Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I

Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I Doc. Ing. Jan Franc, DrSc. Prof. RNDr. Pavel Höschl, DrSc. (poslední úprava dne. ledna 7)

Obsah Obsah Seznam obrázků 3 Seznam tabulek 5 Krystaly 7. Krystalická struktura.............................. 7. Zavedení Millerových indexů.......................... 9.3 Reciproká mřížka.................................4 Difrakce......................................5 Laueho formulace difrakční podmínky..................... 3.6 Poruchová energie v přiblížení volných elektronů.............. 4 Homogenní polovodič 6. Statistika elektronů............................... 6.. Rozdělovací funkce elektronů...................... 6.. Elektrony ve vodivostním pásu.................... 7..3 Vlastnosti rozdělovací funkce...................... 7..4 Rozdělovací funkce elektronů v krystalu............... 8..5 Výpočet koncentrace elektronů ve vodivostním pásu.......... Statistika děr.................................. 6.3 Příměsi..................................... 7.3. Monovalentní donor........................... 7.3. Monovalentní akceptor......................... 8.3.3 Divalentní donor............................ 9.3.4 Divalentní akceptor........................... 3.4 Stanovení Fermiho meze............................ 3.5 Podmínka elektrické neutrality......................... 3.5. Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ................. 3 3 Boltzmannova kinetická rovnice 36 3. Odvození Boltzmannovy kinetické rovnice.................. 36

OBSAH 3. Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice................... 38 3.3 Stanovení nerovnovážné rozdělovací funkce.................. 4 3.4 Fyzikální význam relaxační doby....................... 4 3.4. Relaxační doba - rozptyl na podélných akustických fononech.... 44 3.4. Relaxační doba - rozptyl na ionizovaných příměsích......... 45 3.4.3 Relaxační doba - rozptyl na podélných optických fononech..... 46 3.5 Řešení Boltzmannovy kinetické rovnice.................... 47 3.6 Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie bez vnějšího magnetického pole.................................. 5 3.7 Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie pro magnetické pole s jednou nenulovou složkou.......................... 53 4 Transportní jevy 57 4. Transportní jevy bez magnetického pole................... 57 4.. Elektrická vodivost........................... 57 4.. Termoelektrická síla (Seebeckův jev)................. 59 4..3 Tepelná vodivost............................ 6 4. Transportní jevy při nenulovém magnetickém poli.............. 6 4.. Podélné jevy v magnetickém poli................... 63 4.. Příčné jevy v magnetickém poli.................... 65 4.3 Polovodiče se smíšenou elektrickou vodivostí................. 7 5 Kinetika nosičů 73 5. Rovnice kontinuity elektronů.......................... 73 5.. Odvození rovnice kontinuity...................... 76 5. Odvození balanční rovnice hybnosti a rovnice pro proudovou hustotu... 76 5.. Teplota nosičů.............................. 78 5.3 Odvození drift-difúzní rovnice......................... 78 5.4 Celková proudová hustota........................... 79 5.5 Elektrony a díry v nerovnovážném stavu................... 8 5.5. Difúzní délka minoritních nosičů.................... 8 5.6 Poissonova rovnice............................... 83 5.7 Pohyb nosičů proudu v homogenním polovodiči............... 84 5.7. Vedení proudu ve vakuu........................ 84 5.7. Vedení proudu v izolantu....................... 85 5.8 Ambipolární pohyblivost............................ 85 5.9 Vliv rekombinačních center Schockleyův-Readův model......... 87 6 Nehomogenní systémy 9 6. Slabě nehomogenní polovodič......................... 9 6. Přechod P N.................................. 9 6.. Voltampérová charakteristika ideálního přechodu P N........ 9 6.3 Kontakt kov-polovodič (M S)......................... 94

OBSAH 3 6.3. Kontakt M S s polovodičem typu N................. 95 6.3. Kontakt M S s polovodičem typu P................. 96 7 Elektron v magnetickém poli 97 7. Klasický pohled................................. 97 7.. Elektron v magnetickém poli B a v elektrickém poli E B. 7. Elektron v magnetickém poli kvantové efekty.............. 5

Seznam obrázků. Millerovy indexy................................. Indexy roviny v přímé mřížce..........................3 Vzdálenost rovin v reciproké mřížce......................4 Braggova difrakční podmínka......................... 3.5 Laueho formulace difrakční podmínky..................... 3.6 Difrakce na hranici Brillouinovy zóny..................... 4. Fermiho rozdělovací funkce........................... 6. Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu................. 7.3 Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu-degenerovaný případ...... 8.4 Aproximace Fermiho integrálu......................... 4.5 Energetické schéma homogenního polovodiče................. 6.6 Pásové schéma monovalentního donoru.................... 8.7 Pásové schéma monovalentního akceptoru.................. 9.8 Pásové schéma divalentního donoru...................... 9.9 Pásové schéma divalentního akceptoru.................... 3. Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpovídající poloha Fermiho hladiny...................................... 34. Teplotní závislost polohy Fermiho hladiny.................. 34. Průběh koncentrace elektronů......................... 35 4. Elektrická vodivost poloha vzorku v poli................. 58 4. Termoelektrická síla - schéma jevu...................... 59 4.3 Termoelektrická síla poloha vzorku..................... 59 4.4 Peltierův článek................................. 6 5. Ustálení koncetrace nosičů........................... 8 5. Pohyb nosičů v homogenním elektrickém poli................ 85 5.3 Pásový model rekombinace na hlubokých rekombinačních centrech..... 88 6. Vznik přechodu pn............................... 9 6. Pásové schéma kovu a polovodiče typu N před spojením.......... 95 6.3 Pásové schéma kovu a polovodiče typu N po spojení............. 95 6.4 Pásové schéma kovu a polovodiče typu P před spojení............ 96 4

SEZNAM OBRÁZKŮ 5 6.5 Pásové schéma kovu a polovodiče typu P po spojení............. 96 7. Trajektorie elektronu v magnetickém poli.................. 98 7. Kvantování energie elektronu v magnetickém poli.............. 6

Seznam tabulek. Tabulka aproximací............................... 5 4. Charakteristika transportních jevů...................... 7 6

Kapitola Krystaly. Krystalická struktura Krystalické látky uvažujeme jako periodické uspořádání základních stavebních jednotek. Za počátek krystalografie se považuje experimentální důkaz krystalové struktury, který provedl William Lawrence Bragg (93) pomocí RTG paprsků. Základním konceptem libovolného krystalického tělesa je Bravaisova mřížka (Auguste Bravais), která specifikuje periodické uspořádání opakujících se základních stavebních jednotek (atomů, molekul, iontů). Definice Bravaisovy mřížky: Bravaisova mřížka sestává z bodů určených v prostoru vektory R = n a + n a + n 3 a 3, (.) kde a i jsou 3 vektory neležící v jedné rovině (nazývají se primitivní vektory), n i jsou celá čísla. Bravaisova mřížka charakterizuje geometrické uspořádání těchto jednotek nezávisle na typu jednotky (je to čistě geometrický pojem). Primitivní buňka je část prostoru, která při translaci přes všechny vektory Bravaisovy mřížky vyplní celý prostor bez překryvů a beze zbytků. Elementární buňka má vlastnosti primitivní buňky, ale může obsahovat více bodů Bravaisovy mřížky, tj. vyplní prostor beze zbytků a překryvů pro některé vektory Bravaisovy mřížky. Volba primitivních vektorů ani primitivní buňky není jednoznačná, ale její objem ano. Primitivní buňka obsahuje právě jeden bod Bravaisovy mřížky. Je-li n hustota bodů v Bravaisovy mřížce a v objem primitivní buňky, pak platí: nv = Primitivní buňka nemusí mít symetrii Bravaisovy mřížky. Proto je z praktického hlediska vhodné najít takovou základní stavební jednotku, která symetrii Bravaisovy mřížky má. Řešením tohoto problému je: 7

KAPITOLA. KRYSTALY 8. Výběr takové primitivní buňky, která symetrii Bravaisovy mřížky má Wignerova- Seitzova buňka (oblast prostoru, která je bližší k danému bodu prostoru, než k jakémukoliv jinému mřížkovému bodu). Pro kubickou prostorově centrovanou mřížku (bcc) je Wignerova-Seitzova buňka osekaný osmistěn, pro kubickou plošně centrovanou mřížku (fcc) dvanáctistěn.. Definovat jako základní stavební jednotku dané krystalové struktury vhodně zvolenou elementární buňku. Koordinační číslo určuje počet nejbližších sousedů Příklady počtu nejbližších sousedů: kubická prostá mřížka 6 kubická prostorově centrovaná mřížka (body centered cubic, bcc) 8 (Fe, K, W) kubická plošně centrovaná mřížka (face centered cubic, fcc) (Au, Ag, Al, Pt, Ca) Krystalová struktura je Bravaisova mřížka s bází. Je to struktura získaná identickými kopiemi stejných fyzikálních jednotek zasazených do všech bodů Bravaisovy mřížky. diamantová struktura dvě kubické plošně centrované mřížky posunuté o /4 tělesové úhlopříčky; ve všech bodech je stejný atom (C, Si, Ge) sfaleritová struktura dvě kubické plošně centrované mřížky posunuté o /4 tělesové úhlopříčky, body příslušející jedné fcc mřížce jsou obsazeny jedním typem atomů, body druhé druhým typem (GaAs, CdTe, InP, ZnTe, HgTe, ZnSe) hexagonální struktura dvě hexagonální Bravaisovy mřížky posunuté takto: vertikálně o c/ a horizontálně tak, že body jedné leží nad středy trojúhelníků (první), tvořeny sousedními body roviny, třetí řada koulí přesně nad první, atd. (kulečníkové koule nad sebou ABAB... ) (Cd, Hg, Ti) struktura NaCl kubická plošně centrovaná mřížka s bází tvořenou dvěma atomy, každý iont jednoho typu má 6 nejbližších sousedů typu druhého (NaCl, KCl) struktura CsCl kubická prostorově centrovaná mřížka s bází tvořenou dvěma atomy. Z hlediska symetrie je Bravaisova mřížka charakterizována všemi operacemi zachovávajícími vzdálenosti mezi body (operacemi symetrie), které převedou mřížku v sebe samu. Tento soubor operací se nazývá grupa symetrie Bravaisovy mřížky a sestává z. translace přes vektory Bravaisovy mřížky,

KAPITOLA. KRYSTALY 9. operace, které zachovávají nějaký pevný bod, 3. operace složené z prvních dvou. Soubor operací typu definuje tzv. bodovou grupa Bravaisovy mřížky (rotace, reflexe, inverze). Bylo zjištěno, že existuje celkem 7 bodových grup, které Bravaisova mřížka může mít Těmto 7 bodovým grupám pak odpovídá 7 tzv. krystalových soustav. Pokud se neomezujeme na bodovou grupu, ale na plně symetrickou grupu, dostaneme 4 grup, které může Bravaisova mřížka mít, tj. z hlediska symetrie existuje 4 Bravaisových mřížek (Bravais, 845). Přehled krystalových soustav (číslo v závorce udává počet Bravaisových mřížek příslušejících dané soustavě): kubická (3) tetragonální () ortorombická (4) monoklinická () triklinická () trigonální () hexagonální () Provedení podrobné analýzy na reálné krystalové struktuře. tj. při zahrnutí báze, která nemusí mít maximální symetrii Bravaisovy mřížky, vede k výsledku, že existuje 3 grup symetrie (prostorových grup). V případě omezení se na netranslační symetrii pak existuje 3 krystalových bodových grup.. Zavedení Millerových indexů Millerovy indexy soustavy rovin (viz obrázek.) jsou čísla h, k, l, pro něž platí: h : k : l = m : n : p (.) a h, k, l jsou nejmenší celá čísla splňující tento vztah. Kromě jedné nemají žádného společného dělitele a vztahují se k celé soustavě rovin, které jsou v krystale ekvivalentní.

KAPITOLA. KRYSTALY pz z y x ny mx Obrázek.: Millerovy indexy, značení....3 Reciproká mřížka Základní vlastnost krystalu je periodické uspořádání při posunutí krystalu o vektor R n (n = (n, n n 3 ), n i Z) se krystal ztotožní sám se sebou, fyzikální vlastnosti se při translaci nemění (např.: koncentrace elektronů, elektrický potenciál V (r), V (r) = V (r + R)). Pro periodické funkce V (r) = V (r + R) je výhodné (pro zkoumání jejich vlastností) provést Fourierovský rozklad: V (r) = R V b exp [ib r], (.3) kde b je zatím neznámý vektor závislý na vlnovém vektoru k. = b V (r + R n ) = b V b exp [ib r] exp [ib R n )] = b V b exp [ib (r + R n )] = (.4) V b exp [ib r] (.5) exp [ib R n )] = = exp[iπm]; m Z (.6) b R n = πm (.7) n (b a ) + n (b a ) + n 3 (b a 3 ) = πm. (.8) Hledáme vektory b i (primitivní vektory reciproké mřížky), splňující tento vztah. Definujme

KAPITOLA. KRYSTALY např. a a 3 b = π a (a a 3 ), (.9) a 3 a b = π a (a a 3 ), (.) a a b 3 = π a (a a 3 ). (.) Pro zkoušku musí platit b i a j = πδ ij. Pro libovolný vektor reciproké mřížky G R tedy platí G R = hb + kb + lb 3, (.) G R R = π(hn + kn + ln 3 ). (.3) Výraz (hn +kn +ln 3 ) je celé číslo, pokud h, k, l jsou celé čísla. Z toho plyne, že podmínky periodicity jsou splněny, pokud h, k, l Z a reciproká mřížka je Bravaisova mřížka. Vektory b i mají rozměr převrácené délky. Nekonečná periodická mřížka sestrojená pomocí translačních vektorů b i se nazývá reciproká mřížka. Platí b (b b 3 ) = (π)3 Ω, kde Ω = a (a a 3 ). (.4) pa 3 a 3 a a na ma Obrázek.: Indexy roviny v přímé mřížce Hledáme vektor kolmý k rovině na obrázku.. Musí pro něj platit (hb + kb + lb 3 ) (ma na ) = (hm kn) = (.5) hm = kn, hm = lp, lp = kn (.6) m = h, n = k, p = l (.7)

KAPITOLA. KRYSTALY h, k, l jsou Millerovy indexy roviny k níž je vektor G hkl = (hb + kb + lb 3 ) kolmý, tj. vektor G hkl je kolmý k rovině (hkl). Dále ukážeme, že vzdálenost dvou sousedních rovin systému je d hkl = y G π. hkl v x Obrázek.3: Vzdálenost rovin v reciproké mřížce K obrázku.3 (využijeme definici roviny): a k (hb + kb + lb 3 ) G hkl n = G hkl G hkl, (.8) r n = konst, (.9) = π G hkl. (.) Pro každé m je nejkratší vektor odpovídající vzdálenosti dvou sousedních rovin rovný = r, kde h je Millerův index. a h.4 Difrakce V roce 93 W. L. Bragg pozoroval, že krystalické látky vykazují charakteristické obrazce při odrazu RTG paprsků. Předpokládal, že dochází k odrazu na rovinách a že paprsky odražené od sousedních rovin interferují konstruktivně. Braggova formulace: sin θ = x, (.) d hkl n je řád odpovídající reflexe, d hkl sin θ = nλ, (.) λ d hkl λ < d hkl ( ) λ < d hkl (.3) d hkl je obvykle Å =, nm a tím vlnová délka λ odpovídá RTG paprskům, elektronům nebo neutronům.

KAPITOLA. KRYSTALY 3 θ x d hkl Obrázek.4: Braggova difrakční podmínkan.5 Laueho formulace difrakční podmínky Předpokládejme, že krystal se skládá z identických mikroskopických objektů (atomů, iontů) umístěných v bodech R Bravaisovy mřížky. Každý z objektů může vyzářit dopadající záření v libovolném směru. Ostré píky budou pozorovány pouze ve směrech a při vlnových délkách, pro které paprsky rozptýlené z různých mřížkových bodů budou interferovat konstruktivně. d cos θ + d cos θ = d n d n = d (n n ) = mλ, m Z, (.4) d (k k ) = πm. (.5) k k θ θ d k k Obrázek.5: Laueho formulace difrakční podmínky Obecně R (k k ) = πm, (.6) exp [i (k k ) R] =, (.7) pro všechny Bravaisovy vektory R. To odpovídá definici reciproké mřížky, tj. k k je vektor reciproké mřížky, G = k k. Pokud je známa Bravaisova mřížka krystalu, lze určit Bravaisovou mřížku reciprokého krystalu.

KAPITOLA. KRYSTALY 4 Při pružném rozptylu platí k = k = k k = k k G + G, (.8) G = k G, (.9) ( ) ( ) ( ) G G = k = k G G cos θ =. (.3) G k k Obrázek.6: Difrakce na hranici Brillouinovy zóny Toto je jiná formulace difrakční podmínky. Každý vektor k vedený z počátku a končící na rovině vedené jako kolmice v polovině spojnice dvou sousedních bodů, splňuje při pružném rozptylu difrakční podmínku. Takto popsaná rovina tvoří část hranice zóny. Svazek záření dopadající na krystal bude difraktovaný, jestliže jeho velikost a směr splňují podmínku k G ( ) = G. (.3) Směr difraktovaného paprsku je dán vektorem k G. Oblast vyznačená jako prostor mezi počátkem a výše popsanými rovinami se nazývá Brillouinova zóna. Je to vlastně Wignerova- Seitzova buňka v reciproké mřížce..6 Poruchová energie v přiblížení volných elektronů (Pomocí shora uvedené formulace difrakční podmínky lze vysvětlit vznik zakázaných pasů v polovodičích. Řešení energetického spektra elektronů v krystale při použití metody téměř volných elektronů vede k opravě v rámci prvního řádu poruchového počtu E = m V g π G + G k. (.3) g

KAPITOLA. KRYSTALY 5 Tato oprava k energii volných elektronů je malá, pokud není jmenovatel zlomku roven nule. Když vlnový vektor elektronu k splňuje pro některý vektor reciproké mříže G podmínku G + k G =, je téměř volný pohyb elektronů silně porušen. Tato porucha má charakter zrcadlového odrazu elektronové vlny od atomové roviny kolmé k vektoru G (Braggova difrakční podmínka). Řešením rovnice pro přiblížení volných elektronů dostaneme v okolí první Brillouinovy zóny (k = ± π a ) Ek = k m ± V g. (.33) Energetické spektrum pak nabývá charakter pásů. V neporušených mřížích se elektron nemůže vyskytovat v zakázaném pásu.

Kapitola Homogenní polovodič. Statistika elektronů Elektrony se v tepelné rovnováze chovají jako soustava nabitých nerozlišitelných částic. Na dovolených energetických hladinách jsou rozděleny Fermiho statistikou. Energetické stavy rozlišujeme: spojité kontinuum (vodivostní pás, příměsový pás a valenční pás), diskrétní (příměsi)... Rozdělovací funkce elektronů Rozdělovací funkce elektronů má tvar f (E S ) = n S g S = [ + exp ], (.) E S E F k B T kde n S je počet elektronů ve stavu s energií E S, g S počet stavů s energií E S, E F Fermiho energie (chemický potenciál), k B označuje Boltzmannovu konstantu a T teplotu. f (E) 4k B T E F E Obrázek.: Fermiho rozdělovací funkce 6

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 7 8k B T E dn de g(e) f (E) dn g(cale), de E F k B T Obrázek.: Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu.. Elektrony ve vodivostním pásu Elektrony v tepelné rovnováze s krystalovou mříží se ve vodivostním pásu chovají jako volné částice s efektivní hmotností m e. Pro rozdělovací funkci platí f (E k ) = + exp [ E(k) EF k B T..3 Vlastnosti rozdělovací funkce ]. (.) Na obr.. je znázorněn průběh rozdělovací funkce f (E k ) pro T = a T >. Podle polohy Fermiho energie při teplotě T se mohou elektrony v krystalu chovat jako: nedegenerovaný elektronový plyn definovaný podmínkami ( exp E ) F, při E F > 4. (.3) k B T k B T V tomto případě Fermiho mez leží v zakázaném pásu alespoň 4k B T od vodivostního pásu. Fermiho rozdělení se redukuje na Boltzmannovo rozdělení. [ ] EF E(k) f (E k ) = exp. (.4) k B T silně degenerovaný elektronový plyn vyhovující vztahům ( ) EF E F exp, při >. (.5) k B T k B T Fermiho mez leží hluboko ve vodivostním pásu (například u kovů). částečně degenerovaný elektronový plyn 4 < E F k B <. (.6)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 8 8k B T E dn de g(e) E F k B T f (E) g(e), dn de Obrázek.3: Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu-degenerovaný případ..4 Rozdělovací funkce elektronů v krystalu Při stanovení rozdělovací funkce elektronů budeme hledat počet rozlišitelných způsobů, kterým je možné daný počet částic rozdělit do určitého počtu krabiček. V našem případě částice představují elektrony a krabičkami jsou vlastní stavy systému. Těmi mohou být stavy v pásu, určené kvantovými čísly k x, k y, k z nebo příměsové stavy, charakterizované vlastními kvantovými čísly. Důležitým předpokladem je, že elektron v jednom stavu (krabičce) musí jen slabě interagovat s elektrony v ostatních stavech. V takovém případě je celkový Hamiltonián systému pouhým součtem individuálních Hamiltoniánů. Elektrony v systému přicházejí z valenčního pásu nebo z donorových stavů. Tyto elektrony mohou být distribuovány mezi stavy ve valenčním pásu, vodivostním pásu a mezi donorová a akceptorová centra. Vodivostní pás rozdělme na energetické úseky E C. Každý tento úsek obsahuje velké množství stavů, ale velikostně je menší než E charakterizující přesnost měření. Předpokládejme, že i-tý úsek ( E Ci ) obsahuje n Ci elektronů rozmístěných do N Ci stavů. Počet rozlišitelných způsobů, jak rozdělit n Ci elektronů do N Ci stavů je W Ci = ( NCi n Ci ) = N Ci! n Ci!(N Ci n Ci )!. (.7) Počet rozlišitelných způsobů, jak rozmístit všechny vodivostní elektrony je W C = i W Ci = i N Ci! n Ci!(N Ci n Ci )!. (.8) Analogicky pro valenční pás platí W V = j W Vj = j N Vj! n Vj!(N Vj n Vj )!. (.9) Zavedení příměsí do statistiky je relativně jednoduché za předpokladu, že každá příměs má jen jeden stav v zakázaném pásu (toto omezení v pozdějším výkladu již nebude uplatňováno). To znamená, že obsahuje-li konkrétní atom n a + elektronů, je potřeba energie

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 9 E Ik k excitaci jednoho z elektronů (E Ik < E g ). Obsahuje-li atom n a elektron, je potřeba k excitaci jednoho elektronu energie větší než E g. Bez degenerace je počet možných permutací. ( ) NIk N Ik! = n Ik!(N Ik n Ik )!. (.) n Ik Zde N Ik je celkový počet atomů příměsi typu k, z nichž n Ik obsahuje n a + elektronů a zbytek n a elektronů. Navíc příslušné elektrony (n a nebo n a + ) na každém atomu mohou být permutovány g způsoby, kde g je degenerace příslušného stavu. Například mámeli tři ekvivalentní elektrony v orbitalu, který může obsáhnout celkem elektronů šest, je degenerace g = 6! 3!3! =. Předpokládáme, že g je degenerace stavu s n a + elektrony a g degenerace stavu s n a elektrony. Pak díky tomu, že stavy obsahující o jeden elektron navíc jsou obsazeny n Ik extra permutací, takže nakonec elektrony a počet stavů s n a elektrony je N Ik n Ik, máme g n I k g (N I k n Ik ) W Ik = gn Ik g (N I k n Ik ) N Ik! n Ik!(N Ik n Ik )!. (.) Máme-li více příměsí (donorů či akceptorů), je výsledný počet jejich obsazení W I = k W Ik. (.) Celkový počet rozlišitelných způsobů, jak rozdělit elektrony v systému, je W = W C W V W I. (.3) Věta: (plynoucí z teorie pravděpodonosti) Přepdokládáme-li, že každá permutace, jejímž výsledkem je stejná celková energie, je stejně pravděpodobná, pak nejpravděpodobnější rozdělení mezi energetické úseky je to, které maximalizuje W. Nyní spolu se Stirlingovým vzorcem ln N! = N ln N N tuto větu aplikujeme na náš případ. Vzhledem ke stejné monotonii W i i ln W můžeme studovat jednodušší linearizovanou závislost ln W. Po rozepsání dostaneme ln W = i N Ci ln N Ci n Ci ln n Ci (N Ci n Ci ) ln(n Ci n Ci )+ + j + k N Vj ln N Vj n Vj ln n Vj (N Vj n Vj ) ln(n Vj n Vj )+ N Ik ln N Ik n Ik ln n Ik (N Ik n Ik ) ln(n Ik n Ik )+ + n Ik ln g k + (N Ik n Ik ) ln g k. (.4)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Při maximalizaci ln W musí být zachován celkový počet elektronů a celková energie. Máme tedy dvě podmínky F (n) = i n Ci + j n Vj + k n Ik = N e, (.5) F (n, E) = i n Ci E Ci + j n Vj E Vj + k n Ik E Ik = E t (.6) potřebné k užití metody Lagrangeových multiplikátorů n e {ln W + α[n e F (n)] + β[e F F (n, E)]} =. (.7) Necht je postupně n e = n Ce, n Ve, n Ie, kde index e označuje vybraný elektron. Pak ln W N Ce n Ce = ln n Ce + + ln(n Ce n Ce ) = n Ce N Ce n Ce N Ce n Ce = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce + = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce, (.8) Tedy celkem α[n e F (n)] = α F (n) = α, n Ce n Ce (.9) β[e t F (n, E)] = βe Ce. n Ce (.) n Ce {ln W + α[n e F (n)] + β[e t F (n, E)]} = Analogicky dostaneme a Z těchto vztahů zřejmě plyne = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce α βe Ce =. (.) ln(n Ve n Ve ) ln n Ve α βe Ve = (.) ln(n Ie n Ie ) ln n Ie + ln g e ln g e α βe Ie =. (.3) n Ce = N Ce + exp(α + βe Ce ), (.4) n Ve = N Ve + exp(α + βe Ve ) = N N Ve V e + exp[ (α + βe Ve )], (.5) n Ie = N Ie + g g exp(α + βe Ie ). (.6)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Lze ukázat, že pro multiplikátory α a β platí α = E F k B T, β = k B T. (.7) V obecném případě necht n klm je počet center m-tého excitovaného stavu l-tého nábojového stavu k-té příměsi nebo energetického úseku vodivostního nebo valenčního pásu. Nultý stav rezonuje s valenčním pásem, tj. k excitaci elektronu z tohoto stavu do vodivostního pásu je potřebná energie větší než E g. At l k je počet nábojových stavů (hladin) v zakázaném pásu pro k-té centrum l =,,..., l k, kde l je počet ionizovatelných elektronů. Pro dané l je m kl počet excitovaných stavů (m l =,,..., m kl ). Necht g klm je degenerace klm-tého stavu, pak W = k l k m kl l= m= Hledání maxima této funkce je omezeno podmínkami (g klm ) n klm Nk!. (.8) n klm! zachování počtu elektronů na k-té příměsi n klm = N k. (.9) Příslušný Lagrangeův multiplikátor označíme γ k. l,m zachování celkového počtu elektronů (každá příměs ve stavu klm má l ionizovatených elektronů) n klm l = N e, (.3) k,l,m kde N e je celkový počet elektronů. Zde Lagrangeův multiplikátor označíme α. zachování celkové energie n klm E klm = E F, (.3) k,l,m přičemž β bude odpovídající Lagrangeův multiplikátor. Konečně můžeme psát n klm {ln W + γ k [N k F k (n)] + α[n e F (n)] + β[e F F (n, E)]} = Ve speciálním případě l = a m = máme = ln g klm ln n klm γ k αl βe klm =. (.3) ln g k ln n k γ k βe k =. (.33)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Kombinací rovnic (.3) a (.33) získáme n klm = g klm g k n k e lα β(e klm E k ) = g klm g k n k e lη F (η klm η k ), (.34) kde zavádíme redukovanou energii η klm = E klm k B T. (.35) Pro počet elektronů na k-té příměsi dostáváme N k = n klm = n k g klm e lη F (η klm η k ) = g k l,m l,m ( = n klm + ) = l l = n klm ( + l l n kl m n m m klm z čehož pro počet elektronů ve stavu klm plyne g kl m e η klm η kl m (l l )η F g m m klm ), (.36) n klm = + l l N k m m g kl m g klm e η klm η kl m (l l )η F. (.37)..5 Výpočet koncentrace elektronů ve vodivostním pásu Od této chvíle budeme normalizovat počty částic na jednotkový objem, takže se z nich stanou hustoty částic n = l (vod. pás) n Cl = l g(e l ) E + exp[ E l E F (.38) k B ], T kde g(e) je hustota stavů ve vodivostním pásu, platí tedy se započtením spinu pro ni g(e) = 4π(m e) 3/ h 3 E. (.39) Pak přechodem k integraci, tj. ke spojitému rozdělení energií, dostáváme n = E Cmax E Cmin g(e)de + exp[ E E F ] = 4π(m h 3 k B T e) 3/ EdE + exp[ E E F ] = k B T f (E)g(E)dE. (.4) V poslední úpravě jsme předpokládali, že na dně vodivostního pásu je E = a vzhledem k tomu, že Fermiho funkce efektivně padá k nule už jen několik k B T nad E F, je možné horní

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 mez integrace položit rovnou nekonečnu, což značně usnadní řešení integrálu. V některých učebnicích se do funkce g(e) nezapočítává faktor spinové degenerace pak je n = Použijeme-li výše zavedenou redukovanou energii x = η = E F k B,můžeme odvodit T n = = f (E)g(E)dE = (m e k B T ) 3/ π 3 f (E)g (E)dE. (.4) (m e ) 3/ π 3 E k B T a redukovanou Fermiho energii EdE + exp[ E E F ] = (.4) k B T x / dx. (.43) e x η + Tento výsledek lze také zapsat pomocí tzv. Fermiho integrálu F r (η) definovaného vztahem jako Jestliže nyní vezmeme n = F r (η) = (m e k B T ) 3/ x r dx (.44) e x η + π 3 F /(η). (.45) ( ) πm 3/ N C = e k B T (.46) h 3 jako tzv. efektivní hustotu stavů elektronů, je možné koncentraci elektronů n napsat v ještě přehlednějším tvaru n = π N C F /(η). (.47) Vedle právě ukázaného způsobu zavedení Fermiho integrálu existuje i alternativní postup: n = 3π ( f ) k 3 (E)dE = (m e) 3/ E 3π 3 ( f ) E 3/ de, (.48) E nebot k 3 = (m e) 3/ 3 E 3/. (.49)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 4 Pak po dosazení redukované energie, redukované Fermiho energie a efektivní hustoty stavů máme n = 4 ( 3 π N C f ) x 3/ dx, (.5) x kde výraz F r (η) = ( f ) x r dx (.5) x je tzv. Fermiho-Diracův integrál. Konečně koncentrace elektronů n nabývá přehledného π eη F (η) 3 η 3, - 4 η Obrázek.4: Aproximace Fermiho integrálu zápisu Místo F r (η) se někdy rovněž zavádí n = 4 3 π N CF 3/ (η). (.5) F r = přičemž Γ(r + ) je známá Γ-funkce s následujícími vlastnostmi : F r(η) Γ(r + ), (.53) Γ(r + ) = rγ(r), Γ(j + ) = j!, Γ(/) = π, (.54)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 5 takže pro koncentraci elektronů platí n = 4 3 π N CF 3/ (η) = 4 ( ) 3 π N 3 3 C Γ F 3/ (η) = = 4 3 π N 3 C πf3/ (η) = N C F 3/ (η). (.55) Pro některé oblasti je možné Fermiho integrály nahradit analytickou funkcí, například F / lze nahradit dle tabulky níže uvedené. Aproximující Oblast Relativní funkce platnosti chyba π eη η < 4 % π eη (, 3e η +, 6e η ) η <, 75 % π eη +,7e η η <, 5 3 % ( ) 3 η3/ + π 8η η >, 5 % 3 η3/ η >, 5 % Tabulka.: Tabulka aproximací Tyto aproximace použijeme pro dva limitní případy: nedegenerovaný polovodič, kde η < 4 Koncentraci elektronů lze pak vyjádřit n = π N C F /(η) = π N C π eη = N C e η, (.56) silně degenerovaný polovodič, pro který je η > Koncentrace elektronů má potom tvar přičemž zavádíme n = π N C F /(η) = π N C 3 η3/ = 4 3 π N Cη 3/, (.57) E F = ~ m e (3π n) /3, k F = (3π n) /3. (.58)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 6. Statistika děr Rozdělovací funkce pro díry je f h (E) = f (E) = = e(x η) + = e (x η) + e (x η) + = e(x η) =. e (x η) + +e (x η) Aby byly vztahy pro elektrony a díry obdobné, je nutné provést transformaci (.59) Pak E = E E g, x = x β, (.6) E F = E F E g, η = E F k B T, (.6) β = k BT, E g η = η β. (.6) f h (x) = = + e = = (x η) e x + β η β + (.63) + e = f (x η ) (x ), (.64) kde E F je Fermiho mez pro díry odečítaná od vrcholu valenčního pásu (viz obr..5). E g E F < E F < E > E c = E F E > E v = E g Obrázek.5: Energetické schéma homogenního polovodiče Přejdeme-li tedy plně k dírám, tj. získáme pro koncentraci děr p = x x, η η, m e m h, (.65) f (E )g(e )de = π N V F /(η ) = 4 3 π N VF 3/ (η ) = N V F 3/ (η ), (.66)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 7 kde je efektivní hustota stavů děr..3 Příměsi ( ) πm 3/ N V = h k B T.= 4, 84. 5 h 3 ( ) m 3/ h T 3/ cm 3 (.67) Nyní odvodíme konkrétní vztahy pro obsazení příměsových hladin monovalentních akceptorů a donorů. Z obecného vztahu (.37) při zanedbání excitovaných stavů dostáváme m n kl = + l l N k g kl g kl e Ekl E kl k B T E F k B T l l, (.68) kde k označuje typ centra (akceptor, donor), l nábojový stav (počet ionizovatelných donorů) a g kl je stupeň degenerace daného stavu..3. Monovalentní donor Zde je l= (žádný elektron na centru, donor je ionizován) nebo l= (elektron je na centru, donor je elektricky neutrální). Potom, položíme-li nulovou hladinu energie na dno vodivostního pásu, tj. E k = E D =, a tedy i E k = E D, máme n D = N D + g D g D e ED+EF k B T. (.69) Vzhledem k tomu, že g D =!!! =, g D =!!! =, g D =!! = g D g D =, (.7) platí pro n D n D = N D + e E D +E F k B T = N D + e β(e D+E F ) (.7) a pro n D n D = N D + E D +E F e k B T = N D + e β(e D+E F ). (.7)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 8 E D E c = n D n D E g Obrázek.6: Pásové schéma monovalentního donoru.3. Monovalentní akceptor V základním (elektricky neutrálním) stavu chybí na akceptoru jeden elektron. V případě l= (l =) je elektron na akceptoru (akceptor je ionizován). Vztáhneme-li nulu energií ke dnu vodivostního pásu, tedy E A = E g a E A = E A, dostáváme n A = N A + g A g A e EA+EF+Eg k B T. (.73) Vzhledem k tomu, že vrchol valenčního pásu je dvakrát degenerovaný (přítomny lehké i těžké díry), může být obsazen čtyřmi elektrony. Neionizovaný akceptor obsahuje tři elektrony, zatímco ionizovaný čtyři. Potom g A = 4! 3!! = 4, g A = 4! 4!! =, g A g A = 4. (.74) Počet elektronů na akceptoru n A je roven počtu děr ve valenčním pásu vzniklých v důsledku přechodu elektronů z valenčního pásu na akceptor. Celkem tedy máme n A = N A + 4e E A +E F +Eg k B T. (.75) Za předpokladu l= (l =) není na akceptoru žádný elektron, je tedy v neutrálním stavu. Pak při ponechání E A = E g a E A = E A plyne pro počet elektronů na akceptoru n A = N A + g A g A e EA+EF Eg k B T = N A + E A +E F +E g 4 e k B T. (.76) V případě, že chceme výpočet vztáhnout k valenčnímu pásu, musíme položit E A = a E A = E A. Můžeme následně odvodit, že kde E A = E g + E A. n A = N A + 4e β(e A+E F ), (.77)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 9 E A E c = N A E A Eg n A n A Obrázek.7: Pásové schéma monovalentního akceptoru.3.3 Divalentní donor K nalezení koncentrací elektronů na těchto příměsích musíme diskutovat jejich možnou ionizaci : l= Žádný elektron na donoru donor je dvakrát ionizován (E K =, E K = E D, E K = E D ). Zřejmě platí n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β(e D+E F ). (.78) l= Jednou ionizované divalentní donory. S kalibrací energií zavedenou výše můžeme psát n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β( E D+E D +E F ). (.79) l= Neionizované donory, pro které podobně plyne n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β(e D+E D +E F ). (.8) E D E D E c = n D n D n D E g Obrázek.8: Pásové schéma divalentního donoru Degenerační faktory nabývají hodnot g D =, g D =, g D =. (.8)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3.3.4 Divalentní akceptor K nalezení koncentrací elektronů na těchto příměsích je nutné diskutovat jejich případnou ionizaci : l= Žádný elektron na akceptoru akceptor je v neutrálním stavu. Potom máme n A = N A + g A g A e β(e A E g +E F) + g A g A e β(e A E g +E F ). (.8) l= Jednou ionizované divalentní akceptory jeden elektron na akceptoru (resp. jedna díra ve valenčním pásu). Platí n A = N A + g A g A e β( E A+E g E F) + g A g A e β( E A+E A +E F ). (.83) l= Dva elektrony na akceptoru, ten je tedy dvojnásobně ionizován (E K = E g, E K = E A, E K = E A ), pak n A = N A + g A g A e β( E A+E g E F) + g A g A e β( E A+E A E F ). (.84) E A E A E c = n A n A N A n A E A E g Obrázek.9: Pásové schéma divalentního akceptoru V případě dvakrát degenerovaného valenčního pásu je g A = 4!!! = 6, g A = 4! 3!! = 4, g A = 4! 4!!.4 Stanovení Fermiho meze Uvažujme vlastní polovodič: podmínka elektrické neutrality dává =. (.85) p = n, (.86) 4 3 π N VF 3/ (η ) = 4 3 π N CF 3/ (η), (.87) (m h) 3/ F 3/ (η ) = (m e) 3/ F 3/ (η). (.88)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 Tuto rovnici lze vyřešit pouze numericky nebo aproximativně například pro nedegenerovaný polovodič (m h) 3/ F/(η ) = (m e) 3/ F/(η), (.89) π π (m h) 3/ e η = (m e) 3/ e η, (.9) (m h) 3/ e η β g = (m e) 3/ e η ; β g = E g k B T, (.9) ( ) e η = e β g m 3/ h, (.9) m e def η i = η = E g k B T + 3 ( ) m 4 ln h. (.93) Tímto jsme definovali tzv. intrinsickou Fermiho mez η i. Je proto možné rozeznávat polovodiče typu N a P: N-typ η > η i, P-typ η < η i. Nyní ještě odvodíme intrinsickou koncentraci nosičů. n i = π N C F /(η) = π N C π e η i = (.94) m e = N C e η i = N C e β g ( m h m e ) 3/4 = (N C N V ) / e β g. (.95) Pro nedegenerovaný polovodič tedy platí n i = np. (.96).5 Podmínka elektrické neutrality Pro extrinsický polovodič má podmínka elektrické neutrality tvar p + n D = n + p A p + N + D = n + N A, (.97) π N V F /(η ) + N D + e = N E D +η C F π /(η) + N A + 4e E A +η, (.98)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 kde Řešením této rovnice dostaneme vždy Fermiho mez η, resp. E F..5. Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ η = η Eg, (.99) Eg = E g k B T, (.) E D = E D k B T, (.) E A = E A k B T. (.) Jako příklad ukážeme nyní výpočet Fermiho meze pro nedegenerovaný kompenzovaný polovodič typu n. Jak jsme uvedli výše, vyjdeme z podmínky elektrické neutrality π N V F /(η ) + Z vlastností uvažovaného polovodiče plyne Dostáváme tedy Úpravou získáme N D + exp [E D + η] = π N C F /(η) + N A + 4 exp [E A + η ], p + p D = n + n A. (.3) p, n = N C e η, n A = N A. (.4) N C e η N D = + e N A, E D +η N C e η ( + e E D e η ) = N D N A ( + e E D e η ). (.5) N C e η + N C e E D e η N D + N A + N A e E D e η =, e η.n C e ( E D + e η N C + N A e D) E (ND N A ) =, ( NCe η + N C e }{{} η N A + ) N Ce E D N C(N D N A )e E D =, n ( n + n N A + ) N Ce E D N C(N D N A )e E D =. (.6) }{{}}{{} b c

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 33 Stačí jen vyřešit tuto kvadratickou rovnici v proměnné n. Spočítáme-li diskriminant D = b 4ac (a = ), můžeme pro kořeny psát ( n = b ) b + c = b ( c b, (.7) ) n = N C e η = ( ) [ NA + N C e E D ( + 8(N ) / D N A )N C e E D ]. (.8) 4 (N A + N C e E D) Tento obecný vztah budeme diskutovat ve třech limitních případech a) Slabě kompenzovaný polovodič (N A N D ) za nízkých teplot. Dosazením předpokladů můžeme odvodit N A N C e E D 8ND, N A n N D (.9) n = 4 N Ce E D [ ( + 8N ) / DN C e E D ] N C e E D [ ( = 4 N Ce E D + 8N ) / D ] N C e E D = ( ) / ( ) / 4 N 8ND NC N Ce E D D == e E D. (.) N C e E D b) Kompenzovaný polovodič (N A < N D ) za nízkých teplot. Ze vztahu platného pro takovýto polovodič plyne N C e E D NA < N D (.) c) Kompenzovaný polovodič (N A < N D ) za vysokých teplot. Použitím dostaneme konstantní hustotu elektronů n = N D N A N A N C e E D. (.) N C e E D 8(NA N D ) (.3) n = N D N A. (.4)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 34 p ++ p + E c p n n + n ++ N D, A n i E F E i N A = n i N D = n i E v 8 8 N N D (cm 3 A ) Obrázek.: Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpovídající poloha Fermiho hladiny E c E typ N a b c E F N D E i E i E v 3 T Obrázek.: Teplotní závislost polohy Fermiho hladiny pro polovodič s jedním typem příměsí (typu N)

KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 35 log n E g / c N D E D / b a n = N D 3 /T Obrázek.: Průběh koncentrace elektronů pro polovodič s jedním typem příměsí

Kapitola 3 Boltzmannova kinetická rovnice Vedle popisu rovnovážných stavů má značný význam studium vodivostních elektronů a děr v nerovnovážném stavu, kdy se pohybují krystalem pod vlivem vnějších polí (elektrického, magnetického, teplotního). Takové jevy, spojené s přemíst ováním elektronů a děr se nazývají transportní nebo kinetické. 3. Odvození Boltzmannovy kinetické rovnice V termodynamické rovnováze jsou elektrony popsány funkcí f (x) = + e x η (3.) kde η = E F a x = E k T k. Systém elektronů, který není v termodynamické rovnováze je T popsán funkcí (nejprve uvažujeme volné elektrony) f(v x, v y, v z, x, y, z, t) dv x dv y dv z dx dy dz = f(v, r, t) d 3 v d 3 r (3.) kde strany rovnice vyjadřují počet elektronů, které jsou v čase t, v bodě r a s rychlostí x, které souřadnice leží postupně v intervalech (v x, v x + dv x ), (v y, v y + dv y ) a (v z, v z + dv z ), v objemu d 3 r = dx dy dz. Známe-li f(v, r, t), lze určit hustotu proudu v bodě r a v čase t. Počet elektronů s rychlostí v uvnitř válce je f(v, r, t) d 3 v v x dt. Tyto elektrony se za čas dt přemístí ve směru osy x o vzdálenost v x dt. Tedy dt f(v, r, t)v x dv x dv y dv z je celkový počet elektronů všech rychlostí, které projdou ploškou za čas dt. Pak proud ve směru osy x je dán vztahem: j x = e f(v, r, t)v x dv x dv y dv z (3.3) f(v, r, t) = f (E) + f (v, r, t) 36

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 37 kde f (E) je sudá (závisí na v x). Proto f v x je lichá funkce dle dv x. Tím pádem f v x dv x =. Potom rovnice (3.3) přechází na tvar: j x = e f (v, r, t)v x dv x dv y dv z (3.4) Prostudujeme změnu počtu elektronů s rychlostí v za čas dt v důsledku jejich pohybu v prostoru. Levou stěnou dy dz elektrony přicházejí, pravou odcházejí (předpokládáme v x > ). Počet elektronů za čas dt vstupujících levou stěnou je f(v, x, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt, počet elektronů vystupujících pravou stěnou je f(v, x + dx, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt. Zvýšení počtu elektronů s rychlostí v v objemu d 3 r je f(v, x, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt f(v, x + dx, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt = = v x {f(v, x + dx, y, z, t) f(v, x, y, z, t)} dy dz d 3 v dt = v f x dx dy dz d3 v dt Při zahrnutí všech stěn dostáváme ( ) f v x x + v f y y + v f z d 3 v d 3 r dt = v r f d 3 v d 3 r dt = v f z r d3 v d 3 r dt Analogicky lze určit změnu počtu elektronů s rychlostí v v objemu d 3 v = dv x dv y dv z v důsledku jejich pohybu ve v prostoru, tj. v důsledku zrychlení v f v d3 v d 3 r dt = m (F v f) d 3 v d 3 r dt protože v = F, kde F (r, t) je síla působící na elektron v bodě r a v čase t. Počet elektronů m s rychlostí v se rovněž změní následkem srážek. Elektron s rychlostí v se v důsledku srážky dostane z objemu d 3 v, v důsledku změny jeho rychlosti. Budeme sledovat pouze pružné srážky, tj. v = v. Pravděpodobnost, že se elektron s rychlostí v za čas dt rozptýlí a stane se z něj elektron s rychlostí v je W (v, v ) d 3 v dt. Celkový počet elektronů, s rychlostí v které ubudou za čas dt následkem srážek je roven f(v, r, t)w (v, v ) d 3 v d 3 r d 3 v dt (3.5) (v ) Počet elektronů s rychlostí v bude růst, pokud se elektrony s rychlostí v změní vlivem srážek v elektrony s rychlostí v f(v, r, t) d 3 v d 3 rw (v, v) d 3 v dt (3.6) (v )

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 38 úhrnná změna elektronů s rychlostí v vlivem srážek je tedy d 3 v d 3 r dt (f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )) d 3 v (3.7) v Zvýšení počtu elektronů s rychlostí v za čas dt lze psát jako f(v, r, t + dt) d 3 v d 3 r f(v, r, t) d 3 v d 3 r = f t d3 v d 3 r dt Potom můžeme napsat Boltzmannovu kinetickou rovnici ve tvaru f t = v r f m F ( v f) + (f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )) d 3 v (3.8) 3. Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice Protože Boltzmannova kinetická rovnice představuje základní východisko pro popis transportních jevů v polovodičích, je důležité pochopit její omezení. Boltzmannova rovnice je přibližná, nebot se jedná o jednočásticový popis mnohačásticového systému. Korelace mezi částicemi nejsou uvažovány. Další aproximací je semiklasický popis nosičů jako částic pohybujících se podle Newtonových zákonů. Rozdělovací funkce definuje nejpravděpodobnější stav systému nosičů. Takový statistický popis je vhodný, pokud je počet částic velký. Vzhledem k tomu, že částice reagují prostřednictvím elektrických polí, existuje korelace mezi částicemi. K určení pravděpodobnosti obsazení nějakého stavu je tedy principiálně nutné znát, jak jsou obsazeny ostatní stavy. K statistickému popisu N-částicového systému je tedy nutná N-částicová rozdělovací funkce. V případě nízkých koncentrací nosičů jsou ale vzájemné interakce slabé a místo N-částicové rozdělovací funkce je možno použít funkci jednočásticovou. Vliv ostatních nosičů je započten přes self -konzistentní elektrické pole. BTR je rovněž přibližná proto, že popisuje nosiče jako částice podléhající Newtonovým zákonům. Kvantová mechanika je použita pouze pro popis srážek. To že použití rozdělovací funkce je klasický koncept je zřejmé z toho, že určuje jak souřadnici tak hybnost v jednom časovém okamžiku. Vzhledem k principu neurčitosti p r (3.9) p m k T r m k T = λ B Vzhledem k tomu, že vlnová délka nosiče v tepelné rovnováze je λ B = ~ m k T, platí r λ B. Tento výsledek nám říká, že k tomu abychom mohli nosiče popisovat jako Extrémně malé součástky mohou obsahovat tak malé množství nosičů, že statistický popis není oprávněný.

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 39 částice, je nutné, aby nosič byl lokalizován vzhledem k λ B (která je typicky nm při pokojové teplotě). Rovnice je splněna, jestliže se potenciál mění pomalu ve srovnání s λ B. V případě rychle se měnícího potenciálu je třeba řešit vlnovou rovnici. Další omezení BTR vyplývá z další obměny principu neurčitosti, a to E t který říká, že nosič musí zůstat v daném stavu dostatečně dlouho, aby měl dobře definovanou energii. Předpokládejme, že t τ (doba mezi srážkami) a E k T. Pak τ ~, a k T vynásobením v T dostáváme l = v T τ ~v T λ k T B. Tento vztah říká, že střední volná dráha musí být mnohem delší, než de Broglieho vlnová délka, aby platila BTR. τ k T ω k T Proto za pokojové teploty musí být ω 6 Hz. V součástkách v současnosti vyráběných je tato podmínka splněna s dostatečnou rezervou. Člen ( ) f = v r f t m (F v f) se nazývá polní. Člen ( ) f t S = se nazývá srážkový. Ve stacionárním případě ( ) ( ) f f = = t t dostáváme v r f + m F v f = P π {f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )} d 3 r P + ( ) f t S (3.) {f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )} d 3 v (3.) Nyní přejdeme od volných elektronů k elektronům v krystalu. F = m dv dt F = dk dt E = k v = m m (3.) (3.3) Impuls nahradíme kvaziimpulsem v = k m = k E(k) = E(k) k (3.4)

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 Za sílu F dosadíme Lorentzovu sílu F = e [E + (v B)] (3.5) a dostaneme ( ) f = f t S t + v(k) r f e k f [E + v B] (3.6) Ve stacionárním případě je f =, tedy: t ( ) f = +v r f e t k f [E + v B] (3.7) S Srážkový člen pak lze psát jako ( ) f = {W (k, k)f(k ) ( f(k)) W (k, k )f(k) ( f(k ))} (3.8) t S k kde jsme na rozdíl od volných elektronů přihlédli k Pauliho principu. Z principu detailní rovnováhy plyne, že počet elektronů přicházejících ze stavu k do stavu k, a naopak, se musí rovnat počtu ve stavu statistické rovnováhy. tedy W (k, k)f (E )[ f (E)] = W (k, k )f (E)[ f (E )] (3.9) při pružném rozptylu je E = E, a proto W (k, k)e E k T = W (k, k )e E k T (3.) W (k, k) = W (k, k ) (3.) Potom platí ( ) f = {W (k, k)f(k ) W (k, k )f(k)} = {W (k, k )(f(k ) f(k))} (3.) t k k S 3.3 Stanovení nerovnovážné rozdělovací funkce f(k) = f (E) + f (k) (3.3) f (k) = f χ(e)k (3.4) E f(k ) f(k) = f (E ) + f (k ) f (E) f (k) = f (k ) f (k) = f E χ(k k) = = f E χ(e)(k k ) = f E χ(e)k( cos θ) = f (k)( cos θ) (3.5)

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 kde θ je úhel mezi k a k. Dále můžeme psát ( ) f = W (k, k ) { f (k)( cos θ)} = f (k) W (k, k )( cos θ) (3.6) t k k S Zavedeme tzv. relaxační dobu τ(k) = ( k W (k, k )( cos θ) ) (3.7) Potom ( ) f = f (k) t S τ(k) = f f τ (3.8) 3.4 Fyzikální význam relaxační doby Předpokládejme, že v čase t = zrušíme všechny vnější pole. Pak ( ) f = (f f ) = f f t t τ d(f f ) f f = dt τ S ln(f f ) = t τ + C pro t =, ln(f f ) t= = C ln (f f ) = t (f f ) t= τ (f f ) = (f f ) t= e t (f f ) t=τ τ pro t = τ, = (f f ) t= e (3.9) (3.3) τ je tedy doba, za kterou se rozdíl (f f ) ze změní e-krát. Budeme uvažovat rozptyl na podélných akustických kmitech mříže LA rozptyl na podélných optických kmitech mříže LO (jen v případě, kdy je pružný) rozptyl na ionizovaných příměsích N I = D + A rozptyl na neutrálních příměsích N N = D x + A x odpovídající PP přechodu elektronu z k do k za s Budeme mít tedy postupně tyto pravděpodobnosti: W LA (k, k ), W LO (k, k ), W I (k, k ) a W N (k, k ). Vzhledem k tomu, že rozptylové procesy jsou alternativní (bud jeden nebo

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 druhý), můžeme napsat tzv. Matthiesenovo pravidlo τ = k W (k, k )( cos θ) = = k W LA (k, k )( cos θ) + k W L (k, k )( cos θ)+ + k W I (k, k )( cos θ) + k W N (k, k )( cos θ) (3.3) které můžeme zapsat také ve tvaru τ = + + + (3.3) τ LA τ LO τ I τ N Zbývá stanovit jednotlivé relaxační doby. Dále budeme předpokládat, že se při srážce nemění spin. Přejdeme od sčítání k integraci = V W τ i (π) 3 i (k, k )( cos θ) dk (3.33) k kde i = LA, LO, I, N. Objem na jeden stav je (π)3. Počet stavů k v elementu V dk se rovná = V dk, kde dk = k sin θ dθ dϕ dk (π) 3 dk (π) 3 V Označme τ i = V (π) 3 π π W i (k, θ) = W i (k, k )k dk ( cos θ) sin θ dθ dϕ (3.34) V (π) 3 Fermiho zlaté pravidlo vypadá následovně W i (k, k )k dk (3.35) W i (k, k ) = π M i(k, k ) δ (E(k) E(k )) (3.36) kde M i (k, k ) je maticový element poruchového potenciálu U i při přechodu ze stavu k do stavu k M i (k, k ) = ψ k (r)ûiψ k (r) dr (3.37) ψ k (r) vlnová funkce elektronu a rozptylového centra ψ k (r) = ψ(r)φ(r) φ(r) vlnová funkce rozptylového centra ψ(r) vlnová funkce elektronu

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 43 W i (k, θ) = V 4π W i (k, θ) = V π (π) 3 M i (k, k ) δ(e(k) E(k ))k dk (3.38) E = k, de = k dk m e dk de = m e k g(e) de = (m e) 3/ E / π 3 m e m e = k dk de = m ek π = k dk π (3.39) M(k, k ) g(e ) δ(e(k) E(k )) de = V 4π g(e) M(k, k ) (3.4) kde g(e) je hustota stavů ve vodivostním pásu = πv π τ i g(e) M(k, k ) ( cos θ) sin θ dθ (3.4) Pro rozptyl na podélných akustických fononech LA platí M LA (k, k ) = E ck T ρ a n e V (3.4) Pro rozptyl na podélných optických fononech LO platí ( M LO (k, k ) = e ω LO ) V E E E S k {n q/n q+ }F q (3.43) kde n q je v případě absorpce fononu a n q+ je v případě emise fononu Pro rozptyl na ionizovaných příměsích platí ( ) M I (k, k ) Ze ( = N I E E r V R S + k k ) (3.44) kde F ± q = n q = (3.45) e ~ω LO kt ( ) ( ) k, t q ± q = (3.46) + t q qr S R S = ne E E k T F / (η) F / (η) q = k + k kk cos θ (3.47)

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 44 E,c deformační potenciál vodivostního pásu ρ a hustota n e střední rychlost šíření akustických vln n e = ( Va σπ kde V je objem krystalu a V A je objem elementární buňky. ) /3 ω LA (3.48) 3.4. Relaxační doba - rozptyl na podélných akustických fononech Dále provedeme výpočet relaxační doby pro rozptyl na podélných akustických fononech τ LA = πv π τ LA g(e) M(k, k ) ( cos θ) sin θ dθ (3.49) = πv τ LA m 3/ e π E / Eck π 3 T ( cos θ) sin θ dθ (3.5) ρ a n e V s využitím rovnosti τ LA = (m e) 3/ 4 π E ck T ρ a n e E / π ( cos θ) sin θ dθ (3.5) g(e) = (m e) 3/ E (3.5) π 3 Dále uvážením substituce cos θ = x dostáváme π [ ] x ( cos θ) sin θ dθ = ( x) dx = ( x) dx = [x] = = (3.53) τ LA = (m e ) 3/ E c 4 ρ a n e π k T E / (3.54) τ LA = π 4 ρ a n e (m e ) 3/ E c (k T ) / E / (3.55) τ LA = τ LAE / (3.56)

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 45 3.4. Relaxační doba - rozptyl na ionizovaných příměsích Pro relaxační dobu v případě rozptylu na ionizovaných příměsích τ I platí = πv τ I (m e) 3/ π ( ) Ze E / ( cos θ) sin θ dθ N π 3 I ( E E r V ( ) ) (3.57) + k k R s Definujeme: n I = N I V ( ) = (m e) 3/ e τ E / n I Z π I π 4 E E r (3.58) ( cos θ) sin θ dθ ( + k k ) (3.59) R s ( R S přičemž Tedy k k = (k k )(k k ) = k ( cos θ) = 4m e E( cos θ) (3.6) ) ( + (k k ) = Potom dostaneme ( R S + 4m e R S ) E( cos θ) = ( 4m e E 4m e = + (k k ) ) = τ + I = n ( ) IZ e π E E r kde vnitřek integrálu označíme jako α I, = b + b Konečně t = cos θ dt = sin θ dθ { b α I = + ln(t + b) t + b + ln (b + ) } = b + b b + = n ( ) IZ e τ I π E E r ER s ) ( 4m e ER s + cos θ) (3.6) = b (3.6) ( ) 4m e (b + cos θ) (3.63) 6m / e E 3/ = b + ln( + b) ln b = + b + ln 6m / e (b + ) b t dt (b + t) (3.64) = b + + ln b + (3.65) E 3/ α I, τ I = τ I E 3/ (3.66)

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 46 3.4.3 Relaxační doba - rozptyl na podélných optických fononech Pro vysoké teploty lze rozptyl na podélných optických fononech považovat přibližně za pružný, tj. k = k. T Θ, Θ = ~ω LO. k Zanedbáme dále stínění F (q) = k (3.67) q dostáváme tedy ( ) ( M LO (k, k ) e ω LO = ) V E E E k F q{n q /n q+ } = ( ) ( e ω LO = ± ) V ɛ E E q {n q/n q+ } (3.68) kde n q odpovídá absorpci a n q+ emisi. τ I = πv (m e) 3/ π ( e ω LO E ) {n π 3 q /n q+ } ( cos θ) sin θ dθ (3.69) V E E E S q q = k k q = k + k kk cos θ = k ( cos θ) E = k m q = k cos θ = 4m ee cos θ = V (m e) 3/ E / τ LO π Platí z toho plyne kde ( ) ( e ω LO ) π cos θ sin θ dθ = V E E E S 4m ee cos θ ( ) ( e E / ω LO ) π E E E S 4 (n q + ) = ( ) ( = m / e e ω LO π = m / e n q + n q E τ LO = ( π E ) ) (e ΘT m / e e ω LO E E S E E S ) n q E / (3.7) (3.7) Θ = ω LO (3.7) k Pro T Θ nelze řešit BTR v aproximaci relaxační doby je nutné numerické řešení.

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 47 3.5 Řešení Boltzmannovy kinetické rovnice Stacionární případ: (Anselm, str. 77) Pro slabé pole platí kde v r f e [E + v B] k f = f f τ = f τ = f (χ k), (3.73) τ E v = k E (k) = hk. (3.74) m f = f (k, r) = f (E) + f (k), f (E) = Funkci f (k) máme definovanou již dřív Takže můžeme psát f (k) = ( [ ]) E EF exp k T + (3.75) ( f ) (χ k) (3.76) E f (k) = f (k k) = f (k) + f E = f (k) f E χ = k m e E k ( k) = m k k = f (k) f (χ k) E (3.77) r f = r f (E) + r f (k), (3.78) f (E, E F, T ), E = E (k) = E (k), E F = E F (r), T = T (r) (3.79) r f = f E r E F + f T r T (3.8) f E F = f E = k B T f T = E E F k B T ( exp ( exp [ [ exp [ exp [ ] E E F k B T E E F k B T ] E E F k B T E E F k B T ] ] ) (3.8) + ) = E E F T + f E (3.8)