Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu zem koule. Zem pisné sou adnice destinací jsou následující: jih Grónska: délka: 44.296875 o, ²í ka: 60.152442 o jih Afriky: délka: 19.467773 o, ²í ka: 34.234512 o Obrázek 1: Glóbus a vyzna ená trajektorie s s.s. F 0 K výpo tu sou adnic bod a vektor vyuºijte skládání homogenních transforma ních matic. Pro vykreslení Zem koule v poloze, kde s.s. F 0 je zaveden s osou x 0 procházející nultým poledníkem a osou z 0 procházející póly, pouºijte následující kód v Matlabu: % vykresleni globu [x,y,z] = sphere(50); x = -x; y = -y; load topo props.facecolor= 'texture'; props.cdata = topo; surface(x,y,z,props); xlabel('x_0') ylabel('y_0') zlabel('z_0') axis equal 1
2. Sestavte geometrický popis 3 DoF planárního manipulátoru, viz Obrázek 2, délky ramen budou voleny: a 1 a 2 a 3 2 1.5 0.5 (a) Vy e²te DGM pomocí D-H úmluvy s vyuºitím homogenních transforma ních matic. (b) Vy e²te IGM manipulátoru, diskutujte a znázorn te p ípadná vícenásobná e²ení úlohy. (c) Vytvo te simula ní model v prost edí Matlab/Simulink/SimMechanics (k parametr m jednotlivých blok m ºete p ímo vyuºít prvky hom. trans. matic pro kloubové sou adnice v domovské poloze manipulátoru). joint 3 joint 2 joint 1 Obrázek 2: 3 DoF planární manipulátor 3. Sestavte kinematický popis manipulátoru - tzn. e²ení POKÚ a IOKÚ okamºité kinematické úlohy (pro rychlosti i zrychlení) (a) Vypo t te symbolicky analytický (= kinematický) jakobián a jeho derivaci p ímou derivací polohových závislostí a sestavte algoritmus pro výpo et POKÚ (b) Sestavte algoritmus pro výpo et IOKÚ (diskutujte problémy p i e²ení IOKÚ) 4. Vy e²te generátor trajektorie manipulátoru dle uvedeného schématu, viz Obrázek 3: Trajektorie se skládá p ímkové a kruºnicové dráhy, která ur uje transla ní sloºku pohybu konc. efektoru (sou adnice x 3, y 3 z 3 = 0 bodu O 3 ), sloºka orientace (sou adnice φ) bude volena konstantní. Trajektorie je ur ena 3 body A, B, C a polom rem kruºnice r. Napojení p ímkových úsek obloukem o polom ru r umoº uje hladké projetí celé trajektorie (spojitost 1. derivace dle parametru trajektorie). Pohyb koncového efektoru po trajektorii bude s konstantní rychlostí v max Blok generátoru trajektorie bude poskytovat asové závislosti polohy, rychlosti a zrychlení konc. efektoru (zobecn né sou adnice). Parametry generátoru trajektorie: A = [2, 0.5] T, B = [0, 1] T, C = [2, 2.5] T, r = 0.3, v max = 1 (a) Vykreslete asové pr b hy zobecn ných sou adnic generované generátorem trajektorie (x a y) a jejich p íslu²né asové derivace 2
(b) Vykreslete p íslu²né kloubové sou adnice a jejich derivace. Transla ní sou adnice x a y vyuºijte z generátoru trajektorie, sou adnici φ volte konstantní φ = 0. (c) Konstantní absolutní hodnotu v max transla ní rychlosti koncového efektoru ov te p ímým odm ováním rychlosti t lesa (body) koncového efektoru v SimMechanicsu (pomocí bloku Body Sensor). (d) Ov te funkci DGM a POKÚ (zp tný p epo et generovaných kloubových sou adnic, jejich rychlostí a zrychlení). Obrázek 3: Generovaná trajektorie 5. Vy²et ete singulární polohy manipulátoru: (a) Vypo t te podmínku pro kloubové sou adnice manipulátoru pro robot nacházející se v singulární poloze a diskutujte geometrické uspo ádání robotu v této poloze. (b) Znázorn te singulární polohu manipulátoru v prac. prostoru - rovin xy parametrizované zobecn nou sou adnicí φ. 6. Nyní p edpokládejte,ºe konc. efektor manipulátoru reprezentuje pracovní nástroj (nap. ²roubovák), který na po átku a na konci pohybu má utáhnout ²roub, tedy orientace konc. efektoru je jednozna n ur ena po áte ním úhlem φ s = π 2 (na za átku trajektorie pohybu) a koncovým úhlem φ e = 0 (na konci trajektorie pohybu), viz Obrázek 4. 3
Obrázek 4: Poºadovaná trajektorie manipulátoru v etn po áte ní a koncové orientace konc. efektoru (a) Gracky znázorn te chování normy vektoru rychlostí kl. sou adnic, tzn. Q, podél trajektorie s 0, s max pro hodnoty orientace konc. efektoru v intervalu φ 0.5, π 2, viz Obrázek 5. (b) Upravte generátor trajektorie tak, aby se na místo konstantní orientace konc. efektoru jeho orientace m nila lineárn podél trajektorie z hodnoty φ s do hodnoty φ e, tzn. generovaný pr b h zobecn né sou adnice φ je dán Obrázkem 6(a). Znázorn te tento pr b h do grafu na Obrázku 5 a znázorn te gracky asové pr b hy zobecn ných a kloubových sou adnic. (c) Diskutujte závislosti singulární polohy manipulátoru se získanými výsledky ( asové pr b hy kl. sou adnice) a problémy, které v tomto d sledku mohou nastat p i ízení reálného systému. (d) Vzhledem k faktu, ºe nás zajímá pouze po áte ní φ s a koncová orientace φ e konc. efektoru, navrhn te kvadratickou interpolaci, zobec. sou adnice φ tak, abyste zajistili plynulý pohyb manipulátoru (vyvarování se projetí v blízkosti sing. polohy), tzn. generovaný pr b h zobecn né sou adnice φ je dán Obrázkem 6(b), kde [s c, φ c ] je vhodn zvolený interpola ní bod. Op t znázorn te interpolovanou k ivku do grafu, viz Obrázek 5 a znázorn te gracky asové pr b hy zobecn ných a kloubových sou adnic. Porovnejte výsledky pro lineární a kvadratickou interpolaci úhlu φ, v etn absolutních hodnot rychlostí a zrychleních kl. sou adnic. 4
orientace. konc. ef pohyb manip. Obrázek 5: Gracké znázorn ní rychlostí kl. sou adnic podél trajektorie pro r zné hodnoty orientace konc. ef. pohyb manip. (a) Orientace generována lineárn (b) Orientace generována kvadratickým polynomem p es bod [s c, φ c] Obrázek 6: Dv moºnosti generování orientace konc. ef 5