9. Vícerozměrná integrace

Transkript

1 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17

2 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující vlastnosti

3 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující vlastnosti M n, R n M n ;

4 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující vlastnosti M n, R n M n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky M n ;

5 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující vlastnosti M n, R n M n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky M n ; je-li A M n, je i R n \ A M n ;

6 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující vlastnosti M n, R n M n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky M n ; je-li A M n, je i R n \ A M n ; jsou-li A j M n, pak j=1 A j M n, j=1 A j M n.

7 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Bud M n systém měřitelných množin na R n.

8 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Bud M n systém měřitelných množin na R n. Množinovou funkci µ : M n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A M n ;

9 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Bud M n systém měřitelných množin na R n. Množinovou funkci µ : M n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A M n ; 2 µ( ) = 0;

10 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Bud M n systém měřitelných množin na R n. Množinovou funkci µ : M n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A M n ; 2 µ( ) = 0; 3 jsou-li A j M n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( ) µ A j = j=1 µ(a j ). j=1

11 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Bud M n systém měřitelných množin na R n. Množinovou funkci µ : M n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A M n ; 2 µ( ) = 0; 3 jsou-li A j M n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( ) µ A j = j=1 µ(a j ). j=1 Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny?

12 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Na R n uvažujme tzv. nedegenerovaný n-rozměrný interval (hranol), tj. množinu tvaru a 1, b 1 a n, b n, kde a j, b j R, a j < b j pro všechna j.

13 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Na R n uvažujme tzv. nedegenerovaný n-rozměrný interval (hranol), tj. množinu tvaru a 1, b 1 a n, b n, kde a j, b j R, a j < b j pro všechna j. Bud dále M n systém měřitelných množin na R n takový, že všechny nedegenerované hranoly jsou prvky M n.

14 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice Na R n uvažujme tzv. nedegenerovaný n-rozměrný interval (hranol), tj. množinu tvaru a 1, b 1 a n, b n, kde a j, b j R, a j < b j pro všechna j. Bud dále M n systém měřitelných množin na R n takový, že všechny nedegenerované hranoly jsou prvky M n. Míru λ n, definovanou na M n, která navíc splňuje podmínku λ n ( a 1, b 1 a n, b n ) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ).

15 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Poznámka Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a.

16 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Poznámka Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a. Uvažujte dále například jednorozměrnou míru δ, splňující δ(a) = 0, pokud 0 / A, δ(a) = 1, pokud 0 A. (tzv. Diracova míra).

17 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin

18 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny.

19 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. Monotonie: A, B M n, A B = λ n (A) λ n (B),

20 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. Monotonie: A, B M n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru.

21 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. Monotonie: A, B M n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru. A j M n, A j A j+1 j N = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ).

22 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. Monotonie: A, B M n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru. A j M n, A j A j+1 j N = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). A j M n, A j A j+1 j N, k N,λ n (A k ) < = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ).

23 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0.

24 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}.

25 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}. Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové

26 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}. Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity)

27 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}. Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)!

28 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}. Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. např. λ 1 (Q) = 0

29 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (nulové množiny) Řekneme, že množina A M n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A M n,λ n (A) = 0}. Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. např. λ 1 (Q) = 0 (tedy speciálně: neomezené množiny nemusejí mít nekonečnou míru).

30 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V(x), x A, platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V(x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0.

31 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V(x), x A, platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V(x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci.

32 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V(x), x A, platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V(x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci. S.v. reálná čísla jsou iracionální.

33 9.1 Elementy teorie míry (pokrač.) Definice (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V(x), x A, platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V(x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci. S.v. reálná čísla jsou iracionální. Pokud se dvě funkce liší nejvýše ve spočetně mnoha bodech, pak jsou si s.v. rovny.

34 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 1 Bud M M n. Řeknu, že funkce s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M, pokud existují konstanty c 1, c 2,...,c k R a množiny M 1, M 2,...,M k M n takové, že

35 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 1 Bud M M n. Řeknu, že funkce s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M, pokud existují konstanty c 1, c 2,...,c k R a množiny M 1, M 2,...,M k M n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D(s) = k j=1 M j, přičemž λ n (M \ D(s)) = 0 (tedy s je definována s.v. na M);

36 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 1 Bud M M n. Řeknu, že funkce s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M, pokud existují konstanty c 1, c 2,...,c k R a množiny M 1, M 2,...,M k M n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D(s) = k j=1 M j, přičemž λ n (M \ D(s)) = 0 (tedy s je definována s.v. na M); s nabývá na M j konstantní hodnoty c j, j = 1,...,k.

37 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 1 Bud M M n. Řeknu, že funkce s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M, pokud existují konstanty c 1, c 2,...,c k R a množiny M 1, M 2,...,M k M n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D(s) = k j=1 M j, přičemž λ n (M \ D(s)) = 0 (tedy s je definována s.v. na M); s nabývá na M j konstantní hodnoty c j, j = 1,...,k. 2 Je-li s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M a navíc je s 0 s.v. na M, definujeme

38 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 1 Bud M M n. Řeknu, že funkce s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M, pokud existují konstanty c 1, c 2,...,c k R a množiny M 1, M 2,...,M k M n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D(s) = k j=1 M j, přičemž λ n (M \ D(s)) = 0 (tedy s je definována s.v. na M); s nabývá na M j konstantní hodnoty c j, j = 1,...,k. 2 Je-li s : M R je jednoduchá (schodovitá) na M a navíc je s 0 s.v. na M, definujeme (L) s(x) dλ n (x) := M k c j λ n (M j ). (1) j=1

39 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0.

40 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R.

41 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx.

42 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu:

43 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu: (L) s(x) dλ 3 (x) M

44 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n (M j ) =, klademe c j λ n (M j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu: (L) s(x) dλ 3 (x) s(x) dx, apod... M M

45 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : M R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci:

46 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : M R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: M M n, a f je definovaná alespoň s.v. na M;

47 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : M R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: M M n, a f je definovaná alespoň s.v. na M; pokud je f 0 na M, potom pro skoro všechna x M platí f(x) = sup s(x), 0 s f kde s jsou jednoduché funkce definované na M;

48 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : M R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: M M n, a f je definovaná alespoň s.v. na M; pokud je f 0 na M, potom pro skoro všechna x M platí f(x) = sup s(x), 0 s f kde s jsou jednoduché funkce definované na M; pro obecnou f píšeme f = f + f, kde f + := max{f, 0} a f := max{ f, 0}; o funkcích f + 0, f 0 předpokládáme, že mají vlastnost z předchozího bodu.

49 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice (vícerozměrný (Lebesgueův) integrál) 1 Bud f : M R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme:

50 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice (vícerozměrný (Lebesgueův) integrál) 1 Bud f : M R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f(x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f M M

51 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice (vícerozměrný (Lebesgueův) integrál) 1 Bud f : M R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f(x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f M M 2 Bud f : M R n R, f = f + f, (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme:

52 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice (vícerozměrný (Lebesgueův) integrál) 1 Bud f : M R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f(x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f M M 2 Bud f : M R n R, f = f + f, (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f dλ n (x) := f + dλ n (x) f dλ n (x), (3) M M M má-li rozdíl vpravo smysl.

53 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice Pokud M f dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl M f + M f ), říkáme, že integrál z f přes M existuje a píšeme f L (M).

54 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice Pokud M f dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl M f + M f ), říkáme, že integrál z f přes M existuje a píšeme f L (M). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.)

55 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice Pokud M f dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl M f + M f ), říkáme, že integrál z f přes M existuje a píšeme f L (M). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.) Pokud M f dλ n(x) je konečný (tj. oba integrály M f +, M f jsou konečné stejně jako jejich rozdíl), říkáme, že integrál z f přes M konverguje a píšeme f L(M).

56 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Definice Pokud M f dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl M f + M f ), říkáme, že integrál z f přes M existuje a píšeme f L (M). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.) Pokud M f dλ n(x) je konečný (tj. oba integrály M f +, M f jsou konečné stejně jako jejich rozdíl), říkáme, že integrál z f přes M konverguje a píšeme f L(M). Poznámka (Důležitá) Pokud existuje Newtonův i Lebesgueův integrál funkce f přes množinu M R (v jedné dimenzi), pak se jejich hodnoty rovnají.

57 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud výraz vpravo M M M má smysl.

58 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud výraz vpravo M M M má smysl. f, g L (M), f = g s.v. na M = f = g. M M

59 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud výraz vpravo M M M má smysl. f, g L (M), f = g s.v. na M = f = g. M M f g s.v. na M, g R = f R. M M

60 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud výraz vpravo M M M má smysl. f, g L (M), f = g s.v. na M = f = g. M M f g s.v. na M, g R = f R. M M A j A j+1 j N, f L ( j=1 A j) = f = lim f. j A j j=1 A j

61 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál (pokrač.) Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud výraz vpravo M M M má smysl. f, g L (M), f = g s.v. na M = f = g. M M f g s.v. na M, g R = f R. M M A j A j+1 j N, f L ( j=1 A j) = f = lim f. j=1 A j j A j A j A j+1 j N, k N, f R = A k f = lim f. j A j j=1 A j

62 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Bud M měřitelná v R n+k, označíme: P n (M) := {x R n, y R k, [x, y] M}... projekce M do R n.

63 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Bud M měřitelná v R n+k, označíme: P n (M) := {x R n, y R k, [x, y] M}... projekce M do R n. P k (M) := {y R k, x R n, [x, y] M}... projekce M do R k.

64 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Bud M měřitelná v R n+k, označíme: P n (M) := {x R n, y R k, [x, y] M}... projekce M do R n. P k (M) := {y R k, x R n, [x, y] M}... projekce M do R k. Pro x P n (M) pevné: M x, := {y P k (M), [x, y] M}... x-ový řez množinou M.

65 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Bud M měřitelná v R n+k, označíme: P n (M) := {x R n, y R k, [x, y] M}... projekce M do R n. P k (M) := {y R k, x R n, [x, y] M}... projekce M do R k. Pro x P n (M) pevné: M x, := {y P k (M), [x, y] M}... x-ový řez množinou M. Pro y P k (M) pevné: M,y := {x P n (M), [x, y] M}... y-ový řez množinou M.

66 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.1 (Fubini) Bud te M resp. P n (M) resp. P k (M) měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Necht f existuje. Potom M

67 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.1 (Fubini) Bud te M resp. P n (M) resp. P k (M) měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Necht f existuje. Potom M ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx M P n(m) M x,

68 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.1 (Fubini) Bud te M resp. P n (M) resp. P k (M) měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Necht f existuje. Potom M ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx M P n(m) M ( x, ) = f(x, y) dx dy P k (M) M,y

69 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) V situaci "kartézského součinu množin i funkcí" je znění Fubiniho věty jednodušší:

70 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) V situaci "kartézského součinu množin i funkcí" je znění Fubiniho věty jednodušší: Tvrzení 9.2 Bud M = A 1 A n, f(x) = f 1 (x 1 ) f n (x n ). Necht M f existuje. Potom

71 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) V situaci "kartézského součinu množin i funkcí" je znění Fubiniho věty jednodušší: Tvrzení 9.2 Bud M = A 1 A n, f(x) = f 1 (x 1 ) f n (x n ). Necht f M existuje. Potom ( ) ( ) f(x) dx = f 1 (x 1 ) dx 1 f n (x n ) dx n. M A 1 A n

72 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G),

73 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G), (ii) determinant matice D ϕ (tj. jakobián zobrazení ϕ) je D x nenulový v každém bodě množiny G.

74 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G), (ii) determinant matice D ϕ (tj. jakobián zobrazení ϕ) je D x nenulový v každém bodě množiny G. Různá značení: ( ) D ϕ( x) det Jac ϕ ( x) J ϕ ( x). D x

75 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.3 (o substituci) Bud te M, G R n otevřené množiny, bud ϕ : G M regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) = M. Potom

76 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.3 (o substituci) Bud te M, G R n otevřené množiny, bud ϕ : G M regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) = M. Potom ( ) f( y) d y = f( ϕ( x)) D ϕ( det x) d x, (4) D x M G pro f : M R, pokud aspoň jeden z integrálů existuje.

77 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci (pokrač.) Věta 9.3 (o substituci) Bud te M, G R n otevřené množiny, bud ϕ : G M regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) = M. Potom ( ) f( y) d y = f( ϕ( x)) D ϕ( det x) d x, (4) D x M G pro f : M R, pokud aspoň jeden z integrálů existuje. Mnemotechnická pomůcka: Při ztotožnění ϕ( x) y( x), je mnemotechnika pro výpočet správného jakobiánu tato: ( ) d y = D det y d x. D x

78 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje lim n f n (x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek:

79 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje lim n f n (x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N;

80 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje lim n f n (x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom M g > ;

81 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje lim n f n (x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom M g > ; (Lebesgue:) f n g s.v., pro všechna n N, a přitom M g R.

82 9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje lim n f n (x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom M g > ; (Lebesgue:) f n g s.v., pro všechna n N, a přitom g R. M Potom lim f n = lim f n (5) M n n M

83 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:

84 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (Levi I :) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N;

85 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (Levi I :) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II :) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom M g <.

86 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Věta 9.5 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje n=1 f n(x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek:

87 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Věta 9.5 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje n=1 f n(x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N;

88 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Věta 9.5 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje n=1 f n(x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N; (Lebesgue:) N n=1 f n g s.v., pro všechna N N, a přitom g R. M

89 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Věta 9.5 Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje n=1 f n(x) = f(x). Necht je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: Potom (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N; (Lebesgue:) N n=1 f n g s.v., pro všechna N N, a přitom g R. M f n = M n=1 n=1 f n M

90 9.4 Věty o limitních přechodech (pokrač.) Poznámka Někdy se také hodí následující modifikace Lebesgueovy podmínky pro řady: Uvažujme funkce f n definované na M. Necht pro s.v. x M existuje n=1 f n(x) = f(x). Bud a n := f M n(x). Pokud číselná řada n=1 a n konverguje, pak f n = M n=1 n=1 f n M

91 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci:

92 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: M R n je měřitelná množina (přes x M "budeme integrovat"), množina F R k je množina "parametrů" α.

93 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: M R n je měřitelná množina (přes x M "budeme integrovat"), množina F R k je množina "parametrů" α. K funkci f(x,α) : M F R definujeme funkci F(α) := f(x,α) dx M

94 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: M R n je měřitelná množina (přes x M "budeme integrovat"), množina F R k je množina "parametrů" α. K funkci f(x,α) : M F R definujeme funkci F(α) := f(x,α) dx jako "integrál s parametrem α", pro všechna α, pro která integrál vpravo konverguje. M

95 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: M R n je měřitelná množina (přes x M "budeme integrovat"), množina F R k je množina "parametrů" α. K funkci f(x,α) : M F R definujeme funkci F(α) := f(x,α) dx jako "integrál s parametrem α", pro všechna α, pro která integrál vpravo konverguje. Zajímají nás vlastnosti funkce F. M

96 9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: M R n je měřitelná množina (přes x M "budeme integrovat"), množina F R k je množina "parametrů" α. K funkci f(x,α) : M F R definujeme funkci F(α) := f(x,α) dx jako "integrál s parametrem α", pro všechna α, pro která integrál vpravo konverguje. Zajímají nás vlastnosti funkce F. Tuto situaci budeme v tomto paragrafu nazývat "situace (P)". M

97 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.6 (o limitě) Uvažujme situaci (P). Necht existuje g L(M) taková, že f(x,α) g(x) s.v. na M, a pro α P(α 0 ).

98 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.6 (o limitě) Uvažujme situaci (P). Necht existuje g L(M) taková, že f(x,α) g(x) s.v. na M, a pro α P(α 0 ). Potom lim F(α) = lim f(x,α) dx = lim f(x,α) dx, α α 0 α α0 M M α α 0 pokud limita vpravo za znamením integrálu existuje pro s.v. x M vlastní.

99 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.7 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Necht existuje g L(M) taková, že f(x,α) g(x) s.v. na M, a pro α G F, G otevřená.

100 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.7 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Necht existuje g L(M) taková, že f(x,α) g(x) s.v. na M, a pro α G F, G otevřená. Necht je dále f(x,α) spojitá na G v proměnné α (a to pro s.v. pevná x M.

101 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.7 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Necht existuje g L(M) taková, že f(x,α) g(x) s.v. na M, a pro α G F, G otevřená. Necht je dále f(x,α) spojitá na G v proměnné α (a to pro s.v. pevná x M. Potom F je spojitá na G.

102 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht

103 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht existuje vlastní f α j (x,α) pro všechna α U(α 0 );

104 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht f existuje vlastní α j (x,α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L(M) taková, že f α j (x,α) g(x) s.v. na M, a pro všechna α U(α 0 );

105 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht f existuje vlastní α j (x,α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L(M) taková, že f α j (x,α) g(x) s.v. na M, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že M f(x,α 1) dx je konečný.

106 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht f existuje vlastní α j (x,α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L(M) taková, že f α j (x,α) g(x) s.v. na M, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že M f(x,α 1) dx je konečný. Potom M f(x,α) dx je konečný pro všechna α U(α 0), a

107 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Věta 9.8 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Necht f existuje vlastní α j (x,α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L(M) taková, že f α j (x,α) g(x) s.v. na M, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že M f(x,α 1) dx je konečný. Potom M f(x,α) dx je konečný pro všechna α U(α 0), a F α j (α) = α j M f(x,α) dx = M f α j (x,α) dx.

108 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace).

109 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimněte si: integrabilní majoranty je potřeba hledat tak, aby nezávislely na parametru α.

110 9.5 Integrály s parametrem (pokrač.) Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimněte si: integrabilní majoranty je potřeba hledat tak, aby nezávislely na parametru α. Jsou-li množiny M a F ze situace (P) omezené, a f C(M F), pak je integrabilní majorantou g pro funci f konstanta (rovná maximální hodnotě f na M F - tato maximální hodnota musí existovat, nebot f jako spojitá funkce na kompaktu M F své maximální hodnoty vždy nabývá).

111 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx.

112 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ).

113 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ).

114 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N.

115 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1) = π, 2

116 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n)! 2 2n n! π pro všechna s (0, + ).

117 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n)! 2 2n n! π pro všechna s (0, + ). Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x ;

118 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n)! 2 2n n! π pro všechna s (0, + ). Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x ; lim s 0+ Γ(s) = lim s + Γ(s) = + ;

119 9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = (2n)! 2 2n n! π pro všechna s (0, + ). Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x ; lim s 0+ Γ(s) = lim s + Γ(s) = + ; Γ je ryze konvexní na (0, + ).

120 9.6 Gamma funkce (pokrač.)