnost také důležitým kritériem. Většinou je hodnocení takové, že muži mají 1 a ženy (jako slabší stvoření) 0. Žena je také krásnější a atraktivnější, takže osoby s ohodnocením 0 jsou žádanější. Většinou je toto kritérium pro upíra nejdůležitější. Čím menší hodnota, tím lépe. 7. Finanční zázemí (FIN) dobré finanční zázemí oběti je důležité, neboť upír pak může s majetkem nakládat dle svého uvážení. Hodnoceno je průměrným měsíčním příjmem za poslední rok v Kč, cílem je co nejlepší (nejvyšší) finanční zázemí. 8. Vzdálenost od rakve (VOR) upír pracuje jen v desetikilometrovém okruhu a dál si netroufá jít, nicméně čím blíže bydlí oběť k hradu, tím je méně práce ji naštívit a zakousnout. Vzdálenost je udávána v kilometrech a čím je nižší, tím lépe. 9. Věk (VĚK) je udáván v letech, mladá krev je pochopitelně chutnější a tak čím nižší věk, tím lépe. Pokračování příště 3.1 Metoda pořadí Kritéria seřadíme nejprve podle pořadí od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Předpokládejme, že máme k kritérií. Nejdůležitější kritérium ohodnotíme k body (b i = k), druhé nejdůležitější k 1 body (b i = k 1), atd. až poslední (nejméně důležité) jedním bodem (b i = 1). 3
4 V případě, že by některá kritéria byla stejně důležitá, obodujeme je příslušným průměrem. Váhu příslušného kritéria pak dostaneme podle vztahu v i = b i / k b i. k b i je součtem bodů rozdělených mezi jednotlivá kritéria. Pro tento součet platí k b i = k(k + 1)/. Ukažme si nyní tuto metodu na příkladu Upíra. Nejprve očíslujeme jednotlivá kritéria a přidělíme jim index i = 1,..., 9. Pak kritéria seřadíme podle pořadí. Nakonec každému kritériu přiřadíme 1 až 9 bodů (b i ) tak, aby nejdůležitější kritérium dostalo 9 bodů,..., a nejméně důležité dostalo jeden bod. kritérium i pořadí b i v i = b i / 9 b i ČES /45 = 0.0 VUP /45 = 0.17 KPR /45 = 0.17 KOS /45 = 0.09 KS /45 = 0.07 OS /45 = 0.0 FIN 7 8 /45 = 0.04 VOR /45 = 0.13 VĚK /45 = 0.11 součet 45 1 Snadno si můžeme ověřit, že pro devět kritérií (k = 9) součet všech bodů ve sloupci b i se rovná k(k+1) = 9 10 = Bodovací metoda Výpočet vah je při použití této metody identický s postupem uvedeným v předchozí metodě, jediný rozdíl je v přidělení bodů b i. Opět platí pravidlo, že čím důležitější je některé kritérium, tím vyšší dostane počet bodů. Každé kritérium v této metodě ohodnotíme body z nějakého předem daného intervalu, např. b i < 0, 10 >. Váhu příslušného kritéria pak dostaneme podle vztahu v i = b i / k b i. 4
5 Pro příklad Generálního ředitele určíme váhy následovně: kritérium i b i v i = b i / 9 b i ČES 1 1 1/53 = VUP 9 9/53 = KPR 3 9 9/53 = KOS 4 4 4/53 = KS 5 4 4/53 = OS /53 = FIN 7 3 3/53 = VOR 8 8 8/53 = VĚK 9 5 5/53 = součet Metoda párového srovnávání (Fullerova metoda) Tato metoda bývá nazývána Fullerovou metodou proto, že při její aplikaci sestavujeme váhy pomocí tzv. Fullerova trojúhelníku. Princip párového srovnávání je takový, že vždy porovnáváme dvě kritéria a z každé takové dvojice kritérií vybereme to důležitější. Srovnáváme-li každá dvě kritéria z celkového počtu k kritérií, vybíráme všechny kombinace dvou prvků z k. Celkový počet porovnání je tedy roven N = ( ) k = k(k 1)(k )! = k(k 1).!(k )! Pro větší přehlednost při srovnávání sestavujeme tzv. Fullerův trojúhelník. Trojúhelník má vždy k 1 dvojřádků. V prvním řádku jsou všechny kombinace pro porovnání s prvním kritériem, v druhém kombinace pro porovnání s druhým kritériem, kromě té, která je v předchozím řádku, v každém dalším řádku jsou kombinace pro porovnání s dalším kritériem, které nejsou v předchozích řádcích. Každý řádek má tedy o 1 člen méně, než řádek předchozí. 5
6 k 1 k k k 3 k 3 k 3 k k 1 k k k k 1 k 1 k k Označme symbolem n i počet zakroužkovaných i, konkrétně tedy počet zakroužkovaných jedniček označíme n 1, apod. Váhy potom spočítáme podle vztahu v i = n i P k n i = n i N. Ukažme si metodu na příkladu Upíra. Nejprve sestavíme Fullerův trojůhelník a pak v každé dvojici zakroužkujeme kritérium, které nám připadá důležitější
7 Počet porovnání N = ( ) 9 = 9 8 = 36. i n i v i = n i /N 1 0 0/36 = /36 = /36 = /36 = /36 = /36 = /36 = /36 = /36 = 0.08 součet Kvantitativní párové srovnávání (Saatyho metoda) Saatyho metoda patří mezi nejčastěji používané metody pro volbu vah, používá se např. v postupu AHP. Srovnávají se opět vždy páry kritérií (stejně jako v předchozím případě) a hodnocení se ukládá do tzv. Saatyho matice S = (s ij ) podle následujícího systému: (s ij ) = 1 i a j jsou rovnocenná 3 i je slabě preferováno před j 5 i je silně preferováno před j 7 i je velmi silně preferováno před j 9 i je absolutně preferováno před j Hodnoty,4,6 a 8 jsou ponechány pro hodnocení mezistupňů. Je zřejmé, že s ii = 1, neboť kritérium je rovnocenné samo se sebou. Navíc musí platit, že s ji = 1/s ij pro všechna i. Hodnota s ij představuje přibližný poměr vah kritéria i a j, v matematickém zápisu s ij v i /v j. 7
8 Předpokládejme, že skutečný poměr vah je v i /v j, my tento poměr odhadujeme hodnotou s ij a chceme, aby se toto s ij v i /v j. Minimalizujeme tedy součet čtverců rozdílu F = k k za podmínky: k v i = 1 ( s ij v ) i min v j co nejméně lišilo od To je ale problém kvadratického programování a při výpočtech by mohlo dojít k potížím. Pro snadnější výpočet se používá metoda geometrického průměru, neboli metoda nejmenších logaritmických čtverců. Jde o minimalizaci kvadratické formy F = k (ln s ij (ln v i ln v j )) min j>i za podmínky: k v i = 1 Řešením je geometrický průměr řádků matice S: v i = [ ] 1/k k s ij pro i = 1,..., k. [ ] 1/k k k s ij Problémem ovšem je, že matice S musí být uspokojivě konzistentní, tzn. σ < 0.1 pro k = 3 σ < 0. pro k = 4, 5, 6, 7 σ < 0.3 pro k > 7 kde σ je odhad rozptylu. Platí σ = F/d, kde F je hodnota výše uvedené kvadratické formy a d = k(k 1) (k 1) = (k 1)(k ), což je počet srovnání snížený o počet lineárně nezávislých váhových parametrů. 8
9 Samotná metoda je velmi jednoduchá a zahrnuje následujících 5 kroků. Nejprve vyplníme Saatyho matici: 1. Na diagonále budou jedničky (s ii = 1).. s ij < 0, 9 >, pokud i je preferováno před j. 3. s ji = 1/s ij Pro každé i spočítáme hodnotu s i = k s ij. Pro každé i spočítáme hodnotu R i = (s i ) 1/k = k s i. Dále spočítáme k R i. Nakonec určíme váhy kritérií podle vztahu v i = R i. kp R i Pro ilustraci metody použijeme příklad Upíra, tentokrát ovšem budeme uvažovat pouze prvních 5 kritérií. s ij f1 f f3 f4 f5 s i = 5 s ij R i = (s i ) 1/5 v i = R i / 5 R i f1 1 1/5 1/5 1/3 1/ 1/ f f f4 3 1/4 1/4 1 3/ f5 1/5 1/5 1/ 1 1/ součet
7 Kardinální informace o kritériích (část 1)
7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru
Více4 Kriteriální matice a hodnocení variant
4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té
Více6 Ordinální informace o kritériích
6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní
VíceVÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ
VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ 1 Obsah Typy modelů vícekriteriálního rozhodování Základní pojmy Typy informací Cíl modelů Užitek, funkce užitku Grafické zobrazení Metody vícekriteriální analýzy variant 2
VícePostupy při hodnocení variant a výběru nejvhodnějšího řešení. Šimon Kovář Katedra textilních a jednoúčelových strojů
Postupy při hodnocení variant a výběru nejvhodnějšího řešení Šimon Kovář Katedra textilních a jednoúčelových strojů Znáte nějaké postupy hodnocení variant řešení? Vícekriteriální rozhodování Při výběru
VíceMetody, jak stanovit správné váhy
Metody, jak stanovit správné váhy ING. BARBORA UZDAŘOVÁ RE-MEDICAL S.R.O 10.11.2016, OSTRAVA ebf 2016 Ekonomická výhodnost Obsah u Metoda pořadí u Bodovací metoda u Metoda alokace 100 bodů u Metoda párového
VíceSocio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů
Klub regionalistů 11.11.2010 Projekt SGS SP/2010 Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů Jiří Adamovský Lucie Holešinská Katedra regionální a environmentální ekonomiky
VíceMetody výběru variant
Metody výběru variant Používají se pro výběr v případě více variant řešení stejného problému Lze vybírat dle jednoho nebo více kritérií V případě více kritérií mohou mít všechna stejnou důležitost nebo
VíceRozhodovací procesy 8
Rozhodovací procesy 8 Rozhodování za jistoty Příprava předmětu byla podpořena projektem OPPA č. CZ.2.17/3.1.00/33253 VIII rozhodování 1 Rozhodování za jistoty Cíl přednášky 8: Rozhodovací analýza Stanovení
Více5 Informace o aspiračních úrovních kritérií
5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceVícekriteriální hodnocení variant úvod
Vícekriteriální hodnocení variant úvod Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Vícekriteriální hodnocení variant
Více4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
VíceVícekriteriální rozhodování za jistoty
Kapitola 1 Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou
VíceOperační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
VíceVícekriteriální rozhodování za jistoty
1 Část I Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou
VíceVícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze
AVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování vlastní čísla a vlastní vektory A je čtvercová matice řádu n. Pak
VíceAVDAT Výběr regresorů v mnohorozměrné regresi
AVDAT Výběr regresorů v mnohorozměrné regresi Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Výběr správného lineárního modelu y = Xβ + ε, ale v matici X typu n (p + 1) je
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VícePrůměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.
Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceAnalýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.
Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceV roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:
Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)
Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Více11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda
@127 11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda Adiční neboli sčítací metoda spočívá ve dvou vlastnostech řešení soustavy rovnic: vynásobením libovolné rovnice nenulovým číslem se řešení nezmění, součtem
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
VíceVyužití metod multikriteriálního hodnocení v bezpečnostní praxi
Využití metod multikriteriálního hodnocení v bezpečnostní praxi Using multicriterial methods in security working practice Bc. Milan Hovorka Diplomová práce 2013 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky,
VíceZ X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í. Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní
Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní prostředí. ř Posuzování dopadu (impaktu) posuzované činnosti na životní prostředí
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceVzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Základní charakteristiky a značení symbol verbální vyjádření interval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá varianta i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. n v j x ij
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.
11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15
VíceÚloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota. (bodově tříděná data): (intervalově tříděná data): Zadání úlohy: Zadání úlohy:
Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
VíceVýběr lokality pro bydlení v Brně
Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Výběr lokality pro bydlení v Brně Projekt do předmětu Optimalizační metody Martin Horák Brno 5 Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta
VíceINDUKTIVNÍ STATISTIKA
10. SEMINÁŘ INDUKTIVNÍ STATISTIKA 3. HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ KVALITATIVNÍ VELIČINY - Vychází se z kombinační (kontingenční) tabulky, která je výsledkem třídění druhého stupně KVANTITATIVNÍ
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceModely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceTEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?
TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceRozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
VíceAlgoritmus pro generování normálních magických čtverců
1.1 Úvod Algoritmus pro generování normálních magických čtverců Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže vypočítat magický čtverec libovolného přípustného rozměru. Za pomocí tří algoritmů, které
VíceTestování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test
Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu
VícePříloha Vzdělávacího manuálu pro hodnocení dopadů regulace (RIA)
Vyhodnocení variant Příloha Vzdělávacího manuálu pro hodnocení dopadů regulace (RIA) Metody Pro vyhodnocení identifikovaných přínosů a nákladů variant existují různé metody, z nichž k nejpoužívanějším
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VícePřiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceKartografické stupnice. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita
Kartografické stupnice Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Datum vytvoření dokumentu: 20. 9. 2004 Datum poslední aktualizace: 16. 10. 2012 Stupnice
VíceSOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceCvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz
Více676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368
Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více11 Analýza hlavních komponet
11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VíceCVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceII. Úlohy na vložené cykly a podprogramy
II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy Společné zadání pro příklady 1. - 10. začíná jednou ze dvou možností popisu vstupních dat. Je dána posloupnost (neboli řada) N reálných (resp. celočíselných) hodnot.
VíceKatedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci
Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceMatematické metody rozhodování
Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 20. března 2010 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceUNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce ANALÝZA
VíceLayout pracoviště a řízení Rozvrhování pracovníků
Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Layout pracoviště a řízení Rozvrhování pracovníků Jan Vavruška Technická univerzita
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
Více