Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 2 : Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 7.12.2012 Klasifikace: Část I Modul pružnosti 1 Zadání l 1. Změřte závislost relativního délkového prodloužení l ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu. 2. Změřte závislost průhybu z na velikosti síly F při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu. O způsobu zpracování výsledků metodou nejmenších čtverců se dočtete v příloze dokumentu [1]. 3. V přípravě odvod te vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b. 4. Změřte závislost úhlu zkroucení ϕ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku G drátu. 5. Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému I 0 a modul pružnosti ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. 6. V přípravě odvod te vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla I 0. 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Stojan s indikátorovými hodinami a ocelovým drátem, zařízení na měření pružnosti v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření modulu pružnosti ve smyku z torze drátu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, kontaktní měřítko, stopky s pamětí (mobilní telefon), sada závaží, váhy 2.2 Teoretický úvod Pružné vlastnosti homogenního izotropního tělesa definují při malých deformacích dvě nezávislé materiálové konstanty, které můžeme libovolně zvolit např. z následujících tří modul pružnosti v tahu (Youngův modul) E, Poissonovo číslo µ nebo modul pružnosti ve smyku G. Ty si definujeme na dvou jednoduchých příkladech. 1. Mějme hranol nebo válec o průřezu S a délce l. Jedna podstava je upevněna, ve směru podélné osy působí síla F, která vyvolá prodloužení délky l o l. Mezi napětím F l S a deformací (relativním prodloužením) l pak platí vztah F S = E l l. (1) Tento vztah se nazývá Hookův zákon a definuje materiálovou konstantu E modul pružnosti v tahu (Youngův modul). 1
Protahujeme-li tento hranol v jednom směru, pak ve směru kolmém k protahování se jeho rozměry (např. a, b pro hranol resp. r pro válec) zmenšují podle zákona a a = b b = µ l l, resp. r r = µ l l, (2) kde µ je Poissonovo číslo, které je opět materiálovou konstantou a jeho hodnota leží v intervalu 0, 2 1. Hodnoty 1 2 nabývá pro nestlačitelné materiály. Obrázek 1: Schéma smyku [1] 2. Mějme krychli o hraně l. Dolní podstava je upevněna, v horní působí síla F, která horní podstavu posune o délku δ (viz obrázek 1). Původně pravý úhel se změní o γ. Mezi smykovým napětím a smykovou deformací charakterizovanou úhlem smyku γ platí vztah který můžeme pro malé posunutí δ ( tan γ γ) napsat ve tvaru F S = Gδ l, (3) F S = Gγ. (4) Tímto definujeme třetí materiálovou konstantu G modul pružnosti ve smyku. Mezi těmito materiálovými konstantami platí vztah G = E 2(1 + µ). (5) Vzhledem k pracovním úkolům probereme ze složitějších deformací ohyb nosníku a torzi válce. 2.2.1 Ohyb nosníku Mějme přímý nosník délky l a libovolného průřezu ohnutý podle obrázku 2. Chceme stanovit vztah mezi silami působící na nosník, jeho rozměry a tvarem a materiálovými konstantami charakterizujícími pružné vlastnosti materiálu. Protože výsledek nezávisí na tvaru, budeme uvažovat nosník kruhového průřezu. Dále se omezíme na případ, kdy bude poloměr prohnutí mnohem větší než tloušt ka nosníku. Materiál na vnitřní straně je stlačen, na vnější roztažen a uvnitř nosníku je plocha, která není ani roztažená ani stlačená. Tuto plochu nazýváme neutrální. Tato plocha prochází těžištěm průřezu, jestliže se nosník neprotahuje nebo nestlačuje jako celek (čistý ohyb). Představme si krátký příčný úsek nosníku délky l (viz obrázek 3). Jeho deformace je znázorněna na obrázku?? Deformace je úměrná vzdálenosti od neutrální plochy. Prodloužení l je tedy úměrné y (viz obrázek 3). Tato úměrnost se dá popsat rovnicí l = y l R, (6) 2
Obrázek 2: Ohyb nosníku [1] Obrázek 3: Neutrální plocha, deformace nosníku při ohybu [1] kde R je poloměr ohybu nosníku a y je vzdálenost od neutrální plochy (kladná je-li popisovaný bod nad neutrální plochou, záporná je-li pod ní viz obr 3). Tedy napětí v některém malém pásu v blízkosti y je popsané vztahem F S = E y R. (7) Uvažujeme-li síly působící na libovolný příčný průřez, pak na něj působí síly namířené na jednu strany nad neutrální plochou a na druhou stranu pod neutrální plochou (obr. 3). Tato dvojice sil působí ohybovým momentem. Celkový moment M působící na jednom příčném průřezu S uvažované části nosníku vypočítáme podle vztahu M = ydf, (8) což podle rovnice 7 můžeme zapsat jako Výraz M = E R S S y 2 ds (9) y 2 ds (10) nazýváme moment setrvačnosti geometrického příčného průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející jeho těžištěm a dále jej budeme označovat písmenem I. Dostáváme tedy M = EI R Nyní vypočítáme průhyb nosníku, který je podepřený na břitech ve vzdálenosti L (viz obr. 4) (11) 3
Obrázek 4: Ohyb nosníku podepřeného na břitech [1] Označíme si z průhyb nosníku v bodě x. Křivost 1 R libovolné křivky z(x) je dána vztahem 1 R = Protože uvažujeme pouze malé průhyby, aproximujeme 1 + [ d 2 z dx 2 1 + ( dz dx ) 2 ] 3. (12) 2 ( ) 2 dz 1 (13) dx a dostáváme 1 R = d2 z dx 2. (14) Zanedbáme-li vlastní tíhu nosníku, je ohybový moment M(x) dán vztahem M(x) = F ( ) L 2 2 x. (15) Dosazením za M(x) dostáváme d 2 z dx 2 = F ( ) L 2EI 2 x. (16) Řešením této rovnice je (s počátečními podmínkami: pro x = 0 je dz dx = 0 a pro x = L/2 je z = 0) z(x) = F ( ) Lx 2 2EI 4 x3 F L3 6 48EI. (17) Průhyb uprostřed nosníku, tj. pro x = 0 je tedy z(0) = F L3 48EI. (18) Nyní odvodíme plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b I = S y 2 ds = b/2 b/2 ay 2 dy = ab3 12 (19) 4
Obrázek 5: Torze válce kruhového průřezu [1] 2.2.2 Torze válce kruhového průřezu Mějme válec kruhového průřezu o délce L a poloměru R, jehož horní podstava je upevněna a spodní je vůči ní stočena o úhel ϕ (viz obrázek 5) Tato deformace se nazývá torze. Pro torzi definujeme veličinu α, která se nazývá mírou torze a je to úhel stočení dvou kolmých průřezů vzdálených od sebe o jednotkovou délku. Platí tedy vztah ϕ = Lα. (20) Představme si elementární hranol vyříznutý z válce o délce rdψ, šířce dr a výšce dl (viz obrázek 6). Tento hranol je při torzi posunut, otočen a zdeformován. Neuvažujeme-li posunutí a otočení kolem podélné osy válce, prodělá každý elementární hranol smyk. pro elementární hranol vzdálený o r od osy válce je posunutí spodní podstavy vůči horní δ = rαdl (21) a pro úhel smyku γ = δ = rα. (22) dl Z Hookova zákona pro smyk dostaneme silové působení vyvolávající výše popsanou deformaci. Uvažujme smykové napětí τ působící na na podstavě elementárního válce. Příspěvek příslušné síly k výslednému silovému momentu M je dán výrazem kde ds je plocha podstavy elementárního hranolu. Platí τ = Grα (23) dm = rτds, (24) ds = rdψdr. (25) Všechny tyto momenty mají směr osy válce, pro celkový moment sil M vyvolávající torzi válce charakterizovanou úhlem α platí vztah M = 2π R 0 0 rτdψdr = Gα Dosadíme-li z (20), přechází tento vzorec na tvar kde konstanta K se nazývá direkční moment. 2π R 0 0 r 3 dψdr = Gα πr4 2 (26) M = G πr4 ϕ = Kϕ, (27) 2L 5
Obrázek 6: Smyk elementárního hranolu vyříznutého z válce při torzi [1] 2.3 Postup měření Pro všechna měření budeme potřebovat sadu závaží. Nejdříve tedy určíme jejich přesné hmotnosti. 2.3.1 Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu Modul pružnosti v tahu ocelového drátu budeme měřit z délkového prodloužení l v závislosti na napětí. Drát je napínán silou F realizovanou vahou závaží, které je zavěšené na jednom konci, druhý konec je upevněn. Drát nejdříve vypneme závažím o hmotnosti přibližně 1 kg. Pak změříme jeho délku a průměr. Vlastní měření závislosti (1) probíhá následovně. ˆ Na indikátorové hodiny, které visí na konci lanka, zavěsíme závaží o známé hmotnosti. Při zavěšování dáváme pozor, abychom nezatáhli za drát vlastní silou, mohlo bychom ovlivnit měření (vzhledem k hysterezi). ˆ Poklepeme na hodiny tak, aby se ručička přesunula na novou polohu (v hodinách působí velké vnitřní tření). ˆ Odečteme hodnotu. Celý postup opakujeme pro každé nově přidané závaží. Ve chvíli, kdy závaží dojdou, začneme je postupně sundávat a opět měříme výchylku na indikátorových hodinách. Průřez drátu se při zatížení mění, ovšem nemusíme ho brát v úvahu. Přesnost našeho měření průměru (z jehož hodnoty určujeme průřez) je menší, než jeho změna při zatížení a bez něj. Toto jsme experimentálně určili. 2.3.2 Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Nosník kovová tyč obdélníkového průřezu je podepřena na dvou břitech vzdálených od sebe o délku L. Tuto délku změříme. Zároveň změříme rozměry obdélníkového průřezu, tj. šířku a výšku. Zatížíme-li tuto tyč uprostřed silou F realizovanou opět závažím, pak průhyb tyče ve středu je dán rovnicí (18). Průhyb nosníku budeme měřit mikroskopem s okulárním mikrometrem. Průhyb o jeden dílek odpovídá 0.0253 mm. Vzhledem k tomu, že nosník vibruje, ryska, kterou v mikroskopu pozorujeme, osciluje. Snažíme se tedy odečíst střední hodnotu. 6
Obrázek 7: Zařízení pro měření modulu pružnosti ve smyku statickou metodou [1] 2.3.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Modul pružnosti ve smyku drátu délky L a poloměru R stanovíme ze vztahu (27). Moment sil M, které torzi vyvolávají je indukován závažím, které zavěšujeme na kladky, podle obrázku 7. Poloměr kladky, která způsobuje tento moment je a, závaží na jedné kladce m 1, na druhé kladce m 2. Moment tíhových sil je tedy M = (m 1 + m 2 )ga, (28) kde g je tíhové zrychlení. Závaží m 1 a m 2 volíme v rámci možností stejně velká. Úhel ϕ pro vzorec (27) měříme přímým odečtením ze stupnice úhloměru. 2.3.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou Na spodní konec drátu délky L a poloměru R (tyto hodnoty změříme) je upevněna tyč, na kterou je možné přidávat do různých vzdáleností závaží válcovitého tvaru. I moment setrvačnosti tyče a přídavných závaží, I 0 moment setrvačnosti samotné tyče a I moment setrvačnosti závaží. Platí I = I 0 + I (29) Stočíme-li dráv v rovině kolmé k ose drátu, bude na tyč působit moment síly M = Kϕ. Tento moment stáčí tyč zpět do rovnovážné polohy. Vychýlíme-li na počátku tyč o určitý úhel, začne se pohybovat podle pohybové rovnice I d2 ϕ GπR4 = Kϕ, kde K = dt2 2L. (30) Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru ϕ = A sin kde A a ϕ 0 jsou integrační konstanty. My budeme ovšem měřit pouze periodu kmitů, která je dána vztahem I T = 2π K ( ) K I t + ϕ 0, (31) Ze znalosti doby kmitu torzního kyvadla tedy můžeme vypočítat modul pružnosti ve smyku podle (32) G = 8πLI T 2 R 4 (33) 7
Obrázek 8: Zařízení pro měření modulu pružnosti ve smyku dynamickou metodou [1] Protože neznáme moment setrvačnosti samotné tyče, odvodíme vztah pro jeho určení z period kmitů tyče samotné a tyče s přídavným závažím. Protože platí I i T 2 i = konst., (34) kde index i reprezentuje stavy různým přídavným závažím, máme I 0 T0 2 = I T 2 = I 0 + I T 2. (35) Celkově tedy Moment setrvačnosti dutého válce vzhledem k ose procházející těžištěm je T 2 0 I 0 = I T 2 T0 2. (36) I v = M 4 (R2 + r 2 + h2 ), (37) 3 kde M je hmotnost, R a r vnější resp. vnitřní poloměr, h výška válce. Při vlastním měření budeme měřit okamžiky, kdy se bude činka resp. tyčka na konci drátu nacházet ve význačné poloze v klidu. V našem experimentálním uspořádání vypočteme I podle vztahu I = M 2 (R2 2 + R 2 1 + H2 3 ) + m 2 (r2 1 + r 2 2 + h2 3 ) + 2M(a + H 2 )2 + 2m(a + H + h 2 )2, (38) kde a je vzdálenosti velkého válce od osy kyvadla, m je hmotnost malého válce, r 1 jeho vnější poloměr, r 2 jeho vnitřní poloměr, h jeho výška. Analogicky pro velký válec (pro něj platí velká písmena). 2.4 Naměřené hodnoty 8
m [g] 100.78 ± 0.01 101.10 ± 0.01 101.60 ± 0.01 100.80 ± 0.01 100.86 ± 0.01 100.78 ± 0.01 99.86 ± 0.01 100.24 ± 0.01 100.84 ± 0.01 87.30 ± 0.01 100.38 ± 0.01 100.28 ± 0.01 100.64 ± 0.01 100.84 ± 0.01 Tabulka 1: Hmotnosti závaží m 0 [g] L [m] R [mm] S [m 2 ] 968 ± 1 0.99 ± 0.001 0.1 ± 0.005 (3.1 ± 0.3) 10 8 Tabulka 2: Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu: hodnoty pro výpočet modulu pružnosti v tahu. m 0 je počáteční zatížení drátu, L jeho délka, R poloměr a S průřez. F m [g] L [mm] S [GPa] L L [1] 0.00 0.00 0.000000 0.0000 100.78 0.17 0.000172 0.0315 201.88 0.33 0.000333 0.0630 303.48 0.50 0.000505 0.0948 404.28 0.66 0.000667 0.1262 505.14 0.83 0.000838 0.1577 605.92 1.00 0.001010 0.1892 705.78 1.18 0.001187 0.2204 806.02 1.35 0.001359 0.2517 906.86 1.50 0.001515 0.2832 994.16 1.64 0.001657 0.3104 1094.54 1.86 0.001879 0.3418 1194.82 1.98 0.001995 0.3731 1295.46 2.14 0.002162 0.4045 1396.30 2.32 0.002343 0.4360 1295.46 2.16 0.002177 0.4045 1194.82 1.98 0.002000 0.3731 1094.54 1.82 0.001833 0.3418 994.16 1.65 0.001662 0.3104 906.86 1.52 0.001530 0.2832 806.02 1.35 0.001364 0.2517 705.78 1.19 0.001202 0.2204 605.92 1.02 0.001030 0.1892 505.14 0.85 0.000859 0.1577 404.28 0.68 0.000687 0.1262 303.48 0.52 0.000525 0.0948 201.88 0.36 0.000359 0.0630 100.78 0.19 0.000192 0.0315 0.00 0.01 0.000015 0.0000 Tabulka 3: Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu: naměřené hodnoty prodloužení drátu délky L o L při zatížením závaží o hmotnosti m 9
ΔL/L [10-4 ] 2.5 2 1.5 zatěžování odlehčování 1 0.5 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 F/S [MPa] Obrázek 9: Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu: graf závislosti relativního prodloužení L L na síle F vyvolávající toto prodloužení dělené plochou S L [m] dílek [mm] I a [mm] b [mm] 0.497 ± 0.001 0.0253 (3.270 ± 0.006) 10 10 9.97 ± 0.005 3.96 ± 0.005 Tabulka 4: Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku: pomocné hodnoty pro výpočet modulu pružnosti v tahu. L je délka nosníku, I plošný moment setrvačnosti příčného průřezu, a šířka nosníku, b jeho výška, dílek označuje konstantu rozměru dílku m [g] dílek [1] z [mm] F [N] 0.00 0.00 0.0000 0.000 100.78 0.90 0.0228 0.989 201.88 1.85 0.0468 1.980 303.48 2.80 0.0708 2.977 404.28 3.75 0.0949 3.966 505.14 4.70 0.1189 4.955 605.92 5.70 0.1442 5.944 705.78 6.70 0.1695 6.924 806.02 7.65 0.1935 7.907 906.86 8.60 0.2176 8.896 806.02 7.70 0.1948 7.907 705.78 6.75 0.1708 6.924 605.92 5.80 0.1467 5.944 505.14 4.80 0.1214 4.955 404.28 3.85 0.0974 3.966 303.48 2.80 0.0708 2.977 201.88 1.90 0.0481 1.980 100.78 0.90 0.0228 0.989 0.00 0.00 0.0000 0.000 Tabulka 5: Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku: naměřené hodnoty. m je hmotnost závaží, z průhyb nosníku, F síla působící na nosník, 10
z [mm] 0.25 0.20 0.15 zatěžování odlehčování 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F [N] Obrázek 10: Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku: graf závislosti prohnutí nosníku v jeho středu o vzdálenost z na v témže místě působící síle F R [mm] L [m] a [m] 0.995 ± 0.0005 0.996 ± 0.001 0.0205 ± 0.0001 Tabulka 6: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou: pomocné hodnoty. R je poloměr drátu, L jeho délka, a je poloměr kladky která pomocí závaží vyrábí moment síly M m [g] M [Nm] ϕ [1] 0.00 0.0000 0.000 201.56 0.0405 0.471 404.26 0.0813 0.768 605.92 0.1219 1.152 807.00 0.1623 1.553 1007.66 0.2026 1.972 1209.14 0.2432 2.374 1007.66 0.2026 2.304 807.00 0.1623 2.025 605.92 0.1219 1.536 404.26 0.0813 1.082 201.56 0.0405 0.541 0.00 0.0000 0.000 Tabulka 7: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou: naměřené hodnoty. m je hmotnost závaží, M je moment síly, ϕ je úhel pootočení torze drátu. 11
ϕ [1] 2.5 2.0 1.5 zatěžování odlehčování 1.0 0.5 0.0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 M [Nm] Obrázek 11: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou: graf závislosti úhlu torzní deformace drátu ϕ na momentu síly působící na drát M. Zde je dobře patrná hystereze. a [m] R [mm] L [m] I [kgm 2 ] I 0 [kgm 2 ] I [kgm 2 ] 0.1075 ± 0.0005 0.25 ± 0.005 0.535 ± 0.001 0.00449 ± 0.00004 0.000436 ± 0.000008 0.00493 ± 0.00004 Tabulka 8: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou: hodnoty pro výpočet modulu pružnosti ve smyku. a je vzdálenost velkého závaží od středu (tj. od místa uchycení drátu), R je poloměr drátu, L jeho délka, I je moment setrvačnosti samotných závaží vypočtený podle vztahu (38), I 0 je moment setrvačnosti kyvadla bez závaží vypočtený podle vztahu (36), I = I + I 0 je moment setrvačnosti kyvadla se závažím M [kg] m [kg] H [mm] h [mm] R 1 [mm] R 2 [mm] r 1 [mm] r 2 [mm] 0.12718 0.04495 7.987 7.927 24.95 3.23 15.00 3.23 ±0.00001 ±0.00001 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005 Tabulka 9: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou: hodnoty pro výpočet momentu setrvačnosti. Malé písmeno přísluší malému závaží, velké písmeno závaží velkému. Pro malé závaží tedy je m hmotnost, h jeho výška, r 1 resp. r 2 jeho vnější resp. vnitřní poloměr. Analogicky pro velké závaží. 12
t 1 [s] t 0 [s] T 1 [s] T 0 [s] 14.29 4.34 14.277 4.251 28.62 8.66 14.267 4.232 42.93 12.82 14.261 4.230 57.29 17.02 14.200 4.236 71.33 21.15 14.302 4.254 85.64 25.54 14.240 4.236 99.73 29.75 14.273 4.252 114.15 33.97 14.271 4.242 128.30 38.33 14.248 4.236 142.65 42.50 14.252 4.233 157.06 46.85 171.29 50.98 185.54 55.12 199.29 59.38 214.35 63.69 228.04 67.90 242.46 72.27 256.86 76.39 270.78 80.69 285.17 84.83 T 1 T 0 14.26 ± 0.03 4.240 ± 0.009 Tabulka 10: Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou: naměřené hodnoty času t 1, t 0, ve kterých bylo kyvadlo ve význačné poloze, periody T 1, T 0 vypočtené postupnou metodou. Index 1 značí kyvadlo s přídavným závažím, index 2 bez přídavného závaží 2.5 Diskuze a Závěr Podle úkolu 1 jsme metodou nejmenších čtverců určili modul pružnosti v tahu ocelového drátu na (190 ± 20) GPa. Ve vztahu F S = a L L + b jsme určili pomocí metody nejmenších čtverců parametr a na 186.8 a parametr b na 0.0015. Tato hodnota je blízká 0 v poměru k hodnotám F S a je možné tedy počítat parametr c ze vztahu F S = c L L, který představuje modul pružnosti v tahu E. Modul pružnosti v tahu ocelového nosníku byl podle úkolu určen metodou nejmenších čtverců na (317 ± 3) GPa. Ve vztahu z = af + b jsme určili pomocí metody nejmenších čtverců parametr a na 2.46565 10 5 a parametr b na 1.32063 10 6. Tato hodnota je blízká 0 v poměru k hodnotám z. Modul pružnosti v tahu pak vypočítáme podle vztahu E = L3 48KI Modul pružnosti ve smyku ocelového drátu jsme statickou metodou určili na (61 ± 2) GPa. Ve vztahu M = aϕ + b jsme určili pomocí metody nejmenších čtverců parametr a na 0.0945 a parametr b na 0.0023. Tato hodnota je blízká 0 v poměru k hodnotám M. Modul pružnosti ve smyku pak vypočítáme podle vztahu G = 2KL πr. 4 U jiného drátu jsme to určili modul pružnosti ve smyku dynamickou metodou podle vztahu (33) na 83 ± 7 GPa. Při výpočtu jsme použili postupné metody. Hodnoty modulu pružnosti v tahu jsme změřili řádově správně, ale naše odchylka od správné hodnoty 210 GPa [3] je poměrně značná. Vypočtená chyba měření je v prvním případě způsobena hlavně nepřesností v určování poloměru drátu. Odchylka od správné hodnoty je v druhém případě nejspíše způsobena nepřesným odečtem polohy z. Pro najití chyby tohoto parametru bychom ovšem museli provést měření vícekrát. Hodnoty modulu pružnosti ve smyku jsou přesnější, správná hodnota je přibližně 80 GPa [3]. Při měření statickou metodou jsme k této hodnotě nedospěli, ovšem vícerým měřením bychom určitě zjistili, že hodnota chyby měření je vyšší než spočítaná na základě pouze jednoho. V případě metody dynamické nám správná hodnota v intervalu naměřená hodnota ± chyba měření leží. Měření by ovšem mohlo být přesnější, určovali bychom periodu kmitů například elektronicky. 13
Část II Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [2]: ˆ Aritmetický průměr x = 1 n x i (39) n i=1 ˆ Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (40) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (41) i=1 x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 3 Použitá literatura Reference ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + u = (u ± σ u ), ( ) 2 f σz z 2 +... (42) [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Modul pružnosti [Online], [cit. 17. prosince 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/98/mod resource/content/4/2 Modul pruznosti.pdf [2] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 17. prosince 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf [3] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9 14