Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t te p eponu c v trojúhelníku s odv snami a = 3 cm, b = 4 cm. c = 3 + 4 c = 5 c = 5 cm P íklad : Jak daleko od svislé st ny je pata ºeb íku dlouhého 8 m, který je op ený o st nu ve vý²ce 6 m? x = 8 6 x = 8 x = 8 m 5, 3 m ƒtverec ƒtverec je pravoúhlý rovnob ºník, má 4 shodné strany, dv na sebe kolmé shodné úhlop í ky, které se protínají v t ºi²ti a navzájem se p lí, t ºi²t je st edem soum rnosti tverce, úhlop í ka p lí úhel u vrcholu. ƒtverci se dá opsat i vepsat kruºnice. Obvod tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah tverce: S = a [jednotky plochy] Délka úhlop í ky: u = a = a P íklad 3: Vypo t te délku strany tverce, jehoº úhlop í ka má délku 6 cm. u = a + a a = u 6 a = cm 4, cm P íklad 4: Vypo t te obsah tverce o obvodu 0 cm. O = 4a a = O 4 = 5 cm S = a (= ( O 4 ) = O 16 ) S = 5 cm = 5 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014
Obdélník Obdélník je pravoúhlý rovnob ºník, má dv shodné úhlop í ky, které se protínají v t ºi²ti a navzájem se p lí, obecn nejsou na sebe kolmé. Úhlop í ky jsou shodné, ale nejsou na sebe kolmé. Obdélníku se dá opsat kruºnice, ale nemá kruºnici vepsanou. ƒtverec je zvlá²tním p ípadem obdélníka. Obvod obdélníka: O = (a + b) [jednotky délky] Obsah obdélníka: S = a b [jednotky plochy] Délka úhlop í ky: u = a + b P íklad 5: Jaký obsah má tverec, který má stejný obvod jako obdélník o stranách a = 8 cm, b = 1 cm? Obvod obdélníka: O 1 = (a + b) O 1 = (8 + 1) = 40 cm Obvod tverce: O = 4a O 1 = O 4a = 40 a = 10 cm Obvod tverce: S = a S = 10 S = 100 cm P íklad 6: Vypo t te délky stran obdélníka o obsahu 00 cm, jestliºe jsou v pom ru a : b = 1 :. Obsah obdélníka: S = ab a b = 1 b = a S = a a = a 00 = a a = 100 a = 10 cm, b = 0 cm. Trojúhelník Trojúhelník má t i strany. Pro jejich velikost platí trojúhelníková nerovnost: sou et velikostí dvou stran je v t²í neº velikost t etí strany. Trojúhelník má t i vnit ní úhly. Sou et v²ech vnit ních úhl je 180. V závislosti na velikostech stran a úhl lze trojúhelníky rozd lit na obecné (v²echny t i strany i úhly r zné), rovnoramenné (dv shodné strany, dva shodné úhly), rovnostranné (t i shodné strany, t i shodné úhly), ostroúhlé (kaºdý úhel men²í neº 90 ), pravoúhlé (jeden pravý úhel, dva ostré úhly), tupoúhlé (jeden úhel v t²í neº 90 ). Trojúhelník má t i vý²ky, t i t ºnice a t i st ední p í ky. Vý²ka trojúhelníka je kolmice spu²t ná z vrcholu na prot j²í stranu. V²echny t i vý²ky se protínají v jednom bod (ortocentru). V ostroúhlém trojúhelníku je ortocentrum uvnit, v tupoúhlém vn. Ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka je ve vrcholu, u kterého je vnit ní úhel o velikosti 90. T ºnice trojúhelníka je spojnice vrcholu a st edu prot j²í strany. T ºnice se protínají v t ºi²ti. T ºi²t se nikdy nenachází vn trojúhelníka. T ºi²t d lí t ºnici v pom ru 1 :. U rovnostranného trojúhelníka splývá t ºi²t s ortocentrem, pr se íkem os vnit ních úhl a pr se íkem os stran. St ední p í ka trojúhelníka je spojnice st ed jeho stran. Kaºdá st ední p í ka je rovnob ºná s jednou stranou trojúhelníka a její velikost je polovinou p íslu²né strany. Trojúhelníku se dá opsat i vepsat kruºnice. St ed kruºnice opsané je v pr se íku os stran, st ed kruºnice vepsané je v pr se íku os vnit ních úhl. Obvod trojúhelníka o stranách a, b, c: O = a + b + c [jednotky délky] Obsah trojúhelníka o stran a a vý²ce v a na stranu a: S = a v a [jednotky plochy] P íklad 7: Rovnoramenný trojúhelník má základnu a = 1 cm a ramena b = c = 10 cm. Ur ete velikost vý²ky na stranu a. v a = b ( a ) v a = 100 36 = 64 v a = 8 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014
P íklad 8: Ur ete obsah pravoúhlého trojúhelníku s p eponou c = 17 cm a odv snou a = 15 cm. b = c a b = 17 15 = 89 5 = 64 b = 8 cm S = a b S = 15 8 S = 10 cm Kosodélník Kosodélník (rovnob ºník) je ty úhelník, jehoº prot j²í strany jsou shodné a rovnob ºné, sou et vnit ních úhl je 360, prot j²í úhly jsou shodné, úhlop í ky nejsou obecn shodné ani na sebe nejsou kolmé. Zvlá²tním p ípadem kosodélníka je tverec, obdélník, koso tverec. Kosodélníku nelze vepsat ani opsat kruºnici. Obvod kosodélníka: O = (a + b) [jednotky délky] Obsah kosodélníka: S = a v a [jednotky plochy] P íklad 9: Rovnob ºník má vnit ní úhel α = 50. Ur ete velikosti ostatních vnit ních úhl. α = γ β + δ = 360 (α + γ) = 360 (50 + 50 ) = 60 α = γ = 50, β = δ = 130. Koso tverec Koso tverec je rovnob ºník, má 4 shodné strany, které nesvírají pravý úhel, má dv na sebe kolmé úhlop í ky, které se protínají ve st edu koso tverce a navzájem se p lí. Koso tverci lze vepsat kruºnici. Obvod koso tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah koso tverce: S = a v a = u 1 u [jednotky plochy],u 1, u jsou úhlop í ky. P íklad 10: Ur ete velikost strany koso tverce, jehoº úhlop í ky mají velikost 8 cm a 6 cm. a = ( u 1 ) + ( u a = 4 + 3 = 5 a = 5 cm ) Lichob ºník Lichob ºník je ty úhelník, jehoº dv prot j²í strany jsou rovnob ºné (základny) a dal²í dv strany jsou r znob ºné (ramena). Úhlop í ky obecného lichob ºníka se navzájem nemusí p lit. Speciálními typy jsou lichob ºníky pravoúhlé (dva pravé úhly) a lichob ºníky rovnoramenné (shodná ramena, shodné úhlop í ky). Rovnoramenný pravoúhlý lichob ºník neexistuje. Spojnice st ed ramen lichob ºníka je st ední p í ka. Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014
(a) obecný lichob ºník (b) pravoúhlý lichob ºník (c) rovnoramenný lichob ºník Obvod lichob ºníka: O = a + b + c + d [jednotky délky] (a + c) v Obsah lichob ºníka: S = [jednotky plochy] (a + c) St ední p í ka lichob ºníka: S = P íklad 11: Vypo t te obvod rovnoramenného lichob ºníka o obsahu S = 36 cm, jehoº základna má velikost 8 cm, vý²ka 4 cm a ramena mají velikost 5 cm. c = 8 cm, b = d = 5 cm (a + c) v S = a = S v c = 36 8 4 a = 10 cm O = a + b + c + d = 10 + 5 + 5 + 8 O = 8 cm Kruºnice, kruh Kruºnice je mnoºina v²ech bod v rovin, které mají stejnou vzdálenost (polom r) od jednoho pevného bodu (st ed). Kruh je mnoºina v²ech bod v rovin, jejichº vzdálenost od st edu je men²í nebo rovna polom ru. Spojnice libovolných dvou bod na kruºnici je t tiva. Nejdel²í t tiva kruºnice prochází st edem a nazývá se pr m r kruºnice. Pr m r kruºnice d má dvojnásobnou velikost neº její polom r r. Plocha omezená t tivou a p íslu²ným obloukem se nazývá kruhová úse. Spojnice krajních bod t tivy a st edu omezí spole n s p íslu²ným kruhovým obloukem kruhovou výse. Pokud je t tivou pr m r, je úse (výse ) p lkruh. Mezikruºí je mnoºina v²ech bod v rovin, které mají od st edu mezikruºí vzdálenost mezi hodnotami r a R (polom ry dvou soust edných kruºnic). Obvod kruhu (délka kruºnice): O = πr = π d 4 Obsah kruhu: S = πr [jednotky plochy] Obsah mezikruºí: S = π(r r ) [jednotky délky] (a) kruºnice (b) kruhová úse (c) kruhová výse (d) mezikruºí P íklad 1: Kruhová výse p íslu²ná úhlu 10 má obsah 3π cm. Ur ete polom r kruºnice. Zadaná kruhová výse tvo í t etinu obsahu kruhu. Pro obsah kruhu tedy platí: S = 9π, ale také S = πr r = 3 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014
(a) kvádr (b) krychle (c) trojboký hranol Hranol, kvádr, krychle Hranol má dv shodné rovnob ºné podstavy, jejichº tvar ur uje typ hranolu. Podstavou je n úhelník. Pro n = 3 (podstavou je trojúhelník) mluvíme o trojbokém hranolu, pro n = 4 (podstavou je ty úhelník) mluvíme o ty bokém hranolu atd. Pokud je podstava tvo ena pravidelným n úhelníkem, jde o pravidelný n boký hranol. Podstavou pravidelného trojbokého hranolu je tedy rovnostranný trojúhelník, podstavou pravidelného ty bokého hranolu je tverec. St ny hranolu tvo í jeho plá². Vý²ka hranolu je kolmá vzdálenost jeho podstav. Hranoly jsou kolmé nebo kosé. Objem hranolu: V = S p v [jednotky objemu], S p je obsah podstavy, v je vý²ka hranolu Povrch hranolu: S = S p + S pl [jednotky plochy], S p je obsah podstavy, S pl je obsah plá²t Kvádr je kolmý hranol, podstavou je obdélník. Prot j²í st ny kvádru jsou shodné a rovnob ºné. Kvádr je rovnob ºnost n. Kvádr má 6 st n, 8 vrchol a 1 hran. Kvádr má t i r zné délky st nových úhlop í ek. T lesové úhlop í ky mají stejnou velikost. Objem kvádru: V = a b c [jednotky objemu] Povrch kvádru: S = (ab + bc + ac) [jednotky plochy] Délka st nové úhlop í ky kvádru: u 1 = a + b, u = b + c, u 3 = a + c Délka t lesové úhlop í ky kvádru: u = a + b + c Krychle (pravidelný ²estist n) je zvlá²tní p ípad kvádru. St ny jsou tvo eny shodnými tverci. Krychle má v²echny st ny i hrany shodné. Objem krychle: V = a 3 [jednotky objemu] Povrch krychle: S = 6a [jednotky plochy] Délka st nové úhlop í ky krychle: u 1 = a + a = a Délka t lesové úhlop í ky krychle: u = a + a + a = a 3 P íklad 13: Objem krychle je stejný jako její povrch. Ur ete délku hrany krychle. V = a 3, S = 6a a 3 = 6a a 3 6a = 0 a (a 6) = 0 a = 6 cm P íklad 14: Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odv snami a = 3 cm, b = 4 cm. Velikost vý²ky hranolu se rovná velikosti p epony podstavy hranolu. Vypo t te objem hranolu. P epona podstavy: c = a + b = 3 + 4 c = v = 5 cm V = S p v S p = a b = 3 4 S p = 6 cm V = 6 5 V = 30 cm 3 Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014
Rota ní válec Rota ní válec je tvo en dv ma rovnob ºnými shodnými kruhovými podstavami a plá²t m. Spojnice st ed podstav je kolmá na podstavy. Vzdálenost podstav je vý²ka válce. Objem válce: V = S p h = πr h [jednotky objemu] Povrch válce: S = S p + S pl = πr + πrh [jednotky plochy] P íklad 15: Rovnostranný válec (h = r) má objem V = 000π cm 3. Ur ete jeho povrch. V = πr h = πr (r) = πr 3 V 000π r = 3 π = 3 = 3 1000 = 10 π S = πr + πrh = πr + πr(r) = πr + 4πr = 6πr S = 6π(10 ) S = 600π cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014